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2022-2023学年辽宁省锦州市八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年辽宁省锦州市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省锦州市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四种标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 若x>y，则下列不等式成立的是( )
A. x−3−2y
C. x2>y2 D. −x+2>−y+2
3. 要使分式xx−2023有意义，则x的取值应满足( )
A. x=2023 B. x>2023 C. x<2023 D. x≠2023
4. 下列因式分解正确的是( )
A. x2+9=(x+3)2 B. a2+2a+4=(a+2)2
C. a3−4a2=a2(a−4) D. 1−4x2=(1+4x)(1−x)
5. 如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，∠DAE=30°，则∠B等于( )
A. 30°
B. 40°
C. 45°
D. 60°
6. 如图，桌面上有一把直尺和一个透明的学具△ABC，其中∠ABC=90°，AB=6cm，AC=10cm，学具△ABC放置在直尺的一侧，AB边与直尺的边缘重合，点A对应直尺的刻度为2cm.现将学具△ABC沿直尺边缘平移到△A′BC′所在位置，点A′对应直尺的刻度为17cm，连接CC′，则边AC扫过的面积为( )
A. 120cm2 B. 102cm2 C. 90cm2 D. 72cm2
7. 牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一，我们用反证法证明命题“三角形中不能两个直角”，应先假设( )
A. 三角形中有一个内角是直角 B. 三角形中有两个内角是直角
C. 三角形中有三个内角是直角 D. 三角形中不能有内角是直角
8. 小明在化简分式3nm−2n+2m−n2n−m的过程中，因为其中一个步骤的错误，导致化简结果是错误的，小明开始出现错误的那一步是( )
原式=3n−(2m−n)m−2n…①
=4n−2mm−2n…②
=2(2n−m)m−2n…③
=2…④
A. ① B. ② C. ③ D. ④
9. 如图，下列四种用无刻度直尺和圆规作角平分线的方法，其中不正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠ABC=2∠DAC，若AB=6，AC=4，则CD的长为( )
A. 34
B. 43
C. 2 53
D. 2
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
11. 多项式3x2y3z−9x3y3z各项的公因式是______ ．
12. 如图，这是在数轴上分别表示的一个不等式组中两个不等式的解集，则这个不等式组的解集是______ ．
13. 如图，直线y=2x−1与直线y=kx+b(k<0)相交于点P(2,3)，根据图象可知，关于x的等式2x−1>kx+b的解集是______ ．
14. 一个正多边形的一个内角比它的外角的2倍多60°，则它的边数是______．
15. 关于x的方程3x−2x+1=mx+1+1无解，则m的值为______ ．
16. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ACD=30°，AC=4，过点C作∠CAB的平分线的垂线，垂足为点E，若点O在AE的垂直平分线上，P是直线AB上的动点，则OP+PE的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解不等式组：12(x+4)≤2x−3(x−1)>5．
18. (本小题6.0分)
解分式方程：1x−3+3=x3−x．
19. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(3x+4x2−1−2x−1)÷x+2x2−2x+1，其中x=3．
20. (本小题7.0分)
如图，在平面直角坐标系中，已知A(1,4)，B(3,1)，C(5,2)．
(1)画出将△ABC沿着x轴的反方向平移6个单位得到的△A1B1C1；
(2)画出将△ABC绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
(3)画出的△A1B1C1和△A2B2C2是中心对称图形吗？如果是，请写出对称中心的坐标，如果不是，请说明理由．
21. (本小题7.0分)
数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释.如图1，有足够多的A，B，C三种纸片：A种是边长为m的正方形，B种是边长为n的正方形，C种是宽为m，长为n的长方形.用A种纸片1张，B种纸片1张，C种纸片2张可以拼出(不重不漏)如图2所示的正方形.根据正方形的面积，可以用来解释整式乘法(m+n)(m+n)=m2+2mn+n2，反过来也可以解释多项式m2+2mn+n2，因式分解的结果为m2+2mn+n2=(m+n)2，依据上述积累的数与形对应关系的经验，解答下列问题：
(1)若多项式m2+2n2+3mn表示分别由1，2，3张A，B，C三种纸片拼出如图3所示的大长方形的面积，请根据图形求出这个长方形的长和宽，并对多项式m2+3mn+2n2进行因式分解；
(2)我们可以借助图3再拼出一个更大的长方形，使该长方形刚好由3张A种纸片，2张B种纸片，7张C种纸片拼成，那么这个长方形的面积可以表示为多项式______ ，据此可得到该多项式因式分解的结果为______ ．
22. (本小题8.0分)
为了改善锦州的交通状况，政府投资修建北外环公路.某筑路工程公司中标了一段3000m公路的路基工程，计划在规定时间完成.为了向“七，一”献礼，公司决定加快工程进度实际平均每天完成的工程量是原计划的1.2倍，结果提前10天完成任务，那么该筑路工程公司实际每天完成路基多少米？(要求用方程求解)
23. (本小题8.0分)
为了美化校园环境，某校计划在花卉批发市场购买月季和芍药两种花苗栽种在校园内.已知每株月季花苗比每株芍药花苗少2元，用125元购买月季花苗的株数与用175元购买芍药花苗的株数相同．
(1)求每株月季花苗和每株芍药花苗分别多少元；
(2)该校决定购买月季和芍药两种花苗共400株，总费用不超过2350元，那么最少能购买多少株月季花苗？(要求(1)(2)用方程或不等式求解)
24. (本小题8.0分)
【问题情境】：一副三角尺ABC和DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠A=45°，∠E=30°，在数学课上，同学们用这样的一副三角尺进行摆放，将三角尺DEF的直角顶点D放在三角尺ABC内部，直角边DE与CA交于点G，直角边DF与CB交于点H．
【实验探究】：
(1)如图1，勤学小组的同学发现任意改变三角尺DEF的位置，∠CGD+∠CHD的度数都为180°，请说明理由；
(2)如图2，善思小组的同学改变三角尺DEF的位置，将直角顶点D放在∠ACB的平分线上，测量发现DG=DH，请证明此结论．
25. (本小题12.0分)
已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接CE，EF．
(1)如图1，求证：①△ADB≌△AEC；
②四边形BCEF是平行四边形；
(2)如图2，M，N分别是BC，BE的中点，若△ADE的顶点E在AB边上，AB=6，AD=2，求MN的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选：B．
2.【答案】C
【解析】解：∵x>y，
∴x−3>y−3，
∴选项A不符合题意；
∵x>y，
∴−2x<−2y，
∴选项B不符合题意；
∵x>y，
∴x2>y2，
∴选项C符合题意；
∵x>y，
∴−x<−y，
∴−x+2<−y+2，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
根据x>y，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】D
【解析】解：要使分式xx−2023有意义，则x−2023≠0，
解得：x≠2023．
故选：D．
根据分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：A.x2+9≠x2+6x+9=(x+3)2，故选项A分解错误；
B.a2+2a+4≠a2+4a+4=(x+2)2，故选项B解错误；
C.a3−4a2=a2(a−4)，故选项C分解正确；
D.1−4x2=(1+2x)(1−2x)≠(1+4x)(1−4x)，故选项D分解错误．
故选：C．
利用提公因式法、公式法逐个分解得结论．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠D+∠DAE=90°，
∵∠DAE=30°，
∴∠D=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=60°，
故选：D．
根据直角三角形的性质可求得∠D的度数，再根据平行四边形的对角相等求解即可．
此题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．注意掌握平行四边形的对角相等定理的应用是解此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：如图，过点A作AM⊥A′C′，垂足为M，
在Rt△ABC，AB=6cm，AC=10cm，
∴BC= AC2−AB2= 102−62=8(cm)，
由平移的性质可知，AC=A′C′=10，AA′=BB′=12−3=9(cm)，
∵∠A′=∠A′，∠AMA′=∠A′B′C′=90°，
∴△AMA′∽△C′B′A′，
∴AMB′C′=AA′A′C′，
即AM8=910，
∴AM=7.2cm，
∴S平行四边形AA′C′C=AC⋅AM=72(cm2)，
故选：D．
求出平行四边形的高，根据平行四边形面积计算方法．
本题考查勾股定理的应用，平移的性质，掌握平移的性质是正确解答的前提．
7.【答案】B
【解析】解：用反证法证明：“三角形中不能两个直角”时，
第一步先假设三角形中有两个内角是直角，
故选：B．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．
8.【答案】D
【解析】解：原式=3n−(2m−n)m−2n
=4n−2mm−2n
=2(2n−m)m−2n
=−2，
∴小明开始出现错误的那一步是第④步，
故选：D．
根据分式的加法法则计算，判断即可．
本题考查的是分式的化简，掌握分式的加减混合运算法则是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：第1个图作了平行四边形，平行四边形的对角线不一定平分内角，所以第1个图符合题意；
第2个图可证明三角形全等得到角平分线，所以第2个图不符合题意；
第3个图可两次证明三角形全等得到角平分线，所以第3个图不符合题意；
第4个图可根据等腰三角形的性质得到角平分线，所以第4个图不符合题意．
故选：A．
利用作图痕迹，第1个图作了平行四边形，则根据平行四边形的对角线不一定平分内角可对第1个图进行判断；通过全等三角形的判定与性质可对第2个图和第3个图进行判断；根据等腰三角形的性质可对第4个图进行判断．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质．
10.【答案】B
【解析】解：如图，延长CB到E，使得BE=BA．
∵BE=AB，
∴∠E=∠BAE，
∵∠ABC=∠E+∠BAE，
∴∠ABC=2∠E，
∵∠ABC=2∠DAC，
∴∠DAC=∠E，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CEA，
∴∠CDA=∠CAE=90°，
∴∠E+∠C=90°，∠BAE+∠BAC=90°，
∴∠C=∠BAC，
∴AB=BC=BE=6，
∵CACE=CDCA，即412=CD4，
∴CD=1612=43．
故选：B．
延长CB到E，使得BE=AB.证明△CAD∽△CEA，推出∠CDA=∠CAE=90°，再证明AB=BC=BE=m，利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】3x2y3z
【解析】解：3x2y3z−9x3y3z
=3x2y3z−3x2y3z⋅3x，
故答案为：3x2y3z.
根据公因式的定义即可得出答案．
本题考查了公因式，掌握多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式是解题的关键．
12.【答案】−1
本题考查数轴表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式组解集的方法是正确解答的前提．
13.【答案】x>2
【解析】解：根据图象可得：不等式2x−1>kx+b的解集为：x>2，
故答案为：x>2．
以两函数图象交点为分界，直线y=kx+b(k≠0)在直线y=2x−1的下方时，x>2．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．
14.【答案】9
【解析】解：设这个正多边形的外角度数为x度，
则2x+60+x=180，
解得：x=40，
即这个正多边形的外角度数为40°，
∴它的边数为360°÷40°=9，
故答案为：9．
设这个正多边形的外角度数为x度，根据“一个内角比它的外角的2倍多60°”建立方程求出x，再用360度除以x即可得．
本题主要考查多边形的内角与外角，解题的关键是掌握多边形的内角和、外角和定理等性质．
15.【答案】−5
【解析】解：关于x的分式方程3x−2x+1=mx+1+1化为整式方程为3x−2=m+x+1，
解得x=m+32，
由于原方程无解，即分式方程有增根x=−1，
当x=−1时，m=−5，
故答案为：−5．
先将关于x的分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，几何分式方程的增根进行解答即可．
本题考查分式方程的解以及解分式方程，理解分式方程增根的意义是正确解答的前提．
16.【答案】2 2
【解析】解：作点O关于直线AB的对称点O′，连接OO′，AO′，O′P，O′E，OH，
∴OP=O′P，
∴OP+PE=O′P+PE≥O′E，
∴OP+PE的最小值O′E的长；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=4，
∴AB//DC，AO=OC=2，
∵∠ACD=30°，
∴∠BAC=30°，
由点O和点O′关于直线AB的对称，
知AO′=AO，∠O′AB=∠BAC=30°，
∴∠OAO′=60°，
∴△AOO′为等边三角形，
∴OO′=AO=2，∴∠AOO′=60°，
∵CE⊥AH，AO=OC，
∴OE=AO=OC=2，
∵AH是∠CAB的平分线，∠CAB=30°，
∴∠OAE=15°，
∴∠OEA=15°，
∴∠OCE=∠OAE+∠OEA=15°+15°=30°，
∴∠O′OE=90°，
在Rt△O′EO中，
O′E= O′O2+OE2= 22+22=2 2，
∴OP+PE的最小值为：2 2，
故答案为：2 2．
作点O关于直线AB的对称点O′，连接OO′，AO′，O′P，O′E，OH，判断出OP+PE的最小值为线段O′E的长，以及△O′EO是Rt△，再利用勾股定理求出O′E的长即可．
本题考查轴对称−最短路线问题，平行四边形的性质，等边三角形的判定，直角三角形的判定，勾股定理，能将两线段和的最小值转化为一条线段的长是解题的关键．
17.【答案】解：12(x+4)≤2①x−3(x−1)>5②，
由①得，x≤0，
由②得，x<−1，
所以，不等式组的解集是x<−1．
【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
18.【答案】解：去分母得：1+3x−9=−x，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19.【答案】解：原式=3x+4−2x−2(x+1)(x−1)÷x+2(x−1)2
=x+2(x+1)(x−1)×(x−1)2x+2
=x−1x+1，
当x=3时，原式=3−13+1=12．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示：△A2B2C2即为所求，
点B2的坐标为：(−3,−1)；
(3)△A1B1C1和△A2B2C2是中心对称图形，对称中心的坐标为(−3,0)．
【解析】(1)利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案；
(2)利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
(3)连接对应点即可求得．
本题考查了根据旋转变换和平移变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点．
21.【答案】3m2+7mn+2n2 (m+2n)(3m+n)
【解析】解：(1)根据图形可知这个长方形的长是m+2n，宽是m+n，
∴m2+3mn+2n2=(m+2n)(m+n)；
(2)根据长方形刚好由3张A种纸片，2张B种纸片，7张C种纸片拼成，
则这个长方形的面积可以表示为多项式3m2+7mn+2n2，
∴3m2+7mn+2n2=(m+2n)(3m+n)，
故答案为：3m2+7mn+2n2，(m+2n)(3m+n)．
(1)根据A，B，C三种纸片的边长即可求出图2中长方形的长和宽，根据长方形的面积等于长乘宽即可进行因式分解；
(2)根据长方形由3张A种纸片，2张B种纸片，7张C种纸片拼成，即可求出这个长方形的面积，然后进行因式分解即可．
本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，利用数形结合思想与长方形的面积解答是解题的关键．
22.【答案】解：设该筑路工程公司实际每天完成路基x米，
由题意得：3000x1.2−3000x=10，
解得x=60，
经检验：x=60是分式方程的解，
答：设该筑路工程公司实际每天完成路基60米．
【解析】设该筑路工程公司实际每天完成路基x米，由实际天数−原计划天数=10列方程，解方程可求解．
本题主要考查分式方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设每株月季花苗x元，则每株芍药花苗(x+2)元，
由题意可得：125x=175x+2，
解得：x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解，且符合题意；
∴x+2=7元，
答：每株月季花苗5元，每株芍药花苗7元；
(2)设月季花苗a株，则芍药花苗(400−a)株，
由题意可得：5a+7(400−a)≤2350，
∴a≥225，
答：最少能购买225株月季花苗．
【解析】(1)设每株月季花苗x元，则每株芍药花苗(x+2)元，由用125元购买月季花苗的株数与用175元购买芍药花苗的株数相同，列出方程可求解；
(2)设月季花苗a株，则芍药花苗(400−a)株，由总费用不超过2350元，列出不等式，即可求解．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系的解题的关键．
24.【答案】解：(1)∠CGD+∠CHD=180°，理由如下：
∵∠ACB=∠EDF=90°，
∴∠ACB+∠EDF=90°+90°=180°，
∴∠CGD+∠CHD=360°−180°=180°；
(2)过点D作DQ⊥AC，DR⊥BC于点Q，R，
∵CD平分∠ACB，
∴DQ=DR，∠DQC=∠DRC=90°，
∵∠QCR=90°，
∴∠DQC=∠DRC=∠QCR=90°，
∴四边形QCRD是矩形，
∵DQ=DR，
∴四边形QCRD是正方形，
∴∠QDR=∠GDH=90°，
∴∠GDQ=90°−∠QDH=∠HDR，
在△GDQ和△HDR中，
∠GDQ=∠HDRDQ=DR∠DQG=∠DRH=90°，
∴△GDQ≌△HDR(ASA)，
∴DG=DH．
【解析】(1)根据四边形内角和等于360°即可解决问题；
(2)过点D作DQ⊥AC，DR⊥BC于点Q，R，根据角平分线的性质可得DQ=DR，然后证明△GDQ≌△HDR即可解决问题．
本题考查了全等三角形的应用，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质等知识．解决本题的关键是得到△GDQ≌△HDR．
25.【答案】(1)证明：①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE=60°−∠BAE，
∴△ADB≌△AEC(SAS)；
②如图1，连接DF，
由旋转得BD=BF，∠FBD=60°，
∴△BFD是等边三角形，
∴BD=FD，∠FDB=60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=ED=AE，∠EDA=∠DAE=60°，
∴∠ADB=∠EDF=60°+∠BDE，
∴△ADB≌△EDF(SAS)，
∴AB=EF，
由①△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
∴BF=CE，
∴四边形BDEF是平行四边形；
(2)解：如图2，取AB的中点H，连接CH，
∵AC=AB=6，AE=AD=2，
∴BE=AB−AE=4，AH=BH=12AB=3，
∴EH=AH−AE=3−2=1，
∵△ABC是等边三角形，H是AB的中点，
∴CH⊥AB，
∴∠CHE=90°，∠ACH=12∠ACB=30°，
∴CH= 3AH=3 3，
∴CE= CH2+EH2= 27+1=2 7，
∵M、N分别为BE、BC的中点，
∴MN=12CE= 7，
∴线段MN的长度为 7．
【解析】(1)①根据等边三角形的性质，利用SAS即可证明△BAD≌△CAE；
②连接DF，先根据旋转的性质证明△BFD是等边三角形，再证明△ADB≌△EDF，得AB=EF=BC，由①得△BAD≌△CAE，得CE=BE=BF，即可证明四边形BCEF是平行四边形；
(2)取AB的中点H，连接CH，根据三角形的中位线定理和勾股定理求出CE的长，再根据三角形的中位线定理求出MN的长即可．
此题是四边形综合题，考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形的中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
2022-2023学年辽宁省锦州市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四种标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 若x>y，则下列不等式成立的是( )
A. x−3
C. x2>y2 D. −x+2>−y+2
3. 要使分式xx−2023有意义，则x的取值应满足( )
A. x=2023 B. x>2023 C. x<2023 D. x≠2023
4. 下列因式分解正确的是( )
A. x2+9=(x+3)2 B. a2+2a+4=(a+2)2
C. a3−4a2=a2(a−4) D. 1−4x2=(1+4x)(1−x)
5. 如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，∠DAE=30°，则∠B等于( )
A. 30°
B. 40°
C. 45°
D. 60°
6. 如图，桌面上有一把直尺和一个透明的学具△ABC，其中∠ABC=90°，AB=6cm，AC=10cm，学具△ABC放置在直尺的一侧，AB边与直尺的边缘重合，点A对应直尺的刻度为2cm.现将学具△ABC沿直尺边缘平移到△A′BC′所在位置，点A′对应直尺的刻度为17cm，连接CC′，则边AC扫过的面积为( )
A. 120cm2 B. 102cm2 C. 90cm2 D. 72cm2
7. 牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一，我们用反证法证明命题“三角形中不能两个直角”，应先假设( )
A. 三角形中有一个内角是直角 B. 三角形中有两个内角是直角
C. 三角形中有三个内角是直角 D. 三角形中不能有内角是直角
8. 小明在化简分式3nm−2n+2m−n2n−m的过程中，因为其中一个步骤的错误，导致化简结果是错误的，小明开始出现错误的那一步是( )
原式=3n−(2m−n)m−2n…①
=4n−2mm−2n…②
=2(2n−m)m−2n…③
=2…④
A. ① B. ② C. ③ D. ④
9. 如图，下列四种用无刻度直尺和圆规作角平分线的方法，其中不正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠ABC=2∠DAC，若AB=6，AC=4，则CD的长为( )
A. 34
B. 43
C. 2 53
D. 2
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
11. 多项式3x2y3z−9x3y3z各项的公因式是______ ．
12. 如图，这是在数轴上分别表示的一个不等式组中两个不等式的解集，则这个不等式组的解集是______ ．
13. 如图，直线y=2x−1与直线y=kx+b(k<0)相交于点P(2,3)，根据图象可知，关于x的等式2x−1>kx+b的解集是______ ．
14. 一个正多边形的一个内角比它的外角的2倍多60°，则它的边数是______．
15. 关于x的方程3x−2x+1=mx+1+1无解，则m的值为______ ．
16. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ACD=30°，AC=4，过点C作∠CAB的平分线的垂线，垂足为点E，若点O在AE的垂直平分线上，P是直线AB上的动点，则OP+PE的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解不等式组：12(x+4)≤2x−3(x−1)>5．
18. (本小题6.0分)
解分式方程：1x−3+3=x3−x．
19. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(3x+4x2−1−2x−1)÷x+2x2−2x+1，其中x=3．
20. (本小题7.0分)
如图，在平面直角坐标系中，已知A(1,4)，B(3,1)，C(5,2)．
(1)画出将△ABC沿着x轴的反方向平移6个单位得到的△A1B1C1；
(2)画出将△ABC绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
(3)画出的△A1B1C1和△A2B2C2是中心对称图形吗？如果是，请写出对称中心的坐标，如果不是，请说明理由．
21. (本小题7.0分)
数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释.如图1，有足够多的A，B，C三种纸片：A种是边长为m的正方形，B种是边长为n的正方形，C种是宽为m，长为n的长方形.用A种纸片1张，B种纸片1张，C种纸片2张可以拼出(不重不漏)如图2所示的正方形.根据正方形的面积，可以用来解释整式乘法(m+n)(m+n)=m2+2mn+n2，反过来也可以解释多项式m2+2mn+n2，因式分解的结果为m2+2mn+n2=(m+n)2，依据上述积累的数与形对应关系的经验，解答下列问题：
(1)若多项式m2+2n2+3mn表示分别由1，2，3张A，B，C三种纸片拼出如图3所示的大长方形的面积，请根据图形求出这个长方形的长和宽，并对多项式m2+3mn+2n2进行因式分解；
(2)我们可以借助图3再拼出一个更大的长方形，使该长方形刚好由3张A种纸片，2张B种纸片，7张C种纸片拼成，那么这个长方形的面积可以表示为多项式______ ，据此可得到该多项式因式分解的结果为______ ．
22. (本小题8.0分)
为了改善锦州的交通状况，政府投资修建北外环公路.某筑路工程公司中标了一段3000m公路的路基工程，计划在规定时间完成.为了向“七，一”献礼，公司决定加快工程进度实际平均每天完成的工程量是原计划的1.2倍，结果提前10天完成任务，那么该筑路工程公司实际每天完成路基多少米？(要求用方程求解)
23. (本小题8.0分)
为了美化校园环境，某校计划在花卉批发市场购买月季和芍药两种花苗栽种在校园内.已知每株月季花苗比每株芍药花苗少2元，用125元购买月季花苗的株数与用175元购买芍药花苗的株数相同．
(1)求每株月季花苗和每株芍药花苗分别多少元；
(2)该校决定购买月季和芍药两种花苗共400株，总费用不超过2350元，那么最少能购买多少株月季花苗？(要求(1)(2)用方程或不等式求解)
24. (本小题8.0分)
【问题情境】：一副三角尺ABC和DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠A=45°，∠E=30°，在数学课上，同学们用这样的一副三角尺进行摆放，将三角尺DEF的直角顶点D放在三角尺ABC内部，直角边DE与CA交于点G，直角边DF与CB交于点H．
【实验探究】：
(1)如图1，勤学小组的同学发现任意改变三角尺DEF的位置，∠CGD+∠CHD的度数都为180°，请说明理由；
(2)如图2，善思小组的同学改变三角尺DEF的位置，将直角顶点D放在∠ACB的平分线上，测量发现DG=DH，请证明此结论．
25. (本小题12.0分)
已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接CE，EF．
(1)如图1，求证：①△ADB≌△AEC；
②四边形BCEF是平行四边形；
(2)如图2，M，N分别是BC，BE的中点，若△ADE的顶点E在AB边上，AB=6，AD=2，求MN的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选：B．
2.【答案】C
【解析】解：∵x>y，
∴x−3>y−3，
∴选项A不符合题意；
∵x>y，
∴−2x<−2y，
∴选项B不符合题意；
∵x>y，
∴x2>y2，
∴选项C符合题意；
∵x>y，
∴−x<−y，
∴−x+2<−y+2，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
根据x>y，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】D
【解析】解：要使分式xx−2023有意义，则x−2023≠0，
解得：x≠2023．
故选：D．
根据分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：A.x2+9≠x2+6x+9=(x+3)2，故选项A分解错误；
B.a2+2a+4≠a2+4a+4=(x+2)2，故选项B解错误；
C.a3−4a2=a2(a−4)，故选项C分解正确；
D.1−4x2=(1+2x)(1−2x)≠(1+4x)(1−4x)，故选项D分解错误．
故选：C．
利用提公因式法、公式法逐个分解得结论．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠D+∠DAE=90°，
∵∠DAE=30°，
∴∠D=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=60°，
故选：D．
根据直角三角形的性质可求得∠D的度数，再根据平行四边形的对角相等求解即可．
此题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．注意掌握平行四边形的对角相等定理的应用是解此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：如图，过点A作AM⊥A′C′，垂足为M，
在Rt△ABC，AB=6cm，AC=10cm，
∴BC= AC2−AB2= 102−62=8(cm)，
由平移的性质可知，AC=A′C′=10，AA′=BB′=12−3=9(cm)，
∵∠A′=∠A′，∠AMA′=∠A′B′C′=90°，
∴△AMA′∽△C′B′A′，
∴AMB′C′=AA′A′C′，
即AM8=910，
∴AM=7.2cm，
∴S平行四边形AA′C′C=AC⋅AM=72(cm2)，
故选：D．
求出平行四边形的高，根据平行四边形面积计算方法．
本题考查勾股定理的应用，平移的性质，掌握平移的性质是正确解答的前提．
7.【答案】B
【解析】解：用反证法证明：“三角形中不能两个直角”时，
第一步先假设三角形中有两个内角是直角，
故选：B．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．
8.【答案】D
【解析】解：原式=3n−(2m−n)m−2n
=4n−2mm−2n
=2(2n−m)m−2n
=−2，
∴小明开始出现错误的那一步是第④步，
故选：D．
根据分式的加法法则计算，判断即可．
本题考查的是分式的化简，掌握分式的加减混合运算法则是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：第1个图作了平行四边形，平行四边形的对角线不一定平分内角，所以第1个图符合题意；
第2个图可证明三角形全等得到角平分线，所以第2个图不符合题意；
第3个图可两次证明三角形全等得到角平分线，所以第3个图不符合题意；
第4个图可根据等腰三角形的性质得到角平分线，所以第4个图不符合题意．
故选：A．
利用作图痕迹，第1个图作了平行四边形，则根据平行四边形的对角线不一定平分内角可对第1个图进行判断；通过全等三角形的判定与性质可对第2个图和第3个图进行判断；根据等腰三角形的性质可对第4个图进行判断．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质．
10.【答案】B
【解析】解：如图，延长CB到E，使得BE=BA．
∵BE=AB，
∴∠E=∠BAE，
∵∠ABC=∠E+∠BAE，
∴∠ABC=2∠E，
∵∠ABC=2∠DAC，
∴∠DAC=∠E，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CEA，
∴∠CDA=∠CAE=90°，
∴∠E+∠C=90°，∠BAE+∠BAC=90°，
∴∠C=∠BAC，
∴AB=BC=BE=6，
∵CACE=CDCA，即412=CD4，
∴CD=1612=43．
故选：B．
延长CB到E，使得BE=AB.证明△CAD∽△CEA，推出∠CDA=∠CAE=90°，再证明AB=BC=BE=m，利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】3x2y3z
【解析】解：3x2y3z−9x3y3z
=3x2y3z−3x2y3z⋅3x，
故答案为：3x2y3z.
根据公因式的定义即可得出答案．
本题考查了公因式，掌握多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式是解题的关键．
12.【答案】−1
本题考查数轴表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式组解集的方法是正确解答的前提．
13.【答案】x>2
【解析】解：根据图象可得：不等式2x−1>kx+b的解集为：x>2，
故答案为：x>2．
以两函数图象交点为分界，直线y=kx+b(k≠0)在直线y=2x−1的下方时，x>2．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．
14.【答案】9
【解析】解：设这个正多边形的外角度数为x度，
则2x+60+x=180，
解得：x=40，
即这个正多边形的外角度数为40°，
∴它的边数为360°÷40°=9，
故答案为：9．
设这个正多边形的外角度数为x度，根据“一个内角比它的外角的2倍多60°”建立方程求出x，再用360度除以x即可得．
本题主要考查多边形的内角与外角，解题的关键是掌握多边形的内角和、外角和定理等性质．
15.【答案】−5
【解析】解：关于x的分式方程3x−2x+1=mx+1+1化为整式方程为3x−2=m+x+1，
解得x=m+32，
由于原方程无解，即分式方程有增根x=−1，
当x=−1时，m=−5，
故答案为：−5．
先将关于x的分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，几何分式方程的增根进行解答即可．
本题考查分式方程的解以及解分式方程，理解分式方程增根的意义是正确解答的前提．
16.【答案】2 2
【解析】解：作点O关于直线AB的对称点O′，连接OO′，AO′，O′P，O′E，OH，
∴OP=O′P，
∴OP+PE=O′P+PE≥O′E，
∴OP+PE的最小值O′E的长；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=4，
∴AB//DC，AO=OC=2，
∵∠ACD=30°，
∴∠BAC=30°，
由点O和点O′关于直线AB的对称，
知AO′=AO，∠O′AB=∠BAC=30°，
∴∠OAO′=60°，
∴△AOO′为等边三角形，
∴OO′=AO=2，∴∠AOO′=60°，
∵CE⊥AH，AO=OC，
∴OE=AO=OC=2，
∵AH是∠CAB的平分线，∠CAB=30°，
∴∠OAE=15°，
∴∠OEA=15°，
∴∠OCE=∠OAE+∠OEA=15°+15°=30°，
∴∠O′OE=90°，
在Rt△O′EO中，
O′E= O′O2+OE2= 22+22=2 2，
∴OP+PE的最小值为：2 2，
故答案为：2 2．
作点O关于直线AB的对称点O′，连接OO′，AO′，O′P，O′E，OH，判断出OP+PE的最小值为线段O′E的长，以及△O′EO是Rt△，再利用勾股定理求出O′E的长即可．
本题考查轴对称−最短路线问题，平行四边形的性质，等边三角形的判定，直角三角形的判定，勾股定理，能将两线段和的最小值转化为一条线段的长是解题的关键．
17.【答案】解：12(x+4)≤2①x−3(x−1)>5②，
由①得，x≤0，
由②得，x<−1，
所以，不等式组的解集是x<−1．
【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
18.【答案】解：去分母得：1+3x−9=−x，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19.【答案】解：原式=3x+4−2x−2(x+1)(x−1)÷x+2(x−1)2
=x+2(x+1)(x−1)×(x−1)2x+2
=x−1x+1，
当x=3时，原式=3−13+1=12．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示：△A2B2C2即为所求，
点B2的坐标为：(−3,−1)；
(3)△A1B1C1和△A2B2C2是中心对称图形，对称中心的坐标为(−3,0)．
【解析】(1)利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案；
(2)利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
(3)连接对应点即可求得．
本题考查了根据旋转变换和平移变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点．
21.【答案】3m2+7mn+2n2 (m+2n)(3m+n)
【解析】解：(1)根据图形可知这个长方形的长是m+2n，宽是m+n，
∴m2+3mn+2n2=(m+2n)(m+n)；
(2)根据长方形刚好由3张A种纸片，2张B种纸片，7张C种纸片拼成，
则这个长方形的面积可以表示为多项式3m2+7mn+2n2，
∴3m2+7mn+2n2=(m+2n)(3m+n)，
故答案为：3m2+7mn+2n2，(m+2n)(3m+n)．
(1)根据A，B，C三种纸片的边长即可求出图2中长方形的长和宽，根据长方形的面积等于长乘宽即可进行因式分解；
(2)根据长方形由3张A种纸片，2张B种纸片，7张C种纸片拼成，即可求出这个长方形的面积，然后进行因式分解即可．
本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，利用数形结合思想与长方形的面积解答是解题的关键．
22.【答案】解：设该筑路工程公司实际每天完成路基x米，
由题意得：3000x1.2−3000x=10，
解得x=60，
经检验：x=60是分式方程的解，
答：设该筑路工程公司实际每天完成路基60米．
【解析】设该筑路工程公司实际每天完成路基x米，由实际天数−原计划天数=10列方程，解方程可求解．
本题主要考查分式方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设每株月季花苗x元，则每株芍药花苗(x+2)元，
由题意可得：125x=175x+2，
解得：x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解，且符合题意；
∴x+2=7元，
答：每株月季花苗5元，每株芍药花苗7元；
(2)设月季花苗a株，则芍药花苗(400−a)株，
由题意可得：5a+7(400−a)≤2350，
∴a≥225，
答：最少能购买225株月季花苗．
【解析】(1)设每株月季花苗x元，则每株芍药花苗(x+2)元，由用125元购买月季花苗的株数与用175元购买芍药花苗的株数相同，列出方程可求解；
(2)设月季花苗a株，则芍药花苗(400−a)株，由总费用不超过2350元，列出不等式，即可求解．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系的解题的关键．
24.【答案】解：(1)∠CGD+∠CHD=180°，理由如下：
∵∠ACB=∠EDF=90°，
∴∠ACB+∠EDF=90°+90°=180°，
∴∠CGD+∠CHD=360°−180°=180°；
(2)过点D作DQ⊥AC，DR⊥BC于点Q，R，
∵CD平分∠ACB，
∴DQ=DR，∠DQC=∠DRC=90°，
∵∠QCR=90°，
∴∠DQC=∠DRC=∠QCR=90°，
∴四边形QCRD是矩形，
∵DQ=DR，
∴四边形QCRD是正方形，
∴∠QDR=∠GDH=90°，
∴∠GDQ=90°−∠QDH=∠HDR，
在△GDQ和△HDR中，
∠GDQ=∠HDRDQ=DR∠DQG=∠DRH=90°，
∴△GDQ≌△HDR(ASA)，
∴DG=DH．
【解析】(1)根据四边形内角和等于360°即可解决问题；
(2)过点D作DQ⊥AC，DR⊥BC于点Q，R，根据角平分线的性质可得DQ=DR，然后证明△GDQ≌△HDR即可解决问题．
本题考查了全等三角形的应用，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质等知识．解决本题的关键是得到△GDQ≌△HDR．
25.【答案】(1)证明：①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE=60°−∠BAE，
∴△ADB≌△AEC(SAS)；
②如图1，连接DF，
由旋转得BD=BF，∠FBD=60°，
∴△BFD是等边三角形，
∴BD=FD，∠FDB=60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=ED=AE，∠EDA=∠DAE=60°，
∴∠ADB=∠EDF=60°+∠BDE，
∴△ADB≌△EDF(SAS)，
∴AB=EF，
由①△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
∴BF=CE，
∴四边形BDEF是平行四边形；
(2)解：如图2，取AB的中点H，连接CH，
∵AC=AB=6，AE=AD=2，
∴BE=AB−AE=4，AH=BH=12AB=3，
∴EH=AH−AE=3−2=1，
∵△ABC是等边三角形，H是AB的中点，
∴CH⊥AB，
∴∠CHE=90°，∠ACH=12∠ACB=30°，
∴CH= 3AH=3 3，
∴CE= CH2+EH2= 27+1=2 7，
∵M、N分别为BE、BC的中点，
∴MN=12CE= 7，
∴线段MN的长度为 7．
【解析】(1)①根据等边三角形的性质，利用SAS即可证明△BAD≌△CAE；
②连接DF，先根据旋转的性质证明△BFD是等边三角形，再证明△ADB≌△EDF，得AB=EF=BC，由①得△BAD≌△CAE，得CE=BE=BF，即可证明四边形BCEF是平行四边形；
(2)取AB的中点H，连接CH，根据三角形的中位线定理和勾股定理求出CE的长，再根据三角形的中位线定理求出MN的长即可．
此题是四边形综合题，考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形的中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
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