初中数学北师大版九年级下册1 圆教学设计

正多边形的面积计算

我们知道，正四边形（正方形）面积等于,正三角形的面积等于。我不禁想到了：那么正五边形、正六边形呢？通过画图计算，我发现正六边形的面积公式比较容易推导，而正五边形的则复杂一些。

如图是一个边长为a的正六边形。连接AC,DF,过B作BG⊥AC。BG=,AC=。=ACBG=。==。

用类似的方法，我求得了正五边形的面积公式，不过结果十分复杂。我求得。我想化简这个结果。通过观察公式,我发现可以将化简为,即。得到这个结果，我挺满意，又考虑能不能把也变成与有关的形式。经过尝试，我进行了以下变形：,而又有，所以。所以。。而利用黄金三角形，可以求得。虽然这是根式的形式，但是代入原式会异常复杂，还不如三角函数的表示形式简明。

我又想有没有能够适用于所有正多边形的公式，而不用屡次尝试化简三角函数。

很快，我找到了一个普遍适用的新方法。作出该正多边形的中心O，连接OB，OC，过O作OE⊥BC。设该正多边形为正n边形，边长为a。OB=OC,∠BOC=,BE=CE=,∠BOE=。OE== 。==。发现了这个结论，我很高兴，将n=3,n=4,n=6逐一带入，都与之前的结果相符。

这时，我又联想到了圆。圆可以看成正无数边形，那么圆的面积公式=与这个公式是否统一呢？我发现将边心距OE=记为h，那么a=。将其代入=得到=。将这个公式与=类比，可得当正n边形变数无限大时，就无限接近于。不过似乎不能化简而我又想到了，前面我用OE来近似表示半径，那如果用OB来表示呢？同样，我求得OB=，记OB=h’，a=’。代入得=。同上，当正n边形变数无限大时，也无限接近于。当与无限接近时，即有，又,近似等于1，即n无穷大。这说明了该结论的正确性。

由图像可以看出，函数值无限接近