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2022-2023学年湖南省郴州市嘉禾县八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖南省郴州市嘉禾县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省郴州市嘉禾县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形是用数学家的名字命名，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. 科克曲线 B. 费马螺线
C. 笛卡尔心形线 D. 斐波那契螺旋线
2. 如果点P(−3,n)在第二象限，则n的取值范围是( )
A. n<0 B. n>0 C. n≤0 D. n≥0
3. 如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，若DE=2，则BC的长度为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 在Rt△ABC，如果两直角边分别为5，12，则斜边上的中线长为( )
A. 5 B. 132 C. 12 D. 13
5. 下列命题中的真命题是( )
A. 有一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
6. “少年强则国强；强国有我，请党放心.”这句话中，“强”字出现的频率是( )
A. 17 B. 37 C. 314 D. 18
7. 小红骑车从家里出发去上学，刚开始以某一速度匀速行驶，途中自行车发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕上学迟到，于是就加快了车速.设s表示小红离家的距离，t表示时间，下面的图象中能大致反映他上学的整个过程的是( )
A. B. C. D.
8. 如图，一块矩形纸片的宽CD为5，点E在AB上，沿EC对折，B点刚好落在AD边的点B′处，此时∠BCE=15°，则BC的长为( )
A. 5
B. 5 5
C. 10
D. 15
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. △ABC中，∠C=90°，∠A=35°，则∠B= ______ ．
10. 如图是某景点6月份内1～10日每天的最高温度折线统计图，由图信息可知该景点这10天中，气温26℃出现的频率是______．
11. 第五套人民币中的5角硬币色泽为镍白色，正，反面的内周边缘均为正十一边形．则其内角和为______°.
12. 点A(1,−2)向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到点B，则点B的坐标是______ ．
13. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E.如果AC=8，那么AD+DE= ______ ．
14. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOB=60°，AB=3，则BD=______．
15. 在菱形ABCD中，对角线BD=3，AC=4，则菱形ABCD的面积是______ ．
16. 如图，直线y1=x+b与y2=kx−1相交于点P，点P的横坐标为−1，则关于x的不等式x+b>kx−1的解集为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
如图，已知AC平分∠BAF，CE⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且BC=DC.求证：△CFD≌△CEB．
18. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，求证：四边形AECF是平行四边形．
19. (本小题6.0分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2)，B(3,0)，C(5,3)．
(1)请画出△ABC向下平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
20. (本小题8.0分)
如图，直线AB经过点A(−1,5)和B(2,−1)，与y轴交于点C，连接OA，OB．
(1)求直线AB的表达式和点C的坐标；
(2)求△AOB的面积．
21. (本小题8.0分)
中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广.为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校学生参加的“汉字听写”大赛.为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计，绘制出如图不完整的统计图表：
成绩x(分)
频数(人)
频率
50≤x<60
10
0.05
60≤x<70
20
0.10
70≤x<80
a
0.25
80≤x<90
40
0.20
90≤x<100
80
b
根据图表信息，解答下列问题：
(1)a= ______ ，b= ______ ；
(2)补全频数分布直方图；
(3)这200名学生成绩的中位数落在______ 分数段(填统计表中“成绩”一栏5个分数段中的某一段)；
(4)若全校有1200人，请你估计该校参加本次比赛的学生中成绩在80分以上(含80分)的人数．
22. (本小题8.0分)
如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AE=CF，对角线AC平分∠ECF．
(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)已知AB=6，BC=12，求线段BF的长．
23. (本小题8.0分)
某水果商计划到果园基地购买一种优质水果，购买量在2000千克以上(含2000千克).已知该水果定价为每千克10元，果园基地有两种优惠方案可以供水果商选择：
第一种方案：按水果定价的8折出售，商家负责送货上门；
第二种方案：按水果定价的7折出售，但需要自己租车运回，租车的费用为4000元．
(1)分别写出水果商按两种方案购买的付款额y(元)与购买量x(千克)之间的函数关系式，并写明自变量x的取值范围；
(2)当购买量为5000千克时，选取哪种方案更优惠？
(3)当购买量x的范围为多少时，选择第一种方案购买付款少？
24. (本小题10.0分)
小明根据学习函数的经验，对函数y=|x+1|+1的图象与性质进行了探究．
小明的探究过程如下：
列表：
x
…
−4
−3
−2
m
0
1
2
3
4
…
y
…
4
3
2
1
2
3
4
5
n
…
(1)补全表格：m= ______ ，n= ______ ；
(2)以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线；
(3)根据表格及函数图象，探究函数性质：
①该函数的最小值为______ ；
②当x>−1时，函数值y随自变量x的增大而______ (填“增大”或“减小”)；
③若关于x的方程|x+1|=b−1有两个不同的解，求b的取值范围．
25. (本小题10.0分)
如图1，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形，BE=BF．
(1)求证：∠BAF=∠BCE；
(2)求证：直线AF⊥CE；
(3)如图2，将△BEF绕点B顺时针旋转θ°(0<θ<90)，直线AF⊥CE是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
26. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，A(3,4)，四边形ABCO是菱形，点C在x轴的负半轴上，直线AC交y轴于点D．
(1)求菱形ABCO的周长；
(2)动点P从点C出发，沿线段CO方向以2个单位/秒的速度向终点O匀速运动，设△POD的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S关于t的函数表达式并写出自变量t的取值范围；
(3)平面直角坐标系内是否存在点M，使得以点C、O、D、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】B
【解析】解：∵点P(−3,n)在第二象限，
∴n>0．
故选：B．
根据点P在第二象限，可知n>0，本题得以解决．
本题考查点的坐标，解题关键是熟知各象限内点的坐标特征．
3.【答案】D
【解析】解：∵D、E分别为边AB，AC的中点，DE=2，
∴BC=2DE=4，
故选：D．
根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC，两直角边分别为5，12，
∴斜边的长为 52+122=13，
∴斜边上的中线长为132，
故选：B．
利用勾股定理求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．
本题主要考查了勾股定理和直角三角形的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、有两组对边平行的四边形是平行四边形，所以A选项错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项错误；
D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以D选项正确．
故选：D．
根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据正方形的判定方法对C进行判断；根据菱形的判定方法对D进行判断．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
6.【答案】C
【解析】解：由题意得：强”字出现的频率=314，
故选：C．
根据频率=频数÷总次数，进行计算即可解答．
本题考查了频数与频率，熟练掌握频率=频数÷总次数是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵停下修车时，路程没变化，
观察图象，A、B、D选项的路程始终都在变化，故不符合题意；
C选项中修车是的路程没变化，故选项C符合题意．
故选：C．
根据修车时，路程没变化，可得答案．
本题考查了函数图象，观察图象是解题关键，注意修车时路程没有变化．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=90°，AD//BC，
由折叠可知，BC=B′C，∠BCE=∠B′CE=15°，
∴∠BCB′=∠BCE+∠B′CE=30°，
∵AD//BC，
∴∠CB′D=∠BCB′=30°，
在Rt△B′CD中，B′C=2CD=10，
∴BC=B′C=10．
故选：C．
由折叠可知BC=B′C，∠BCE=∠B′CE=15°，进而得到∠BCB′=30°，由平行线的性质得∠CB′D=∠BCB′=30°，利用含30度角的直角三角形性质即可求解．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、含30度角的直角三角形性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
9.【答案】55°
【解析】解：∵∠C=90°，∠A=35°，
∴∠B=180°−90°−35°=55°．
故答案为：55°．
直接根据三角形的内角和是180°即可得出结论．
本题考查的是三角形的内角和，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．
10.【答案】0.3
【解析】解：温26℃出现的天数是3天，
气温26℃出现的频率是：3÷10=0.3．
故答案为0.3．
首先分析出气温26℃出现的天数是3天，再根据频率=所求天数与总天数之比作答即可．
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．解答此类问题，重点要分析出所求情况和总情况，针对每种情况的数目进行作答．
11.【答案】1620
【解析】解：十一边形的内角和等于：(11−2)⋅180°=1620°．
故答案为：1620．
把多边形的边数代入n边形的内角和是(n−2)⋅180°，就得到多边形的内角和．
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，此题难度不大．
12.【答案】(−2,2)
【解析】解：点A(1,−2)向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到点B，则点B的坐标是(1−3,−2+4)，即(−2,2)，
故答案为：(−2,2)．
根据点的坐标的平移规律求解即可．
本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
13.【答案】8
【解析】解：∵∠ACB=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，
∴CD=DE，
∴AD+DE=AD+CD=AC=8．
故答案．为：8．
由角平分线的性质得到CD=DE，因此AD+DE=AD+CD=AC=8．
本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质．
14.【答案】6
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴AO=BO，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=OB=AB=3，
∴BD=2AB=6，
故答案为6．
根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，求出AO=BO，得出等边三角形AOB即可解决问题；
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据矩形的性质和等边三角形的性质求出AC的长，注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分且相等．
15.【答案】6
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线BD=3，AC=4，
∴该菱形的面积是：12AC⋅BD=12×3×4=6，
故答案为：6．
由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积．
此题考查了菱形的性质，熟记“菱形的面积等于其对角线积的一半”是解题的关键．
16.【答案】x>−1
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式．
观察函数图象得到，当x>−1，函数y=x+b的图象都在函数y=kx−1图象的上方，于是可得到关于x的不等式x+b>kx−1的解集．
【解答】
解：当x>−1，函数y=x+b的图象在函数y=kx−1图象的上方，
所以关于x的不等式x+b>kx−1的解集为x>−1．
故答案为：x>−1．
17.【答案】证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，
在Rt△CEB和Rt△CFD中，CE=CFCB=CD，
∴Rt△CFD≌Rt△CEB(HL)．
【解析】先根据角平分线的性质得到CE=CF，再利用HL证明△CFD≌△CEB即可．
本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，熟知直角三角形全等的判定条件和角平分线上的点到角两端的距离相等是解题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE//CF，∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF，
又∵AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】先由平行四边形的性质得AB=CD，AB//CD，则∠ABE=∠CDF，再证△ABE≌△CDF(AAS)，得AE=CF，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练正确平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；
(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求．
【解析】(1)利用平移的性质得出对应顶点的位置，进而得出答案；
(2)利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案．
此题主要考查平移变换，得出对应点位置是解题关键．
20.【答案】解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A(−1,5)和B(2,−1)代入到y=kx+b中得：
−k+b=52k+b=−1，
解得：k=−2b=3，
∴直线AB的解析式为y=−2x+3，
在y=−2x+3中，当x=0时，y=−2x+3=3，
∴C(0,3)；
(2)解：∵C(0,3)，
∴OC=3，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC
=12OC⋅(−xA)+12OC⋅xB
=12×3×1+12×3×2
=92．
【解析】(1)利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而求出点C的坐标即可．
(2)根据S△AOB=S△AOC+S△BOC进行求解即可．
本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，直线围成的图形面积等等，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
21.【答案】50 0.4 80≤x<90
【解析】解：(1)因为本次调查的总人数为200，
所以a=200×0.25=50，b=80÷200=0.4，
故答案为：50；0.4；
(2)频数分布直方图如图所示，
(3)200名学生成绩的中位数是第100、101个成绩的平均数，而第100、101个数均落在80≤x<90，
∴这200名学生成绩的中位数会落在80≤x<90数段；
故答案为：80≤x<90；
(4)3000×(0.2+0.4)=1800(人)，
答：估计该校参加本次比赛的学生中成绩在80分以上(含80分)的人数有1800人．
(1)根据频率=频数÷总数求解可得；
(2)根据所求a的值即可补全频数分布直方图；
(3)利用中位数的概念求解可得；
(4)用总人数乘以样本中成绩在80分以上(含80分)的人数频率之和即可得．
本题考查读频数(率)分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了中位数和利用样本估计总体．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//CB，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
∠OAE=∠OCF∠AOE=∠COFAE=CF，
∴△OAE≌△OCF(AAS)，
∴OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC平分∠ECF，
∴∠ECA=∠FCA，
∵∠EAC=∠FCA，
∴∠ECA=∠EAC，
∴AE=CE，
∴四边形AECF是菱形．
(2)解：∵四边形AECF是菱形，
∴AF=CF，
∵AB=6，BC=12，
∴AF=CF=12−BF，
∵∠B=90°，
∴AB2+BF2=AF2，
∴62+BF2=(12−BF)2，
解得BF=92，
∴线段BF的长是92．
【解析】(1)由矩形的性质得AD//CB，则∠OAE=∠OCF，可证明△OAE≌△OCF，得OA=OC，OE=OF，则四边形AECF是平行四边形，由∠ECA=∠FCA，∠EAC=∠FCA，得∠ECA=∠EAC，则AE=CE，所以四边形AECF是菱形；
(2)由AB=6，BC=12，得AF=CF=12−BF，由AB2+BF2=AF2，得62+BF2=(12−BF)2，则BF=92．
此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△OAE≌△OCF是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由题意得，方案一：y=10×0.8x=8x(x≥2000)；
方案二：y=10×0.7x+4000=7x+4000(x≥2000)；
(2)当x=5000时，方案一的费用为8×5000=40000元，
方案二的费用为7×5000+4000=39000元，
∵39000<40000，
∴选取方案二更优惠；
(3)由题意得，8x<7x+4000，
解得x<4000，
∵2000≤x<4000，
∴当2000≤x<4000时，选择第一种方案付款少．
【解析】(1)根据所给的优惠方案求出两个方案对应的关系式即可；
(2)把x=5000代入(1)中所求式子中分别求出两个方案的费用即可得到答案；
(3)根据题意列出不等式求解即可．
本题主要考查了列函数关系式，求函数值，一元一次不等式的实际应用，正确列出对应的函数关系是解题的关键．
24.【答案】−1 6 1 增大
【解析】解：(1)对于y=|x+1|+1，当y=1时，1=|x+1|+1，
解得：x=−1，
∴m=−1，
对于y=|x+1|+1，当x=4时，y=|4+1|+1=6，
∴n=6，
故答案为：−1，6；
(2)根据表格中的对应值在直角坐标系中描点、连线，如图为所求．
(3)①由函数的图象可知：该函数的最小值为1；
故答案为：1．
②由函数的图象可知：函数值y随自变量x的增大而增大；
故答案为：增大．
③∵|x+1|=b−1，
∴|x+1|+1=b，
设y1=|x+1|+1，y2=b，
∵关于x的方程|x+1|=b−1有两个不同的解，
∴函数y1=|x+1|+1与y2=b有两个不同的交点，
由函数的图象可知：当b>1时，函数y1=|x+1|+1与y2=b有两个不同的交点，
即关于x的方程|x+1|=b−1有两个不同的解，
∴b>1．
(1)将y=1代入y=|x+1|+1之中求出对应的x即可得出m的值；将x=4代入y=|x+1|+1之中求出对应的y即可得出n的值；
(2)先根据表格中的对应值在直角坐标系中描点，然后连线即可得出函数的图象；
(3)①观察函数的图象即可得出函数的最小值；
②观察函数的图象即可得出答案；
③将|x+1|=b−1转化为|x+1|+1=b，再设y1=|x+1|+1，y2=b，然后根据关于x的方程|x+1|=b−1有两个不同的解，得出函数y1=|x+1|+1与y2=b有两个不同的交点，然后根据函数的图象即可得出b的取值范围．
此题主要考查了一次函数的图象和性质，解答此题的关键是熟练掌握求函数的值，描点画一次函数的图象，理解一次函数的性质，难点是解答(3)题时，把考查方程解的个数转化考查两个函数的交点个数．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形，BE=BF，
∴AB=CB，∠ABF=CBE=90°，
在△ABF和△CBE中，
AB=CB∠ABF=∠CBEBF=BE，
∴△ABF≌△CBE(SAS)，
∴∠BAF=∠BCE；
(2)证明：延长AF交CE于M，
由(1)知∠BAF=∠BCE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBE=90°，
∴∠CEB+∠BCE=90°，
∴∠CEB+∠BAF=90°，
∴∠AME=90°，
∴直线AF⊥CE；
(3)解：将△BEF绕点B顺时针旋转θ°(0<θ<90)，直线AF⊥CE仍然成立，
证明：设AF、CE交于点N，AF、BC交于点P，
∵四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形，BE=BF，∴AB=CB，∠ABC=FBE=90°，
∴∠ABC+∠CBF=FBE+∠CBF，
∴∠ABF=∠CBE，
在△ABF和△CBE中，
AB=CB∠ABF=∠CBEBF=BE，
∴△ABF≌△CBE(SAS)，
∴∠BAF=∠BCE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBA=90°，
∴∠APB+∠BAF=90°，
∵∠APB=∠CPE，
∴∠CPE+∠BCE=90°，
∴∠CNP=90°，
∴直线AF⊥CE．
【解析】(1)根据SAS证△ABF≌△CBE，即可得出结论；
(2)延长AF交CE于M，由(1)知∠BAF=∠BCE，由∠CBE=90°可得∠CEB+∠BCE=90°，则∠CEB+∠BAF=90°，可得∠AME=90°，即可得出结论；
(3)设AF、CE交于点N，AF、BC交于点P，根据SAS证△ABF≌△CBE，可得∠BAF=∠BCE，由∠CBA=90°可得∠APB+∠BAF=90°，则∠CPF+∠BCE=90°，可得∠ANC=90°，即可得出结论．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质定理，属于中考压轴题．
26.【答案】解：(1)∵A(3,4)，
∴OA= 32+42=5，
∴菱形ABCO的周长=4OA=4×5=20；
(2)∵动点P从点C出发，沿线段CO方向以2个单位/秒的速度向终点O匀速运动，
∴CP=2t，
由(1)知，菱形ABCO的边长为5，
∴OC=5，
∴C(−5,0)，OP=OC−CP=5−2t，0≤2t≤5，
∴0≤t≤52，
设AC的解析式为：y=kx+b，
则4=3k+b0=−5k+b，
解得：k=12b=52，
∴AC的解析式为：y=12x+52，
当x=0时，y=52，
∴D(0,52)，
∴OD=52，
∴S△POD=12OD⋅OP=12×52×(5−2t)=254−52t，
∴S关于t的函数表达式为：S=254−52t(0≤t≤52)；
(3)存在，理由如下：
设M(m,n)，①当OC为对角线时，CM//DO，CM=DO，
∵点D横坐标减O、纵坐标减52，与点O重合，
∴点M的坐标为：(−5−0,0−52)，
即M(−5,−52)；
②当OD为对角线时，CO//DM，CO=DM，
∵点C横坐标减5、纵坐标减0，与点O重合，
∴点M的坐标为：(0+5,52−0)，
即M(5,52)；
③当CD为对角线时，OC//DM，OC=DM，
∵点O横坐标减5、纵坐标减0，与点C重合，
∴点M的坐标为：(0−5,52−0)，
即M(−5,52)；
综上所述，存在点M，使得以点C、O、D、M为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为(−5,−52)或(5,52)或(−5,52).
【解析】(1)由勾股定理得OA=5，再由菱形的性质即可得出结论；
(2)由菱形的性质得OC=5，则C(−5,0)，OP=OC−CP=5−2t，0≤2t≤5，再由待定系数法求出AC的解析式为y=12x+52，然后得D(0,52)，即可解决问题；
(3)分三种情况，①当OC为对角线时，②当OD为对角线时，③当CD为对角线时，分别求出点M的坐标即可．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质、平行四边形的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、平移的性质、坐标与图形、三角形面积计算、分类讨论等知识，综合性强，熟练掌握平行四边形的性质和分类讨论是解题的关键．
2022-2023学年湖南省郴州市嘉禾县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形是用数学家的名字命名，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. 科克曲线 B. 费马螺线
C. 笛卡尔心形线 D. 斐波那契螺旋线
2. 如果点P(−3,n)在第二象限，则n的取值范围是( )
A. n<0 B. n>0 C. n≤0 D. n≥0
3. 如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，若DE=2，则BC的长度为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 在Rt△ABC，如果两直角边分别为5，12，则斜边上的中线长为( )
A. 5 B. 132 C. 12 D. 13
5. 下列命题中的真命题是( )
A. 有一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
6. “少年强则国强；强国有我，请党放心.”这句话中，“强”字出现的频率是( )
A. 17 B. 37 C. 314 D. 18
7. 小红骑车从家里出发去上学，刚开始以某一速度匀速行驶，途中自行车发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕上学迟到，于是就加快了车速.设s表示小红离家的距离，t表示时间，下面的图象中能大致反映他上学的整个过程的是( )
A. B. C. D.
8. 如图，一块矩形纸片的宽CD为5，点E在AB上，沿EC对折，B点刚好落在AD边的点B′处，此时∠BCE=15°，则BC的长为( )
A. 5
B. 5 5
C. 10
D. 15
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. △ABC中，∠C=90°，∠A=35°，则∠B= ______ ．
10. 如图是某景点6月份内1～10日每天的最高温度折线统计图，由图信息可知该景点这10天中，气温26℃出现的频率是______．
11. 第五套人民币中的5角硬币色泽为镍白色，正，反面的内周边缘均为正十一边形．则其内角和为______°.
12. 点A(1,−2)向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到点B，则点B的坐标是______ ．
13. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E.如果AC=8，那么AD+DE= ______ ．
14. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOB=60°，AB=3，则BD=______．
15. 在菱形ABCD中，对角线BD=3，AC=4，则菱形ABCD的面积是______ ．
16. 如图，直线y1=x+b与y2=kx−1相交于点P，点P的横坐标为−1，则关于x的不等式x+b>kx−1的解集为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
如图，已知AC平分∠BAF，CE⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且BC=DC.求证：△CFD≌△CEB．
18. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，求证：四边形AECF是平行四边形．
19. (本小题6.0分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2)，B(3,0)，C(5,3)．
(1)请画出△ABC向下平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
20. (本小题8.0分)
如图，直线AB经过点A(−1,5)和B(2,−1)，与y轴交于点C，连接OA，OB．
(1)求直线AB的表达式和点C的坐标；
(2)求△AOB的面积．
21. (本小题8.0分)
中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广.为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校学生参加的“汉字听写”大赛.为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计，绘制出如图不完整的统计图表：
成绩x(分)
频数(人)
频率
50≤x<60
10
0.05
60≤x<70
20
0.10
70≤x<80
a
0.25
80≤x<90
40
0.20
90≤x<100
80
b
根据图表信息，解答下列问题：
(1)a= ______ ，b= ______ ；
(2)补全频数分布直方图；
(3)这200名学生成绩的中位数落在______ 分数段(填统计表中“成绩”一栏5个分数段中的某一段)；
(4)若全校有1200人，请你估计该校参加本次比赛的学生中成绩在80分以上(含80分)的人数．
22. (本小题8.0分)
如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AE=CF，对角线AC平分∠ECF．
(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)已知AB=6，BC=12，求线段BF的长．
23. (本小题8.0分)
某水果商计划到果园基地购买一种优质水果，购买量在2000千克以上(含2000千克).已知该水果定价为每千克10元，果园基地有两种优惠方案可以供水果商选择：
第一种方案：按水果定价的8折出售，商家负责送货上门；
第二种方案：按水果定价的7折出售，但需要自己租车运回，租车的费用为4000元．
(1)分别写出水果商按两种方案购买的付款额y(元)与购买量x(千克)之间的函数关系式，并写明自变量x的取值范围；
(2)当购买量为5000千克时，选取哪种方案更优惠？
(3)当购买量x的范围为多少时，选择第一种方案购买付款少？
24. (本小题10.0分)
小明根据学习函数的经验，对函数y=|x+1|+1的图象与性质进行了探究．
小明的探究过程如下：
列表：
x
…
−4
−3
−2
m
0
1
2
3
4
…
y
…
4
3
2
1
2
3
4
5
n
…
(1)补全表格：m= ______ ，n= ______ ；
(2)以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线；
(3)根据表格及函数图象，探究函数性质：
①该函数的最小值为______ ；
②当x>−1时，函数值y随自变量x的增大而______ (填“增大”或“减小”)；
③若关于x的方程|x+1|=b−1有两个不同的解，求b的取值范围．
25. (本小题10.0分)
如图1，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形，BE=BF．
(1)求证：∠BAF=∠BCE；
(2)求证：直线AF⊥CE；
(3)如图2，将△BEF绕点B顺时针旋转θ°(0<θ<90)，直线AF⊥CE是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
26. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，A(3,4)，四边形ABCO是菱形，点C在x轴的负半轴上，直线AC交y轴于点D．
(1)求菱形ABCO的周长；
(2)动点P从点C出发，沿线段CO方向以2个单位/秒的速度向终点O匀速运动，设△POD的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S关于t的函数表达式并写出自变量t的取值范围；
(3)平面直角坐标系内是否存在点M，使得以点C、O、D、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】B
【解析】解：∵点P(−3,n)在第二象限，
∴n>0．
故选：B．
根据点P在第二象限，可知n>0，本题得以解决．
本题考查点的坐标，解题关键是熟知各象限内点的坐标特征．
3.【答案】D
【解析】解：∵D、E分别为边AB，AC的中点，DE=2，
∴BC=2DE=4，
故选：D．
根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC，两直角边分别为5，12，
∴斜边的长为 52+122=13，
∴斜边上的中线长为132，
故选：B．
利用勾股定理求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．
本题主要考查了勾股定理和直角三角形的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、有两组对边平行的四边形是平行四边形，所以A选项错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项错误；
D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以D选项正确．
故选：D．
根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据正方形的判定方法对C进行判断；根据菱形的判定方法对D进行判断．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
6.【答案】C
【解析】解：由题意得：强”字出现的频率=314，
故选：C．
根据频率=频数÷总次数，进行计算即可解答．
本题考查了频数与频率，熟练掌握频率=频数÷总次数是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵停下修车时，路程没变化，
观察图象，A、B、D选项的路程始终都在变化，故不符合题意；
C选项中修车是的路程没变化，故选项C符合题意．
故选：C．
根据修车时，路程没变化，可得答案．
本题考查了函数图象，观察图象是解题关键，注意修车时路程没有变化．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=90°，AD//BC，
由折叠可知，BC=B′C，∠BCE=∠B′CE=15°，
∴∠BCB′=∠BCE+∠B′CE=30°，
∵AD//BC，
∴∠CB′D=∠BCB′=30°，
在Rt△B′CD中，B′C=2CD=10，
∴BC=B′C=10．
故选：C．
由折叠可知BC=B′C，∠BCE=∠B′CE=15°，进而得到∠BCB′=30°，由平行线的性质得∠CB′D=∠BCB′=30°，利用含30度角的直角三角形性质即可求解．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、含30度角的直角三角形性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
9.【答案】55°
【解析】解：∵∠C=90°，∠A=35°，
∴∠B=180°−90°−35°=55°．
故答案为：55°．
直接根据三角形的内角和是180°即可得出结论．
本题考查的是三角形的内角和，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．
10.【答案】0.3
【解析】解：温26℃出现的天数是3天，
气温26℃出现的频率是：3÷10=0.3．
故答案为0.3．
首先分析出气温26℃出现的天数是3天，再根据频率=所求天数与总天数之比作答即可．
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．解答此类问题，重点要分析出所求情况和总情况，针对每种情况的数目进行作答．
11.【答案】1620
【解析】解：十一边形的内角和等于：(11−2)⋅180°=1620°．
故答案为：1620．
把多边形的边数代入n边形的内角和是(n−2)⋅180°，就得到多边形的内角和．
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，此题难度不大．
12.【答案】(−2,2)
【解析】解：点A(1,−2)向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到点B，则点B的坐标是(1−3,−2+4)，即(−2,2)，
故答案为：(−2,2)．
根据点的坐标的平移规律求解即可．
本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
13.【答案】8
【解析】解：∵∠ACB=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，
∴CD=DE，
∴AD+DE=AD+CD=AC=8．
故答案．为：8．
由角平分线的性质得到CD=DE，因此AD+DE=AD+CD=AC=8．
本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质．
14.【答案】6
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴AO=BO，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=OB=AB=3，
∴BD=2AB=6，
故答案为6．
根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，求出AO=BO，得出等边三角形AOB即可解决问题；
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据矩形的性质和等边三角形的性质求出AC的长，注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分且相等．
15.【答案】6
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线BD=3，AC=4，
∴该菱形的面积是：12AC⋅BD=12×3×4=6，
故答案为：6．
由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积．
此题考查了菱形的性质，熟记“菱形的面积等于其对角线积的一半”是解题的关键．
16.【答案】x>−1
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式．
观察函数图象得到，当x>−1，函数y=x+b的图象都在函数y=kx−1图象的上方，于是可得到关于x的不等式x+b>kx−1的解集．
【解答】
解：当x>−1，函数y=x+b的图象在函数y=kx−1图象的上方，
所以关于x的不等式x+b>kx−1的解集为x>−1．
故答案为：x>−1．
17.【答案】证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，
在Rt△CEB和Rt△CFD中，CE=CFCB=CD，
∴Rt△CFD≌Rt△CEB(HL)．
【解析】先根据角平分线的性质得到CE=CF，再利用HL证明△CFD≌△CEB即可．
本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，熟知直角三角形全等的判定条件和角平分线上的点到角两端的距离相等是解题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE//CF，∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF，
又∵AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】先由平行四边形的性质得AB=CD，AB//CD，则∠ABE=∠CDF，再证△ABE≌△CDF(AAS)，得AE=CF，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练正确平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；
(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求．
【解析】(1)利用平移的性质得出对应顶点的位置，进而得出答案；
(2)利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案．
此题主要考查平移变换，得出对应点位置是解题关键．
20.【答案】解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A(−1,5)和B(2,−1)代入到y=kx+b中得：
−k+b=52k+b=−1，
解得：k=−2b=3，
∴直线AB的解析式为y=−2x+3，
在y=−2x+3中，当x=0时，y=−2x+3=3，
∴C(0,3)；
(2)解：∵C(0,3)，
∴OC=3，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC
=12OC⋅(−xA)+12OC⋅xB
=12×3×1+12×3×2
=92．
【解析】(1)利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而求出点C的坐标即可．
(2)根据S△AOB=S△AOC+S△BOC进行求解即可．
本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，直线围成的图形面积等等，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
21.【答案】50 0.4 80≤x<90
【解析】解：(1)因为本次调查的总人数为200，
所以a=200×0.25=50，b=80÷200=0.4，
故答案为：50；0.4；
(2)频数分布直方图如图所示，
(3)200名学生成绩的中位数是第100、101个成绩的平均数，而第100、101个数均落在80≤x<90，
∴这200名学生成绩的中位数会落在80≤x<90数段；
故答案为：80≤x<90；
(4)3000×(0.2+0.4)=1800(人)，
答：估计该校参加本次比赛的学生中成绩在80分以上(含80分)的人数有1800人．
(1)根据频率=频数÷总数求解可得；
(2)根据所求a的值即可补全频数分布直方图；
(3)利用中位数的概念求解可得；
(4)用总人数乘以样本中成绩在80分以上(含80分)的人数频率之和即可得．
本题考查读频数(率)分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了中位数和利用样本估计总体．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//CB，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
∠OAE=∠OCF∠AOE=∠COFAE=CF，
∴△OAE≌△OCF(AAS)，
∴OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC平分∠ECF，
∴∠ECA=∠FCA，
∵∠EAC=∠FCA，
∴∠ECA=∠EAC，
∴AE=CE，
∴四边形AECF是菱形．
(2)解：∵四边形AECF是菱形，
∴AF=CF，
∵AB=6，BC=12，
∴AF=CF=12−BF，
∵∠B=90°，
∴AB2+BF2=AF2，
∴62+BF2=(12−BF)2，
解得BF=92，
∴线段BF的长是92．
【解析】(1)由矩形的性质得AD//CB，则∠OAE=∠OCF，可证明△OAE≌△OCF，得OA=OC，OE=OF，则四边形AECF是平行四边形，由∠ECA=∠FCA，∠EAC=∠FCA，得∠ECA=∠EAC，则AE=CE，所以四边形AECF是菱形；
(2)由AB=6，BC=12，得AF=CF=12−BF，由AB2+BF2=AF2，得62+BF2=(12−BF)2，则BF=92．
此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△OAE≌△OCF是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由题意得，方案一：y=10×0.8x=8x(x≥2000)；
方案二：y=10×0.7x+4000=7x+4000(x≥2000)；
(2)当x=5000时，方案一的费用为8×5000=40000元，
方案二的费用为7×5000+4000=39000元，
∵39000<40000，
∴选取方案二更优惠；
(3)由题意得，8x<7x+4000，
解得x<4000，
∵2000≤x<4000，
∴当2000≤x<4000时，选择第一种方案付款少．
【解析】(1)根据所给的优惠方案求出两个方案对应的关系式即可；
(2)把x=5000代入(1)中所求式子中分别求出两个方案的费用即可得到答案；
(3)根据题意列出不等式求解即可．
本题主要考查了列函数关系式，求函数值，一元一次不等式的实际应用，正确列出对应的函数关系是解题的关键．
24.【答案】−1 6 1 增大
【解析】解：(1)对于y=|x+1|+1，当y=1时，1=|x+1|+1，
解得：x=−1，
∴m=−1，
对于y=|x+1|+1，当x=4时，y=|4+1|+1=6，
∴n=6，
故答案为：−1，6；
(2)根据表格中的对应值在直角坐标系中描点、连线，如图为所求．
(3)①由函数的图象可知：该函数的最小值为1；
故答案为：1．
②由函数的图象可知：函数值y随自变量x的增大而增大；
故答案为：增大．
③∵|x+1|=b−1，
∴|x+1|+1=b，
设y1=|x+1|+1，y2=b，
∵关于x的方程|x+1|=b−1有两个不同的解，
∴函数y1=|x+1|+1与y2=b有两个不同的交点，
由函数的图象可知：当b>1时，函数y1=|x+1|+1与y2=b有两个不同的交点，
即关于x的方程|x+1|=b−1有两个不同的解，
∴b>1．
(1)将y=1代入y=|x+1|+1之中求出对应的x即可得出m的值；将x=4代入y=|x+1|+1之中求出对应的y即可得出n的值；
(2)先根据表格中的对应值在直角坐标系中描点，然后连线即可得出函数的图象；
(3)①观察函数的图象即可得出函数的最小值；
②观察函数的图象即可得出答案；
③将|x+1|=b−1转化为|x+1|+1=b，再设y1=|x+1|+1，y2=b，然后根据关于x的方程|x+1|=b−1有两个不同的解，得出函数y1=|x+1|+1与y2=b有两个不同的交点，然后根据函数的图象即可得出b的取值范围．
此题主要考查了一次函数的图象和性质，解答此题的关键是熟练掌握求函数的值，描点画一次函数的图象，理解一次函数的性质，难点是解答(3)题时，把考查方程解的个数转化考查两个函数的交点个数．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形，BE=BF，
∴AB=CB，∠ABF=CBE=90°，
在△ABF和△CBE中，
AB=CB∠ABF=∠CBEBF=BE，
∴△ABF≌△CBE(SAS)，
∴∠BAF=∠BCE；
(2)证明：延长AF交CE于M，
由(1)知∠BAF=∠BCE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBE=90°，
∴∠CEB+∠BCE=90°，
∴∠CEB+∠BAF=90°，
∴∠AME=90°，
∴直线AF⊥CE；
(3)解：将△BEF绕点B顺时针旋转θ°(0<θ<90)，直线AF⊥CE仍然成立，
证明：设AF、CE交于点N，AF、BC交于点P，
∵四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形，BE=BF，∴AB=CB，∠ABC=FBE=90°，
∴∠ABC+∠CBF=FBE+∠CBF，
∴∠ABF=∠CBE，
在△ABF和△CBE中，
AB=CB∠ABF=∠CBEBF=BE，
∴△ABF≌△CBE(SAS)，
∴∠BAF=∠BCE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBA=90°，
∴∠APB+∠BAF=90°，
∵∠APB=∠CPE，
∴∠CPE+∠BCE=90°，
∴∠CNP=90°，
∴直线AF⊥CE．
【解析】(1)根据SAS证△ABF≌△CBE，即可得出结论；
(2)延长AF交CE于M，由(1)知∠BAF=∠BCE，由∠CBE=90°可得∠CEB+∠BCE=90°，则∠CEB+∠BAF=90°，可得∠AME=90°，即可得出结论；
(3)设AF、CE交于点N，AF、BC交于点P，根据SAS证△ABF≌△CBE，可得∠BAF=∠BCE，由∠CBA=90°可得∠APB+∠BAF=90°，则∠CPF+∠BCE=90°，可得∠ANC=90°，即可得出结论．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质定理，属于中考压轴题．
26.【答案】解：(1)∵A(3,4)，
∴OA= 32+42=5，
∴菱形ABCO的周长=4OA=4×5=20；
(2)∵动点P从点C出发，沿线段CO方向以2个单位/秒的速度向终点O匀速运动，
∴CP=2t，
由(1)知，菱形ABCO的边长为5，
∴OC=5，
∴C(−5,0)，OP=OC−CP=5−2t，0≤2t≤5，
∴0≤t≤52，
设AC的解析式为：y=kx+b，
则4=3k+b0=−5k+b，
解得：k=12b=52，
∴AC的解析式为：y=12x+52，
当x=0时，y=52，
∴D(0,52)，
∴OD=52，
∴S△POD=12OD⋅OP=12×52×(5−2t)=254−52t，
∴S关于t的函数表达式为：S=254−52t(0≤t≤52)；
(3)存在，理由如下：
设M(m,n)，①当OC为对角线时，CM//DO，CM=DO，
∵点D横坐标减O、纵坐标减52，与点O重合，
∴点M的坐标为：(−5−0,0−52)，
即M(−5,−52)；
②当OD为对角线时，CO//DM，CO=DM，
∵点C横坐标减5、纵坐标减0，与点O重合，
∴点M的坐标为：(0+5,52−0)，
即M(5,52)；
③当CD为对角线时，OC//DM，OC=DM，
∵点O横坐标减5、纵坐标减0，与点C重合，
∴点M的坐标为：(0−5,52−0)，
即M(−5,52)；
综上所述，存在点M，使得以点C、O、D、M为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为(−5,−52)或(5,52)或(−5,52).
【解析】(1)由勾股定理得OA=5，再由菱形的性质即可得出结论；
(2)由菱形的性质得OC=5，则C(−5,0)，OP=OC−CP=5−2t，0≤2t≤5，再由待定系数法求出AC的解析式为y=12x+52，然后得D(0,52)，即可解决问题；
(3)分三种情况，①当OC为对角线时，②当OD为对角线时，③当CD为对角线时，分别求出点M的坐标即可．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质、平行四边形的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、平移的性质、坐标与图形、三角形面积计算、分类讨论等知识，综合性强，熟练掌握平行四边形的性质和分类讨论是解题的关键．
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