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2022-2023学年湖南省怀化市新晃县八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖南省怀化市新晃县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省怀化市新晃县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．长度如下的各组线段中，不能组成的直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．6，8，12 C．1，， D．12，13，5
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD＝PE，则△APD与△APE全等的直接理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．HL D．ASA
4．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD交CD延长线于点E，若∠A＝40°，则∠EBC的度数为（ ）
A．50° B．40° C．70° D．60°
5．如图，F是矩形ABCD内一点，过F的两直线分别与矩形的边平行，下列说法不一定成立的是（ ）
A．S△ABC＝S△ADC B．S△AEF＝S△ANF
C．S矩形NFGD＝S矩形EFMB D．S△AEF＝S矩形NFGD
6．菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的边长是（ ）
A．6 B．4 C．5 D．20
7．平面直角坐标系中的点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）
8．对于一次函数y＝﹣2x+6，下列说法正确的是（ ）
A．y的值随x值的增大而增大
B．其图象经过第二、三、四象限
C．其图象与x轴的交点为（0，6）
D．其图象必经过点（2，2）
9．顺次连结两条对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形必定是（ ）
A．任意四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
10．一次函数y＝﹣kx+b与y＝kbx（k，b是常数，且kb≠0）在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．函数中，自变量x的取值范围是 ．
12．八边形的内角和比七边形的内角和多 度．
13．已知点P（3，a﹣1），且a＜1，则P点在第 象限．
14．为了了解中学生的素质教育情况，某县在全县各中学共抽取了200名九年级学生进行素质教育调查，将所得的数据整理后，画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前4个小组的频率分别是0.04，0.12，0.16，0.4，则第5小组的频数是 ．
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是 ．
16．若直线y＝3x+b与坐标轴围成的三角形面积是6，则b＝ ．
三、解答题（共86分）
17．为测得池塘两岸点A和点B间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC＝90°，D是AC中点，并测得BD长6m，BC长8m，求A，B两点间的距离．
18．已知△ABC，△A'B'C'在如图所示的网格（每个小正方形的边长为1）中，△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，1），顶点B的坐标为（﹣1，2）．
（1）在网格图中画出两条坐标轴，并标出坐标原点O；写出A′、B'、C′三点的坐标．
（2）作△A'B'C'关于x轴对称的△A″B″C″，并求出BB″的长．
19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AB的中点，作FD平行于AE，交CA延长线于点D，AF与DE交于点O．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）如果AB＝5，BC＝13，求平行四边形AEFD的面积．
20．某校八年级社会实践小组，为了解2023年某小区家庭月均用水情况，
随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，
月均用水量x（吨）
频数（户）
频率
0＜x≤5
6
0.12
5＜x≤10
m
0.24
10＜x≤15
16
0.32
15＜x≤20
10
0.20
20＜x≤25
4
n
25＜x≤30
2
0.04
请解答以下问题：
（1）求出m，n的值，并把频数分布直方图补充完整；
（2）若该小区有1000户家庭，求该小区月均用水量超过10吨的家庭大约有多少户？
21．已知一次函数的图象经过A（0，4）与B（﹣3，0）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）判断点与点D（3，8）是否在该一次函数的图象上．
（3）若点E（a，m+2）、F（b，3m）在这个一次函数的图象上，且a﹣b＞0，求m的取值范围．
22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到B'的位置，AB′与CD交于点E．
（1）求证：AE＝CE．
（2）若AB＝8，DE＝3，点P为线段AC上任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥CD于H．求PG+PH的值．
23．已知A、B两地之间有一条长450km的公路，甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发1小时后，乙车从A地出发，沿同路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回A地．两车之间的距离y（km）与甲车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，请解答下列问题：
（1）甲车的速度是 km/h，乙车的速度是 km/h，m＝ ；
（2）求相遇后，乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式；
（3）当甲、乙两车相距100km时，甲车的行驶路程．
24．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点A（﹣6，8），点C在x轴正半轴上，对角线AC交y轴于点M，边AB交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动．
（1）求点B的坐标．
（2）求对角线AC所在直线的解析式．
（3）设动点P的运动时间为t秒，连接PM、BM，△PBM的面积为S，请用含t的式子表示S；
（4）当t＝8时，直线AC上是否存在点N，使S△NBM＝S△PBM．若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．长度如下的各组线段中，不能组成的直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．6，8，12 C．1，， D．12，13，5
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解：A、32+42＝52，能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、62+82≠122，不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C、12+（）2＝（）2，能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、122+52＝132，能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
3．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD＝PE，则△APD与△APE全等的直接理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．HL D．ASA
【分析】根据题中的条件可得△APD和△APE是直角三角形，再根据条件PD＝PE，AP＝AP，可根据HL定理判定△APD≌△APE．
解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴∠AEP＝∠ADP＝90°，
在Rt△APD和Rt△APE中，
，
∴Rt△APD≌Rt△APE（HL），
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．结合已知条件在图形上的位置选择判定方法．
4．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD交CD延长线于点E，若∠A＝40°，则∠EBC的度数为（ ）
A．50° B．40° C．70° D．60°
【分析】由BE⊥CD交CD延长线于点E，得∠E＝90°，由平行四边形的性质得∠C＝∠A＝40°，则∠EBC＝90°﹣∠C＝90°＝50°，于是得到问题的答案．
解：∵BE⊥CD交CD延长线于点E，
∴∠E＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝40°，
∴∠C＝∠A＝40°，
∴∠EBC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，
故选：A．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，根据平行四边形的性质求得∠C＝∠A＝40°是解题的关键．
5．如图，F是矩形ABCD内一点，过F的两直线分别与矩形的边平行，下列说法不一定成立的是（ ）
A．S△ABC＝S△ADC B．S△AEF＝S△ANF
C．S矩形NFGD＝S矩形EFMB D．S△AEF＝S矩形NFGD
【分析】根据矩形的性质可判定△ABC和△CDA全等，从而可对选项A进行判断；再根据MN∥AB，EG∥BC可得到四边形AEFN，四边形NFGD，四边形MFGC，四边形EFMB均为矩形，据此可对选项B进行判断；利用选项A，B成立可对选项C进行判断；然后由题目中的已知条件不能证明S△AEF＝S矩形NFGD，由此可对选项D进行判断．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，BC＝AD，AB∥CD，BC∥AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝∠BCD＝90°，
在△ABC和△CDA中，
AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
∴S△ABC＝S△ADC，
故选项A成立；
∵MN∥AB，EG∥BC，
又BC∥AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴四边形AEFN，四边形NFGD，四边形MFGC，四边形EFMB均为矩形，
由选项A正确得：S△AEF＝S△ANF，S△FMC＝S△FCG，
故选项B成立；
∵S△ABC＝S△AEF+S矩形EFMB+S△FMC，S△ADC＝S△ANF+S矩形NFGB+S△FCG，
∴S△AEF+S矩形EFMB+S△FMC＝S△ANF+S矩形NFGB+S△FCG，
∵S△AEF＝S△ANF，S△FMC＝S△FCG，
∴S矩形EFMB＝S矩形NFGB，
故选项C成立；
根据题目中的条件不能得到：S△AEF＝S矩形NFGD，
因此选项D不一定成立．
故选：D．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，理解矩形的两组对边分别平行且相等，四个角都是直角是解答此题的关键．
6．菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的边长是（ ）
A．6 B．4 C．5 D．20
【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长．
解：由菱形对角线性质知，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，且AO⊥BO，
则AB＝＝＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理在直角三角形中的运用；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
7．平面直角坐标系中的点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，即可解答．
解：点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣2），
故选：D．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
8．对于一次函数y＝﹣2x+6，下列说法正确的是（ ）
A．y的值随x值的增大而增大
B．其图象经过第二、三、四象限
C．其图象与x轴的交点为（0，6）
D．其图象必经过点（2，2）
【分析】根据一次函数图象的性质进行逐一分析解答即可．
解：A．∵﹣2＜0，
∴一次函数y＝﹣2x+6的图象y随x的增大而减小，故本选项错误，不符合题意；
B．∵﹣2＜0，6＞0，
∴一次函数y＝﹣2x+6的图象在一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意；
C．当y＝0时，0＝﹣2x+6，解得x＝3，
∴一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴交于点（3，0），故本选项错误，不符合题意；
D．∵x＝2时，y＝﹣2x+6＝2，
∴函数图象必经过点（2，2），故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象与系数的关系，都是基础知识，需熟练掌握．
9．顺次连结两条对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形必定是（ ）
A．任意四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．
解：是矩形，理由如下：
如图，AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD（三角形的中位线平行于第三边），
∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，
∴∠EMO＝∠ENO＝90°，
∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴∠MEN＝90°，
∴四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故选：B．
【点评】本题考查了中点四边形三角形的中位线定理的应用，熟练掌握三角形中位线定理以及矩形的各种判定方法是解题关键．
10．一次函数y＝﹣kx+b与y＝kbx（k，b是常数，且kb≠0）在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y＝﹣kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得kb的符号，再根据正比例函数图象与系数的关系，可以判断y＝kbx红kb的符号，进而比较可得答案．
解：A、由一次函数y＝﹣kx+b图象可知k＜0，b＜0，kb＞0；正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，矛盾，故此选项错误；
B、由一次函数y＝﹣kx+b图象可知k＜0，b＞0，即kb＜0；正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，一致，故此选项正确；
C、由一次函数y＝﹣kx+b图象可知k＞0，b＜0，即kb＜0；正比例函数y＝kbx的图象可知kb＞0，矛盾，故此选项错误；
D、由一次函数y＝﹣kx+b图象可知k＜0，b＞0，即kb＜0；正比例函数y＝kbx的图象可知kb＞0，矛盾，故此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数图象，解题的关键是掌握一次函数y＝﹣kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．函数中，自变量x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．八边形的内角和比七边形的内角和多 180 度．
【分析】利用多边形的内角和公式分别计算八边形和七边形的内角和，作差即可．
解：∵八边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°，
七边形的内角和为（7﹣2）×180°＝900°，
∴1080°﹣900°＝180°，
故答案为：180．
【点评】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式（n﹣2）180°．
13．已知点P（3，a﹣1），且a＜1，则P点在第 四 象限．
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
解：∵a＜1，
∴a﹣1＜0，
∴点P（3，a﹣1）在第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
14．为了了解中学生的素质教育情况，某县在全县各中学共抽取了200名九年级学生进行素质教育调查，将所得的数据整理后，画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前4个小组的频率分别是0.04，0.12，0.16，0.4，则第5小组的频数是 56 ．
【分析】此题只需根据各小组频率之和等于1，求得第5组的频率；
再根据频率＝频数÷总数，求得频数＝频率×总数．
解：根据题意，得
第5小组的频率是1﹣（0.04+0.12+0.16+0.4）＝0.28，
则第5小组的频数是200×0.28＝56．
【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．
注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是 AC＝BD或AB⊥BC ．
【分析】根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．
解：∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA
∴四边形ABCD是菱形
∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC＝BD或AB⊥BC．
【点评】解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形．
16．若直线y＝3x+b与坐标轴围成的三角形面积是6，则b＝ ±6 ．
【分析】由直线y＝3x+b与坐标轴围成的三角形面积是6，得b≠0，则b＞0或b＜0，故需分这两种情况讨论．
解：∵直线y＝3x+b与坐标轴围成的三角形面积是6，
∴b≠0．
①当b＞0时，y＝3x+b的图象如图1．
当x＝0时，y＝3×0+b＝b，则B（0，b），此时OB＝b．
当y＝0时，3x+b＝0，故x＝，则A（，0），此时OA＝．
∴＝6．
∴b＝6或b＝﹣6（不合题意，故舍去）．
②当b＜0时，y＝3x+b的图象如图2．
当x＝0时，y＝3×0+b＝b，则B（0，b），此时OB＝﹣b．
当y＝0时，3x+b＝0，故x＝，则A（，0），此时OA＝﹣．
∴＝6．
∴b＝6（不合题意，故舍去）或b＝﹣6．
综上：b＝±6．
故答案为：±6．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标的特征以及三角形面积，熟练掌握一次函数图象上点的坐标的特征以及三角形面积公式是解决本题的关键．
三、解答题（共86分）
17．为测得池塘两岸点A和点B间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC＝90°，D是AC中点，并测得BD长6m，BC长8m，求A，B两点间的距离．
【分析】BD为直角三角形ABC的中线，所以AC＝2BD，然后在直角三角形ABC中AC＝12cm，根据勾股定理即可求得AB的长．
解：∵∠ABC＝90°，BD是AC中线，BD＝6cm，
∴AC＝2BD＝12cm，
∵BC＝8cm，
根据勾股定理可得：AB＝＝4（cm）．
【点评】本题考查了解直角三角形，及勾股定理和直角三角形斜边上的中线等斜边的一半，熟悉条件理解各量之间的数量关系是解决问题的关键．
18．已知△ABC，△A'B'C'在如图所示的网格（每个小正方形的边长为1）中，△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，1），顶点B的坐标为（﹣1，2）．
（1）在网格图中画出两条坐标轴，并标出坐标原点O；写出A′、B'、C′三点的坐标．
（2）作△A'B'C'关于x轴对称的△A″B″C″，并求出BB″的长．
【分析】（1）易得y轴在A的右边2个单位，x轴在A的下方1个单位；
（2）作出A，B，C三点关于y轴对称的三点，顺次连接即可；
（3）根据所在象限及距离坐标轴的距离根据勾股定理可得出．
解：（1）坐标轴，坐标原点O如图所示；A′的坐标为（2，1），B'的坐标为（1，2），C′的坐标为（3，3）；
（2）△A″B″C″如图所示：BB″＝＝2．
【点评】本题考查轴对称作图问题．用到的知识点：图象的变换，看关键点的变换即可．
19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AB的中点，作FD平行于AE，交CA延长线于点D，AF与DE交于点O．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）如果AB＝5，BC＝13，求平行四边形AEFD的面积．
【分析】（1）由三角形中位线定理得EF∥AC，AC＝2EF，再证AD＝EF，即可得出结论；
（2）由勾股定理得AC＝12，则EF＝6＝AD，再求出AF的长，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，AC＝2EF，
∵AC＝2AD，
∴AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，
∴，
∴，
∴，
∵∠BAC＝90°，
∴AD⊥AF，
∴平行四边形AEFD的面积＝AD•AF＝6×＝15．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
20．某校八年级社会实践小组，为了解2023年某小区家庭月均用水情况，
随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，
月均用水量x（吨）
频数（户）
频率
0＜x≤5
6
0.12
5＜x≤10
m
0.24
10＜x≤15
16
0.32
15＜x≤20
10
0.20
20＜x≤25
4
n
25＜x≤30
2
0.04
请解答以下问题：
（1）求出m，n的值，并把频数分布直方图补充完整；
（2）若该小区有1000户家庭，求该小区月均用水量超过10吨的家庭大约有多少户？
【分析】（1）先求出调查的总人数，再将调查的总人数乘以5＜x≤10组的频率，即可求出m；将20＜x≤25组的频数除以调查的总人数即可求出n；并把频数分布直方图补充完整即可；
（2）将样本中用水量超过10吨的家庭的频率乘以1000，即可估计出该小区月均用水量超过10吨的家庭大约有多少户．
解：（1）∵调查的总人数为：6÷0.12＝50，
∴m＝50×0.24＝12，
n＝＝0.08；
频数分布直方图补充如下：
（2）用水量超过10吨的家庭大约有：1000×（0.32+0.20+0.08+0.04）＝640（户），
答：该小区月均用水量超过10吨的家庭大约有640户．
【点评】本题考查频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，能从频数分布表中获取有用信息是解题的关键．
21．已知一次函数的图象经过A（0，4）与B（﹣3，0）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）判断点与点D（3，8）是否在该一次函数的图象上．
（3）若点E（a，m+2）、F（b，3m）在这个一次函数的图象上，且a﹣b＞0，求m的取值范围．
【分析】（1）设函数的解析式为y＝kx+b，运用待定系数法求出k、b的值即可得到这个一次函数的解析式；
（2）把点与点D（3，8）代入关系式看是否成立即可；
（3）利用一次函数图象的增减性即可得出m+2＞3m，解得即可．
解：（1）设一次函数为y＝kx+b，把A（0，4）与B（﹣3，0）代入得
，
解得：，
∴这个一次函数的解析式为y＝x+4；
（2）点C不在直线上，点D在直线上，
理由如下：
当x＝1时，y＝×1+4＝，C（1，）不在直线上，
当x＝3时，y＝×3+4＝8，D（3，8）在直线上；
（3）∵k＝＞0，
∴y随x的增大而增大．
∵点E（a，m+2）、F（b，3m）在这个一次函数的图象上，且a﹣b＞0，
∴a＞b，
∴m+2＞3m，
∴m＜1．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，由待定系数法正确得出函数解析式是解决问题的关键．
22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到B'的位置，AB′与CD交于点E．
（1）求证：AE＝CE．
（2）若AB＝8，DE＝3，点P为线段AC上任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥CD于H．求PG+PH的值．
【分析】（1）根据折叠的性质，可得∠EAC＝∠CAB，根据平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB，即可得∠EAC＝∠DCA，根据等腰三角形的判定可求AE＝CE；
（2）连接PE，根据三角形的面积公式计算．
【解答】（1）证明：∵将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，
∴∠EAC＝∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠EAC＝∠DCA，
∴AE＝CE；
（2）解：如图，连接PE，
∵CE＝CD﹣DE＝AB﹣DE，
∴CE＝8﹣3＝5＝AE，
∴AD＝＝4，
∵S△AEP+S△ECP＝S△ECA，
∴×AE×PG+×EC×PH＝×EC×AD，
∴PG+PH＝AD＝4．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定，利用面积求得PG+PH是解题的关键．
23．已知A、B两地之间有一条长450km的公路，甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发1小时后，乙车从A地出发，沿同路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回A地．两车之间的距离y（km）与甲车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，请解答下列问题：
（1）甲车的速度是 75 km/h，乙车的速度是 125 km/h，m＝ 4 ；
（2）求相遇后，乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式；
（3）当甲、乙两车相距100km时，甲车的行驶路程．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以先计算出甲车的速度，再根据2小时时两车相遇可以计算出乙车的速度，然后根据乙车原路原速返回A地，可以写出m的值；
（2）根据（1）中的结果，可以写出当x＝m时对应的y的值，从而可以求出乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式；
（3）将y＝100代入（2）中的函数解析式，求出相应的x的值，再根据路程＝速度×时间解答即可．
解：（1）由图象可得，
甲车的速度为：75÷1＝75（km/h），
乙车的速度为：75×2.3÷（2.5﹣1）＝125（km/h），
m＝2.5+（2.5﹣1）＝2+1.5＝4，
故答案为：75，125，4；
（2）当x＝4时，y＝1.5×（75+125）＝300，
设两边相遇后，乙车在返回过程中，y与x的函数表达式为y＝kx+b，
把（2.5，0），（4，300）代入得：，
解得；，
∴y＝200x﹣500（2.5≤x≤4）；
（3）当y＝100时，100＝200x﹣500，
解得：x＝3，
3×75＝225（km），
∴甲车的行驶路程为：225km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，从函数图象中获取解答本题的信息是解题的关键，用到的数学思想是数形结合的思想．
24．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点A（﹣6，8），点C在x轴正半轴上，对角线AC交y轴于点M，边AB交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动．
（1）求点B的坐标．
（2）求对角线AC所在直线的解析式．
（3）设动点P的运动时间为t秒，连接PM、BM，△PBM的面积为S，请用含t的式子表示S；
（4）当t＝8时，直线AC上是否存在点N，使S△NBM＝S△PBM．若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点A坐标可得AH＝6，OH＝8，由勾股定理可得OA＝10，根据菱形的性质可得边长为10，由此即可求解；
（2）运用待定系数法即可求解；
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当0≤t＜5时，如图3﹣2中，当5＜t≤10时，分别求解即可；
（4）当t＝8时，求出S△PBM，即求出S△NBM，先利用待定系数法示出MB的解析式，过点N作NP⊥x轴交MB于点Q，设出点N，Q的坐标，利用面积列方程即可出求点N的坐标．
解：（1）∵A（﹣6，8），
∴AH＝6，OH＝8，
∴OA＝＝10，
∵四边形ABCO是菱形，
∴AB＝OA＝10，AB∥OC，
∴AH＝6，
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，
∴B（4，8），
（2）设直线 AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣6，8），C（10，0）代入得：
，解得，
∴直线 AC的解析式为：y＝﹣x+5，
（3）连接BM，如图3﹣1中，当0≤t＜5时，
∵对角线AC交y轴于点M，
∴M（0，5），
∴OM＝5，
∴MH＝OH﹣OM＝8﹣5＝3，
∴S＝•PB•MH＝×（10﹣2t）×3＝15﹣3t，
如图3﹣2中，当5＜t≤10时，
∵四边形ABCO是菱形，
∴∠OCM＝∠BCM，
∵CO＝CB，CM＝CM，
∴△OCM≌△BCM（SAS），
∴∠MOC＝∠MBC＝90°，
∴MB⊥BC，
∴S＝•BP•MB＝×（2t﹣10）×5＝5t﹣25，
综上所述，，
（4）存在点N，如图4所示：
当t＝8时，点P在BC上运动，
∴S△PBM＝5t﹣25＝5×8﹣25＝15，
∵S△NBM＝S△PBM，
∴S△NBM＝15，
过点N作NP⊥x轴交MB于点Q，
设直线 MB的解析式为y＝k1x+b1，把M（0，5），B（4，8）代入得：
，解得：，
∴直线 MB的解析式为：y＝x+5，
设N（n，﹣n+5），Q（n，n+5），
∴NQ＝|（﹣n+5）﹣（n+5）|＝|n|，
∴S△NBM＝×|n|×（8﹣0）＝15，
解得：n＝±3，
∴N（3，）或（﹣3，）．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积、勾股定理等知识点，正确作出辅助线以及掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．
2022-2023学年湖南省怀化市新晃县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．长度如下的各组线段中，不能组成的直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．6，8，12 C．1，， D．12，13，5
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD＝PE，则△APD与△APE全等的直接理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．HL D．ASA
4．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD交CD延长线于点E，若∠A＝40°，则∠EBC的度数为（ ）
A．50° B．40° C．70° D．60°
5．如图，F是矩形ABCD内一点，过F的两直线分别与矩形的边平行，下列说法不一定成立的是（ ）
A．S△ABC＝S△ADC B．S△AEF＝S△ANF
C．S矩形NFGD＝S矩形EFMB D．S△AEF＝S矩形NFGD
6．菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的边长是（ ）
A．6 B．4 C．5 D．20
7．平面直角坐标系中的点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）
8．对于一次函数y＝﹣2x+6，下列说法正确的是（ ）
A．y的值随x值的增大而增大
B．其图象经过第二、三、四象限
C．其图象与x轴的交点为（0，6）
D．其图象必经过点（2，2）
9．顺次连结两条对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形必定是（ ）
A．任意四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
10．一次函数y＝﹣kx+b与y＝kbx（k，b是常数，且kb≠0）在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．函数中，自变量x的取值范围是 ．
12．八边形的内角和比七边形的内角和多 度．
13．已知点P（3，a﹣1），且a＜1，则P点在第 象限．
14．为了了解中学生的素质教育情况，某县在全县各中学共抽取了200名九年级学生进行素质教育调查，将所得的数据整理后，画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前4个小组的频率分别是0.04，0.12，0.16，0.4，则第5小组的频数是 ．
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是 ．
16．若直线y＝3x+b与坐标轴围成的三角形面积是6，则b＝ ．
三、解答题（共86分）
17．为测得池塘两岸点A和点B间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC＝90°，D是AC中点，并测得BD长6m，BC长8m，求A，B两点间的距离．
18．已知△ABC，△A'B'C'在如图所示的网格（每个小正方形的边长为1）中，△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，1），顶点B的坐标为（﹣1，2）．
（1）在网格图中画出两条坐标轴，并标出坐标原点O；写出A′、B'、C′三点的坐标．
（2）作△A'B'C'关于x轴对称的△A″B″C″，并求出BB″的长．
19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AB的中点，作FD平行于AE，交CA延长线于点D，AF与DE交于点O．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）如果AB＝5，BC＝13，求平行四边形AEFD的面积．
20．某校八年级社会实践小组，为了解2023年某小区家庭月均用水情况，
随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，
月均用水量x（吨）
频数（户）
频率
0＜x≤5
6
0.12
5＜x≤10
m
0.24
10＜x≤15
16
0.32
15＜x≤20
10
0.20
20＜x≤25
4
n
25＜x≤30
2
0.04
请解答以下问题：
（1）求出m，n的值，并把频数分布直方图补充完整；
（2）若该小区有1000户家庭，求该小区月均用水量超过10吨的家庭大约有多少户？
21．已知一次函数的图象经过A（0，4）与B（﹣3，0）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）判断点与点D（3，8）是否在该一次函数的图象上．
（3）若点E（a，m+2）、F（b，3m）在这个一次函数的图象上，且a﹣b＞0，求m的取值范围．
22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到B'的位置，AB′与CD交于点E．
（1）求证：AE＝CE．
（2）若AB＝8，DE＝3，点P为线段AC上任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥CD于H．求PG+PH的值．
23．已知A、B两地之间有一条长450km的公路，甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发1小时后，乙车从A地出发，沿同路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回A地．两车之间的距离y（km）与甲车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，请解答下列问题：
（1）甲车的速度是 km/h，乙车的速度是 km/h，m＝ ；
（2）求相遇后，乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式；
（3）当甲、乙两车相距100km时，甲车的行驶路程．
24．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点A（﹣6，8），点C在x轴正半轴上，对角线AC交y轴于点M，边AB交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动．
（1）求点B的坐标．
（2）求对角线AC所在直线的解析式．
（3）设动点P的运动时间为t秒，连接PM、BM，△PBM的面积为S，请用含t的式子表示S；
（4）当t＝8时，直线AC上是否存在点N，使S△NBM＝S△PBM．若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．长度如下的各组线段中，不能组成的直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．6，8，12 C．1，， D．12，13，5
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解：A、32+42＝52，能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、62+82≠122，不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C、12+（）2＝（）2，能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、122+52＝132，能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
3．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD＝PE，则△APD与△APE全等的直接理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．HL D．ASA
【分析】根据题中的条件可得△APD和△APE是直角三角形，再根据条件PD＝PE，AP＝AP，可根据HL定理判定△APD≌△APE．
解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴∠AEP＝∠ADP＝90°，
在Rt△APD和Rt△APE中，
，
∴Rt△APD≌Rt△APE（HL），
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．结合已知条件在图形上的位置选择判定方法．
4．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD交CD延长线于点E，若∠A＝40°，则∠EBC的度数为（ ）
A．50° B．40° C．70° D．60°
【分析】由BE⊥CD交CD延长线于点E，得∠E＝90°，由平行四边形的性质得∠C＝∠A＝40°，则∠EBC＝90°﹣∠C＝90°＝50°，于是得到问题的答案．
解：∵BE⊥CD交CD延长线于点E，
∴∠E＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝40°，
∴∠C＝∠A＝40°，
∴∠EBC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，
故选：A．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，根据平行四边形的性质求得∠C＝∠A＝40°是解题的关键．
5．如图，F是矩形ABCD内一点，过F的两直线分别与矩形的边平行，下列说法不一定成立的是（ ）
A．S△ABC＝S△ADC B．S△AEF＝S△ANF
C．S矩形NFGD＝S矩形EFMB D．S△AEF＝S矩形NFGD
【分析】根据矩形的性质可判定△ABC和△CDA全等，从而可对选项A进行判断；再根据MN∥AB，EG∥BC可得到四边形AEFN，四边形NFGD，四边形MFGC，四边形EFMB均为矩形，据此可对选项B进行判断；利用选项A，B成立可对选项C进行判断；然后由题目中的已知条件不能证明S△AEF＝S矩形NFGD，由此可对选项D进行判断．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，BC＝AD，AB∥CD，BC∥AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝∠BCD＝90°，
在△ABC和△CDA中，
AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
∴S△ABC＝S△ADC，
故选项A成立；
∵MN∥AB，EG∥BC，
又BC∥AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴四边形AEFN，四边形NFGD，四边形MFGC，四边形EFMB均为矩形，
由选项A正确得：S△AEF＝S△ANF，S△FMC＝S△FCG，
故选项B成立；
∵S△ABC＝S△AEF+S矩形EFMB+S△FMC，S△ADC＝S△ANF+S矩形NFGB+S△FCG，
∴S△AEF+S矩形EFMB+S△FMC＝S△ANF+S矩形NFGB+S△FCG，
∵S△AEF＝S△ANF，S△FMC＝S△FCG，
∴S矩形EFMB＝S矩形NFGB，
故选项C成立；
根据题目中的条件不能得到：S△AEF＝S矩形NFGD，
因此选项D不一定成立．
故选：D．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，理解矩形的两组对边分别平行且相等，四个角都是直角是解答此题的关键．
6．菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的边长是（ ）
A．6 B．4 C．5 D．20
【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长．
解：由菱形对角线性质知，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，且AO⊥BO，
则AB＝＝＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理在直角三角形中的运用；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
7．平面直角坐标系中的点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，即可解答．
解：点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣2），
故选：D．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
8．对于一次函数y＝﹣2x+6，下列说法正确的是（ ）
A．y的值随x值的增大而增大
B．其图象经过第二、三、四象限
C．其图象与x轴的交点为（0，6）
D．其图象必经过点（2，2）
【分析】根据一次函数图象的性质进行逐一分析解答即可．
解：A．∵﹣2＜0，
∴一次函数y＝﹣2x+6的图象y随x的增大而减小，故本选项错误，不符合题意；
B．∵﹣2＜0，6＞0，
∴一次函数y＝﹣2x+6的图象在一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意；
C．当y＝0时，0＝﹣2x+6，解得x＝3，
∴一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴交于点（3，0），故本选项错误，不符合题意；
D．∵x＝2时，y＝﹣2x+6＝2，
∴函数图象必经过点（2，2），故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象与系数的关系，都是基础知识，需熟练掌握．
9．顺次连结两条对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形必定是（ ）
A．任意四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．
解：是矩形，理由如下：
如图，AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD（三角形的中位线平行于第三边），
∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，
∴∠EMO＝∠ENO＝90°，
∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴∠MEN＝90°，
∴四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故选：B．
【点评】本题考查了中点四边形三角形的中位线定理的应用，熟练掌握三角形中位线定理以及矩形的各种判定方法是解题关键．
10．一次函数y＝﹣kx+b与y＝kbx（k，b是常数，且kb≠0）在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y＝﹣kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得kb的符号，再根据正比例函数图象与系数的关系，可以判断y＝kbx红kb的符号，进而比较可得答案．
解：A、由一次函数y＝﹣kx+b图象可知k＜0，b＜0，kb＞0；正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，矛盾，故此选项错误；
B、由一次函数y＝﹣kx+b图象可知k＜0，b＞0，即kb＜0；正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，一致，故此选项正确；
C、由一次函数y＝﹣kx+b图象可知k＞0，b＜0，即kb＜0；正比例函数y＝kbx的图象可知kb＞0，矛盾，故此选项错误；
D、由一次函数y＝﹣kx+b图象可知k＜0，b＞0，即kb＜0；正比例函数y＝kbx的图象可知kb＞0，矛盾，故此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数图象，解题的关键是掌握一次函数y＝﹣kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．函数中，自变量x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．八边形的内角和比七边形的内角和多 180 度．
【分析】利用多边形的内角和公式分别计算八边形和七边形的内角和，作差即可．
解：∵八边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°，
七边形的内角和为（7﹣2）×180°＝900°，
∴1080°﹣900°＝180°，
故答案为：180．
【点评】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式（n﹣2）180°．
13．已知点P（3，a﹣1），且a＜1，则P点在第 四 象限．
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
解：∵a＜1，
∴a﹣1＜0，
∴点P（3，a﹣1）在第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
14．为了了解中学生的素质教育情况，某县在全县各中学共抽取了200名九年级学生进行素质教育调查，将所得的数据整理后，画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前4个小组的频率分别是0.04，0.12，0.16，0.4，则第5小组的频数是 56 ．
【分析】此题只需根据各小组频率之和等于1，求得第5组的频率；
再根据频率＝频数÷总数，求得频数＝频率×总数．
解：根据题意，得
第5小组的频率是1﹣（0.04+0.12+0.16+0.4）＝0.28，
则第5小组的频数是200×0.28＝56．
【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．
注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是 AC＝BD或AB⊥BC ．
【分析】根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．
解：∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA
∴四边形ABCD是菱形
∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC＝BD或AB⊥BC．
【点评】解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形．
16．若直线y＝3x+b与坐标轴围成的三角形面积是6，则b＝ ±6 ．
【分析】由直线y＝3x+b与坐标轴围成的三角形面积是6，得b≠0，则b＞0或b＜0，故需分这两种情况讨论．
解：∵直线y＝3x+b与坐标轴围成的三角形面积是6，
∴b≠0．
①当b＞0时，y＝3x+b的图象如图1．
当x＝0时，y＝3×0+b＝b，则B（0，b），此时OB＝b．
当y＝0时，3x+b＝0，故x＝，则A（，0），此时OA＝．
∴＝6．
∴b＝6或b＝﹣6（不合题意，故舍去）．
②当b＜0时，y＝3x+b的图象如图2．
当x＝0时，y＝3×0+b＝b，则B（0，b），此时OB＝﹣b．
当y＝0时，3x+b＝0，故x＝，则A（，0），此时OA＝﹣．
∴＝6．
∴b＝6（不合题意，故舍去）或b＝﹣6．
综上：b＝±6．
故答案为：±6．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标的特征以及三角形面积，熟练掌握一次函数图象上点的坐标的特征以及三角形面积公式是解决本题的关键．
三、解答题（共86分）
17．为测得池塘两岸点A和点B间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC＝90°，D是AC中点，并测得BD长6m，BC长8m，求A，B两点间的距离．
【分析】BD为直角三角形ABC的中线，所以AC＝2BD，然后在直角三角形ABC中AC＝12cm，根据勾股定理即可求得AB的长．
解：∵∠ABC＝90°，BD是AC中线，BD＝6cm，
∴AC＝2BD＝12cm，
∵BC＝8cm，
根据勾股定理可得：AB＝＝4（cm）．
【点评】本题考查了解直角三角形，及勾股定理和直角三角形斜边上的中线等斜边的一半，熟悉条件理解各量之间的数量关系是解决问题的关键．
18．已知△ABC，△A'B'C'在如图所示的网格（每个小正方形的边长为1）中，△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，1），顶点B的坐标为（﹣1，2）．
（1）在网格图中画出两条坐标轴，并标出坐标原点O；写出A′、B'、C′三点的坐标．
（2）作△A'B'C'关于x轴对称的△A″B″C″，并求出BB″的长．
【分析】（1）易得y轴在A的右边2个单位，x轴在A的下方1个单位；
（2）作出A，B，C三点关于y轴对称的三点，顺次连接即可；
（3）根据所在象限及距离坐标轴的距离根据勾股定理可得出．
解：（1）坐标轴，坐标原点O如图所示；A′的坐标为（2，1），B'的坐标为（1，2），C′的坐标为（3，3）；
（2）△A″B″C″如图所示：BB″＝＝2．
【点评】本题考查轴对称作图问题．用到的知识点：图象的变换，看关键点的变换即可．
19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AB的中点，作FD平行于AE，交CA延长线于点D，AF与DE交于点O．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）如果AB＝5，BC＝13，求平行四边形AEFD的面积．
【分析】（1）由三角形中位线定理得EF∥AC，AC＝2EF，再证AD＝EF，即可得出结论；
（2）由勾股定理得AC＝12，则EF＝6＝AD，再求出AF的长，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，AC＝2EF，
∵AC＝2AD，
∴AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，
∴，
∴，
∴，
∵∠BAC＝90°，
∴AD⊥AF，
∴平行四边形AEFD的面积＝AD•AF＝6×＝15．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
20．某校八年级社会实践小组，为了解2023年某小区家庭月均用水情况，
随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，
月均用水量x（吨）
频数（户）
频率
0＜x≤5
6
0.12
5＜x≤10
m
0.24
10＜x≤15
16
0.32
15＜x≤20
10
0.20
20＜x≤25
4
n
25＜x≤30
2
0.04
请解答以下问题：
（1）求出m，n的值，并把频数分布直方图补充完整；
（2）若该小区有1000户家庭，求该小区月均用水量超过10吨的家庭大约有多少户？
【分析】（1）先求出调查的总人数，再将调查的总人数乘以5＜x≤10组的频率，即可求出m；将20＜x≤25组的频数除以调查的总人数即可求出n；并把频数分布直方图补充完整即可；
（2）将样本中用水量超过10吨的家庭的频率乘以1000，即可估计出该小区月均用水量超过10吨的家庭大约有多少户．
解：（1）∵调查的总人数为：6÷0.12＝50，
∴m＝50×0.24＝12，
n＝＝0.08；
频数分布直方图补充如下：
（2）用水量超过10吨的家庭大约有：1000×（0.32+0.20+0.08+0.04）＝640（户），
答：该小区月均用水量超过10吨的家庭大约有640户．
【点评】本题考查频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，能从频数分布表中获取有用信息是解题的关键．
21．已知一次函数的图象经过A（0，4）与B（﹣3，0）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）判断点与点D（3，8）是否在该一次函数的图象上．
（3）若点E（a，m+2）、F（b，3m）在这个一次函数的图象上，且a﹣b＞0，求m的取值范围．
【分析】（1）设函数的解析式为y＝kx+b，运用待定系数法求出k、b的值即可得到这个一次函数的解析式；
（2）把点与点D（3，8）代入关系式看是否成立即可；
（3）利用一次函数图象的增减性即可得出m+2＞3m，解得即可．
解：（1）设一次函数为y＝kx+b，把A（0，4）与B（﹣3，0）代入得
，
解得：，
∴这个一次函数的解析式为y＝x+4；
（2）点C不在直线上，点D在直线上，
理由如下：
当x＝1时，y＝×1+4＝，C（1，）不在直线上，
当x＝3时，y＝×3+4＝8，D（3，8）在直线上；
（3）∵k＝＞0，
∴y随x的增大而增大．
∵点E（a，m+2）、F（b，3m）在这个一次函数的图象上，且a﹣b＞0，
∴a＞b，
∴m+2＞3m，
∴m＜1．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，由待定系数法正确得出函数解析式是解决问题的关键．
22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到B'的位置，AB′与CD交于点E．
（1）求证：AE＝CE．
（2）若AB＝8，DE＝3，点P为线段AC上任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥CD于H．求PG+PH的值．
【分析】（1）根据折叠的性质，可得∠EAC＝∠CAB，根据平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB，即可得∠EAC＝∠DCA，根据等腰三角形的判定可求AE＝CE；
（2）连接PE，根据三角形的面积公式计算．
【解答】（1）证明：∵将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，
∴∠EAC＝∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠EAC＝∠DCA，
∴AE＝CE；
（2）解：如图，连接PE，
∵CE＝CD﹣DE＝AB﹣DE，
∴CE＝8﹣3＝5＝AE，
∴AD＝＝4，
∵S△AEP+S△ECP＝S△ECA，
∴×AE×PG+×EC×PH＝×EC×AD，
∴PG+PH＝AD＝4．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定，利用面积求得PG+PH是解题的关键．
23．已知A、B两地之间有一条长450km的公路，甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发1小时后，乙车从A地出发，沿同路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回A地．两车之间的距离y（km）与甲车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，请解答下列问题：
（1）甲车的速度是 75 km/h，乙车的速度是 125 km/h，m＝ 4 ；
（2）求相遇后，乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式；
（3）当甲、乙两车相距100km时，甲车的行驶路程．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以先计算出甲车的速度，再根据2小时时两车相遇可以计算出乙车的速度，然后根据乙车原路原速返回A地，可以写出m的值；
（2）根据（1）中的结果，可以写出当x＝m时对应的y的值，从而可以求出乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式；
（3）将y＝100代入（2）中的函数解析式，求出相应的x的值，再根据路程＝速度×时间解答即可．
解：（1）由图象可得，
甲车的速度为：75÷1＝75（km/h），
乙车的速度为：75×2.3÷（2.5﹣1）＝125（km/h），
m＝2.5+（2.5﹣1）＝2+1.5＝4，
故答案为：75，125，4；
（2）当x＝4时，y＝1.5×（75+125）＝300，
设两边相遇后，乙车在返回过程中，y与x的函数表达式为y＝kx+b，
把（2.5，0），（4，300）代入得：，
解得；，
∴y＝200x﹣500（2.5≤x≤4）；
（3）当y＝100时，100＝200x﹣500，
解得：x＝3，
3×75＝225（km），
∴甲车的行驶路程为：225km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，从函数图象中获取解答本题的信息是解题的关键，用到的数学思想是数形结合的思想．
24．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点A（﹣6，8），点C在x轴正半轴上，对角线AC交y轴于点M，边AB交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动．
（1）求点B的坐标．
（2）求对角线AC所在直线的解析式．
（3）设动点P的运动时间为t秒，连接PM、BM，△PBM的面积为S，请用含t的式子表示S；
（4）当t＝8时，直线AC上是否存在点N，使S△NBM＝S△PBM．若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点A坐标可得AH＝6，OH＝8，由勾股定理可得OA＝10，根据菱形的性质可得边长为10，由此即可求解；
（2）运用待定系数法即可求解；
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当0≤t＜5时，如图3﹣2中，当5＜t≤10时，分别求解即可；
（4）当t＝8时，求出S△PBM，即求出S△NBM，先利用待定系数法示出MB的解析式，过点N作NP⊥x轴交MB于点Q，设出点N，Q的坐标，利用面积列方程即可出求点N的坐标．
解：（1）∵A（﹣6，8），
∴AH＝6，OH＝8，
∴OA＝＝10，
∵四边形ABCO是菱形，
∴AB＝OA＝10，AB∥OC，
∴AH＝6，
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，
∴B（4，8），
（2）设直线 AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣6，8），C（10，0）代入得：
，解得，
∴直线 AC的解析式为：y＝﹣x+5，
（3）连接BM，如图3﹣1中，当0≤t＜5时，
∵对角线AC交y轴于点M，
∴M（0，5），
∴OM＝5，
∴MH＝OH﹣OM＝8﹣5＝3，
∴S＝•PB•MH＝×（10﹣2t）×3＝15﹣3t，
如图3﹣2中，当5＜t≤10时，
∵四边形ABCO是菱形，
∴∠OCM＝∠BCM，
∵CO＝CB，CM＝CM，
∴△OCM≌△BCM（SAS），
∴∠MOC＝∠MBC＝90°，
∴MB⊥BC，
∴S＝•BP•MB＝×（2t﹣10）×5＝5t﹣25，
综上所述，，
（4）存在点N，如图4所示：
当t＝8时，点P在BC上运动，
∴S△PBM＝5t﹣25＝5×8﹣25＝15，
∵S△NBM＝S△PBM，
∴S△NBM＝15，
过点N作NP⊥x轴交MB于点Q，
设直线 MB的解析式为y＝k1x+b1，把M（0，5），B（4，8）代入得：
，解得：，
∴直线 MB的解析式为：y＝x+5，
设N（n，﹣n+5），Q（n，n+5），
∴NQ＝|（﹣n+5）﹣（n+5）|＝|n|，
∴S△NBM＝×|n|×（8﹣0）＝15，
解得：n＝±3，
∴N（3，）或（﹣3，）．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积、勾股定理等知识点，正确作出辅助线以及掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．
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