2022-2023学年广东省中山市八年级(下)期末数学试卷(含解析)
展开1. 要使 x−1在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A. x≤1B. x>1C. x≥0D. x≥1
2. 下列各式中,属于最简二次根式的是( )
A. 2B. 9C. 12D. 12
3. 在某次“汉字听写大赛”选拔赛中,甲、乙两位同学5轮比赛成绩的平均分都是95分,其中甲的成绩方差是12,乙的成绩方差是4,则下列说法正确的是( )
A. 甲、乙的成绩一样稳定B. 甲的成绩比乙的成绩稳定
C. 乙的成绩比甲的成绩稳定D. 无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
4. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )
A. 1,1,2B. 1,2,3C. 1,1, 2D. 2,3,4
5. 如图,在平行四边形ABCD中,∠A+∠C=120°,则∠C的度数为( )
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 120°
6. 下列选项中,矩形一定具有的性质是( )
A. 对角线相等B. 对角线互相垂直
C. 邻边相等D. 一条对角线平分一组对角
7. 如图,A,C之间隔有一湖,在与AC方向成90°角的CB方向上的点B处测得AB=500m,BC=400m,则AC的长为( )
A. 300m
B. 400m
C. 500m
D. 600m
8. 对于函数y=x+2,下列说法正确的是( )
A. 它的图象经过二、三、四象限B. 它的图象经过(−1,−1)
C. y随x增大而减小D. 它的图象与y轴的交点为(0,2)
9. 一次函数y=kx+b的图象如图所示,则不等式kx+b≤0的解集是( )
A. x≥0
B. x≤0
C. x≥2
D. x≤2
10. 如图,在矩形OABC中,点B的坐标是(5,12),则AC的长是( )
A. 5
B. 7
C. 12
D. 13
二、填空题(本大题共5小题,共15.0分)
11. 计算: 6÷ 2= .
12. 数据3,4,4,5,7的众数是______ .
13. 将直线y=−3x向上平移2个单位长度,则平移后的直线解析式为______ .
14. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=28°,D是AC的中点,则∠CBD= ______ °.
15. 《九章算术》勾股卷有一题目:今有垣高六尺,依木于垣,上于垣齐.引木却行二尺,其木至地,问木长几何?意思是:如图,一道墙AB高6尺,一根木棒AC靠于墙上,木棒上端与墙头齐平.若木棒下端向右滑,则木棒上端会随着往下滑,当木棒下端向右滑2尺到D处时,木棒上端恰好落到地上B处,则木棒长______ 尺.
三、解答题(本大题共8小题,共75.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16. (本小题8.0分)
计算: 5×( 20− 45+4 5).
17. (本小题8.0分)
某校为加强劳动教育,需招聘一位劳动教师.经过对甲、乙两名候选人进行测试,他们的各项测试成绩如表所示.根据实际需要,学校将笔试、上课、答辩三项测试得分按3:5:2的比例来确定个人的综合测试成绩,请判断谁会被录取,并说明理由.
18. (本小题8.0分)
已知正比例函数y=(k−2)x.
(1)若它的图象经过第二、四象限,求k的取值范围;
(2)若点(2,4)在它的图象上,求它的解析式.
19. (本小题9.0分)
某校为了解学生一周课外阅读情况,随机抽取部分学生调查了他们一周课外阅读时间,并将数据进行整理制成如下统计图.请根据图中提供的信息,解答以下问题:
(1)本次调查数据的中位数是______ ;
(2)抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是多少?
(3)若该校共有2000个学生,请根据统计数据,估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数.
20. (本小题9.0分)
某服装厂接到一批任务,需要15天内生产出800件服装.生产5天后,为按期完成任务,该服装厂增加了一定数目的工人,恰好在规定时间内完成任务,设该服装厂生产天数为x天,累计生产服装的数量为y件,则y与x之间的关系如图所示.
(1)求增加工人后y与x的函数表达式;
(2)问生产几天后的服装总件数恰好为500件?
21. (本小题9.0分)
如图,在△ABC中,D是AB的中点,E是BC的中点,DF⊥AC于点F,EG⊥AC于点G.
(1)求证:四边形DEGF为矩形;
(2)若AB=AC=2 5,AF=1,求矩形DEGF的周长.
22. (本小题12.0分)
如图,已知四边形OABC为菱形,点B在x轴上,过点C的直线CD交x轴于点D.其中直线CD的解析式为y=x+1,点B的坐标为(2,0),连接AC交x轴于点E.
(1)求AC的长;
(2)点P为x轴下方直线CD上一点,若△COP的面积为菱形OABC的面积一半,求点P的坐标.
23. (本小题12.0分)
定义“点P对图形Q的可视度”:在平面直角坐标系中,对于点P和图形Q,若图形Q上所有的点都在∠P的内部或∠P的边上,则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度.如图1,点O对线段AB的可视度为∠AOB的度数.
(1)如图2,已知点A(−3,1),B(2,1),C(0,2),D(1,3).连接DA,DB,则∠ADB的度数为点D对△ABC的可视度.求证:∠ADB=90°;
(2)如图3,已知四边形ABCD为正方形,其中点A(−1,1),B(−1,−1).直线y= 33x+b与x轴交于点E,与y轴交于点F,其中点F对正方形ABCD的可视度为60°,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下,在平面直角坐标系内是否存在点M,使以点A,B,E,M为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点M坐标;若不存在,请说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解:∵ x−1在实数范围内有意义,
∴x−1≥0,
∴x≥1.
故选:D.
根据二次根式中的被开方数是非负数,列出不等式,解之即可得出答案.
此题主要考查了二次根式有意义的条件,正确得出被开方数的取值范围是解题关键.
2.【答案】A
【解析】解:A、 2是最简二次根式,故A符合题意;
B、 9=3,故B不符合题意;
C、 12= 22,故C不符合题意;
D、 12=2 3,故D不符合题意;
故选:A.
根据最简二次根式的定义,逐一判断即可解答.
本题考查了最简二次根式,熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键.
3.【答案】C
【解析】解:∵甲的成绩方差是12,乙的成绩方差是4,4<12,
∴乙的成绩比甲的成绩稳定,
故选:C.
根据方差的意义可作出判断,比较出甲乙的方差大小即可.
本题考查方差了的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.
4.【答案】C
【解析】解:A、∵1+1=2,∴不能构成三角形,不符合题意;
B、∵1+2=3,∴不能构成三角形,不符合题意;
C、∵12+12=( 2)2,∴能构成直角三角形,符合题意;
D、∵22+32≠42,∴不能构成直角三角形,不符合题意.
故选:C.
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可.
本题考查的是勾股定理的逆定理,熟知如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键.
5.【答案】B
【解析】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,
∵∠A+∠C=120°,
∴∠C=60°,
故选:B.
根据平行四边形的性质进行解答即可.
此题主要考查了平行四边形的性质,关键是掌握:
(1)平行四边形的概念:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
(2)平行四边形的性质:①边:平行四边形的对边相等. ②角:平行四边形的对角相等. ③对角线:平行四边形的对角线互相平分.
6.【答案】A
【解析】解:矩形一定具有的性质是对角线相等,故A符合题意,而B、C、D中的性质是菱形所具有的.
故选:A.
根据矩形的对角线相等的性质即可判断.
本题考查了矩形的性质,熟知对角线相等的性质是解题的关键.
7.【答案】A
【解析】解:根据题意知,∠C=90°,AB=500m,BC=400m,则:
AC= AB2−BC2= 5002−4002=300(m).
故选:A.
直接利用勾股定理作答.
本题考查了勾股定理的应用,熟练掌握勾股定理是解题的关键.
8.【答案】D
【解析】解:A.∵k=1>0,b=2>0,
∴函数y=x+2的图象经过第一、二、三象限,选项A不符合题意;
B.当x=−1时,y=−1+2=1,1≠−1,
∴函数y=x+2的图象不经过点(−1,−1),选项B不符合题意;
C.∵k=1>0,
∴y随x的增大而增大,选项C不符合题意;
D.当x=0时,y=1×0+2=2,
∴函数y=x+2的图象与y轴的交点为(0,2),选项D符合题意.
故选:D.
A.由k=1>0,b=2>0,利用一次函数图象与系数的关系,可得出函数y=x+2的图象经过第一、二、三象限;
B.利用一次函数图象上点的坐标特征,可得出函数y=x+2的图象不经过点(−1,−1);
C.由k=1>0,利用一次函数的性质,可得出y随x的增大而增大;
D.利用一次函数图象上点的坐标特征,可得出函数y=x+2的图象与y轴的交点为(0,2).
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系,逐一分析各选项的正误是解题的关键.
9.【答案】C
【解析】解:由图象可得,
函数y=kx+b与x轴的交点为(2,0),y随x的增大而减小,
∴不等式kx+b≤0的解集为x≥2,
故选C.
根据图象可以写出不等式kx+b≤0的解集.
本题考查一次函数与一元一次不等式,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
10.【答案】D
【解析】解:连接OB,过B作BM⊥x轴于M,
∵点B的坐标是(5,12),
∴OM=5,BM=12,
由勾股定理得:OB= OM2+BM2=13,
∵四边形OABC是矩形,
∴AC=OB,
∴AC=13,
故选:D.
根据勾股定理求出OB,根据矩形的性质得出AC=OB,即可得出答案.
本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识点,能根据矩形的性质得出AC=OB是解此题的关键.
11.【答案】 3
【解析】解: 6÷ 2= 6÷2= 3,
故答案为: 3.
根据二次根式的除法法则: a b= ab(a≥0,b>0)进行计算即可.
此题主要考查了二次根式的除法,关键是掌握计算法则.
12.【答案】4
【解析】解:3,4,4,5,7,这组数据中,4出现了2次,出现的次数最多,
∴这组数据的众数为4.
故答案为:4.
根据众数的定义:一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数进行求解即可.
本题主要考查了求一组数据的众数,熟知众数的定义是解题的关键.
13.【答案】y=−3x+2
【解析】解:由题意得:平移后的解析式为:y=−3x+2.
故答案为:y=−3x+2.
根据平移k值不变,只有b值发生改变解答即可.
本题考查的是一次函数的图象与几何变换,在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律是:横坐标左移加,右移减;纵坐标上移加,下移减.
14.【答案】42
【解析】解:∵D是AC的中点,∠ABC=90°,
∴∠C=∠CBD.
在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=48°,
∴∠C=42°,
∴∠CBD=42°.
故答案为:42.
由D是AC的中点可得出∠C=∠CBD,再由三角形内角和为180°,可算出∠C的度数,由此即可得出结论.
本题考查了直角三角形斜边上的中线以及三角形内角和定理,解题的关键是算出∠C=42°.
15.【答案】10
【解析】解:如图,设BC长为x尺,则AC=BD=(x+2)尺,
在Rt△ABC中,
∵AB2+BC2=AC2,
∴62+x2=(x+2)2,
解得,x=8,
故木棒长为8+2=10(尺).
故答案为:10.
设BC长为x尺,则AC=BD=(x+2)尺,根据勾股定理可求出x的值.
此题考查了勾股定理的应用,解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形,从而运用勾股定理解题.
16.【答案】解: 5×( 20− 45+4 5)
= 5×(2 5−3 5+4 5)
= 5×3 5
=3×5
15.
【解析】先根据二次根式的加减法法则进行计算,再根据二次根式的乘法法则进行计算即可.
本题考查了二次根式的混合运算,能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键,注意运算顺序.
17.【答案】解:甲的测试成绩为:(85×3+83×5+90×2)÷(3+5+2)=85(分),
乙的测试成绩为:(80×3+84×5+91×2)÷(3+5+2)=84.2(分),
∵85>84.2,
∴甲会被录取.
【解析】将两人的总成绩按比例求出测试成绩,比较得出结果.
此题考查了平均数,熟记加权平均数公式是解答本题的关键.
18.【答案】解:(1)∵正比例函数y=(k−2)x的图象经过第二、四象限,
∴k−2<0,
∴k<2;
(2)把点(2,4)代入y=(k−2)x,得:4=(k−2)×2,
解得:k=4,
∴函数解析式为y=2x.
【解析】(1)根据正比例函数的图象经过的象限列出表达式,解不等式即可求出k的取值范围;
(2)把点(2,4)代入函数表达式,求出k值即可求出它的解析式.
本题主要考查正比例函数的性质和待定系数法求函数解析式,熟练掌握:当k<0时,函数图象经过第二、四象限是解决问题的关键.
19.【答案】3
【解析】解:(1)由条形图可知,总共调查了4+8+15+10+3=40人,
所以本次调查数据的中位数是3+32=3,
故答案为:3;
(2)140×(1×4+2×8+3×15+4×10+5×3)=3(小时),
答:抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是3小时;
(3)2000×15+10+340=1400(人),
答:估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数为1400人.
(1)根据中位数的意义结合统计图即可求解;
(2)根据平均数的定义结合条形统计图即可求解;
(3)用2000乘以课外阅读时间不少于3小时的人数的占比即可求解.
本题考查了条形统计图的运用,读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.也考查了中位数,平均数以及利用样本估计总体.
20.【答案】解:(1)设增加工人后y与x的函数表达式为y=mx+n(m≠0),
将A(5,200)、B(15,800)代入,
得5m+n=20015m+n=800,
解得m=60n=−100,
∴y=60x−100;
(2)在y=60x−100中,令y=500,得60x−100=500,
解得x=10,
答:生产10天后的服装总件数恰好为500件.
【解析】(1)设增加工人后y与x的函数表达式为y=mx+n(m≠0),把A(5,200)、B(15,800)代入解析式得到二元一次方程组,解方程组即可;
(2)在y=60x−100中,令y=500,得到一元一次方程,解方程即可.
本题考查了求一次函数解析式,从函数图象获取信息,一元一次方程的实际应用,理解题意,找准等量关系是解题的关键.
21.【答案】(1)证明:∵DF⊥AC于点F,EG⊥AC于点G,
∴DF//EG,∠DFG=90°,
∵D是AB的中点,E是BC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE//AC,
∴四边形DEGF是平行四边形,
又∵∠DFG=90°,
∴平行四边形DEGF为矩形;
(2)解:∵D是AB的中点,AB=2 5,
∴AD=12AB= 5,
∵DF⊥AC,
∴∠DFA=90°,
∴DF= AD2−AF2= ( 5)2−12=2,
由(1)可知,DE是△ABC的中位线,四边形DEGF为矩形,
∴DE=12AC=12×2 5= 5,DF=EG=2,DE=FG= 5,
∴矩形DEGF的周长=2(DE+DF)=2 5+4.
【解析】(1)证DF//EG,∠DFG=90°,再由三角形中位线定理得DE//AC,则四边形DEGF是平行四边形,然后由矩形的判定即可得出结论;
(2)由勾股定理得DF=2,再由三角形中位线定理和矩形的性质得DE=12AC= 5,DF=EG=2,DE=FG= 5,即可解决问题.
本题考查了矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识,熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.
22.【答案】解:(1)∵四边形OABC为菱形,点B在x轴上,点B的坐标为(2,0),
∴OE=1,E(1,0),
令x=1,则y=x+1=2,
∴C(1,2),
∴AC=2CE=4.
(2)设P的坐标为(m,m+1),
令y=0,x=−1,
∴D(−1,0),
S菱形=12×AC×OB=12×4×2=4,
∴S△POC=12S菱形=2,
又∵S△POC=S△POD+S△COD=12OD⋅‖m+1‖+12OD⋅yC=2,
∴‖m+1‖=2,
∴m=1(舍去)或m=−3,
∴P(−3,−2).
【解析】(1)根据B(2,0)坐标和菱形性质,易得点E坐标为(1,0),将横坐标代入直线CD解析式可得C点坐标,CE长的二倍即为AC长;
(2)求出菱形面积,设出P点坐标,利用面积公式列出方程解出即可.
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,图象上点的坐标满足函数解析式.
23.【答案】(1)证明:过点D向AB作垂线交AB于点H.
在Rt△ADM中,
AM=4,DM=2,
根据勾股定理,
AD= AM2+DM2= 42+22=2 5,
同理可得,BD= 5,
又AB=5,
AD2+BD2=25=AB2,
∴△ABD是直角三角形
∴∠ADB=90°;
(2)解:∵点F对正方形ABCD的可视度为60°,
∴∠AFD=60°,
又∵AD=AB=2,
∴△AFD为等边三角形,AF=FD=AD=2,
∴FM=⋅AF⋅Sin60°=2× 32= 3,
∴点F的坐标为(0,1+ 3),
又∵点F在直线y= 33x+b上,
∴b=1+ 3,
即解析式为线y= 33x+1+ 3,
点E是与x轴交点,
∴E的坐标为(−3− 3,0);
(3)解:在平面直角坐标系内存在点M,使以点A,B,E,M为顶点的四边形为平行四边形,
理由如下:
①以AB为一边,EM为平行四边形的对边时,
由平行四边形对边平行且相等得,
EM//AB且EM=AB,
设点M的坐标为(−3− 3,n),
即|n|=1−(−1)=2,
∴n=2或−2,
点M的坐标为(−3− 3,2),(−3− 3,−2),
②以AB为对角线,又AB⊥EM交于点O,
∴点M与点E关于AB对称,
∴点M的坐标为(1+ 3,0),
综上,点D的坐标为(−3− 3,2),(−3− 3,−2),或(1+ 3,0).
【解析】(1)过点D作DM⊥AB,根据勾股定理分别求出AD,AB,BD,根据勾股定理的逆定理进而证明;
(2)由可视度的定义连接AF和FD,△AFD为等边三角形,即可求出点F的坐标,进而求出点E的坐标;
(3)点A,B,E,M为顶点的四边形为平行四边形,分情况讨论,AB为一边和对角线讨论,根据平行四边形的性质进而作答.
本题考查一次函数,正方形,平行四边形,新定义等的综合题,解题的关键是正确理解新定义,分类讨论.
候选人
笔试
上课
答辩
甲
85
83
90
乙
80
84
91
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