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2023年吉林省松原市宁江区油田十二中中考数学五模试卷（含解析）
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这是一份2023年吉林省松原市宁江区油田十二中中考数学五模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级部分学生的分数，过程如下等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省松原市宁江区油田十二中中考数学五模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2的相反数是( )
A. 2 B. −2 C. 12 D. −12
2. 今年五一小长假期间，长春某景区接待游客约为81600人次，数字81600用科学记数法表示为( )
A. 0.816×105 B. 8.16×104 C. 8.16×105 D. 81.6×103
3. 如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是( )
A. B. C. D.
4. 关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则不等式组解集为( )
A. −2≤x≤1 B. −2≤x<1 C. −2
A. 两点确定一条直线
B. 三角形内角和是180°
C. 等腰三角形底边上的中线和与底边上的高重合
D. 垂线段最短
6. 如图，在△ABC中，∠B=90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于12DE的长分别为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点C，若BG=3，AC=10，则△ACG的面积为( )
A. 30 B. 15 C. 20 D. 50
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 计算： 3× 12= ______ ．
8. 若分式1x−2有意义，则实数x的取值范围是______．
9. 因式分解：x3−2x2+x=______．
10. 如图，有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在长方形的对边上．如果∠1=16°，那么∠2的度数是 ．
11. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为______ ．
12. 如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC.若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为______．
13. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD为______ 米.
14. 如图，矩形ABCD内接于圆中.若AB= 3cm，BC=1cm，则阴影部分图形的面积是______ cm2(结果保留π)．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(2a+1)2−4a(a−1)+2，其中a=18．
16. (本小题5.0分)
如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB=DE，AC//DF，BC//EF.求证：BC=EF．
17. (本小题5.0分)
某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品.如果小芳有两次摸球机会(摸出后不放回)，求小芳获得2份奖品的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
18. (本小题5.0分)
某车间接到加工960个零件的任务，在加工完160个后，由于改进了技术，每天加工的零件数量是原来的5倍，整个加工过程共用了4天完成．求原来每天加工零件的数量．
19. (本小题7.0分)
如图，在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，请画出符合下列条件的图形．
(1)在图1中画出格点D(不与点B重合)，连接AD、CD，使△ACD与△ABC全等．
(2)在图2中画出格点E，连接BE、CE，使△EBC的面积等于△ABC面积的2倍．
(3)在图3中，在线段AC上取点F，连接BF，使BF平分△ABC面积．
20. (本小题7.0分)
如图，甲、乙两栋大楼相距78米，一测量人员从甲楼AC的顶部看乙楼BD的顶部其仰角为27°.如果甲楼的高为34米，求乙楼的高度是多少米？(结果精确到0.1米)
【参考数据：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51】
21. (本小题7.0分)
为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛.为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下：
(1)收集数据．
从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：
81 83 84 85 86 87 87 88 89 90
92 92 93 95 95 95 99 99 100 100
(2)整理、描述数据．
按下表分段整理描述样本数据：
分数x
人数
年级
80≤x<85
85≤x<90
90≤x<95
95≤x≤100
七年级
4
6
2
8
八年级
3
a
4
7
(3)分析数据．
两组样本数据的平均数中位数、众数、方差如表所示：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
91
89
97
40.9
八年级
91
b
c
33.2
根据以上提供的信息，解答下列问题：
①填空：a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ；
②样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90分，______ 同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前(填“甲”或“乙”)；
③从样本数据分析来看，分数较整齐的是______ 年级(填“七”或“八”)；
④如果七年级共有400人参赛，则该年级约有______ 人的分数不低于95分．
22. (本小题7.0分)
如图，反比例函数y=kx的图象与正比例函数y=14x的图象交于点A(m,−1)和B(4,n)，点P(1,b)在反比例函数y=kx的图象上．
(1)求反比例函数的解析式和点P的坐标．
(2)直接写出不等式kx>14x的解集．
(3)连接OP，直接写出△BOP的面积．
23. (本小题8.0分)
某种机器是在油箱加满的状态下开始工作，当停止工作时，油箱中油量为5L.在整个过程中，油箱里的油量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示．
(1)机器里每分钟加油量为______ L，机器工作的过程中每分钟耗油量为______ L.
(2)求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．
24. (本小题8.0分)
定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形，
【理解】
(1)如图1，点A、B、C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD、CD.则四边形ABCD是等补四边形．
请直接写出图中相等的边：______ ；互补的角：______ ．
【探究】
(2)如图2，在等补四边形ABCD中，AB=AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．
【运用】
(3)如图3，在等补四边形ABCD中，AB=AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD=10，AF=5，直接写出DF的长．
25. (本小题10.0分)
如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠DAB=60°，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A−D−C运动，过点P作射线AB的垂线，交射线AB于点Q，在点P运动过程中，设运动时间为t(s)，△APQ与菱形ABCD重叠部分的面积为S(cm2).
(1)写出线段PD的长(用含t的式子表示)．
(2)当PQ平分菱形面积时，求t的值．
(3)求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
26. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴和y轴分别交于点A(3,0)和点B(0,3)，点P是此抛物线上一点，其横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P在x轴上方的抛物线上时，请结合图象直接写出x的取值范围．
(3)过点P作PQ//x轴，点Q的横坐标为−m+1，点P与点Q不重合．
①当线段PQ的长度随m的增大而减小，求m的取值范围．
②在PQ的下方作等腰直角三角形QPR，且∠QPR=90°，当−2≤m≤2时，直接写出等腰直角三角形QPR与抛物线的交点个数及m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2的相反数是2．
故选：A．
利用相反数的定义判断即可．
此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：数字81600用科学记数法表示为8.16×104．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：将圆柱侧面沿AC“剪开”，侧面展开图为矩形，
∵圆柱的底面直径为AB，
∴点B是展开图的一边的中点，
∵蚂蚁爬行的最近路线为线段，
∴C选项符合题意，
故选：C．
利用圆柱的侧面展开图是矩形，而点B是展开图的一边的中点，再利用蚂蚁爬行的最近路线为线段可以得出结论．
本题主要考查了圆柱的侧面展开图，最短路径问题，掌握两点之间线段最短是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，
则不等式组解集为−2≤x<1，
故选：B．
根据数轴上表示的解集确定出所求即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
5.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∵AO=BO，
∴OC⊥AB，
∵OC垂直于地面，
∴OC平行于地面，
∴房梁是水平的，
∴其数学道理是：等腰三角形底边上的中线和与底边上的高重合．
故选：C．
由等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的中线和与底边上的高重合，即可得到答案．
本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的性质．
6.【答案】B
【解析】解：由作法得AG平分∠BAC，
∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为3，
所以△ACG的面积=12×3×10=15．
故选：B．
利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为3，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
7.【答案】6
【解析】解： 3× 12= 3×2 3=2×3=6．
故答案为：6．
利用二次根式的运算法则计算即可．
本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法运算法则．
8.【答案】x≠2
【解析】解：∵x−2≠0，
∴x≠2．
故答案为：x≠2．
根据分式的分母不等于0即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．
9.【答案】x(x−1)2
【解析】解；x3−2x2+x=x(x2−2x+1)=x(x−1)2，
故答案为：x(x−1)2．
先提公因式x，再利用完全平方公式，即可解答．
本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．
10.【答案】14°
【解析】
【分析】
先利用互余得到∠3=14°，然后根据平行线的性质求∠2的度数．
本题考查了平行线性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【解答】
解：∵∠1+∠3=90°−60°=30°，
而∠1=16°，
∴∠3=14°，
∵a//b，
∴∠2=∠3=14°．
故答案为14°．
11.【答案】1
【解析】解：∵矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，
∴AB=AB′=5，AB=CD=5，
∵∠D=90°，
∴B′D= B′A2−AD2= 25−9=4，
∴B′C=CD−B′D=1，
故答案为：1．
由旋转的性质可得AB=AB′=5，AB=CD=5，由勾股定理可求B′D的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
12.【答案】80°
【解析】解：∵在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠BCD=50°，
∴∠OCB=40°，
∴∠AOC=80°．
故答案为：80°．
根据切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠OCB=40°，再利用圆心角等于圆周角的2倍解答即可．
本题考查了切线的性质定理以及圆周角定理的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题关键．
13.【答案】3
【解析】解：由题意知：AB//CD，
则∠BAE=∠C，∠B=∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴ABCD=AECE，
∴1CD=0.41.6−0.4，
∴CD=3米，
故答案为：3．
由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．
本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出△ABE∽△CDE是解决问题的关键．
14.【答案】2π3− 32
【解析】解：连接CA，BD，交于O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DAB=90°，
∴AC，BD是圆的直径，
∴O是圆的圆心，
∵AB= 3cm，BC=1cm，
∴AC= AB2+BC2=2(cm)，
∵tan∠ADB=ABAD= 3，
∴∠ADB=60°，
∵OD=OA，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴扇形OAD的面积=60π×12360=π6(cm2)，
∴扇形OBC的面积=扇形OAD的面积=π6(cm2)，
∵矩形ABCD的面积=AB⋅AD= 3(cm2)，
∴△OAB的面积=△ODC的面积=14×矩形ABCD的面积= 34(cm2)，
∵圆的面积=π×12=π(cm2)，
∴阴影的面积=圆的面积−扇形OAD的面积×2−△OAB的面积×2=π−π3− 32=(2π3− 32)(cm2).
故答案为：(2π3− 32).
连接CD，BD，交于O，由圆周角定理得到AC，BD是圆的直径，由锐角的正切求出∠ADB的度数，求出扇形OAD的面积，△OAB的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查扇形面积的计算，矩形的性质，圆周角定理，解直角三角形，关键是由锐角的正切定义求出∠ADB=60°，求出扇形OAD的面积．
15.【答案】解：(2a+1)2−4a(a−1)+2
=4a2+4a+1−4a2+4a+2
=8a+3，
当a=18时，原式=8×18+3
=1+3
=4．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】证明：∵AC//DF，BC//EF，
∴∠A=∠FDE，∠CBA=∠E，
∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，
∴BC=EF．
【解析】利用平行线的性质可得∠A=∠FDE，∠CBA=∠E，从而利用ASA证明△ABC≌△DEF，然后利用全等三角形的性质即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为2，
所以小芳获得2份奖品的概率=212=16．
【解析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的球是红球的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
18.【答案】解：设原来每天加工x个零件，则改进技术后每天加工5x个零件，
依题意，得：160x+960−1605x=4，
解得：x=80，
经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意．
答：原来每天加工80个零件．
【解析】设原来每天加工x个零件，则改进技术后每天加工5x个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19.【答案】解：如图：
(1)如图1，点D即为所求；
(2)如图2，点E即为所求；
(3)如图3，点F即为所求．
【解析】(1)根三角形全等是判定定理作图；
(2)根据三角形的面积公式作图；
(3)根据三角形中位线的性质作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握三角形全等的判定定理、三角形的面积公式及中位线的性质是解题的关键．
20.【答案】解：如图，在△ABE中，有BE=tan27°×AE=0.51×78=39.78(米)，
故BD=ED+BE=34+39.78≈73.8(米)．
答：乙楼的高度约为73.8米．
【解析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形△ABE，解其可得BE的长，进而借助BD=ED+BE可解即可求出答案．
此题考查的知识点是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
21.【答案】①6； 91； 95
②甲
③八
④160
【解析】解：①∵七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，
∴a=20−3−4−7=6，
八年级学生的成绩从低到高排列，第10，11名学生的成绩为90分，92分，
∴b=90+922=91(分)，
八年级成绩的95分出现了3次，次数最多，
∴c=95，
故答案为：6，91，95；
②甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前，理由如下：
∵八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，
∴90分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，
∴七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前；
故答案为：甲；
③∵八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，
∴分数较整齐的是八年级，
故答案为：八；
④因为七年级不低于95分的有8人，
所以400×820=160(人)，
故答案为：160．
(1)根据七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数可得a=6，第10，11名学生的成绩为90分，92分，即可求出b的值，95分出现了3次，次数最多，可得c的值；
(2)根据八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，可得90分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，进而可得结论；
(3)根据方差进行评价即可作出判断；
(4)用七年级不低于95分的比例乘以总人数即可．
本题考查频数分布表、用样本估计总体、方差、中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
22.【答案】解：(1)把点A(m,−1)和B(4,n)代入y=14x得，−1=14m，n=14×4，
∴m=−4，n=1，
∴点A(−4,−1)，B(4,1)，
∵反比例函数y=kx的图象与正比例函数y=14x的图象交于点A(−4,−1)和B，
∴k=−4×(−1)=4，
∴反比例函数的解析式为y=4x，
∵点P(1,b)在反比例函数的图象上．
∴b=41=4，
∴P(1,4)；
(2)由图象可知：不等式kx>14x的解集0
∵P(1,4)，
∴PN=4−14=154，
∴S△POB=S△PON+S△PBN=12×154×1+12×154×3=158+458=152．
【解析】(1)由正比例函数的解析式求得A、B的坐标，即可求得反比例函数的解析式，把点P(1,b)代入即可求得P的坐标；
(2)根据图象和两个函数交点的坐标直接写出即可；
(3)过点P作x轴的垂线PM，交OB于点N.则N(1,14)，根据S△POB=S△PON+S△PBN计算即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
23.【答案】3 0.5
【解析】解：(1)由图象可得，
机器每分钟加油量为：30÷10=3(L)，
机器工作的过程中每分钟耗油量为：(30−5)÷(60−10)=0.5(L)，
故答案为：3，0.5；
(2)当10
解得，a=−0.5b=35，
即机器工作时y关于x的函数解析式为y=−0.5x+35(10
当−0.5x+35=30÷2时，得x=40，
即油箱中油量为油箱容积的一半时x的值是5或40．
(1)根据函数图象中的数据，可以得到机器每分钟加油量和机器工作的过程中每分钟耗油量；
(2)根据函数图象中的数据，可以得到机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)根据(2)中的函数解析式和(1)中的加油的速度，令函数值为30÷2，即可得到相应的x的值．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】AD=CD ∠A与∠C，∠BAC与∠ADC
【解析】解：(1)如图1，
连接AC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠CAD=∠CBD，∠ACD=∠ABD，
∴∠ACD=∠CAD，
∴AD=CD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°，
故答案为：AD=CD，∠A+∠C=180°(原图中)，∠ABC+∠ADC=180°；
(2)如图2，
AC平分∠BCD，理由如下：
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴四边形ABCD内接于圆，
连接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ACD=∠ABD，∠ACB=∠ADB，
∴∠ACD=∠ACB，
∴AC平分∠BCD；
(3)如图3，
连接AC，
由(2)知：四边形ABCD内接于圆，AC平分∠BCD，
∴∠DAE=∠BCD，∠ACD=12∠BCD，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF=12∠DAE，
∴∠DAE=∠ACD，
∵∠F=∠F，
∴△AFD∽△CFA，
∴AFCF=DFAF，
∴CF⋅DF=AF2，
∴DF⋅(DF+CD)=25，
∴DF(DF+10)=25，
∴DF1=5 2−5，DF2=−5 2−5(舍去)，
∴DF=5 2−5．
(1)连接AC，可推出∠ABD=∠CBD，∠CAD=∠CBD，∠ACD=∠ABD，∠ACD=∠CAD，从而AD=CD，根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得出∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°；
(2)连接BD，可推出四边形ABCD内接于圆，∠ABD=∠ADB，∠ACD=∠ABD，∠ACB=∠ADB，从而∠ACD=∠ACB，从而AC平分∠BCD；
(3)连接AC，可推出∠DAE=∠ACD，进而得出△AFD∽△CFA，从而AFCF=DFAF，进而得出DF⋅(DF+CD)=25，从而求得DF．
本题考查了确定圆的条件，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
25.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=DC=4cm，
当0
∴DP=MQ，
∵AD=AB=4cm，∠DAB=60°，
∴AM=2cm，
∵PQ平分菱形的面积，
∴PQ经过BD的中点O，
∴OB=OD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC//AB，
∴∠PDO=∠OBQ，∠DPO=∠BQO，
∴△DPO≌△BQO(AAS)，
∴DP=BQ=(2t−4)cm，
∴2+2t−4+2t−4=4，
∴t=52；
(3)分三种情况：①当0
∵AP=2t cm，∠A=60°，
∴AQ=12AP=tcm，PQ= 3t cm，
∴S△APQ=12AQ⋅PQ=12×t× 3t= 32t2，
∴S= 32t2；
②当2
由(2)可知，PQ=2 3cm，
∵DP=(2t−4)cm，
∴AQ=2+2t−4=(2t−2)cm，
∴S=S△APQ=12AQ⋅PQ=12×2 3×(2t−2)=2 3t−2 3；
S=12(2+2t−4)×2 3=2 3t−2 3；
③当3
∵AQ=(2t−2)cm，AB=4cm，
∴BQ=(2t−6)cm，
∵∠QBN=60°，
∴QN= 3BQ= 3(2t−6)(cm)，
∴S=S△AQP−S△BQN=2 3t−2 3−12(2t−6)⋅ 3(2t−6)
=−2 3t2+14 3t−20 3．
综上所述，S与t的函数关系式为S= 32t2(0
(3)分三种情况：①当0
26.【答案】解：(1)把A(3,0)和B(0,3)代入y=−x2+bx+c得：
−9+3b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；
(2)在y=−x2+2x+3中，令y=0得：0=−x2+2x+3，
解得x=−1或x=3，
由图可得，点P在x轴上方的抛物线上时，x的取值范围是−1
∴当m=−m+1，即m=12时，P与Q重合；
当m<−m+1，即m<12时，PQ=−m+1−m=−2m+1，
此时PQ随m的增大而减小，符合题意；
当−m+112时，PQ=m−(−m+1)=2m−1，
此时PQ随m的增大而增大，不符合题意；
综上所述，当线段PQ的长度随m的增大而减小，m的取值范围是m<12；
②由①知，当m=12时，P，Q重合，
当−2≤m<12时，P在Q的左侧，如图：
此时等腰直角三角形QPR与抛物线的交点只有1个；
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线y=−x2+2x+3的对称轴为直线x=1，
当12
由图可知，此时等腰直角三角形QPR与抛物线的交点有2个；
当1
此时等腰直角三角形QPR与抛物线的交点有3个；
综上所述，当−2≤m<12时，等腰直角三角形QPR与抛物线的交点有1个；当12
(2)求出y=0时x=−1或x=3，由图可得x的取值范围是−112时，PQ=m−(−m+1)=2m−1，PQ随m的增大而增大，不符合题意；从而可得答案；
②由①知，当m=12时，P，Q重合，分3种情况：当−2≤m<12时，当12
2023年吉林省松原市宁江区油田十二中中考数学五模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2的相反数是( )
A. 2 B. −2 C. 12 D. −12
2. 今年五一小长假期间，长春某景区接待游客约为81600人次，数字81600用科学记数法表示为( )
A. 0.816×105 B. 8.16×104 C. 8.16×105 D. 81.6×103
3. 如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是( )
A. B. C. D.
4. 关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则不等式组解集为( )
A. −2≤x≤1 B. −2≤x<1 C. −2
A. 两点确定一条直线
B. 三角形内角和是180°
C. 等腰三角形底边上的中线和与底边上的高重合
D. 垂线段最短
6. 如图，在△ABC中，∠B=90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于12DE的长分别为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点C，若BG=3，AC=10，则△ACG的面积为( )
A. 30 B. 15 C. 20 D. 50
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 计算： 3× 12= ______ ．
8. 若分式1x−2有意义，则实数x的取值范围是______．
9. 因式分解：x3−2x2+x=______．
10. 如图，有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在长方形的对边上．如果∠1=16°，那么∠2的度数是 ．
11. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为______ ．
12. 如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC.若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为______．
13. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD为______ 米.
14. 如图，矩形ABCD内接于圆中.若AB= 3cm，BC=1cm，则阴影部分图形的面积是______ cm2(结果保留π)．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(2a+1)2−4a(a−1)+2，其中a=18．
16. (本小题5.0分)
如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB=DE，AC//DF，BC//EF.求证：BC=EF．
17. (本小题5.0分)
某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品.如果小芳有两次摸球机会(摸出后不放回)，求小芳获得2份奖品的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
18. (本小题5.0分)
某车间接到加工960个零件的任务，在加工完160个后，由于改进了技术，每天加工的零件数量是原来的5倍，整个加工过程共用了4天完成．求原来每天加工零件的数量．
19. (本小题7.0分)
如图，在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，请画出符合下列条件的图形．
(1)在图1中画出格点D(不与点B重合)，连接AD、CD，使△ACD与△ABC全等．
(2)在图2中画出格点E，连接BE、CE，使△EBC的面积等于△ABC面积的2倍．
(3)在图3中，在线段AC上取点F，连接BF，使BF平分△ABC面积．
20. (本小题7.0分)
如图，甲、乙两栋大楼相距78米，一测量人员从甲楼AC的顶部看乙楼BD的顶部其仰角为27°.如果甲楼的高为34米，求乙楼的高度是多少米？(结果精确到0.1米)
【参考数据：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51】
21. (本小题7.0分)
为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛.为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下：
(1)收集数据．
从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：
81 83 84 85 86 87 87 88 89 90
92 92 93 95 95 95 99 99 100 100
(2)整理、描述数据．
按下表分段整理描述样本数据：
分数x
人数
年级
80≤x<85
85≤x<90
90≤x<95
95≤x≤100
七年级
4
6
2
8
八年级
3
a
4
7
(3)分析数据．
两组样本数据的平均数中位数、众数、方差如表所示：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
91
89
97
40.9
八年级
91
b
c
33.2
根据以上提供的信息，解答下列问题：
①填空：a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ；
②样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90分，______ 同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前(填“甲”或“乙”)；
③从样本数据分析来看，分数较整齐的是______ 年级(填“七”或“八”)；
④如果七年级共有400人参赛，则该年级约有______ 人的分数不低于95分．
22. (本小题7.0分)
如图，反比例函数y=kx的图象与正比例函数y=14x的图象交于点A(m,−1)和B(4,n)，点P(1,b)在反比例函数y=kx的图象上．
(1)求反比例函数的解析式和点P的坐标．
(2)直接写出不等式kx>14x的解集．
(3)连接OP，直接写出△BOP的面积．
23. (本小题8.0分)
某种机器是在油箱加满的状态下开始工作，当停止工作时，油箱中油量为5L.在整个过程中，油箱里的油量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示．
(1)机器里每分钟加油量为______ L，机器工作的过程中每分钟耗油量为______ L.
(2)求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．
24. (本小题8.0分)
定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形，
【理解】
(1)如图1，点A、B、C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD、CD.则四边形ABCD是等补四边形．
请直接写出图中相等的边：______ ；互补的角：______ ．
【探究】
(2)如图2，在等补四边形ABCD中，AB=AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．
【运用】
(3)如图3，在等补四边形ABCD中，AB=AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD=10，AF=5，直接写出DF的长．
25. (本小题10.0分)
如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠DAB=60°，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A−D−C运动，过点P作射线AB的垂线，交射线AB于点Q，在点P运动过程中，设运动时间为t(s)，△APQ与菱形ABCD重叠部分的面积为S(cm2).
(1)写出线段PD的长(用含t的式子表示)．
(2)当PQ平分菱形面积时，求t的值．
(3)求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
26. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴和y轴分别交于点A(3,0)和点B(0,3)，点P是此抛物线上一点，其横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P在x轴上方的抛物线上时，请结合图象直接写出x的取值范围．
(3)过点P作PQ//x轴，点Q的横坐标为−m+1，点P与点Q不重合．
①当线段PQ的长度随m的增大而减小，求m的取值范围．
②在PQ的下方作等腰直角三角形QPR，且∠QPR=90°，当−2≤m≤2时，直接写出等腰直角三角形QPR与抛物线的交点个数及m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2的相反数是2．
故选：A．
利用相反数的定义判断即可．
此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：数字81600用科学记数法表示为8.16×104．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：将圆柱侧面沿AC“剪开”，侧面展开图为矩形，
∵圆柱的底面直径为AB，
∴点B是展开图的一边的中点，
∵蚂蚁爬行的最近路线为线段，
∴C选项符合题意，
故选：C．
利用圆柱的侧面展开图是矩形，而点B是展开图的一边的中点，再利用蚂蚁爬行的最近路线为线段可以得出结论．
本题主要考查了圆柱的侧面展开图，最短路径问题，掌握两点之间线段最短是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，
则不等式组解集为−2≤x<1，
故选：B．
根据数轴上表示的解集确定出所求即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
5.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∵AO=BO，
∴OC⊥AB，
∵OC垂直于地面，
∴OC平行于地面，
∴房梁是水平的，
∴其数学道理是：等腰三角形底边上的中线和与底边上的高重合．
故选：C．
由等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的中线和与底边上的高重合，即可得到答案．
本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的性质．
6.【答案】B
【解析】解：由作法得AG平分∠BAC，
∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为3，
所以△ACG的面积=12×3×10=15．
故选：B．
利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为3，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
7.【答案】6
【解析】解： 3× 12= 3×2 3=2×3=6．
故答案为：6．
利用二次根式的运算法则计算即可．
本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法运算法则．
8.【答案】x≠2
【解析】解：∵x−2≠0，
∴x≠2．
故答案为：x≠2．
根据分式的分母不等于0即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．
9.【答案】x(x−1)2
【解析】解；x3−2x2+x=x(x2−2x+1)=x(x−1)2，
故答案为：x(x−1)2．
先提公因式x，再利用完全平方公式，即可解答．
本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．
10.【答案】14°
【解析】
【分析】
先利用互余得到∠3=14°，然后根据平行线的性质求∠2的度数．
本题考查了平行线性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【解答】
解：∵∠1+∠3=90°−60°=30°，
而∠1=16°，
∴∠3=14°，
∵a//b，
∴∠2=∠3=14°．
故答案为14°．
11.【答案】1
【解析】解：∵矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，
∴AB=AB′=5，AB=CD=5，
∵∠D=90°，
∴B′D= B′A2−AD2= 25−9=4，
∴B′C=CD−B′D=1，
故答案为：1．
由旋转的性质可得AB=AB′=5，AB=CD=5，由勾股定理可求B′D的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
12.【答案】80°
【解析】解：∵在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠BCD=50°，
∴∠OCB=40°，
∴∠AOC=80°．
故答案为：80°．
根据切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠OCB=40°，再利用圆心角等于圆周角的2倍解答即可．
本题考查了切线的性质定理以及圆周角定理的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题关键．
13.【答案】3
【解析】解：由题意知：AB//CD，
则∠BAE=∠C，∠B=∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴ABCD=AECE，
∴1CD=0.41.6−0.4，
∴CD=3米，
故答案为：3．
由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．
本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出△ABE∽△CDE是解决问题的关键．
14.【答案】2π3− 32
【解析】解：连接CA，BD，交于O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DAB=90°，
∴AC，BD是圆的直径，
∴O是圆的圆心，
∵AB= 3cm，BC=1cm，
∴AC= AB2+BC2=2(cm)，
∵tan∠ADB=ABAD= 3，
∴∠ADB=60°，
∵OD=OA，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴扇形OAD的面积=60π×12360=π6(cm2)，
∴扇形OBC的面积=扇形OAD的面积=π6(cm2)，
∵矩形ABCD的面积=AB⋅AD= 3(cm2)，
∴△OAB的面积=△ODC的面积=14×矩形ABCD的面积= 34(cm2)，
∵圆的面积=π×12=π(cm2)，
∴阴影的面积=圆的面积−扇形OAD的面积×2−△OAB的面积×2=π−π3− 32=(2π3− 32)(cm2).
故答案为：(2π3− 32).
连接CD，BD，交于O，由圆周角定理得到AC，BD是圆的直径，由锐角的正切求出∠ADB的度数，求出扇形OAD的面积，△OAB的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查扇形面积的计算，矩形的性质，圆周角定理，解直角三角形，关键是由锐角的正切定义求出∠ADB=60°，求出扇形OAD的面积．
15.【答案】解：(2a+1)2−4a(a−1)+2
=4a2+4a+1−4a2+4a+2
=8a+3，
当a=18时，原式=8×18+3
=1+3
=4．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】证明：∵AC//DF，BC//EF，
∴∠A=∠FDE，∠CBA=∠E，
∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，
∴BC=EF．
【解析】利用平行线的性质可得∠A=∠FDE，∠CBA=∠E，从而利用ASA证明△ABC≌△DEF，然后利用全等三角形的性质即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为2，
所以小芳获得2份奖品的概率=212=16．
【解析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的球是红球的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
18.【答案】解：设原来每天加工x个零件，则改进技术后每天加工5x个零件，
依题意，得：160x+960−1605x=4，
解得：x=80，
经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意．
答：原来每天加工80个零件．
【解析】设原来每天加工x个零件，则改进技术后每天加工5x个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19.【答案】解：如图：
(1)如图1，点D即为所求；
(2)如图2，点E即为所求；
(3)如图3，点F即为所求．
【解析】(1)根三角形全等是判定定理作图；
(2)根据三角形的面积公式作图；
(3)根据三角形中位线的性质作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握三角形全等的判定定理、三角形的面积公式及中位线的性质是解题的关键．
20.【答案】解：如图，在△ABE中，有BE=tan27°×AE=0.51×78=39.78(米)，
故BD=ED+BE=34+39.78≈73.8(米)．
答：乙楼的高度约为73.8米．
【解析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形△ABE，解其可得BE的长，进而借助BD=ED+BE可解即可求出答案．
此题考查的知识点是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
21.【答案】①6； 91； 95
②甲
③八
④160
【解析】解：①∵七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，
∴a=20−3−4−7=6，
八年级学生的成绩从低到高排列，第10，11名学生的成绩为90分，92分，
∴b=90+922=91(分)，
八年级成绩的95分出现了3次，次数最多，
∴c=95，
故答案为：6，91，95；
②甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前，理由如下：
∵八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，
∴90分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，
∴七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前；
故答案为：甲；
③∵八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，
∴分数较整齐的是八年级，
故答案为：八；
④因为七年级不低于95分的有8人，
所以400×820=160(人)，
故答案为：160．
(1)根据七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数可得a=6，第10，11名学生的成绩为90分，92分，即可求出b的值，95分出现了3次，次数最多，可得c的值；
(2)根据八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，可得90分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，进而可得结论；
(3)根据方差进行评价即可作出判断；
(4)用七年级不低于95分的比例乘以总人数即可．
本题考查频数分布表、用样本估计总体、方差、中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
22.【答案】解：(1)把点A(m,−1)和B(4,n)代入y=14x得，−1=14m，n=14×4，
∴m=−4，n=1，
∴点A(−4,−1)，B(4,1)，
∵反比例函数y=kx的图象与正比例函数y=14x的图象交于点A(−4,−1)和B，
∴k=−4×(−1)=4，
∴反比例函数的解析式为y=4x，
∵点P(1,b)在反比例函数的图象上．
∴b=41=4，
∴P(1,4)；
(2)由图象可知：不等式kx>14x的解集0
∵P(1,4)，
∴PN=4−14=154，
∴S△POB=S△PON+S△PBN=12×154×1+12×154×3=158+458=152．
【解析】(1)由正比例函数的解析式求得A、B的坐标，即可求得反比例函数的解析式，把点P(1,b)代入即可求得P的坐标；
(2)根据图象和两个函数交点的坐标直接写出即可；
(3)过点P作x轴的垂线PM，交OB于点N.则N(1,14)，根据S△POB=S△PON+S△PBN计算即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
23.【答案】3 0.5
【解析】解：(1)由图象可得，
机器每分钟加油量为：30÷10=3(L)，
机器工作的过程中每分钟耗油量为：(30−5)÷(60−10)=0.5(L)，
故答案为：3，0.5；
(2)当10
解得，a=−0.5b=35，
即机器工作时y关于x的函数解析式为y=−0.5x+35(10
当−0.5x+35=30÷2时，得x=40，
即油箱中油量为油箱容积的一半时x的值是5或40．
(1)根据函数图象中的数据，可以得到机器每分钟加油量和机器工作的过程中每分钟耗油量；
(2)根据函数图象中的数据，可以得到机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)根据(2)中的函数解析式和(1)中的加油的速度，令函数值为30÷2，即可得到相应的x的值．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】AD=CD ∠A与∠C，∠BAC与∠ADC
【解析】解：(1)如图1，
连接AC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠CAD=∠CBD，∠ACD=∠ABD，
∴∠ACD=∠CAD，
∴AD=CD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°，
故答案为：AD=CD，∠A+∠C=180°(原图中)，∠ABC+∠ADC=180°；
(2)如图2，
AC平分∠BCD，理由如下：
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴四边形ABCD内接于圆，
连接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ACD=∠ABD，∠ACB=∠ADB，
∴∠ACD=∠ACB，
∴AC平分∠BCD；
(3)如图3，
连接AC，
由(2)知：四边形ABCD内接于圆，AC平分∠BCD，
∴∠DAE=∠BCD，∠ACD=12∠BCD，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF=12∠DAE，
∴∠DAE=∠ACD，
∵∠F=∠F，
∴△AFD∽△CFA，
∴AFCF=DFAF，
∴CF⋅DF=AF2，
∴DF⋅(DF+CD)=25，
∴DF(DF+10)=25，
∴DF1=5 2−5，DF2=−5 2−5(舍去)，
∴DF=5 2−5．
(1)连接AC，可推出∠ABD=∠CBD，∠CAD=∠CBD，∠ACD=∠ABD，∠ACD=∠CAD，从而AD=CD，根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得出∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°；
(2)连接BD，可推出四边形ABCD内接于圆，∠ABD=∠ADB，∠ACD=∠ABD，∠ACB=∠ADB，从而∠ACD=∠ACB，从而AC平分∠BCD；
(3)连接AC，可推出∠DAE=∠ACD，进而得出△AFD∽△CFA，从而AFCF=DFAF，进而得出DF⋅(DF+CD)=25，从而求得DF．
本题考查了确定圆的条件，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
25.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=DC=4cm，
当0
∴DP=MQ，
∵AD=AB=4cm，∠DAB=60°，
∴AM=2cm，
∵PQ平分菱形的面积，
∴PQ经过BD的中点O，
∴OB=OD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC//AB，
∴∠PDO=∠OBQ，∠DPO=∠BQO，
∴△DPO≌△BQO(AAS)，
∴DP=BQ=(2t−4)cm，
∴2+2t−4+2t−4=4，
∴t=52；
(3)分三种情况：①当0
∵AP=2t cm，∠A=60°，
∴AQ=12AP=tcm，PQ= 3t cm，
∴S△APQ=12AQ⋅PQ=12×t× 3t= 32t2，
∴S= 32t2；
②当2
由(2)可知，PQ=2 3cm，
∵DP=(2t−4)cm，
∴AQ=2+2t−4=(2t−2)cm，
∴S=S△APQ=12AQ⋅PQ=12×2 3×(2t−2)=2 3t−2 3；
S=12(2+2t−4)×2 3=2 3t−2 3；
③当3
∵AQ=(2t−2)cm，AB=4cm，
∴BQ=(2t−6)cm，
∵∠QBN=60°，
∴QN= 3BQ= 3(2t−6)(cm)，
∴S=S△AQP−S△BQN=2 3t−2 3−12(2t−6)⋅ 3(2t−6)
=−2 3t2+14 3t−20 3．
综上所述，S与t的函数关系式为S= 32t2(0
(3)分三种情况：①当0
26.【答案】解：(1)把A(3,0)和B(0,3)代入y=−x2+bx+c得：
−9+3b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；
(2)在y=−x2+2x+3中，令y=0得：0=−x2+2x+3，
解得x=−1或x=3，
由图可得，点P在x轴上方的抛物线上时，x的取值范围是−1
∴当m=−m+1，即m=12时，P与Q重合；
当m<−m+1，即m<12时，PQ=−m+1−m=−2m+1，
此时PQ随m的增大而减小，符合题意；
当−m+1
此时PQ随m的增大而增大，不符合题意；
综上所述，当线段PQ的长度随m的增大而减小，m的取值范围是m<12；
②由①知，当m=12时，P，Q重合，
当−2≤m<12时，P在Q的左侧，如图：
此时等腰直角三角形QPR与抛物线的交点只有1个；
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线y=−x2+2x+3的对称轴为直线x=1，
当12
由图可知，此时等腰直角三角形QPR与抛物线的交点有2个；
当1
此时等腰直角三角形QPR与抛物线的交点有3个；
综上所述，当−2≤m<12时，等腰直角三角形QPR与抛物线的交点有1个；当12
(2)求出y=0时x=−1或x=3，由图可得x的取值范围是−1
②由①知，当m=12时，P，Q重合，分3种情况：当−2≤m<12时，当12
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