北师大版第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程课后练习题

这是一份北师大版第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程课后练习题，共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2.3用公式法解一元二次方程
一、单选题
1．用公式法解方程，其中求得的值是（ ）.
A．16 B．
C．32 D．64
【答案】D
【分析】
先将方程化为一般形式，然后计算即可.
【解析】
解：方程整理得：，
∴，，，
∴，
故选D.
【点睛】
此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键．
2． 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的求根公式解答即可．
【解析】
解：对于一元二次方程，方程的根为：．
因为，所以，，，
所以对应的一元二次方程是：．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的求根公式，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键．
3．下列方程适合用求根公式法解的是（　　）
A．（x﹣3）2=2 B．325x2﹣326x+1=0
C．x2﹣100x+2500=0 D．2x2+3x﹣1=0
【答案】D
【分析】
根据方程的特点及各方法的优缺点解答．
【解析】
A选项：此方程适合直接开平方法求解；
B选项：此方程适合因式分解法求解；
C选项：此方程适合因式分解法求解；
D选项：此方程适合公式法求解；
故选D．
【点睛】
考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4．方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于(        )
A．3                                          B．2                                          C．1                                          D．
【答案】B
【解析】
试题分析：2x2－6x＋3＝0，
这里a＝2，b＝－6，c＝3，
∵△＝36－24＝12，
∴x＝＝，
即p＝；
2x2－2x－1＝0，
这里a＝2，b＝－2，c＝－1，
∵△＝4＋8＝12，
∴x＝＝，
即q＝；
则p＋q＝＋＝2．
故选B．
点睛：此题考查了解一元二次方程－公式法，利用此方法解方程时，首先找出a，b，c，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式求出解．
5．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
【答案】C
【分析】
由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解析】
解：由已知得：
，
解得：a≥1且a≠5，
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a的一元一次不等式组，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．
6．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（   ）
A． B．x2+2x+4=0 C．x2-x+2=0 D．x2-2x=0
【答案】D
【分析】
逐一分析四个选项中方程的根的判别式的符号，由此即可得出结论．
【解析】
A.此方程判别式 ，方程有两个相等的实数根，不符合题意;
B.此方程判别式 方程没有实数根，不符合题意;
C.此方程判别式 ，方程没有实数根，不符合题意;
D .此方程判别式 ，方程有两个不相等的实数根，符合题意;
故答案为： D.
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
7．当时，关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【分析】
先计算出，根据，求出的取值范围，即可判断一元二次方程根的情况.
【解析】
关于x的一元二次方程x2+4x+k=0,
,
当时，
关于x的一元二次方程x2+4x+k=0没有实数根.
故选D.
【点睛】
考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个不相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根.
8．若方程（a-2）x2＋（-2a＋1）x＋a=0有实数根，则 （ ）
A．a≤- B．a≥- C．a≥-且a≠2 D．a>2
【答案】B
【解析】
【分析】
当a-2=0时，方程为一元一次方程，有一个实数根；当a-2≠0时，利用根的判别式△≥0进行求解.
【解析】
当a-2=0，即a=2时，原方程化简为：x=-，方程有一个实数根；
当a-2≠0，即a≠2时，△=(-2a+1)2-4a(a-2)=4a+1≥0，解得a≥ ，
综上，a≥ ，
故选择B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义以及其根的判别式与根的关系.
9．已知a、b、c是的三边长，且方程的两根相等，则为　　
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
【答案】C
【分析】
方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，即△=0，结合直角三角形的判定和性质确定三角形的形状．
【解析】
原方程整理得(a+c)+2bx+a−c=0，
因为两根相等，
所以△=−4ac
=−4×(a+c)×(a−c)
=4+4−4
=0，
即+=，
所以△ABC是直角三角形．
故选C
【点睛】
本题主要考查根的判别式，勾股定理的逆定理知识点.
10．关于的一元二次方程，给出下列说法：①若，则方程必有两个实数根；②若，则方程必有两个实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
利用c=-a可判断△=b2+4a2＞0，从而根据判别式的意义可对①进行判断；利用c=-（a+b）得到△=b2-4ac=（2a+b）2≥0，则可根据判别式的意义对②进行判断；利用b=2a+3c得到△=4（a+c）2+5c2＞0，则可根据判别式的意义对③进行判断；由于b2-5ac＜0，不能判断△=b2-4ac=b2-5ac+ac与0的大小关系，则可根据判别式的意义对④进行判断．
【解析】
解：①当a+c=0，即c=-a，则△=b2-4ac=b2+4a2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以①正确；
②当a+b+c=0，即c=-（a+b），则△=b2-4ac=b2+4a（a+b）=（2a+b）2≥0，方程必有两个实数根，所以②正确；
③当b=2a+3c，则△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以③正确；
④当b2-5ac＜0，△=b2-4ac=b2-5ac+ac可能大于0，所以不能判断方程根的情况，所以④错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
11．已知二次方程x2+2x-5=0的两根分别为x1、x2（x1＜x2），若整数k满足k＜x1＜k+1，则k的值是（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1的取值范围，可得k．
【解析】
解：∵△=b2-4ac=22-4×1×（-5）=24，
∴
∵x1＜x2，
∴
∵2≤≤3，
∴
∴
∵整数k满足k＜x1＜k+1，
∴k=-4，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，利用夹逼法确定k的值是解答此题的关键．
12．对于一元二次方程，有下列说法：
①若，则方程必有一个根为1；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解析】
解：①若x=1时，方程ax2+bx+c=0，则a+b+c=0，
∵无法确定a-b+c=0．故①错误；
②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴△=0-4ac＞0
∴-4ac＞0
则方程ax2+bx+c=0的判别式，
△=b2-4ac＞0
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
则ac2+bc+c=0
∴c（ac+b+1）=0
若c=0，等式仍然成立，
但ac+b+1=0不一定成立，故③错误；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
则由求根公式可得：
或，
∴或
∴b2−4ac＝(2ax0+b)2，故④错误．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键．


二、填空题
13．将方程化成一般形式为_______________，_____________，用求根公式求得_________，___________．
【答案】 121 1
【解析】
【分析】
方程整理后，化为一般形式，求出根的判别式的值，即可求出方程的根．
【解析】
化简方程，得，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】
此题考查解一元二次方程-公式法，解题关键在于利用根的判别式进行求解.
14．若方程，则方程的根为________．
【答案】，
【分析】
对方程进行展开并整理，然后再运用公式法解方程即可.
【解析】
解：，
整理得：x2-x-21=0，
，
故答案为，.
【点睛】
先将原方程化为一般式，再选择合适的方法进行解方程.
15．一元二次方程x2+x=3中，a=__，b=___，c=__，则方程的根是___．
【答案】，1,-3x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．
【解析】
先将方程整理成一般形式得:,所以,因为所以故答案为:,.
16．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是_____，当b2-4ac0，
∴x=-25±282=-5±7，
即x1=-5+7，x2=-5-7．
（4）将原方程化为一般形式，得3x2+10x-8=0，
这里a=3，b=10，c=-8，
∵b2-4ac=102-4×3×(-8)=196>0，
∴x=-10±1966=-5±73，
即x1=23，x2=-4．
【点睛】
此题考查解一元二次方程-公式法，解题关键在于掌握运算法则.
27．m为何值时，方程2(m+1)x2+4mx+2m－1=0．
(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个实数根；
(3)有两个相等的实数根； (4)无实数根．
【答案】(1) m≠-1且m＜1 ;(2) m≠-1且m≤1 ;(3) m=1 ;(4) m＞1.
【分析】
(1)当2(m+1)≠0且△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当2(m+1)≠0且△≥0时，方程有两个实数根；
(3)当2(m+1)≠0且△=0时，方程有两个相等的实数根；
(4)当2(m+1)≠0且△＜0时，方程无实数根.
【解析】
(1)由题意可知2(m+1)≠0，则m≠-1，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴△=b2-4ac=16m2-8(m+1) (2m－1)=8-8m＞0，
解得m＜1，
综上，当m≠-1且m＜1时，方程有两个不相等的实数根.
(2) 由题意可知2(m+1)≠0，则m≠-1，
∵方程有两实数根，
∴△≥0，
∴△=b2-4ac=16m2-8(m+1) (2m－1)=8-8m≥0，
解得m≤1，
综上，当m≠-1且m≤1时，方程有两个实数根.
(3) 由题意可知2(m+1)≠0，则m≠-1，
∵方程有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴△=b2-4ac=16m2-8(m+1) (2m－1)=8-8m=0，
解得m=1，
综上，当m=1时，方程有两个相等的实数根.
(4) 由题意可知2(m+1)≠0，则m≠-1，
∵方程方程无实数根，
∴△＜0，
∴△=b2-4ac=16m2-8(m+1) (2m－1)=8-8m＜0，
解得m＞1，
综上，当m＞1时，方程无实数根.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系.
28．已知关于的方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若，且方程的两个实数根都是整数，求的值．
【答案】； ，或．
【分析】
(1)关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2-4ac>0，即可得到关于n的不等式，从而求得n的范围；
(2)利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值即可．
【解析】
∵关于的方程的二次项系数、一次项系数、常数项，
∴，
解得；
由原方程，得
，
解得，
∵方程的两个实数根都是整数，且，不是负数，
∴，且是完全平方形式，
∴，或，
解得，或．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
29．已知关于的方程．
(1)试判断方程根的情况；
(2)若=2是方程的一个根，求的值；
(3)是否存在实数，使方程与方程有一个相同的根？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）；（3）存在，
【分析】
(1)计算的值，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若则方程无解；
(2)根据题意，将=2代入方程中，解出的值即可；
(3) 先解一元二次方程的根，再将其代入方程，即可解出的值．
【解析】
(1)
方程有两个不相等的实数根；
(2)将=2代入得，


(3)解得，
当时，
当时，此时方程无解，
综上所述，存在使得使方程与方程有一个相同的根．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、方程有相同解等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
30．已知：关于x的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）请选择一个合适的m值，写出这个方程并求出此时方程的根．
【答案】（1）见解析；（2），
【分析】
（1）要证明此方程总有两个不相等的实数根，只需证明二次函数的判别式△＞0即可．
（2）由（1）知方程的根的个数和m的值无关，所以本着计算简洁的要求m的值可选取0，把0代入一元二次方程，计算即可．
【解析】
解：（1）∵
∴
∴
∴一元二次方程总有两个不相等的实数．
（2）令m＝0 ，
得一元二次方程：
解得一元二次方程的解为：，．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系及解一元二次方程的知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
31．关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为正整数时，取一个合适的值代入求出方程的解．
【答案】（1）m≤3，m≠2；（2）当m=3时，x1=x2=1
【分析】
（1）根据方程有实数根可得△≥0，列式即可得到结果．
（2）根据（1）可得m的取值范围，根据m是正整数的要求分别计算即可．
【解析】
解：(1)∵关于x的一元二次方程(m-2)x2-2x+1=0有实数根，
∴△=(-2)2-4(m-2)=4-4m+8=12-4m．
∵12-4m≥0，
∴m≤3，m≠2．
(2)∵m≤3且m≠2，∴m=1或3，
∴当m=1时，原方程为-x2-2x+1=0. x1=-1-，x2=-1+.
当m=3时，原方程为x2-2x+1=0. x1=x2=1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式应用，根据根的情况列式准确判断参数取值是关键．
32．已知关于的一元二次方程有两个不等的实根．
（1）求的取值范围；
（2）当取最大整数值时，的三条边长均满足关于的一元二次方程，求的周长．
【答案】（1）且；（2）的周长为3或9或7．
【分析】
（1）根据关于x的一元二次方程，可判断二次项系数不为0；根据方程有两个不相等的实数根，可判断判别式大于0，列出不等式组求解即可．
（2）在此范围内找出最大的整数，解方程，然后分类讨论，求出三角形周长即可．
【解析】
解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得且．
（2）由（1）得的最大整数值为4；

解得：．
的三条边长均满足关于的一元二次方程，
①三边都为1，则的周长为3；
②三边都为3，则的周长为9；
③三边为1，1，3，因为，不符合题意，舍去；
④三边为1，3，3，则的周长为7．
∴的周长为3或9或7．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式b2-4ac的关系,也考查了构成三角形的条件．解题时注意二次项系数不为0这个隐含条件．
33．阅读理解：
材料1：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法；比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子：
例：求的取值范围；
解：令



；
材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下：
若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，则关于的一元二次不等式的解集为：或；则关于的一元二次不等式的的解集为：．
材料3：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、；则；，我们称之为韦达定理；
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）若关于的二次三项式（为常数）的最小值为，则________．
（2）求出代数式的取值范围．
（3）若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值．
【答案】（1）；（2）或；（3），或，
【分析】
（1）根据材料，令，由根的判别式求出y的取值范围，结合y的最小值即可求出a的值；
（2）根据材料，令，利用根的判别式转化为y的一元二次方程，解不等式即可得到解集；
（3）根据材料，令，利用根的判别式得到y的不等式，然后由根与系数的关系，列出方程组，即可求出a、b的值.
【解析】
解：（1），
∴，
∴，
∴，
∵y的最小值为，
∴
解得：；
（2）解：令
有解


令
解得，
或．
（3）解：令

当时，且
存在一个使得．
当时，
有解．


，
，是方程的解

解得或
综上，或，．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，以及解不等式组，解题的关键是正确理解题意，熟练运用材料的运算方法进行解题.注意根的判别式和根与系数的关系知识的运用，以及换元法的应用.