2022-2023学年辽宁省丹东市七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省丹东市七年级（下）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省丹东市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 经测算，一粒芝麻约有0.00000201千克，0.00000201用科学记数法表示为(    )
A. 2.01×10−6 B. 0.201×10−5 C. 20.1×10−7 D. 2.01×10−7
2. 一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字−2、0、14、3.从中随机摸出一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为(    )
A. 35 B. 14 C. 34 D. 12
3. 如图，直线a//b，将含30°角的直角三角板ABC(∠B=30° )按图中位置摆放，若∠1=48°，则∠2的度数为(    )
A. 100°
B. 102°
C. 104°
D. 110°


4. 如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，若AC=8，AB=6，BC=4，则△ADB的周长为(    )

A. 14 B. 13 C. 12 D. 10
5. 等腰三角形的两条边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为(    )
A. 8或10 B. 8 C. 10 D. 11
6. 在△ABC中，∠C=90°，若BC=5，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD=3：2，则点D到线段AB的距离为(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 如图，AB//EF，∠C=90°，则α、β、γ的关系为(    )

A. α+β−γ=90° B. β=α+γ
C. α+β+γ=180° D. β+γ−α=90°
8. 已知(a+m)2=a2+(2t−1)ab+4b2，则t的值为(    )
A. 52 B. ±52 C. 52或−32 D. ±32
9. 如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为(    )
A. 22
B. 24
C. 30
D. 36
10. 如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD，CE交于点M，N.则下列结论：①△ACE≌△DCB；②DC//EB；③AC=DN；④EM=BN；⑤∠CMN=60°.其中正确的结论有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
11. 计算：20230−(−27)×3−3= ______ ．
12. 等腰三角形有一个角是94°，则它一个底角的度数为______ °.
13. 如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形(每个白色小正方形被涂黑的可能性相同)，使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是______ ．
14. 若xm=3，xn=5，则x2m−3n= ______ ．
15. 如图，AB//CD，EF分别交AB，CD于点P，F，过点P作PQ⊥EF，则图中与∠QPB互余的角有______ 个.


16. 若梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8，则梯形面积y与上底长x之间的关系式是______ ，当x每增加1时，y会增加______ ．
17. 如图，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线OM上，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，PN⊥OA，垂足为点N，PN=NO=3，则四边形CODP的面积为______ ．


18. 在锐角△ABC中，AB=AC，将△ABC沿AC翻折得到△AB′C，直线AB与直线B′C相交于点E，若△AEB′是等腰三角形，则∠A的度数为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
利用乘法公式计算
(1)20232−2024×2022；
(2)(y2−7)2−(y2+7)2；
20. (本小题5.0分)
先化简，再求值：
[(x+y)(3x−y)+y2)]÷(−x)，其中x=4,y=−14．
21. (本小题6.0分)
如图，两条公路AO，BO交于点O，村庄M，N的位置如图所示，其中村庄M在公路OA上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．

22. (本小题7.0分)
在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与．
(1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是______ 事件(填“随机”、“必然”、“不可能”)；五小含自个能)漂五小应没应
(2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，
抽中一等奖的概率为______ ；抽中二等奖的概率为______ ；中奖的概率为______ ；
(3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率．
23. (本小题8.0分)
完成下面的说理过程：

已知：如图，AB//CF，∠ACF=80°，∠CAD=20°，∠ADE=120°
求证：DE//AB．
证明：因为AB//CF(已知)，
所以∠ACF=∠BAC=80° (______ ).
因为∠CAD=20°，
所以∠BAD=∠BAC−∠CAD=(______ )°．
因为∠ADE=120°，
所以∠BAD+∠ADE=(______ )°，
所以DE//AB(______ ).
24. (本小题8.0分)
如图，点D、E、F、G均在△ABC的边上，连接BD、DE、FG，∠3=∠CBA，FG//BD．
(1)求证：∠1+∠2=180°；
(2)若BD平分∠CBA，DE平分∠BDC，∠A=35°，求∠C的度数．

25. (本小题8.0分)
小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，妈妈先跑.当小明出发时，妈妈已经距离起点200米.他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题：
(1)小明出发之后，前70秒的速度是______ 米/秒；
妈妈的速度是______ 米/秒；
(2)a表示的数字是______ ；
(3)直接写出小明出发后的110秒内，两人何时相距60米．

26. (本小题12.0分)
(1)如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BD，CE.则△ADB≌ ______ ，此时线段BD和线段CE的数量关系是______ ；
(2)如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和线段CE的关系，并说明理由；
(3)如图3，分别以△ABC的两边AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，两线交于点P.请直接写出线段BE和线段CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：0.00000201用科学记数法表示为2.01×10−6．
故选：A．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|∠ACM，
∴AC>AM，
∴AC≠DN，故③错误；
∵∠DCE=∠BEC=60°，
∴CD//BE，故②正确；
∠CBN=∠CEMCB=CE∠BCN=∠ECM，
∴△CBN≌△CEM(ASA)，
∴CN=CM，所以②正确；
∵∠MCN=60°，
∴△CMN为等边三角形，
∴∠CMN=60°，故⑤正确；
故选：D．
利用边角边即可证明△ACE与△DCB全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠CAM=∠CDN，根据三角形外角性质推出∠APD=60°.再利用角边角证明△ACM≌△DCN，根据全等三角形对应边相等可得DN=AM，同理可证明△BCN≌△ECM，根据全等三角形对应边相等可得BN=EM，根据∠DCE=∠BEC得DC//BE．
本题考查了等边三角形的性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，综合性比较强．

11.【答案】2 
【解析】解：20230−(−27)×3−3
=1−(−27)×127
=1−(−1)
=1+1
=2，
故答案为：2．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．

12.【答案】43 
【解析】解：∵等腰三角形的两底角相等，
∴94°角只能是等腰三角形的顶角，
∴底角为：(180°−94°)÷2=43°．
故答案为：43．
因为三角形的内角和为180°，所以94°角只能为顶角，从而可求出底角．
此题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理．此题比较简单，解题的关键是熟记定理，掌握定理的应用．

13.【答案】16 
【解析】解：共有12种可能，其中有两种是轴对称图形，
所以新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是212=16．
故答案为：16．
判断出共有12种可能，其中有两种是轴对称图形，
本题考查利用轴对称设计图案，几何概率等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

14.【答案】9125 
【解析】解：∵xm=3，xn=5，
∴x2m−3n=x2m÷x3n=(xm)2÷(xn)3=9÷125=9125，
故答案为：9125．
依据同底数幂的除法法则以及幂的乘方法则，即可得到结论．
本题主要考查了同底数幂的除法法则以及幂的乘方法则，应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．

15.【答案】3 
【解析】解：∵PQ⊥EF，
∴∠QPB+∠BPF=180°，∠EPQ=90°，
∴∠QPB+∠APE=180°−∠EPQ=90°，
∵AB//CD，
∴∠CFP=∠APE，
∴∠QPB+∠CFP=90°，
∴图中与∠QPB互余的角有3个．．
故答案为：3
由PQ⊥EF，得到∠QPB+∠BPF=180°，∠EPQ=90°，因此∠QPB+∠APE=180°−∠EPQ=90°，由平行线的性质得到∠CFP=∠APE，因此∠QPB+∠CFP=90°，于是得到图中与∠QPB互余的角有3个．
本题考查平行线的性质，余角，关键是掌握余角的定义，平行线的性质．

16.【答案】y=4x+60  4 
【解析】解：由题意得：y=12(x+15)×8=4x+60．
故梯形的面积y与上底长x之间的关系式是y=4x+60．
当x增加1时，
4(x+1)+60−4x−60
=4x+4−4x
=4．
所以x每增加1，y会增加4．
故答案为：y=4x+60，4．
根据梯形的面积=12(上底+下底)×高，即可列出关系式．
本题考查了函数关系式的知识，属于基础题，掌握梯形的面积公式是解题关键．

17.【答案】9 
【解析】解：过点P作OB的垂线，垂足为H，

∵OM是∠AOB的平分线，且PN⊥AO，PH⊥BO．
∴PN=PH．
又∠AOB=90°，
∴四边形OHPN是正方形．
又∠CPD=∠NOH=90°，
∴∠CPN=∠DPH．
又∠CNP=∠DHP，PN=PH．
∴△CPN≌△DPH．
∴S四边形CODP=S△CNP+S四边形NODP=S△DHP+S四边形NODP=S正方形NOHP．
又PN=NO=3，
∴S正方形NOHP=9．
即S四边形CODP=9．
故答案为：9．
利用角平分线的性质，将图中四边形的面积转化为正方形的面积，便可解决问题．
本题考查了一般四边形的面积转化，利用全等将不规则四边形转化为规则四边形是解题的关键．

18.【答案】900°7或108°或540°7或36°或180°7． 
【解析】解：分两种情况：
(1)射线BA与射线CB′交于点E，
此时又分三种情况：
①当B′E=B′A时，如图，

∵AB=AC，
∴∠B=∠BCA，
由折叠得∠B=∠B′，∠BCA=∠B′CA，
设∠B=x，则∠B′=∠BCA=∠B′CA=x，
∴∠B′AE=∠B′EA=3x，
在△AEB′中，由三角形内角和定理得：3x+3x+x=180°，
∴x=180°7，
即∠B=180°7，
∴∠A=180°−2×180°7=900°7；
②当EB′=AE时，如图，

∵AB=AC，
∴∠B=∠BCA，
由折叠得：∠B=∠B′，∠BCA=∠B′CA，
设∠B=x，则∠B′=∠BCA=∠B′CA=x，∠AEB′=3x，
在△AEB′中，由三角形内角和定理得：x+x+3x=180°，
∴x=36°，即∠B=36°，
∴∠A=180°−2×36°=108°；
③当B′A=B′E时，如图，

∵AB=AC，
∴∠B=∠BCA，
由折叠得：∠B=∠AB′C，∠BCA=∠B′CA，
设∠B=x，则∠AB′C=∠BCA=∠B′CA=x，∠AEB′=12x，∠EAC=2x，
在△AEC中，由三角形内角和定理得：x+2x+12x=180°，
∴x=360°7，
即∠B=360°7，
∴∠A=180°−2×360°7=540°7，
综上，∠A=900°7或108°或540°7．
(2)射线AB与射线B′C交于点E，
由于AE>AB=AB′，所以此时又分两种情况：
①当EA=EB′时，如图，
则∠BAB′=∠B′，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BCA，
由折叠得：∠ABC=∠B′，∠BAC=∠B′AC，
设∠BAC=x，
则∠BAB′=∠BAC+∠B′AC=2x=∠B′，
∴∠ABC=∠ACB=∠B′=2x，
在△ABC中，由三角形内角和定理得：x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
即∠BAC=36°；
②当AB′=EB′时，如图，
则∠BAB′=∠E，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BCA，
由折叠得：∠ABC=∠B′，∠BAC=∠B′AC，
设∠BAC=x，
则∠BAB′=∠BAC+∠B′AC=2x=∠E，
∠ABC=180°−x2=∠B′，
在△AB′E中，由三角形内角和定理得：2x+2x+180°− x2=180°，
∴x=180°7，
即∠BAC=180°7，
综上，∠A=36°或180°7，
综上所述，∠A=900°7或108°或540°7或36°或180°7．
故答案为：900°7或108°或540°7或36°或180°7．
分两种情形：(1)射线BA与射线CB′交于点E，此时又分三种情况：①当B′E=B′A时，②当EB′=AE时，③当B′A=B′E时，(2)射线AB与射线B′C交于点E，
此时又分两种情况：①当EA=EB′时，②当AB′=EB′时，分别构建方程求解即可．
本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．

19.【答案】解：(1)20232−2024×2022
=20232−(2023+1)×(2023−1)
=20232−(20232−12)
=20232−20232+1
=1；
(2)(y2−7)2−(y2+7)2
=[(y2−7)+(y2+7)][(y2−7)−(y2+7)]
=y⋅(−14)
=−14y． 
【解析】(1)先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可；
(2)先根据平方差公式进行变形，再求出答案即可．
本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解此题的关键，注意：(a+b)(a−b)=a2−b2．

20.【答案】解：[(x+y)(3x−y)+y2]÷(−x)
=(3x2−xy+3xy−y2+y2)÷(−x)
=(3x2+2xy)÷(−x)
=−3x−2y，
当x=4,y=−14时，
原式=−3×4−2×(−14)
=−12+12
=−232． 
【解析】先算多项式乘多项式，再合并同类项，接着算整式的除法，最后把相应的值代入运算即可．
本题主要考查整式的混合运算—化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

21.【答案】解：如图，点P即为所求．
 
【解析】作线段MN的垂直平分线EF，作∠AOB的角平分线OT，OT交EF与点P，点P即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

22.【答案】随机 18 14 58 
【解析】解：(1)∵小明可能中奖也可能不中奖，
∴小明中奖是随机事件，
故答案为：随机；
(2)∵袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，且从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与．
∴P(一等奖)=324=18，
P(二等奖)=624=14，
P(中奖)=24−924=58，
故答案为：18，14，58；
(3)∵有足够多的球，从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率，
∴只要球的总数为15个，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数，
∴可设计如下：选红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球15个，其中红球和白球都是3个，黑球2个，其他的球都是黄色球．(答案不唯一，只要合理即可)
(1)根据“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”的定义判断即可；
(2)利用概率公式直接计算即可；
(3)设计摸球游戏中的球总数为15，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数即可．
本题考查随机事件，概率公式，游戏设计，掌握概率的意义是解题的关键．

23.【答案】两直线平行，内错角相等  60  180  同旁内角互补，两直线平行 
【解析】解：证明：因为AB//CF(已知)，
所以∠ACF=∠BAC=80° (两直线平行，内错角相等)．
因为∠CAD=20°，
所以∠BAD=∠BAC−∠CAD=( 60)°．
因为∠ADE=120°，
所以∠BAD+∠ADE=( 180)°，
所以DE//AB(同旁内角互补，两直线平行)．
故答案为：两直线平行，内错角相等；60；180；同旁内角互补，两直线平行．
利用平行线的性质求出∠BAC的度数，再计算∠BAD的度数，再利用平行线的判定判断DE与AB平行．
本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质定理．

24.【答案】解：(1)∵∠3=∠CBA，
∴AB//DE，
∴∠2=∠DBA，
∵FG//BD，
∴∠1+∠DBA=180°，
∴∠1+∠2=180°；
(2)∵AB//DE，
∴∠CDE=∠A=35°，
∵DE平分∠BDC，
∴∠2=∠CDE=35°，
∴∠DBA=35°，
∵BD平分∠CBA，
∴∠CBA=70°，
∴∠C=180°−∠A−∠CBA=75°． 
【解析】(1)根据平行线的判定可得AB//DE，根据平行线的性质可得∠2=∠DBA，再根据平行线的性质和等量关系可得∠1+∠2=180°；
(2)根据平行线的性质可得∠CDE=∠A=35°，根据角平分线的性质可求∠2=∠CDE=35°，可求∠DBA=35°，再根据角平分线的性质可求∠CBA，再根据三角形内角和定理即可求解．
此题考查平行线的判定与性质，关键是根据平行线的判定和性质解答．

25.【答案】6  2  小明和妈妈相遇时距离起点的距离 
【解析】解：(1)由图象可知，小明在前70秒内跑过的距离是420米，
∴小明前70秒的速度是6(米/秒)．
妈妈的速度始终不变，在110秒内跑过的距离是420−200=220(米)，
∴妈妈的速度是=2(米/秒)．
故答案为：6，2．
(2)两函数图象的交点处表示两人相遇，
∴a表示的数字是小明和妈妈相遇时距离起点的距离．
故答案为：小明和妈妈相遇时距离起点的距离．
(3)设妈妈距起点的距离s1与小明出发的时间t之间的关系式为s1=k1t+b1.将(0,200)和(110,420)代入，得
，解得，
∴s1=2t+200．
当0≤t≤70时，设小明距起点的距离s2与小明出发的时间t之间的关系式为s2=k2t+b2.将(0,0)和(70,420)代入，得
，解得，
∴s2=6t．
①在第一次相遇前，当两人第一次相距60米时，得
2t+200−6t=60，解得t=35；
②在第一次相遇后且t≤70，当两人第二次相距60米时，得
6t−(2t+200)=60，解得t=65．
③当70≤t≤110时，两人第三次相距60米时，得
420−(2t+200)=60，解得t=80．
综上，小明出发后的110秒内，两人分别于35秒、65秒和80秒时相距60米．
(1)小明在前70秒内跑过的距离除以所用时间即可；而妈妈的速度始终不变，在110秒内跑过的距离除以所用时间即可；
(2)两函数图象的交点处表示两人相遇．因此，a表示的数字是小明和妈妈相遇时距离起点的距离；
(3)两人有可能三次相距60米，分别在第一次相遇前、第一次相遇后且t≤70、70≤t≤110时，分别讨论计算即可．
本题考查一次函数的应用，从图象上获取有用的信息是解答本题的关键．

26.【答案】△AEC  BD=CE 
【解析】解：(1)∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．
即∠DAB=∠EAC，
在△ADB和△AEC中，
AD=AE ∠DAB=∠EAC AB=AC ，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE，
故答案为：△AEC，BD=CE；
(2)BD=CE且BD⊥CE；
理由如下：∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．
即∠DAB=∠EAC．
在△DAB和△EAC中，
AD=AE ∠DAB=∠EAC AB=AC ，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE，∠DBA=∠ECA，
∵∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°，
∴∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°，
即∠DBC+∠ECB=90°，
∴∠BPC=180°−(∠DBC+∠ECB)=90°，
∴BD⊥CE，
综上所述：BD=CE且BD⊥CE；
(3)如图3所示，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°，理由如下：
∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠ADB=∠ABD=∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
∴∠CAD=∠EAB，
在△ACD和△AEB中，
AD=AB ∠CAD=∠EAB AC=AE ，
∴△ACD≌△AEB(SAS)，
∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∴∠BPD=180°−∠PBD−∠BDP
=180°−∠ABE−∠ABD−∠BDP
=180°−∠ABD−(∠ABE+∠BDP)
=180°−∠ABD−(∠ADC+∠BDP)
=180°−∠ABD−∠ADB
=60°，
∴∠PBC+∠PCB=∠BPD=60°．
(1)先判断出∠DAB=∠EAC，进而判断出△ADB≌△AEC，即可得出结论；
(2)先判断出△DAB≌△EAC，得出BD=CE，∠DBA=∠ECA，进而判断出∠DBC+∠ECB，即可得出结论；
(3)先判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而求出∠BPD=60°，最后用三角形外角的性质，即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，判断出△ADB≌△AEC是解本题的关键．