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2023年吉林省松原市前郭县学区五校中考数学五模试卷（含解析）
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这是一份2023年吉林省松原市前郭县学区五校中考数学五模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省松原市前郭县学区五校中考数学五模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数3的倒数是( )
A. −3 B. 3 C. −13 D. 13
2. 习近平总书记在党的二十大报告中讲到，全国八百三十二个贫困县全部摘帽，近一亿农村贫困人口实现脱贫，九百六十多万贫困人口实现易地搬迁，历史性地解决了绝对贫困问题，为全球减贫事业作出了重大贡献.将9600000用科学记数法表示为( )
A. 0.96×107 B. 9.6×106 C. 96×105 D. 960×104
3. 下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是( )
A. B.
C. D.
4. 不等式2x≤6−x的解集是( )
A. x≤2 B. x<2 C. x≥2 D. x>2
5. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，CD=3，CF=2，则AE的长是( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
6. 如图，AB是⊙O的弦，OD为⊙O半径.OC⊥AB，垂足为C，OD//AB，OD=2OC，则∠ODB为度．( )
A. 60
B. 65
C. 70
D. 75
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 计算： 9−(−2023)°= ______ ．
8. 分解因式：a2x2−a2y2= ．
9. 若关于x的一元二次方程ax2−4x+2=0有两个实数根，则a的取值范围是 ．
10. 某小区要打造一个长方形花圃，已知花圃的长为(a+2b)米，宽比长短b米，则花圃的周长为 米(请用含a、b的代数式表示)．
11. 如图，该图形可以看作是由一个“”绕中心每次旋转______ 得到的．
12. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别是边AC、BC、AB的中点.若DE=3，则CF的长为______ ．
13. 如图，正方形ABCD的顶点B、C都在x轴上，若点A的坐标是(−1,4)，点B的坐标是(−1,0)，则点C的坐标是______ ．
14. 如图，在△ABC中，∠A=50°，BC=6，以BC为直径的半圆O与AB、AC分别交于点D、E，则图中阴影部分的面积是______ (结果保留π)．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(2+a)(2−a)+(a−3)2，其中a=32．
16. (本小题5.0分)
小明和小刚周末相约到长春动植物园晨练，动植物园有A、B、C、D四个入口，他们可以随机选择一个入口进入动植物园，假设选择每个入口的可能性相同．
(1)小明进入动植物园时，从B入口处进入的概率为______ ；
(2)用画树状图或列表的方法，求两人选择不同入口进入动植物园的概率．
17. (本小题5.0分)
如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C=∠E，AB=AD.求证：BC=DE．
18. (本小题5.0分)
某地区以移动互联和大数据技术支持智慧课堂，实现学生的自主、个性和多元学习，全区学生逐步实现上课全部使用平板电脑.某商场用6万元购进甲型号的平板，很快销售一空.该商场又用12.8万元购进了乙型号的平板，所购数量是甲型号平板购进数量的2倍，但单价贵了40元.求该商场购进甲型号平板和乙型号平板的单价各是多少元？
19. (本小题7.0分)
如图的网格中每个小正方形的边长均为1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在格点上；
(1)在图1中画出一个以AB为一边的成中心对称的四边形ABCD，使其面积为12；
(2)在图2中画出一个以EF为一边的等腰△EFP，使其tanP=2，并直接写出△EFP的面积______．
20. (本小题7.0分)
“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”.某单位利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“A、B、AB、O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如下两幅不完整的统计图表．
血型
A
B
AB
O
人数
______
10
5
______
(1)本次随机抽取献血者人数为______ 人，图中m= ______ ；
(2)补全表中的数据；
(3)若这次活动中该单位有1800人义务献血，估计大约有多少人是A型血？
21. (本小题7.0分)
在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，所需天数y(单位：天)与每天完成的工程量x(单位：m/天)之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分．
(1)请根据题意，求y关于x的函数解析式；
(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15m，则该工程队需用多少天才能完成此项任务？
22. (本小题7.0分)
如图，城A到城B之间有一座小山，它们之间的交通需要绕过小山到城C，现在准备开通隧道建设A、B之间的直达公路，已知∠A=45°，∠C=98°，AC=640千米，请计算A、B之间的直线距离(结果精确到0.1千米，参考数据：Nonesin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75， 2≈1.414， 3≈1.732)
23. (本小题8.0分)
实验小学与七彩农业园分别在上海路的两端，甲从实验小学去七彩农业园，乙从七彩农业园回学校，甲、乙两人都沿上海路同时匀速出发，乙先到达目的地，两人之间的距离y(米)与时间t(分)之间的函数关系如图所示.根据图象信息解答下列问题：
(1)当t= ______ 时，甲、乙两人相遇，甲的速度为______ 米/分；
(2)求乙的速度；
(3)求出线段AB所对应的函数表达式．
24. (本小题8.0分)
【感知】如图①，在△ABC中，点D为BC边上一点，连接AD.求证：S△ABD：S△ACD=BD：CD；
【类比】如图②，在图①的基础上，点P为AD上一点，且PD：PA=1：3，连接BP、CP，若S△BCP=2，则阴影部分图形的面积为______ ；
【拓展】如图③，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点P为△ABC内部一点，且S△ABP：S△ACP：S△BCP=1：3：4，则线段BP的长为______ ．
25. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠A=∠B=30°，AC=2cm，CD⊥AB于点D.动点P从点A出发，以 3cm/s的速度沿边AB向点B匀速运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AB交折线AC−CB于点Q，将线段PQ绕点Q逆时针旋转60°得到线段QM，连接PM，设点P的运动时间为x(s)，回答下列问题．
(1)直接写出AB= ______ cm；
(2)当点Q在边AC上时，CQ的长为______ cm(用含x的代数式表示)；
(3)当点M落在边CD上时，求x的值；
(4)在点P运动的过程中，作点M关于直线AB的对称点N，连接PN、MN，设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y cm2，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
26. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a,b为常数)的对称轴为直线x=1，且经过点(−1,0)．
(1)求此抛物线对应的二次函数解析式；
(2)当−12≤x≤3时，二次函数的最大值是______ ，最小值是______ ；
(3)当t−1≤x≤t时，若二次函数的最大值和最小值的差为3，求t的值；
(4)点P在抛物线上，横坐标为m，过点P作直线PQ平行于x轴，交抛物线于另一点Q.抛物线上另有两点M、N，横坐标分别为−1和4，M、N两点之间的部分(不包括M、N两点)记作图象G.若图象G上恰好有三个点到直线PQ的距离为2，请直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：3的倒数是13，
故选：D．
根据倒数的定义可直接得出答案．
本题考查了倒数的定义，熟知乘积是1的两个数互为倒数是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：将9600000用科学记数法表示为9.6×106．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：A、该圆柱的主视图为矩形、俯视图为圆，故本选项不合题意；
B、该三棱柱的主视图为矩形、俯视图为三角形，故本选项不合题意；
C、该圆锥的主视图为等腰三角形、俯视图为圆(带圆心)，故本选项不合题意；
D、该长方体的主视图和俯视图均为矩形，故本选项符合题意；
故选：D．
主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形．
本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握常见的几何体的三视图是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：2x≤6−x，
移项，得：2x+x≤6，
合并同类项，得：3x≤6，
系数化为1，得：x≤2，
故选：A．
利用不等式的基本性质，移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
由基本作图得到EF垂直平分AD，则AE=DE，AF=DF，EF⊥AD，再根据等腰三角形三线合一得到AE=AF，则可判断四边形AEDF为菱形，所以DE//AC，然后根据相似三角形的判定与性质可计算出AE．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质．
【解答】
解：由作法得EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF，EF⊥AD，
∵AD平分∠BAC，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，
∴四边形AEDF为菱形，
∴ED//AC，
∴△BED∽△BAC，
∴DBBC=EDAC，
∵BD=6，CD=3，CF=2，
∴66+3=EDED+2，
解得：ED=4，
∴AE=4．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】解：如图：连接OB，则OB=OD，
∵OC=12OD，
∴OC=12OB，
∵OC⊥AB，
∴∠OBC=30°，
∵OD//AB，
∴∠BOD=∠OBC=30°，
∴∠OBD=∠ODB=75°，
故选：D．
连接OB，则OB=OD，由OC⊥AB，则∠OBC=30°，再由OD//AB，即可求出答案．
本题考查的是圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．
7.【答案】2
【解析】解：原式=3−1
=2．
故答案为：2．
原式利用算术平方根定义，以及零指数幂法则计算即可求出值．
此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8.【答案】a2(x+y)(x−y)
【解析】解：原式=a2(x2−y2)
=a2(x+y)(x−y)．
故答案为：a2(x+y)(x−y)．
应先提取公因式a2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定要彻底．
9.【答案】a≤2且a≠0
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2−4x+2=0有两个实数根，
∴Δ=b2−4ac=42−4×a×2=16−8a≥0，
解得：a≤2，
∵方程ax2−4x+2=0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴a的范围是：a≤2且a≠0，
故答案为：a≤2且a≠0．
由关于x的一元二次方程ax2−4x+2=0有有两个实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式△≥0，a≠0，继而可求得a的范围．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得△≥0.同时考查了一元二次方程的定义．
10.【答案】(4a+6b)
【解析】
【分析】
本题考查整式的加减，用字母表示数，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
根据题意用字母表示数，然后根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：宽为a+2b−b=a+b，
所以周长为：2(a+b+a+2b)
=2(2a+3b)
=(4a+6b)米，
故答案为：(4a+6b)．
11.【答案】90°
【解析】解：如图所示的图形可以看作“1”按照逆时针(或顺时针)旋转3次，且每次旋转了90°而成的．
故答案为：90°．
这个图形可以分为四个部分，可以认为是由一个图形旋转而得到．
本题考查了旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
12.【答案】3
【解析】解：∵点D、E分别是边AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=6，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点F是边AB的中点，
∴CF=12AB=3，
故答案为：3．
根据三角形中位线定理求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
13.【答案】(3,0)
【解析】解：∵点A的坐标是(−1,4)，点B的坐标是(−1,0)，
∴AB=4，OB=1，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=4，
∴OC=BC−OB=4−1=3，
又∵点C都在x轴上，
∴点C的坐标为(3,0)．
故答案为：(3,0)．
首先根据点A、B的坐标，求出正方形的边长与OB的长，再根据正方形的性质，求出OC的长，即可得出点C的坐标．
本题考查了坐标与图形性质，根据点A、B的坐标，求出正方形的边长是解本题的关键．
14.【答案】2π
【解析】解：∵∠A=50°，
∴∠B+∠C=130°，
∵∠DOC=2∠B，∠BOE=2∠C，
∴∠DOC+∠BOE=2∠B+2∠C=260°，
∵∠DOC+∠BOE=∠BOC+∠DOE，
∴∠DOE=260°−∠BOC=260°−180°=80°，
∵BC=6，
∴OD=3，
∴扇形DOE的面积是：80π×32360=2π，
故答案为：2π．
根据题意和图形，可以先求的∠DOE的度数，然后根据BC可以得到OD的长，再根据扇形面积公式，即可解答本题．
本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】解：(2+a)(2−a)+(a−3)2
=4−a2+a2−6a+9
=13−6a，
当a=32时，原式=13−6×32=13−9=4．
【解析】根据完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把a的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】14
【解析】解：(1)∵动植物园有A、B、C、D四个入口，
∴小明进入动植物园时，从B入口处进入的概率为14，
故答案为：14；
(2)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小刚两人选择不同入口进入动植物园的结果有12种，
∴两人选择不同入口进入动植物园的概率为1216=34．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小刚两人选择相同入口进入植物园的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】证明：∵AC是∠BAE的平分线，
∴∠BAC=∠DAE．
∵在△BAC与△DAE中
∠BAC=∠DAE∠C=∠EAB=AD
∴△BAC≌△DAE(AAS)，
∴BC=DE．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
根据全等三角形的判定：AAS证明△BAC≌△DAE，即可得BC=DE．
18.【答案】解：(1)设该商场购进甲型平板的单价为x元，则购进乙型平板的单价为(x+40)元，
由题意得：60000x×2=128000x+40，
解得：x=600，
经检验：x=600是原分式方程的解，且符合题意，
∵乙型平板的单价为(x+40)元，
∴600+40=640(元)，
答：该商场购进甲型号平板的单价为600元，乙型号平板的单价为640元．
【解析】设该商场购进甲型号平板的单价为x元，则购进乙型号平板的单价为(x+40)，所购数量是甲型平板购进数量的2倍，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19.【答案】10
【解析】解：(1)如图1，▱ABCD即为所求；
(2)如图2，等腰△EFP即为所求；
△EFP的面积为：12×5×4=10，
故答案为10．
(1)作一以AB为边的平行四边形即可得；
(2)根据等腰三角形的腰为5，腰上的高为3，进行画图．
本题主要考查了利用图形的基本变换进行作图，作图时需要运用平行四边形的性质以及等腰三角形的性质进行计算．注意：平行四边形是中心对称图形，等腰三角形是轴对称图形．
20.【答案】12 23 50 20
【解析】解：(1)这次随机抽取的献血者人数为5÷10%=50(人)，
所以m=1050×100=20；
故答案为：50，20；
(2)O型献血的人数为46%×50=23(人)，
A型献血的人数为50−10−5−23=12(人)，
血型
A
B
AB
O
人数
12
10
5
23
故答案为：12，23；
(3)1800×1250×100%=432(人)，
答：估计有432人是A型血．
(1)用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算m的值；
(2)先计算出O型的人数，再计算出A型人数，从而可补全上表中的数据；
(3)用总人数乘以样本中A型血人数所占比例．
本题考查了用样本估计总体、统计表、扇形统计图，解决本题的关键是综合运用以上知识．
21.【答案】解：(1)设y=kx，
∵点(24,50)在其图象上，
∴50=k24，
∴k=1200，
∴所求函数关系式为y=1200x．
(2)由题意知，2台挖掘机每天能够开挖水渠15×2=30(米)，
当x=30时，y=120030=40，
答：该工程队需要用40天才能完成此项任务．
【解析】(1)将点(24,50)代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式；
(2)用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型．
22.【答案】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠A=45°，∠C=98°，∠B=180°−45°−98°=37°．
在Rt△ACD中，
∵AC=40，∠A=45°，
∴DC=AD=AC⋅sin45°=320 2≈452.48．
在Rt△BCD中，
∵BD=320 2tan37°=452.480.75≈961.92，
∴AB=AD+DB=452.48+991.92≈1414.4(千米)．
答：A、B之间的直线距离为1414.4千米．
【解析】过C作CD⊥AB于D，解直角三角形得到求出AD、BD的长度，用(AD+BD)即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是作三角形的高建立直角三角形幷解直角三角形．
23.【答案】30 60
【解析】解：(1)根据图象信息，当t=30分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为4500÷75=60(米/分钟)，
故答案为：30，60；
(2)∵甲、乙两人的速度和为4500÷30=150(米/分钟)，
∴乙的速度为150−60=90(米/分钟)；
(3)乙从七彩农业园回学校的时间为4500÷90=50(分钟)，
∴150×(50−30)=3000，
∴A点的坐标为(50,3000)；
设线段AB所表示的函数表达式为y=kt+b，
∴50k+b=300075k+b=4500，
解得k=60b=0，
∴线段AB所表示的函数表达式为y=60t(50≤t≤75)．
(1)根据图象信息，当t=30分钟时甲乙两人相遇，甲75分钟行驶4500米，根据速度=路程÷时间可得甲的速度；
(2)求出乙从图书馆回学校的时间即A点的横坐标；
(3)运用待定系数法求解即可．
本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，用待定系数法确定函数的解析式，属于中考常考题型．读懂题目信息，从图象中获取有关信息是解题的关键．
24.【答案】6 102
【解析】【感知】证明：过点A作AH⊥BC于点H，
∵S△ABD=12×BD⋅AH，S△ACD=12×CD⋅AH，
∴S△ABD：S△ACD=BD：CD；
【类比】解：∵PD：PA=1：3，
∴S△ABP=3S△BPD，S△APC=S△DPC，
∴S△ABP+S△APC=3(S△BPD+S△DPC)=3S△BPC=6，
∴阴影部分图形的面积为6，
故答案为：6；
【拓展】解：如图③，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．
∵∠PEB=∠PFB=∠EBF=90°，
∴四边形BEPF是矩形，
∴PF=BE，
∵S△ABC=12×AB⋅BC=6，S△ABP：S△ACP：S△BCP=1：3：4，
∴S△ABP=18×6=12×3×PE，S△PBC=12×6=12×4×PF，
∴PE=12，PF=32，
∴BE=PF=32，
∴BP= PE2+BE2= 102，
故答案为： 102．
【感知】由三角形的面积公式可得S△ABD=12×BD⋅AH，S△ACD=12×CD⋅AH，即可求解；
【类比】由PD：PA=1：3，可得S△ABP=3S△BPD，S△APC=S△DPC，即可求解；
【拓展】先证四边形BEPF是矩形，可得PF=BE，由三角形的面积公式可求PE，PF的长，由勾股定理可求解．
本题是三角形综合题，考查了三角形的面积公式，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25.【答案】2 3 (2−2x)
【解析】解：(1)∵∠A=∠B=30°，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵CD⊥AB，
在Rt△ACD中，
AD=AC⋅cos30°=2× 32= 3，
∴AB=2AD=2 3；
故答案为：2 3；
(2)点P从点A出发，以 3cm/s速度运动，
∴AP= 3x，
又∵PQ⊥AB，
在Rt△APQ中，
AQ=APcos30∘=2x，
∴CQ=2−2x，
故答案为：(2−2x)；
(3)将线段PQ绕点Q旋转60°得到QM，
∴△PQM是等边三角形，
当点M落在边CD上时，
∠MPD=180°−∠APQ−∠QPM=180°−90°−60°=30°，
又∵AP= 3x，AD= 3，
∴PD= 3− 3x，
在Rt△PDM中，
PM=PDcos30∘=2−2x，
在Rt△APQ中，
PQ=AP⋅tan30°=x，
又∵PM=PQ，即2−2x=x，
解得x=23；
(4)分情况讨论：
①当点P在AD上运动时，
即0< 3x≤ 3，0
∵点M与点N关于AB对称，
∴PM=PN，
又∵MN⊥AB，PQLAB，
△PQM是等边三角形，
∴PQ=QM=PN=MW，
∴四边形PNMQ是菱形，
由(3)PQ=x=PM，∠MPD=30°，
在Rt△PEM中，
ME=PM⋅sin30°=12x，
PE=PM⋅Ccos30°= 32x，
四边形PQMN与△ABC重叠的部分为梯形PDMQ，
∴y=12⋅(MB+PQ)⋅PE=12x(12x+x)× 32x=3 38x2，
②当P在DB上运动时，MN交AB于点E，如图，
PQ//CD，
∴∠PQM=∠DCB=60°，
∴线段QM在边CB上，
∵AP= 3x，
∴BP=2− 3x，
在Rt△PBQ中，
PQ=BP⋅tan30°=(2 3− 3x)× 33=2−x，
∴PM=PQ=2−x，
∠MPB=30°，
∴RE=PM，cos30°= 3(2−x)2，
ME=PM⋅Sin30°=2−x2，
重叠部分为梯形PEMQ，
∴y=12⋅(ME+PQ)⋅PE=12×(2−x2+2−x)× 3(2−x)2=3 38(2−x)2，
此时 3< 3x<2 3，即1
(2)点P从点A出发，以 3cm/s速度运动，AP= 3x，又PQ⊥AB，在Rt△APQ中，AQ=APcos30∘=2x，CQ=2−2x；
(3)将线段PQ绕点Q旋转60°得到QM，△PQM是等边三角形，∠MPD=30°，又AP= 3x，AD= 3，PD= 3− 3x，在Rt△PDM中，PM=PDcos30∘=2−2x，在Rt△APQ中，PQ=AP.tan30°=x，又PM=PQ，即2−2x=x，解出x；
(4)分情况讨论：①当点P在AD上运动时，0
26.【答案】4 0
【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a,b为常数)的对称轴为直线x=1，且经过点(−1,0)，
∴−b2a=1a−b+3=0，
解得a=−1b=2，
∴抛物线对应的二次函数解析式为y=−x2+2x+3；
(2)∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线y=−x2+2x+3顶点坐标为(1,4)，
∵抛物线开口向下，
∴当x=1时，y取最大值4；
∵3−1>1−(−12)，
∴当x=3时，y取最小值−32+2×3+3=0；
故答案为：4，0；
(3)①当t≤1时，x=t时y取最大值，x=t−1时y取最小值，
∵最大值和最小值的差为3，
∴−t2+2t+3−[−(t−1)2+2(t−1)+3]=3，
解得t=0；
②当t−1<1
∴4−[−(t−1)2+2(t−1)+3]=3，
解得t=2+ 3(舍去)或t=2− 3(舍去)；
③当t−1<11−(t−1)，即32
∴4−(−t2+2t+3)=3，
解得t=1+ 3(舍去)或t=1− 3(舍去)；
④当t−1≥1，即t≥2时，x=t−1时y最大，x=t时y最小，
∴−(t−1)2+2(t−1)+3−(−t2+2t+3)=3，
解得t=3；
综上所述，t的值为0或3；
(4)∵抛物线y=−x2+2x+3上有两点M、N，横坐标分别为−1和4，
∴M(−1,0)，N(4,−5)；
∵点P在抛物线上，横坐标为m，
∴P(m,−m2+2m+3)，
∵PQ平行于x轴，
∴直线PQ为y=−m2+2m+3，
如图：
∵图象G上恰好有三个点到直线PQ的距离为2，
∴0<−m2+2m+3+2<4−5<−m2+2m+3−2<0，
解得1− 6
(2)求出抛物线y=−x2+2x+3顶点坐标为(1,4)，即可得当x=1时，y取最大值4；当x=3时，y取最小值−32+2×3+3=0；
(3)分四种情况讨论：①当t≤1时，−t2+2t+3−[−(t−1)2+2(t−1)+3]=3，得t=0；②当t−1<11−(t−1)，即32
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数的最大最小值问题，解题的关键是分类讨论思想的应用．
2023年吉林省松原市前郭县学区五校中考数学五模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数3的倒数是( )
A. −3 B. 3 C. −13 D. 13
2. 习近平总书记在党的二十大报告中讲到，全国八百三十二个贫困县全部摘帽，近一亿农村贫困人口实现脱贫，九百六十多万贫困人口实现易地搬迁，历史性地解决了绝对贫困问题，为全球减贫事业作出了重大贡献.将9600000用科学记数法表示为( )
A. 0.96×107 B. 9.6×106 C. 96×105 D. 960×104
3. 下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是( )
A. B.
C. D.
4. 不等式2x≤6−x的解集是( )
A. x≤2 B. x<2 C. x≥2 D. x>2
5. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，CD=3，CF=2，则AE的长是( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
6. 如图，AB是⊙O的弦，OD为⊙O半径.OC⊥AB，垂足为C，OD//AB，OD=2OC，则∠ODB为度．( )
A. 60
B. 65
C. 70
D. 75
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 计算： 9−(−2023)°= ______ ．
8. 分解因式：a2x2−a2y2= ．
9. 若关于x的一元二次方程ax2−4x+2=0有两个实数根，则a的取值范围是 ．
10. 某小区要打造一个长方形花圃，已知花圃的长为(a+2b)米，宽比长短b米，则花圃的周长为 米(请用含a、b的代数式表示)．
11. 如图，该图形可以看作是由一个“”绕中心每次旋转______ 得到的．
12. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别是边AC、BC、AB的中点.若DE=3，则CF的长为______ ．
13. 如图，正方形ABCD的顶点B、C都在x轴上，若点A的坐标是(−1,4)，点B的坐标是(−1,0)，则点C的坐标是______ ．
14. 如图，在△ABC中，∠A=50°，BC=6，以BC为直径的半圆O与AB、AC分别交于点D、E，则图中阴影部分的面积是______ (结果保留π)．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(2+a)(2−a)+(a−3)2，其中a=32．
16. (本小题5.0分)
小明和小刚周末相约到长春动植物园晨练，动植物园有A、B、C、D四个入口，他们可以随机选择一个入口进入动植物园，假设选择每个入口的可能性相同．
(1)小明进入动植物园时，从B入口处进入的概率为______ ；
(2)用画树状图或列表的方法，求两人选择不同入口进入动植物园的概率．
17. (本小题5.0分)
如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C=∠E，AB=AD.求证：BC=DE．
18. (本小题5.0分)
某地区以移动互联和大数据技术支持智慧课堂，实现学生的自主、个性和多元学习，全区学生逐步实现上课全部使用平板电脑.某商场用6万元购进甲型号的平板，很快销售一空.该商场又用12.8万元购进了乙型号的平板，所购数量是甲型号平板购进数量的2倍，但单价贵了40元.求该商场购进甲型号平板和乙型号平板的单价各是多少元？
19. (本小题7.0分)
如图的网格中每个小正方形的边长均为1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在格点上；
(1)在图1中画出一个以AB为一边的成中心对称的四边形ABCD，使其面积为12；
(2)在图2中画出一个以EF为一边的等腰△EFP，使其tanP=2，并直接写出△EFP的面积______．
20. (本小题7.0分)
“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”.某单位利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“A、B、AB、O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如下两幅不完整的统计图表．
血型
A
B
AB
O
人数
______
10
5
______
(1)本次随机抽取献血者人数为______ 人，图中m= ______ ；
(2)补全表中的数据；
(3)若这次活动中该单位有1800人义务献血，估计大约有多少人是A型血？
21. (本小题7.0分)
在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，所需天数y(单位：天)与每天完成的工程量x(单位：m/天)之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分．
(1)请根据题意，求y关于x的函数解析式；
(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15m，则该工程队需用多少天才能完成此项任务？
22. (本小题7.0分)
如图，城A到城B之间有一座小山，它们之间的交通需要绕过小山到城C，现在准备开通隧道建设A、B之间的直达公路，已知∠A=45°，∠C=98°，AC=640千米，请计算A、B之间的直线距离(结果精确到0.1千米，参考数据：Nonesin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75， 2≈1.414， 3≈1.732)
23. (本小题8.0分)
实验小学与七彩农业园分别在上海路的两端，甲从实验小学去七彩农业园，乙从七彩农业园回学校，甲、乙两人都沿上海路同时匀速出发，乙先到达目的地，两人之间的距离y(米)与时间t(分)之间的函数关系如图所示.根据图象信息解答下列问题：
(1)当t= ______ 时，甲、乙两人相遇，甲的速度为______ 米/分；
(2)求乙的速度；
(3)求出线段AB所对应的函数表达式．
24. (本小题8.0分)
【感知】如图①，在△ABC中，点D为BC边上一点，连接AD.求证：S△ABD：S△ACD=BD：CD；
【类比】如图②，在图①的基础上，点P为AD上一点，且PD：PA=1：3，连接BP、CP，若S△BCP=2，则阴影部分图形的面积为______ ；
【拓展】如图③，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点P为△ABC内部一点，且S△ABP：S△ACP：S△BCP=1：3：4，则线段BP的长为______ ．
25. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠A=∠B=30°，AC=2cm，CD⊥AB于点D.动点P从点A出发，以 3cm/s的速度沿边AB向点B匀速运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AB交折线AC−CB于点Q，将线段PQ绕点Q逆时针旋转60°得到线段QM，连接PM，设点P的运动时间为x(s)，回答下列问题．
(1)直接写出AB= ______ cm；
(2)当点Q在边AC上时，CQ的长为______ cm(用含x的代数式表示)；
(3)当点M落在边CD上时，求x的值；
(4)在点P运动的过程中，作点M关于直线AB的对称点N，连接PN、MN，设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y cm2，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
26. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a,b为常数)的对称轴为直线x=1，且经过点(−1,0)．
(1)求此抛物线对应的二次函数解析式；
(2)当−12≤x≤3时，二次函数的最大值是______ ，最小值是______ ；
(3)当t−1≤x≤t时，若二次函数的最大值和最小值的差为3，求t的值；
(4)点P在抛物线上，横坐标为m，过点P作直线PQ平行于x轴，交抛物线于另一点Q.抛物线上另有两点M、N，横坐标分别为−1和4，M、N两点之间的部分(不包括M、N两点)记作图象G.若图象G上恰好有三个点到直线PQ的距离为2，请直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：3的倒数是13，
故选：D．
根据倒数的定义可直接得出答案．
本题考查了倒数的定义，熟知乘积是1的两个数互为倒数是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：将9600000用科学记数法表示为9.6×106．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：A、该圆柱的主视图为矩形、俯视图为圆，故本选项不合题意；
B、该三棱柱的主视图为矩形、俯视图为三角形，故本选项不合题意；
C、该圆锥的主视图为等腰三角形、俯视图为圆(带圆心)，故本选项不合题意；
D、该长方体的主视图和俯视图均为矩形，故本选项符合题意；
故选：D．
主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形．
本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握常见的几何体的三视图是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：2x≤6−x，
移项，得：2x+x≤6，
合并同类项，得：3x≤6，
系数化为1，得：x≤2，
故选：A．
利用不等式的基本性质，移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
由基本作图得到EF垂直平分AD，则AE=DE，AF=DF，EF⊥AD，再根据等腰三角形三线合一得到AE=AF，则可判断四边形AEDF为菱形，所以DE//AC，然后根据相似三角形的判定与性质可计算出AE．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质．
【解答】
解：由作法得EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF，EF⊥AD，
∵AD平分∠BAC，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，
∴四边形AEDF为菱形，
∴ED//AC，
∴△BED∽△BAC，
∴DBBC=EDAC，
∵BD=6，CD=3，CF=2，
∴66+3=EDED+2，
解得：ED=4，
∴AE=4．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】解：如图：连接OB，则OB=OD，
∵OC=12OD，
∴OC=12OB，
∵OC⊥AB，
∴∠OBC=30°，
∵OD//AB，
∴∠BOD=∠OBC=30°，
∴∠OBD=∠ODB=75°，
故选：D．
连接OB，则OB=OD，由OC⊥AB，则∠OBC=30°，再由OD//AB，即可求出答案．
本题考查的是圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．
7.【答案】2
【解析】解：原式=3−1
=2．
故答案为：2．
原式利用算术平方根定义，以及零指数幂法则计算即可求出值．
此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8.【答案】a2(x+y)(x−y)
【解析】解：原式=a2(x2−y2)
=a2(x+y)(x−y)．
故答案为：a2(x+y)(x−y)．
应先提取公因式a2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定要彻底．
9.【答案】a≤2且a≠0
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2−4x+2=0有两个实数根，
∴Δ=b2−4ac=42−4×a×2=16−8a≥0，
解得：a≤2，
∵方程ax2−4x+2=0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴a的范围是：a≤2且a≠0，
故答案为：a≤2且a≠0．
由关于x的一元二次方程ax2−4x+2=0有有两个实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式△≥0，a≠0，继而可求得a的范围．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得△≥0.同时考查了一元二次方程的定义．
10.【答案】(4a+6b)
【解析】
【分析】
本题考查整式的加减，用字母表示数，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
根据题意用字母表示数，然后根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：宽为a+2b−b=a+b，
所以周长为：2(a+b+a+2b)
=2(2a+3b)
=(4a+6b)米，
故答案为：(4a+6b)．
11.【答案】90°
【解析】解：如图所示的图形可以看作“1”按照逆时针(或顺时针)旋转3次，且每次旋转了90°而成的．
故答案为：90°．
这个图形可以分为四个部分，可以认为是由一个图形旋转而得到．
本题考查了旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
12.【答案】3
【解析】解：∵点D、E分别是边AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=6，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点F是边AB的中点，
∴CF=12AB=3，
故答案为：3．
根据三角形中位线定理求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
13.【答案】(3,0)
【解析】解：∵点A的坐标是(−1,4)，点B的坐标是(−1,0)，
∴AB=4，OB=1，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=4，
∴OC=BC−OB=4−1=3，
又∵点C都在x轴上，
∴点C的坐标为(3,0)．
故答案为：(3,0)．
首先根据点A、B的坐标，求出正方形的边长与OB的长，再根据正方形的性质，求出OC的长，即可得出点C的坐标．
本题考查了坐标与图形性质，根据点A、B的坐标，求出正方形的边长是解本题的关键．
14.【答案】2π
【解析】解：∵∠A=50°，
∴∠B+∠C=130°，
∵∠DOC=2∠B，∠BOE=2∠C，
∴∠DOC+∠BOE=2∠B+2∠C=260°，
∵∠DOC+∠BOE=∠BOC+∠DOE，
∴∠DOE=260°−∠BOC=260°−180°=80°，
∵BC=6，
∴OD=3，
∴扇形DOE的面积是：80π×32360=2π，
故答案为：2π．
根据题意和图形，可以先求的∠DOE的度数，然后根据BC可以得到OD的长，再根据扇形面积公式，即可解答本题．
本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】解：(2+a)(2−a)+(a−3)2
=4−a2+a2−6a+9
=13−6a，
当a=32时，原式=13−6×32=13−9=4．
【解析】根据完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把a的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】14
【解析】解：(1)∵动植物园有A、B、C、D四个入口，
∴小明进入动植物园时，从B入口处进入的概率为14，
故答案为：14；
(2)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小刚两人选择不同入口进入动植物园的结果有12种，
∴两人选择不同入口进入动植物园的概率为1216=34．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小刚两人选择相同入口进入植物园的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】证明：∵AC是∠BAE的平分线，
∴∠BAC=∠DAE．
∵在△BAC与△DAE中
∠BAC=∠DAE∠C=∠EAB=AD
∴△BAC≌△DAE(AAS)，
∴BC=DE．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
根据全等三角形的判定：AAS证明△BAC≌△DAE，即可得BC=DE．
18.【答案】解：(1)设该商场购进甲型平板的单价为x元，则购进乙型平板的单价为(x+40)元，
由题意得：60000x×2=128000x+40，
解得：x=600，
经检验：x=600是原分式方程的解，且符合题意，
∵乙型平板的单价为(x+40)元，
∴600+40=640(元)，
答：该商场购进甲型号平板的单价为600元，乙型号平板的单价为640元．
【解析】设该商场购进甲型号平板的单价为x元，则购进乙型号平板的单价为(x+40)，所购数量是甲型平板购进数量的2倍，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19.【答案】10
【解析】解：(1)如图1，▱ABCD即为所求；
(2)如图2，等腰△EFP即为所求；
△EFP的面积为：12×5×4=10，
故答案为10．
(1)作一以AB为边的平行四边形即可得；
(2)根据等腰三角形的腰为5，腰上的高为3，进行画图．
本题主要考查了利用图形的基本变换进行作图，作图时需要运用平行四边形的性质以及等腰三角形的性质进行计算．注意：平行四边形是中心对称图形，等腰三角形是轴对称图形．
20.【答案】12 23 50 20
【解析】解：(1)这次随机抽取的献血者人数为5÷10%=50(人)，
所以m=1050×100=20；
故答案为：50，20；
(2)O型献血的人数为46%×50=23(人)，
A型献血的人数为50−10−5−23=12(人)，
血型
A
B
AB
O
人数
12
10
5
23
故答案为：12，23；
(3)1800×1250×100%=432(人)，
答：估计有432人是A型血．
(1)用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算m的值；
(2)先计算出O型的人数，再计算出A型人数，从而可补全上表中的数据；
(3)用总人数乘以样本中A型血人数所占比例．
本题考查了用样本估计总体、统计表、扇形统计图，解决本题的关键是综合运用以上知识．
21.【答案】解：(1)设y=kx，
∵点(24,50)在其图象上，
∴50=k24，
∴k=1200，
∴所求函数关系式为y=1200x．
(2)由题意知，2台挖掘机每天能够开挖水渠15×2=30(米)，
当x=30时，y=120030=40，
答：该工程队需要用40天才能完成此项任务．
【解析】(1)将点(24,50)代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式；
(2)用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型．
22.【答案】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠A=45°，∠C=98°，∠B=180°−45°−98°=37°．
在Rt△ACD中，
∵AC=40，∠A=45°，
∴DC=AD=AC⋅sin45°=320 2≈452.48．
在Rt△BCD中，
∵BD=320 2tan37°=452.480.75≈961.92，
∴AB=AD+DB=452.48+991.92≈1414.4(千米)．
答：A、B之间的直线距离为1414.4千米．
【解析】过C作CD⊥AB于D，解直角三角形得到求出AD、BD的长度，用(AD+BD)即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是作三角形的高建立直角三角形幷解直角三角形．
23.【答案】30 60
【解析】解：(1)根据图象信息，当t=30分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为4500÷75=60(米/分钟)，
故答案为：30，60；
(2)∵甲、乙两人的速度和为4500÷30=150(米/分钟)，
∴乙的速度为150−60=90(米/分钟)；
(3)乙从七彩农业园回学校的时间为4500÷90=50(分钟)，
∴150×(50−30)=3000，
∴A点的坐标为(50,3000)；
设线段AB所表示的函数表达式为y=kt+b，
∴50k+b=300075k+b=4500，
解得k=60b=0，
∴线段AB所表示的函数表达式为y=60t(50≤t≤75)．
(1)根据图象信息，当t=30分钟时甲乙两人相遇，甲75分钟行驶4500米，根据速度=路程÷时间可得甲的速度；
(2)求出乙从图书馆回学校的时间即A点的横坐标；
(3)运用待定系数法求解即可．
本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，用待定系数法确定函数的解析式，属于中考常考题型．读懂题目信息，从图象中获取有关信息是解题的关键．
24.【答案】6 102
【解析】【感知】证明：过点A作AH⊥BC于点H，
∵S△ABD=12×BD⋅AH，S△ACD=12×CD⋅AH，
∴S△ABD：S△ACD=BD：CD；
【类比】解：∵PD：PA=1：3，
∴S△ABP=3S△BPD，S△APC=S△DPC，
∴S△ABP+S△APC=3(S△BPD+S△DPC)=3S△BPC=6，
∴阴影部分图形的面积为6，
故答案为：6；
【拓展】解：如图③，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．
∵∠PEB=∠PFB=∠EBF=90°，
∴四边形BEPF是矩形，
∴PF=BE，
∵S△ABC=12×AB⋅BC=6，S△ABP：S△ACP：S△BCP=1：3：4，
∴S△ABP=18×6=12×3×PE，S△PBC=12×6=12×4×PF，
∴PE=12，PF=32，
∴BE=PF=32，
∴BP= PE2+BE2= 102，
故答案为： 102．
【感知】由三角形的面积公式可得S△ABD=12×BD⋅AH，S△ACD=12×CD⋅AH，即可求解；
【类比】由PD：PA=1：3，可得S△ABP=3S△BPD，S△APC=S△DPC，即可求解；
【拓展】先证四边形BEPF是矩形，可得PF=BE，由三角形的面积公式可求PE，PF的长，由勾股定理可求解．
本题是三角形综合题，考查了三角形的面积公式，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25.【答案】2 3 (2−2x)
【解析】解：(1)∵∠A=∠B=30°，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵CD⊥AB，
在Rt△ACD中，
AD=AC⋅cos30°=2× 32= 3，
∴AB=2AD=2 3；
故答案为：2 3；
(2)点P从点A出发，以 3cm/s速度运动，
∴AP= 3x，
又∵PQ⊥AB，
在Rt△APQ中，
AQ=APcos30∘=2x，
∴CQ=2−2x，
故答案为：(2−2x)；
(3)将线段PQ绕点Q旋转60°得到QM，
∴△PQM是等边三角形，
当点M落在边CD上时，
∠MPD=180°−∠APQ−∠QPM=180°−90°−60°=30°，
又∵AP= 3x，AD= 3，
∴PD= 3− 3x，
在Rt△PDM中，
PM=PDcos30∘=2−2x，
在Rt△APQ中，
PQ=AP⋅tan30°=x，
又∵PM=PQ，即2−2x=x，
解得x=23；
(4)分情况讨论：
①当点P在AD上运动时，
即0< 3x≤ 3，0
∵点M与点N关于AB对称，
∴PM=PN，
又∵MN⊥AB，PQLAB，
△PQM是等边三角形，
∴PQ=QM=PN=MW，
∴四边形PNMQ是菱形，
由(3)PQ=x=PM，∠MPD=30°，
在Rt△PEM中，
ME=PM⋅sin30°=12x，
PE=PM⋅Ccos30°= 32x，
四边形PQMN与△ABC重叠的部分为梯形PDMQ，
∴y=12⋅(MB+PQ)⋅PE=12x(12x+x)× 32x=3 38x2，
②当P在DB上运动时，MN交AB于点E，如图，
PQ//CD，
∴∠PQM=∠DCB=60°，
∴线段QM在边CB上，
∵AP= 3x，
∴BP=2− 3x，
在Rt△PBQ中，
PQ=BP⋅tan30°=(2 3− 3x)× 33=2−x，
∴PM=PQ=2−x，
∠MPB=30°，
∴RE=PM，cos30°= 3(2−x)2，
ME=PM⋅Sin30°=2−x2，
重叠部分为梯形PEMQ，
∴y=12⋅(ME+PQ)⋅PE=12×(2−x2+2−x)× 3(2−x)2=3 38(2−x)2，
此时 3< 3x<2 3，即1
(2)点P从点A出发，以 3cm/s速度运动，AP= 3x，又PQ⊥AB，在Rt△APQ中，AQ=APcos30∘=2x，CQ=2−2x；
(3)将线段PQ绕点Q旋转60°得到QM，△PQM是等边三角形，∠MPD=30°，又AP= 3x，AD= 3，PD= 3− 3x，在Rt△PDM中，PM=PDcos30∘=2−2x，在Rt△APQ中，PQ=AP.tan30°=x，又PM=PQ，即2−2x=x，解出x；
(4)分情况讨论：①当点P在AD上运动时，0
26.【答案】4 0
【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a,b为常数)的对称轴为直线x=1，且经过点(−1,0)，
∴−b2a=1a−b+3=0，
解得a=−1b=2，
∴抛物线对应的二次函数解析式为y=−x2+2x+3；
(2)∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线y=−x2+2x+3顶点坐标为(1,4)，
∵抛物线开口向下，
∴当x=1时，y取最大值4；
∵3−1>1−(−12)，
∴当x=3时，y取最小值−32+2×3+3=0；
故答案为：4，0；
(3)①当t≤1时，x=t时y取最大值，x=t−1时y取最小值，
∵最大值和最小值的差为3，
∴−t2+2t+3−[−(t−1)2+2(t−1)+3]=3，
解得t=0；
②当t−1<1
∴4−[−(t−1)2+2(t−1)+3]=3，
解得t=2+ 3(舍去)或t=2− 3(舍去)；
③当t−1<1
∴4−(−t2+2t+3)=3，
解得t=1+ 3(舍去)或t=1− 3(舍去)；
④当t−1≥1，即t≥2时，x=t−1时y最大，x=t时y最小，
∴−(t−1)2+2(t−1)+3−(−t2+2t+3)=3，
解得t=3；
综上所述，t的值为0或3；
(4)∵抛物线y=−x2+2x+3上有两点M、N，横坐标分别为−1和4，
∴M(−1,0)，N(4,−5)；
∵点P在抛物线上，横坐标为m，
∴P(m,−m2+2m+3)，
∵PQ平行于x轴，
∴直线PQ为y=−m2+2m+3，
如图：
∵图象G上恰好有三个点到直线PQ的距离为2，
∴0<−m2+2m+3+2<4−5<−m2+2m+3−2<0，
解得1− 6
(2)求出抛物线y=−x2+2x+3顶点坐标为(1,4)，即可得当x=1时，y取最大值4；当x=3时，y取最小值−32+2×3+3=0；
(3)分四种情况讨论：①当t≤1时，−t2+2t+3−[−(t−1)2+2(t−1)+3]=3，得t=0；②当t−1<1
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数的最大最小值问题，解题的关键是分类讨论思想的应用．
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