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第2章圆综合练习题（湘教版九下）
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这是一份第2章圆综合练习题（湘教版九下），共17页。
圆 综合练习题
一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）
1. 如图，为⊙O的直径，为弦，，交于，，．
（1）求证：，并求的长；
（2）延长到，使，连接，判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由.
1．解：，.
，．
又，
． ．
．
（舍负）．
（2）直线与相切．
连接．为的直径，．
在中，由勾股定理，得．
．
，．
（或，是等边三角形，．
，．）
．⊥．
又点A在圆上，直线与相切．
2. 已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
2．（1）证明：连接DO.
∵是等边三角形 ，∴∠C=60°，∠A=60°，
∵OA=OD， ∴是等边三角形. ∴∠ADO =60°.
∵DF⊥BC ，∴∠CDF =30°.
∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF= 90°.∴DF为⊙O的切线.
（2）∵是等边三角形，∴CD=AD=AO=AB=2.
Rt中，∠CDF =30°，∴CF=CD=1. ∴DF=.
（3）连接OE，由（2）同理可知E为CB中点，∴.
∵，∴.
∴．
∴．
∴．
3、如图，已知圆O的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且．
（1）请证明：是的中点；
（2）若，求的长．
3、（1）证明：连接，如图
，且过圆心
，，是等边三角形．
在中，，点为的中点
（2）解：在中，
又，
4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC = 60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作交PQ于点D．
（1）求证：△CDQ是等腰三角形；
（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．
4． （1）证明：由已知得∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠Q=30°，∠BCO=∠ABC=30°.
∵CD⊥OC，∴∠DCQ=∠BCO=30°，
∴∠DCQ=∠Q，∴△CDQ是等腰三角形.
（2）解：设⊙O的半径为1，则AB=2，OC=1，AC=，BC=.
∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，∴CQ=BC=.
∵AQ=AC+CQ=1+，AP=，
∴BP=AB－AP= PO=AP－AO=，
∴BP∶PO=.
5． 已知:如图, BD是半圆O的直径,A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线于点C, 交半圆O于点E，且E为的中点.
（1）求证：AC是半圆O的切线；
（2）若，求的长．
5.解：（1）连接OE, ∵E为的中点，∴． ∴ .
∵，∴.∴ .∴OE∥BC.
∵BC⊥AC， ∴∠C=90°. ∴ ∠AEO=∠C=90°. 即OE⊥AC.
又OE为半圆O的半径，∴ AC是半圆O的切线.
（2）设的半径为，
∵，∴. ∴. ∴.
∵OE∥BC，∴.∴. 即 ∴.
6.如图，内接于⊙O，过点的直线交⊙O于点，交的延长线于点，且AB2=AP·AD
（1）求证：；
（2）如果，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长.
6.解：（1）证明：联结BP．
∵ AB2=AP·AD ，∴ =．
∵ ∠BAD=∠PAB，∴ △ABD∽△APB，
∴ ∠ABC=∠APB，∵∠ACB=∠APB，
∴ ∠ABC=∠ACB．∴ AB=AC.
（2）由（1）知AB=AC． ∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC=60°， ∵P为弧AC的中点，∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°，
∴∠BAP=90°， ∴ BP是⊙O的直径， ∴ BP=2， ∴ AP=BP=1，
在Rt△PAB中，由勾股定理得 AB2= BP2－AP2=3， ∴ AD==3．
7．如图，在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点, 以OA为半径的⊙O经过
点D.
（1）求证： BC是⊙O切线；
（2）若BD=5, DC=3, 求AC的长.
7.（1）证明: 如图1，连接OD.
∵ OA=OD, AD平分∠BAC,
∴ ∠ODA=∠OAD, ∠OAD=∠CAD.
∴ ∠ODA=∠CAD.
∴ OD//AC.
∴ ∠ODB=∠C=90°.
∴ BC是⊙O的切线. 图1
（2）解法一: 如图2，过D作DE⊥AB于E.
∴ ∠AED=∠C=90°.
又∵ AD=AD, ∠EAD=∠CAD,
∴ △AED≌△ACD.
∴ AE=AC, DE=DC=3.
在Rt△BED中，∠BED =90°,由勾股定理，得
BE=. 图2
设AC=x（x>0）, 则AE=x.
在Rt△ABC中，∠C=90°, BC=BD+DC=8, AB=x+4, 由勾股定理，得x2 +82= (x+4) 2.
解得x=6. 即 AC=6.
解法二: 如图3，延长AC到E，使得AE=AB.
∵ AD=AD, ∠EAD =∠BAD,
∴ △AED≌△ABD.
∴ ED=BD=5.
在Rt△DCE中，∠DCE=90°, 由勾股定理，得
CE=. ………… ……………5分 图3
在Rt△ABC中，∠ACB=90°, BC=BD+DC=8, 由勾股定理，得 AC2 +BC2= AB 2.
即 AC2 +82=(AC+4) 2.解得 AC=6.
8．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC.
（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）若BE=2，CD=8，求AB和AC的长.
8、证明：（1）连结BD，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴． ∴∠A=∠2．
又∵OA=OC，∴∠1=∠A．
∴∠１＝∠2．即：∠ACO=∠BCD．
解：（2）由（1）问可知，∠A=∠2，∠AEC=∠CEB.
∴△ACE∽△CBE．
∴∴CE2=BE·AE．
又CD=8，∴CE=DE=4．∴AE=8．∴AB=10．
∴AC=
9．如图，已知为⊙的直径，点、在⊙上，，垂足为，交于，且．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
9．解：（1）延长AD与⊙O交于点G．
∵ 直径BC⊥弦AG于点D，
∴ ．
∴ ∠AFB=∠BAE．
∵ AE=BE，∴ ∠ABE=∠BAE．
∴ ∠ABE=∠AFB． ∴ AB=AF．
（2）在Rt△EDB中，sin∠FBC=．
设ED=3x，BE=5x，则AE=5x，AD=8x，在Rt△EDB中，由勾股定理得BD=4x．
在Rt△ADB中，由勾股定理得BD2+AD2=AB2．
∵ AB=4，∴ ．
∴ x=1（负舍）．∴ AD=8x=8．
10．如图，已知直径与等边的高相等的圆O分别与边AB、BC相切于点D、E，边AC过圆心O与圆O相交于点F、G。
（1） 求证：；
（2） 若的边长为a，求的面积.
10. (1) 是等边三角形,,,
AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，BD=BE.
,,有DE//AC.
(2)分别连结OD、OE,作EHAC于点H.
AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，O是圆心，
，OD=OE，AD=EC.
,有AO=OC=.
圆O的直径等于的高,得半径OG=,CG=OC+OG=+.
,,EH=.
CGEH =(+)·,
=.
11．如图，在△ABC中，∠BCA =90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．
（1）请你判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，AP=，求⊙O半径的长.
11、解：（1）直线PQ与⊙O相切.
连结OP、CP.
∵ BC是⊙O的直径，∴ ∠BPC＝90° .
又∵ Q是AC的中点，∴ PQ=CQ=AQ .
∴ ∠3＝∠4.
∵ ∠BCA =90°，∴ ∠2+∠4=90°.
∵ ∠1＝∠2，∴ ∠1+∠3=90°.
即 ∠OPQ=90°.
∴ 直线PQ与⊙O相切.
（2）∵ ∠A＝30°，AP=，
∴ 在Rt△APC中，可求AC=4.
∴ 在Rt△ABC中，可求BC=.
∴ BO=. ∴⊙O半径的长为.
12．如图，已知点A是⊙O上一点，直线MN过点A，点B是MN上的另一点，点C是OB的中点， ，
若点P是⊙O上的一个动点,且∠,AB=时，求△APC的面积的最大值．
12、解:连结OA.
由C是OB的中点,且,可证得 ∠OAB=90°.
则 ∠O=60°. 可求得OA=AC=2.
过点O作OE⊥AC于E，且延长EO交圆于点F．
则 P(F)E是△PAC的AC边上的最大的高.
在△OAE中,OA=2,∠AOE=30°,
解得 . 所以 .
故 .
即 .
第13题图
13．如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径作⊙交BC于点D，交AB于点G，过点D作⊙的切线交AB于点E，交AC的延长线与点F.
（1）求证：EF⊥AB；
（2）求cos∠F的值.
第13题图
13. 证明：
（1）联结OD
∵OC=OD ∴∠ODC=∠OCD
又∵AB=AC ∴∠OCD=∠B
∴∠ODC=∠B ∴OD∥AB
∵ED是⊙的切线，OD是⊙的半径
∴OD⊥EF ∴AB⊥EF
（2）联结AD、CG
∵AD是⊙的直径
∴∠ADC=∠AGC=90°
∵AB⊥EF ∴DE∥CG
∴∠F=∠GCA
∵AB=AC ∴DC=BC=5
Rt△ADC中，
∵ADBC=ABCG
∴CG=
Rt△CGA中，cos∠GCA=
∴cos∠F=
14．（应用性问题）已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有30°的直角三角尺按图示的方式测量.
(1)若⊙O分别与AE、AF交于点B、C，且AB=AC,若⊙O与AF相切.
求证: ⊙O与AE相切；
(2)在满足(1)的情况下，当Ｂ、Ｃ分别为AE、AF的三分之一点时，
且AF=3，求的弧长.
14.解:（1）证明：连结OB、OA、OC.
根据题意,∠OCA=90°.
在△ABO与△ACO中,
AB=AC,OA=OA,OB=OC,
所以 △ABO≌△ACO.
所以 ∠OCA=∠OBA =90°. 则 AE是圆的切线.
(2)因∠OCA=∠OBA =90°, 且 ∠EAD=∠FAG =30°,
则 ∠BAC =120°.
又 ,∠OAC =60°, 故 .
所以 的长为.
二、圆与相似综合
15．已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC =15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，
OC交AB于E.
（1）求∠D的度数；
（2）求证：；
（3）求的值.
图3
15．（1）解：如图3，连结OB.
∵ ⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，
∴ ∠BOC =2∠BAC =90°.
∵ OB=OC ，∴ ∠OBC =∠OCB =45°.
∵ AD∥OC ，∴ ∠D =∠OCB =45°.
（2）证明：∵ ∠BAC =45°，∠D =45°，
∴ ∠BAC =∠D .
∵ AD∥OC ，∴ ∠ACE =∠DAC .
∴ △ACE ∽△DAC ．
∴ ． ∴ ．
图4
（3）解法一：如图4，延长BO交DA的延长线于F，连结OA .
∵ AD∥OC ，∴ ∠F=∠BOC =90°.
∵ ∠ABC =15°，
∴ ∠OBA =∠OBC －∠ABC =30°.
∵ OA = OB ，
∴ ∠FOA=∠OBA＋∠OAB =60°，∠OAF =30°.
∴ .
∵ AD∥OC ，∴ △BOC ∽△BFD ．
∴ ．∴ ，即的值为2.
解法二：作OM⊥BA于M，设⊙O的半径为r，可得BM=，OM=，，，BE=，AE=，所以.
16．如图⑴，⊙O的直径为，过半径的中点作弦，在 上取一点，分别作直线，交直线于点.
⑴求和的度数；
⑵求证：∽；
⑶如图⑵，若将垂足改取为半径上任意一点，点改取在 上，仍作直线，分别交直线于点.试判断：此时是否仍有∽成立？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由。
（1） （第16题） （2）
16．解：（1）∵AB为直径，，∴，.
在中，∵，∴.∴.
又∵,
∴.
（2）证明：∵,∴.
在和中，，
∴≌.∴.
又∵，∴.
∴∽
（3）结论仍成立. 证明如下：
∵，
又∵，
∴.
∵AB为直径，，
在和中，
，
∴≌.
∴. ∴∽.
三、圆与三角函数综合
17．已知⊙O过点D（4，3），点H与点D关于轴对称，过H作⊙O的切线交轴于点A（如图1）。
⑴求⊙O半径；
⑵求的值；
⑶如图2，设⊙O与轴正半轴交点P，点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合），联结并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交轴于点G，若是以EF为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化？请说明理由。
图1 图2
17．(1)点在⊙O上， ∴ ⊙O的半径。
（2）如图1，联结HD交OA于Q，则HD⊥OA。联结OH，则OH⊥AH。
∴ ∠HAO=∠OHQ。 ∴ 。
（3）如图2，设点D关于轴的对称点为H，联结HD交OP于Q，则HD⊥OP。
又DE=DF， ∴ DH平分∠BDC。
∴ 。 ∴ 联结OH，则OH⊥BC。
图1 图2
∴ ∠CGO=∠OHQ。
∴
四、圆与二次函数（或坐标系）综合
18、如图，⊙M的圆心在轴上，与坐标轴交于A（0，）、B（－1，0），抛物线经过A、B两点．
（1） 求抛物线的函数解析式；
（2） 设抛物线的顶点为P．试判断点P与⊙M 的位置关系，并说明理由；
（3） 若⊙M与轴的另一交点为D，则由线段PA、线段PD及弧ABD围成的封闭图形PABD的面积是多少？
18．解：（1）∵抛物线经过点A、B，
∴ 解得 ∴
（2）由
得 ∴顶点P的坐标为（1，）．
在Rt△AOM中,MA－MO=OA,OA=,OB=1,
MA－(MA－1)=3, ∴MA=2.
∴MB=2, MO=1,即点O的坐标为（1，0）．
∴MP=＞2. ∴顶点P在圆外；
（３）连结OD，∵点M在抛物线的对称轴上,
∴MP∥轴, ∴ .
∴由线段PA、线段PD及弧ABD形成的封闭图形PABD的面积=扇形OAD的面积.
∵在Rt△AOM中,sin∠AMO=,∴∠AMO=60°.
∴封闭图形PABD的面积=
19．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．
（1）求∠ACB的大小；
（2）写出A，B两点的坐标；
（3）试确定此抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
19．解： （1）作CH⊥x轴，H为垂足．
∵ CH=1，半径CB=2，
∴ ∠HBC=30°．
∴ ∠BCH=60°．
∴ ∠ACB=120°．
（2）∵ CH=1，半径CB=2，
∴ ，故， ．
（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点的坐标为（1，3）．
设抛物线解析式为，把点代入解析式，
解得．所以．
（4）假设存在点使线段与互相平分，则四边形是平行四边形．
所以，且．
∵ 轴，∴ 点在轴上．
∵ ，∴ ，即．
∵ 满足，
∴ 点在抛物线上．
∴ 存在使线段与互相平分．
20．（以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题）如图，半径为1的⊙与轴交于两点，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点，其顶点为．
（1）求的值及二次函数顶点的坐标；
（2）将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，设平移后图象的顶点为，在经过点和点的直线上是否存在一点，使的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
20.解：（1）由题意得，(1 , 0) , (3 , 0) .
则有 解得
∴二次函数的解析式为．∴顶点的坐标为（2，1）．
（2）将平移后的抛物线解析式为，其顶点为(0,0).
∵直线经过点（3，0）和点（0，- 3），∴直线的解析式为．
作点关于直线的对称点，连接、，
∴⊥直线，设垂足为，则有，
由题意可知，, ，
∴， ． ∴.
过点作的垂线，垂足为,∴四边形为矩形．
． ∴ ．
∴直线的解析式为 .
的解为 ∴直线与直线的交点为点
五、以圆为背景的探究性问题
21．下图中, 图(1)是一个扇形OAB，将其作如下划分：
第一次划分： 如图(2)所示，以OA的一半OA1的长为半径画弧交OA于点A1，交OB于点B1，再作∠AOB的平分线，交于点C，交于点C1， 得到扇形的总数为6个，分别为： 扇形OAB、扇形OAC、扇形OCB、扇形OA1B1、扇形OA1C1、扇形OC1B1；
第二次划分： 如图(3)所示，在扇形OC1B1中， 按上述划分方式继续划分， 即以OC1的一半OA2的长为半径画弧交OC1于点A2，交OB1于点B2，再作∠B1OC1的平分线，交于点D1，交于点D2，可以得到扇形的总数为11个；
第三次划分： 如图(4)所示，按上述划分方式继续划分；
……
依次划分下去.
(1) 根据题意, 完成右边的表格；
(2) 根据右边的表格, 请你判断按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为2008个? 为什么?
(3) 若图(1)中的扇形的圆心角∠AOB=m°，且扇形的半径OA的长为R．我们把图(2)第一次划分的图形中，扇形（或扇形）称为第一次划分的最小扇形，其面积记为S1；把图(3)第二次划分的最小扇形面积记为S2；……，把第n次划分的最小扇形面积记为Sn..求的值.
21．解：（1）
划分次数
扇形总个数
1
6
2
11
3
16
4
21
…
…
n
5n+1
（2）不能得到2008个扇形，因为满足5n+1=2008的正整数n不存在；
（3）．
22．圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作（如图①）；
圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，
记作（如图①）请回答下列问题：
（1）如图②，猜测并说明理由；
（2）如图③，猜测并说明理由.
图③
（提示：“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）
图①
图②
22．（1） 理由如下：
图②
E
F
M
N
过O点分别作
图③
N
M
E
F
=
（2）， 理由如下：
过O点分别作
=
23．已知：半径为R的⊙经过半径为r的⊙O圆心，⊙与⊙O交于M、N两点．
（1）如图1，连接O交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交⊙于点A、B，求的值；
（2）若点C为⊙O上一动点.
①当点C运动到⊙内时，如图2，过点C作⊙O的切线交⊙于A、B两点．请你探索的值与（1）中的结论相比较有无变化？并说明你的理由；
②当点运动到⊙外时，过点C作⊙O的切线，若能交⊙于A、B两点．请你在图3中画出符合题意的图形，并探索的值（只写出的值，不必证明）．
23．解：（1）如图1，延长OO′交⊙O于点D，连接AD．
∵ OD是⊙O′的直径， ∴ ∠DAO=90°．
∵ AB与⊙O相切于点C， ∴OC⊥AB．
∴ ∠BCO=∠DAO=90°．
又 ∠B=∠D， ∴ △BOC∽△DOA．
∴ ． ∴ OA•OB=OC•OD=2Rr．
即OA•OB=2Rr．
（2）①答：OA•OB=2Rr不变．
理由：如图2，作⊙O′的直径OD，连接AD、OC，
∴ ∠DAO=90°．
∵ AB与⊙O相切于点C， ∴ ∠BCO=90°．
∴ ∠BCO=∠DAO． 又 ∠B=∠D，
∴ △BCO∽△DAO． ∴ ．
∴ OA•OB= OC•OD =2Rr．
②答：OA•OB=2Rr不变．
画图如图3．
圆 综合练习题
一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）
1. 如图，为⊙O的直径，为弦，，交于，，．
（1）求证：，并求的长；
（2）延长到，使，连接，判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由.
1．解：，.
，．
又，
． ．
．
（舍负）．
（2）直线与相切．
连接．为的直径，．
在中，由勾股定理，得．
．
，．
（或，是等边三角形，．
，．）
．⊥．
又点A在圆上，直线与相切．
2. 已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
2．（1）证明：连接DO.
∵是等边三角形 ，∴∠C=60°，∠A=60°，
∵OA=OD， ∴是等边三角形. ∴∠ADO =60°.
∵DF⊥BC ，∴∠CDF =30°.
∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF= 90°.∴DF为⊙O的切线.
（2）∵是等边三角形，∴CD=AD=AO=AB=2.
Rt中，∠CDF =30°，∴CF=CD=1. ∴DF=.
（3）连接OE，由（2）同理可知E为CB中点，∴.
∵，∴.
∴．
∴．
∴．
3、如图，已知圆O的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且．
（1）请证明：是的中点；
（2）若，求的长．
3、（1）证明：连接，如图
，且过圆心
，，是等边三角形．
在中，，点为的中点
（2）解：在中，
又，
4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC = 60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作交PQ于点D．
（1）求证：△CDQ是等腰三角形；
（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．
4． （1）证明：由已知得∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠Q=30°，∠BCO=∠ABC=30°.
∵CD⊥OC，∴∠DCQ=∠BCO=30°，
∴∠DCQ=∠Q，∴△CDQ是等腰三角形.
（2）解：设⊙O的半径为1，则AB=2，OC=1，AC=，BC=.
∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，∴CQ=BC=.
∵AQ=AC+CQ=1+，AP=，
∴BP=AB－AP= PO=AP－AO=，
∴BP∶PO=.
5． 已知:如图, BD是半圆O的直径,A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线于点C, 交半圆O于点E，且E为的中点.
（1）求证：AC是半圆O的切线；
（2）若，求的长．
5.解：（1）连接OE, ∵E为的中点，∴． ∴ .
∵，∴.∴ .∴OE∥BC.
∵BC⊥AC， ∴∠C=90°. ∴ ∠AEO=∠C=90°. 即OE⊥AC.
又OE为半圆O的半径，∴ AC是半圆O的切线.
（2）设的半径为，
∵，∴. ∴. ∴.
∵OE∥BC，∴.∴. 即 ∴.
6.如图，内接于⊙O，过点的直线交⊙O于点，交的延长线于点，且AB2=AP·AD
（1）求证：；
（2）如果，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长.
6.解：（1）证明：联结BP．
∵ AB2=AP·AD ，∴ =．
∵ ∠BAD=∠PAB，∴ △ABD∽△APB，
∴ ∠ABC=∠APB，∵∠ACB=∠APB，
∴ ∠ABC=∠ACB．∴ AB=AC.
（2）由（1）知AB=AC． ∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC=60°， ∵P为弧AC的中点，∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°，
∴∠BAP=90°， ∴ BP是⊙O的直径， ∴ BP=2， ∴ AP=BP=1，
在Rt△PAB中，由勾股定理得 AB2= BP2－AP2=3， ∴ AD==3．
7．如图，在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点, 以OA为半径的⊙O经过
点D.
（1）求证： BC是⊙O切线；
（2）若BD=5, DC=3, 求AC的长.
7.（1）证明: 如图1，连接OD.
∵ OA=OD, AD平分∠BAC,
∴ ∠ODA=∠OAD, ∠OAD=∠CAD.
∴ ∠ODA=∠CAD.
∴ OD//AC.
∴ ∠ODB=∠C=90°.
∴ BC是⊙O的切线. 图1
（2）解法一: 如图2，过D作DE⊥AB于E.
∴ ∠AED=∠C=90°.
又∵ AD=AD, ∠EAD=∠CAD,
∴ △AED≌△ACD.
∴ AE=AC, DE=DC=3.
在Rt△BED中，∠BED =90°,由勾股定理，得
BE=. 图2
设AC=x（x>0）, 则AE=x.
在Rt△ABC中，∠C=90°, BC=BD+DC=8, AB=x+4, 由勾股定理，得x2 +82= (x+4) 2.
解得x=6. 即 AC=6.
解法二: 如图3，延长AC到E，使得AE=AB.
∵ AD=AD, ∠EAD =∠BAD,
∴ △AED≌△ABD.
∴ ED=BD=5.
在Rt△DCE中，∠DCE=90°, 由勾股定理，得
CE=. ………… ……………5分 图3
在Rt△ABC中，∠ACB=90°, BC=BD+DC=8, 由勾股定理，得 AC2 +BC2= AB 2.
即 AC2 +82=(AC+4) 2.解得 AC=6.
8．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC.
（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）若BE=2，CD=8，求AB和AC的长.
8、证明：（1）连结BD，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴． ∴∠A=∠2．
又∵OA=OC，∴∠1=∠A．
∴∠１＝∠2．即：∠ACO=∠BCD．
解：（2）由（1）问可知，∠A=∠2，∠AEC=∠CEB.
∴△ACE∽△CBE．
∴∴CE2=BE·AE．
又CD=8，∴CE=DE=4．∴AE=8．∴AB=10．
∴AC=
9．如图，已知为⊙的直径，点、在⊙上，，垂足为，交于，且．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
9．解：（1）延长AD与⊙O交于点G．
∵ 直径BC⊥弦AG于点D，
∴ ．
∴ ∠AFB=∠BAE．
∵ AE=BE，∴ ∠ABE=∠BAE．
∴ ∠ABE=∠AFB． ∴ AB=AF．
（2）在Rt△EDB中，sin∠FBC=．
设ED=3x，BE=5x，则AE=5x，AD=8x，在Rt△EDB中，由勾股定理得BD=4x．
在Rt△ADB中，由勾股定理得BD2+AD2=AB2．
∵ AB=4，∴ ．
∴ x=1（负舍）．∴ AD=8x=8．
10．如图，已知直径与等边的高相等的圆O分别与边AB、BC相切于点D、E，边AC过圆心O与圆O相交于点F、G。
（1） 求证：；
（2） 若的边长为a，求的面积.
10. (1) 是等边三角形,,,
AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，BD=BE.
,,有DE//AC.
(2)分别连结OD、OE,作EHAC于点H.
AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，O是圆心，
，OD=OE，AD=EC.
,有AO=OC=.
圆O的直径等于的高,得半径OG=,CG=OC+OG=+.
,,EH=.
CGEH =(+)·,
=.
11．如图，在△ABC中，∠BCA =90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．
（1）请你判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，AP=，求⊙O半径的长.
11、解：（1）直线PQ与⊙O相切.
连结OP、CP.
∵ BC是⊙O的直径，∴ ∠BPC＝90° .
又∵ Q是AC的中点，∴ PQ=CQ=AQ .
∴ ∠3＝∠4.
∵ ∠BCA =90°，∴ ∠2+∠4=90°.
∵ ∠1＝∠2，∴ ∠1+∠3=90°.
即 ∠OPQ=90°.
∴ 直线PQ与⊙O相切.
（2）∵ ∠A＝30°，AP=，
∴ 在Rt△APC中，可求AC=4.
∴ 在Rt△ABC中，可求BC=.
∴ BO=. ∴⊙O半径的长为.
12．如图，已知点A是⊙O上一点，直线MN过点A，点B是MN上的另一点，点C是OB的中点， ，
若点P是⊙O上的一个动点,且∠,AB=时，求△APC的面积的最大值．
12、解:连结OA.
由C是OB的中点,且,可证得 ∠OAB=90°.
则 ∠O=60°. 可求得OA=AC=2.
过点O作OE⊥AC于E，且延长EO交圆于点F．
则 P(F)E是△PAC的AC边上的最大的高.
在△OAE中,OA=2,∠AOE=30°,
解得 . 所以 .
故 .
即 .
第13题图
13．如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径作⊙交BC于点D，交AB于点G，过点D作⊙的切线交AB于点E，交AC的延长线与点F.
（1）求证：EF⊥AB；
（2）求cos∠F的值.
第13题图
13. 证明：
（1）联结OD
∵OC=OD ∴∠ODC=∠OCD
又∵AB=AC ∴∠OCD=∠B
∴∠ODC=∠B ∴OD∥AB
∵ED是⊙的切线，OD是⊙的半径
∴OD⊥EF ∴AB⊥EF
（2）联结AD、CG
∵AD是⊙的直径
∴∠ADC=∠AGC=90°
∵AB⊥EF ∴DE∥CG
∴∠F=∠GCA
∵AB=AC ∴DC=BC=5
Rt△ADC中，
∵ADBC=ABCG
∴CG=
Rt△CGA中，cos∠GCA=
∴cos∠F=
14．（应用性问题）已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有30°的直角三角尺按图示的方式测量.
(1)若⊙O分别与AE、AF交于点B、C，且AB=AC,若⊙O与AF相切.
求证: ⊙O与AE相切；
(2)在满足(1)的情况下，当Ｂ、Ｃ分别为AE、AF的三分之一点时，
且AF=3，求的弧长.
14.解:（1）证明：连结OB、OA、OC.
根据题意,∠OCA=90°.
在△ABO与△ACO中,
AB=AC,OA=OA,OB=OC,
所以 △ABO≌△ACO.
所以 ∠OCA=∠OBA =90°. 则 AE是圆的切线.
(2)因∠OCA=∠OBA =90°, 且 ∠EAD=∠FAG =30°,
则 ∠BAC =120°.
又 ,∠OAC =60°, 故 .
所以 的长为.
二、圆与相似综合
15．已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC =15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，
OC交AB于E.
（1）求∠D的度数；
（2）求证：；
（3）求的值.
图3
15．（1）解：如图3，连结OB.
∵ ⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，
∴ ∠BOC =2∠BAC =90°.
∵ OB=OC ，∴ ∠OBC =∠OCB =45°.
∵ AD∥OC ，∴ ∠D =∠OCB =45°.
（2）证明：∵ ∠BAC =45°，∠D =45°，
∴ ∠BAC =∠D .
∵ AD∥OC ，∴ ∠ACE =∠DAC .
∴ △ACE ∽△DAC ．
∴ ． ∴ ．
图4
（3）解法一：如图4，延长BO交DA的延长线于F，连结OA .
∵ AD∥OC ，∴ ∠F=∠BOC =90°.
∵ ∠ABC =15°，
∴ ∠OBA =∠OBC －∠ABC =30°.
∵ OA = OB ，
∴ ∠FOA=∠OBA＋∠OAB =60°，∠OAF =30°.
∴ .
∵ AD∥OC ，∴ △BOC ∽△BFD ．
∴ ．∴ ，即的值为2.
解法二：作OM⊥BA于M，设⊙O的半径为r，可得BM=，OM=，，，BE=，AE=，所以.
16．如图⑴，⊙O的直径为，过半径的中点作弦，在 上取一点，分别作直线，交直线于点.
⑴求和的度数；
⑵求证：∽；
⑶如图⑵，若将垂足改取为半径上任意一点，点改取在 上，仍作直线，分别交直线于点.试判断：此时是否仍有∽成立？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由。
（1） （第16题） （2）
16．解：（1）∵AB为直径，，∴，.
在中，∵，∴.∴.
又∵,
∴.
（2）证明：∵,∴.
在和中，，
∴≌.∴.
又∵，∴.
∴∽
（3）结论仍成立. 证明如下：
∵，
又∵，
∴.
∵AB为直径，，
在和中，
，
∴≌.
∴. ∴∽.
三、圆与三角函数综合
17．已知⊙O过点D（4，3），点H与点D关于轴对称，过H作⊙O的切线交轴于点A（如图1）。
⑴求⊙O半径；
⑵求的值；
⑶如图2，设⊙O与轴正半轴交点P，点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合），联结并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交轴于点G，若是以EF为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化？请说明理由。
图1 图2
17．(1)点在⊙O上， ∴ ⊙O的半径。
（2）如图1，联结HD交OA于Q，则HD⊥OA。联结OH，则OH⊥AH。
∴ ∠HAO=∠OHQ。 ∴ 。
（3）如图2，设点D关于轴的对称点为H，联结HD交OP于Q，则HD⊥OP。
又DE=DF， ∴ DH平分∠BDC。
∴ 。 ∴ 联结OH，则OH⊥BC。
图1 图2
∴ ∠CGO=∠OHQ。
∴
四、圆与二次函数（或坐标系）综合
18、如图，⊙M的圆心在轴上，与坐标轴交于A（0，）、B（－1，0），抛物线经过A、B两点．
（1） 求抛物线的函数解析式；
（2） 设抛物线的顶点为P．试判断点P与⊙M 的位置关系，并说明理由；
（3） 若⊙M与轴的另一交点为D，则由线段PA、线段PD及弧ABD围成的封闭图形PABD的面积是多少？
18．解：（1）∵抛物线经过点A、B，
∴ 解得 ∴
（2）由
得 ∴顶点P的坐标为（1，）．
在Rt△AOM中,MA－MO=OA,OA=,OB=1,
MA－(MA－1)=3, ∴MA=2.
∴MB=2, MO=1,即点O的坐标为（1，0）．
∴MP=＞2. ∴顶点P在圆外；
（３）连结OD，∵点M在抛物线的对称轴上,
∴MP∥轴, ∴ .
∴由线段PA、线段PD及弧ABD形成的封闭图形PABD的面积=扇形OAD的面积.
∵在Rt△AOM中,sin∠AMO=,∴∠AMO=60°.
∴封闭图形PABD的面积=
19．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．
（1）求∠ACB的大小；
（2）写出A，B两点的坐标；
（3）试确定此抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
19．解： （1）作CH⊥x轴，H为垂足．
∵ CH=1，半径CB=2，
∴ ∠HBC=30°．
∴ ∠BCH=60°．
∴ ∠ACB=120°．
（2）∵ CH=1，半径CB=2，
∴ ，故， ．
（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点的坐标为（1，3）．
设抛物线解析式为，把点代入解析式，
解得．所以．
（4）假设存在点使线段与互相平分，则四边形是平行四边形．
所以，且．
∵ 轴，∴ 点在轴上．
∵ ，∴ ，即．
∵ 满足，
∴ 点在抛物线上．
∴ 存在使线段与互相平分．
20．（以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题）如图，半径为1的⊙与轴交于两点，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点，其顶点为．
（1）求的值及二次函数顶点的坐标；
（2）将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，设平移后图象的顶点为，在经过点和点的直线上是否存在一点，使的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
20.解：（1）由题意得，(1 , 0) , (3 , 0) .
则有 解得
∴二次函数的解析式为．∴顶点的坐标为（2，1）．
（2）将平移后的抛物线解析式为，其顶点为(0,0).
∵直线经过点（3，0）和点（0，- 3），∴直线的解析式为．
作点关于直线的对称点，连接、，
∴⊥直线，设垂足为，则有，
由题意可知，, ，
∴， ． ∴.
过点作的垂线，垂足为,∴四边形为矩形．
． ∴ ．
∴直线的解析式为 .
的解为 ∴直线与直线的交点为点
五、以圆为背景的探究性问题
21．下图中, 图(1)是一个扇形OAB，将其作如下划分：
第一次划分： 如图(2)所示，以OA的一半OA1的长为半径画弧交OA于点A1，交OB于点B1，再作∠AOB的平分线，交于点C，交于点C1， 得到扇形的总数为6个，分别为： 扇形OAB、扇形OAC、扇形OCB、扇形OA1B1、扇形OA1C1、扇形OC1B1；
第二次划分： 如图(3)所示，在扇形OC1B1中， 按上述划分方式继续划分， 即以OC1的一半OA2的长为半径画弧交OC1于点A2，交OB1于点B2，再作∠B1OC1的平分线，交于点D1，交于点D2，可以得到扇形的总数为11个；
第三次划分： 如图(4)所示，按上述划分方式继续划分；
……
依次划分下去.
(1) 根据题意, 完成右边的表格；
(2) 根据右边的表格, 请你判断按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为2008个? 为什么?
(3) 若图(1)中的扇形的圆心角∠AOB=m°，且扇形的半径OA的长为R．我们把图(2)第一次划分的图形中，扇形（或扇形）称为第一次划分的最小扇形，其面积记为S1；把图(3)第二次划分的最小扇形面积记为S2；……，把第n次划分的最小扇形面积记为Sn..求的值.
21．解：（1）
划分次数
扇形总个数
1
6
2
11
3
16
4
21
…
…
n
5n+1
（2）不能得到2008个扇形，因为满足5n+1=2008的正整数n不存在；
（3）．
22．圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作（如图①）；
圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，
记作（如图①）请回答下列问题：
（1）如图②，猜测并说明理由；
（2）如图③，猜测并说明理由.
图③
（提示：“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）
图①
图②
22．（1） 理由如下：
图②
E
F
M
N
过O点分别作
图③
N
M
E
F
=
（2）， 理由如下：
过O点分别作
=
23．已知：半径为R的⊙经过半径为r的⊙O圆心，⊙与⊙O交于M、N两点．
（1）如图1，连接O交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交⊙于点A、B，求的值；
（2）若点C为⊙O上一动点.
①当点C运动到⊙内时，如图2，过点C作⊙O的切线交⊙于A、B两点．请你探索的值与（1）中的结论相比较有无变化？并说明你的理由；
②当点运动到⊙外时，过点C作⊙O的切线，若能交⊙于A、B两点．请你在图3中画出符合题意的图形，并探索的值（只写出的值，不必证明）．
23．解：（1）如图1，延长OO′交⊙O于点D，连接AD．
∵ OD是⊙O′的直径， ∴ ∠DAO=90°．
∵ AB与⊙O相切于点C， ∴OC⊥AB．
∴ ∠BCO=∠DAO=90°．
又 ∠B=∠D， ∴ △BOC∽△DOA．
∴ ． ∴ OA•OB=OC•OD=2Rr．
即OA•OB=2Rr．
（2）①答：OA•OB=2Rr不变．
理由：如图2，作⊙O′的直径OD，连接AD、OC，
∴ ∠DAO=90°．
∵ AB与⊙O相切于点C， ∴ ∠BCO=90°．
∴ ∠BCO=∠DAO． 又 ∠B=∠D，
∴ △BCO∽△DAO． ∴ ．
∴ OA•OB= OC•OD =2Rr．
②答：OA•OB=2Rr不变．
画图如图3．
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