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四川省达州市渠县清溪中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）
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这是一份四川省达州市渠县清溪中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省达州市渠县清溪中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）历时7年研发建设完成，拥有100%自主知识产权的“云巴”（如图）在重庆璧山正式运行（ ）
A．对称 B．旋转 C．平移 D．跳跃
2．（4分）分式的值为零，则x等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．0或1
3．（4分）如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（ ）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
4．（4分）下列说法错误的是（ ）
A．若a＞b，则a+3＞b+3 B．若a＞b，则3﹣2a＜3﹣2b
C．若ac2＜bc2，则a＜b D．若a＜b，则
5．（4分）如图，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针方向旋转30°到△AB′C′，则∠AC′C等于（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
6．（4分）把多项式m（a﹣2）+（a﹣2）分解因式等于（ ）
A．m（a﹣2） B．（a﹣2）（m+1） C．m（a+2） D．（m﹣1）（a﹣2）
7．（4分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．一组边、一组角对应相等的两个直角三角形全等
B．若等腰三角形的两边长分别为5cm，6cm，则该等腰三角形的周长是16cm
C．平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心
D．三角形中三边的垂直平分线的交点到三边的距离相等
8．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，E是AD的中点，连接OE．若AC＝8，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．17 B．20 C．26 D．34
9．（4分）已知不等式ax+b＜0的解是x＞﹣2，下列有可能是函数y＝ax+b的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，连接DE交AB于点F，连接CFEC：②四边形AEBD是平行四边形：③若∠ADF＝∠BCF，则∠ABC＝90°，则△DCE是直角三角形．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）计算：7582﹣2422＝ ．
12．（4分）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC．若AB＝AC＝26cm，∠ABC＝30°，则AD的长为 cm．
13．（4分）如图，∠1，∠2；②∠1+∠3＜∠ABC+∠D；③∠1+∠2+∠3＝360° ．（填序号）
14．（4分）如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边（P在格点上），使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为 个．
15．（4分）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：
①PM＝PN恒成立；②△OMN的周长不变；③OM+ON的值不变，其中正确的为 （请填写正确结论前面的序号）．
三、解答题（本大题共10小题，共90分）
16．（8分）（1）解分式方程：；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
17．（8分）先化简：，再从﹣2．﹣1，0，1中挑一个自己喜欢的整数代入求值．
18．（6分）已知关于x的分式方程＝2的解为正数，求m的取值范围．
19．（10分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC的三个顶点A（5，5），B（6，3），C（2，1）均在格点上．
（1）画出将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到的△A2B2C，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，直接写出线段BA在旋转过程中扫过的面积．
20．（8分）如图，已知线段a，b，求作等腰三角形，腰长为b．（a＜b，尺规作图，保留作图痕迹）
21．（8分）已知，如图，在▱ABCD中，延长BC到点F，使得AE＝CF，分别交AB，CD于点M，N，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．
22．（10分）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元
甲型
乙型
价格（单位：元/台）
a
b
有效监控半径（单位：米/台）
100
150
（1）求a，b的值；
（2）若购买该批设备的资金不超过7200元，则至少购买甲型设备多少台？
（3）在（2）购买设备资金不超过7200元的条件下，若要求有效监控半径覆盖范围不低于1600米，请你设计一种最省钱的购买方案．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在AC上，且AE＝DE
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）求证：E是AC的中点；
（3）若BD＝3，BF＝2.5，则四边形ABFE的面积为 ．
24．（12分）对于平面直角坐标系xOy中的线段MN及点Q，给出如下定义：
若点Q满足QM＝QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；当QM＝QN＝MN时
（1）如图1，A（4，0），下列各点中，线段OA的中垂点是 ．
Q1（0，4），Q2，（2，﹣4），Q3（1，）
（2）如图2，点A为x轴上一点，若Q（2，2），写出线段OQ的两个“完美中垂点”是 和 ，两者的距离是 ．
（3）如图3，若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段OA的“完美中垂点”（0，m）在y轴上，在线段PA上方画出线段AP的“完美中垂点”M （用含m的式子表示）．并求出∠MQA（写出简单思路即可）．
25．（12分）综合与实践：
动手操作：某校八（1）班数学课外兴趣小组在学完第13章的特殊三角形后，利用手头上的一副三角板（DOE＝90°，∠E＝30°）的直角顶点O放置在另一块直角三角板ABC（∠C＝90°，AC＝BC）斜边AB的中点处
发现结论：
（1）如图1，三角板DOE的两边DO，EO分别与另一块三角板的边AC，Q（规定：此时点P，Q均在边AC，BC上运动），他们在旋转过程中，发现线段AP与CQ的长总相等及四边形OPCQ的面积不会发生变化．
问题解决：①请你帮他们说明AP＝CQ的理由；
②若AB＝12cm，请你帮他们求出四边形OPCQ的面积．
拓展延申：
（2）如图2，连接CD，当AB＝12cm，那么直角三角板DOE在绕点O旋转一周的过程中，请你直接写出线段CD长的最小值和最大值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）历时7年研发建设完成，拥有100%自主知识产权的“云巴”（如图）在重庆璧山正式运行（ ）
A．对称 B．旋转 C．平移 D．跳跃
【分析】根据平移的定义判断即可．
【解答】解：“云巴”在轨道上的运行可以看作是平移．
故选：C．
【点评】本题考查对平移与旋转的理解及在实际当中的运用．平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心．所以，它并不一定是绕某个轴的．正确理解平移与旋转的定义是解题的关键．
2．（4分）分式的值为零，则x等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．0或1
【分析】直接利用分式的值为零，其分子为零分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：分式的值为零，
则x6﹣x＝0且x﹣1≠2，
解得：x＝0．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握分式的值为零的条件是解题关键．
3．（4分）如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（ ）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
【分析】根据在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示，可得答案．
【解答】解：由题意，得：x＜1，
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．（4分）下列说法错误的是（ ）
A．若a＞b，则a+3＞b+3 B．若a＞b，则3﹣2a＜3﹣2b
C．若ac2＜bc2，则a＜b D．若a＜b，则
【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴a+3＞b+3，
∴选项A不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣4a＜﹣2b，
∴3﹣8a＜3﹣2b，
∴选项B不符合题意；
∵若ac8＜bc2，则c2＞5，
∴＜，即a＜b，
∴选项C不符合题意；
∵若a＜b，则＜1（b＞3），，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5．（4分）如图，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针方向旋转30°到△AB′C′，则∠AC′C等于（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】先由旋转得到AC'＝AC，∠C'AC＝30°，再根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：由旋转可知，AC'＝AC，
∴∠AC'C＝∠ACC'＝（180﹣30）°＝75°，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
6．（4分）把多项式m（a﹣2）+（a﹣2）分解因式等于（ ）
A．m（a﹣2） B．（a﹣2）（m+1） C．m（a+2） D．（m﹣1）（a﹣2）
【分析】首先找出公因式（a﹣2），进而分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝（a﹣2）（m+1）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
7．（4分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．一组边、一组角对应相等的两个直角三角形全等
B．若等腰三角形的两边长分别为5cm，6cm，则该等腰三角形的周长是16cm
C．平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心
D．三角形中三边的垂直平分线的交点到三边的距离相等
【分析】根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的定义，平行四边形的对称性和三角形外心的性质等分别判断即可．
【解答】解：一组边和任一组锐角对应相等的两个直角三角形全等，故A是假命题；
若等腰三角形的两边长分别为5cm，6cm，故B是假命题；
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心，符合题意；
三角形中三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故D是假命题；
故选：C．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
8．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，E是AD的中点，连接OE．若AC＝8，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．17 B．20 C．26 D．34
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，得到O是AC的中点，进而得到OE为△ACD的中位线，得到△ACD的周长是△AOE的周长的2倍，用△ACD的周长减去AC的长，得到AD+CD的长，即可得解．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC＝AC，
∵点E是AD中点，
∴AE＝ED＝AD，
∴OE＝CD，
∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝2（AO+OE+AE），
∵△AOE的周长＝AO+OE+AE＝9，
∴AC+AD+CD＝18，
∵AC＝5，
∴AD+CD＝18﹣8＝10，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AD+CD）＝20，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理．熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，是解题的关键．
9．（4分）已知不等式ax+b＜0的解是x＞﹣2，下列有可能是函数y＝ax+b的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由不等式ax+b＜0的解是x＞﹣2可得直线y＝ax+b与x轴交点为（﹣2，0）且y随x增大而减小，进而求解．
【解答】解：∵不等式ax+b＜0的解是x＞﹣2，
∴直线y＝ax+b与x轴交点为（﹣6，0）且y随x增大而减小，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系．解题关键是将不等式问题转化为图象求解．
10．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，连接DE交AB于点F，连接CFEC：②四边形AEBD是平行四边形：③若∠ADF＝∠BCF，则∠ABC＝90°，则△DCE是直角三角形．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定判断求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵AE∥BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
故②正确，符合题意；
∴AD＝EB，
∴EB＝BC，
∵EC＝EB+BC，
∴BC＝EC，
故①正确，符合题意；
∵AD∥EC，
∴∠ADF＝∠FEC，
∵∠ADF＝∠BCF，
∴∠FEC＝∠BCF，
∴FE＝FC，
又∵BC＝BE，
∴FB⊥BC，
即∠ABC＝90°，
故③正确，符合题意；
∵四边形AEBD是平行四边形，
∴DF＝EF，
∵DF＝FC，
∴EF＝FC，
∴∠ABC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCE+∠ABC＝180°，
∴∠DCE＝90°，
∴△DCE是直角三角形，
故④正确，符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）计算：7582﹣2422＝ 516000 ．
【分析】直接利用平方差公式计算，进而得出答案．
【解答】解：7582﹣2422＝（758+242）×（758﹣242）
＝1000×516
＝516000．
故答案为：516000．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
12．（4分）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC．若AB＝AC＝26cm，∠ABC＝30°，则AD的长为 13 cm．
【分析】由等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADB＝90°，再由含30°角的直角三角形的性质即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC＝26cm，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝30°，
∴AD＝AB＝，
故答案为：13．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，含30°角的直角三角形以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
13．（4分）如图，∠1，∠2；②∠1+∠3＜∠ABC+∠D；③∠1+∠2+∠3＝360° ① ．（填序号）
【分析】根据多边形的外角和是360°及三角形的外角定理求解判断即可．
【解答】解：如图，连接BD，
∵∠1＝∠ABD+∠ADB，∠3＝∠DBC+∠BDC，
∴∠7+∠3＝∠ABD+∠ADB+∠DBC+∠BDC＝∠ABC+∠ADC，
故①正确，②不正确；
∵多边形的外角和是360°，
∴∠1+∠3+∠3＜360°，
故③④不正确．
故答案为：①．
【点评】此题考查了多边形的内角与外角，构造三角形的外角是解题的关键．
14．（4分）如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边（P在格点上），使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为 5 个．
【分析】分三种情况：当MP＝MN时，当NP＝NM时，当PM＝PN时，即可解答．
【解答】解：如图：
分三种情况：
当MP＝MN时，以点M为圆心，则点P1，P2即为所求；
当NP＝NM时，以点N为圆心，则点P2即为所求；
当PM＝PN时，作线段MN的垂直平分线4，P5即为所求；
综上所述：使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为8个，
故答案为：5．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．
15．（4分）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：
①PM＝PN恒成立；②△OMN的周长不变；③OM+ON的值不变，其中正确的为 ①③④ （请填写正确结论前面的序号）．
【分析】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
【解答】解：如图，作PE⊥OA于E，
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，
∴PE＝PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE＝OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故④正确，
∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE，
∴OM+ON为定值，故③②正确，
在旋转过程中，△PMN是顶角不变的等腰三角形，
∵PM的长度是变化的，
∴MN的长度是变化的，故错误，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共10小题，共90分）
16．（8分）（1）解分式方程：；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】（1）观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
（2）先分别求得每个不等式的解集，再找到其公共解集即可．
【解答】解：（1）方程两边都乘以x﹣2得
1﹣x﹣（x﹣2）＝﹣3，
解得x＝3，
经检验x＝6是原方程的根，
∴原方程的根为x＝3；
（2），
解不等式①，得x＞﹣4，
解不等式②，得x≤2，
∴不等式组的解集为﹣4＜x≤6，
把解集在数轴上表示：．
【点评】本题考查解不等式组及解分式方程．用到的知识点为：解不等式组应找到两个不等式的公共解集；分式方程必须验根．
17．（8分）先化简：，再从﹣2．﹣1，0，1中挑一个自己喜欢的整数代入求值．
【分析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后从﹣2．﹣1，0，1中挑一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝•
＝•
＝•
＝，
∵当x＝1或﹣6时，原分式无意义，
∴x可以取﹣1或0，
当x＝8时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（6分）已知关于x的分式方程＝2的解为正数，求m的取值范围．
【分析】表示出分式方程的解，由分式方程的解是正数，求出m的范围即可．
【解答】解：方程两边同乘（x+2）得：
m+x＝2x+3，
解得：x＝m﹣4，
根据分式方程的解为正数，得到m﹣4＞6，
解得：m＞4，
∴m的取值范围为m＞4．
【点评】此题考查的是分式方程的解，能够正确求得分式方程的解是解决此题关键．
19．（10分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC的三个顶点A（5，5），B（6，3），C（2，1）均在格点上．
（1）画出将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到的△A2B2C，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，直接写出线段BA在旋转过程中扫过的面积．
【分析】（1）根据平移的性质即可画出图形；
（2）根据旋转的性质即可画出图形，从而得出点A2的坐标；
（3）由勾股定理得BA＝，再代入扇形面积公式即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C7即为所求；
（2）如图，△A2B2C即为所求，A8（﹣2，4）；
（3）∵A（6，5），3），
∴BA＝＝，
∴线段BA在旋转过程中扫过的面积为＝π．
【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换，旋转变换，扇形的面积等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
20．（8分）如图，已知线段a，b，求作等腰三角形，腰长为b．（a＜b，尺规作图，保留作图痕迹）
【分析】若高为底边上的高：在直线l上取点D，作l′⊥l于D，在l′上截取AD＝a，然后以点A为圆心，b为半径画弧交l于B、C两点，则△ABC满足条件．若高为腰上的高：先作AB＝b，再作AB的垂中平分线得到AB的中点，接着以AB为直径作圆，再圆上截取BD＝a，然后在AD的延长线上（DA的反向延长线上）截取AC＝b，则△ABC满足条件．
【解答】解：如图，△ABC为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
21．（8分）已知，如图，在▱ABCD中，延长BC到点F，使得AE＝CF，分别交AB，CD于点M，N，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB＝∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E＝∠F，∠EAM＝∠FCN，从而利用ASA可作出证明；
（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得\;BM4{＝}^{∥}\left\{\begin{array}{l}{∠EAM＝∠FCN}\\{AE＝CF}\\{∠E＝∠F}\end{array}\right.{AB}_{＝}^{∥}CD{BM}_{＝}^{∥}DN$，
∴四边形BMDN是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定，属于基础题，比较简单．
22．（10分）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元
甲型
乙型
价格（单位：元/台）
a
b
有效监控半径（单位：米/台）
100
150
（1）求a，b的值；
（2）若购买该批设备的资金不超过7200元，则至少购买甲型设备多少台？
（3）在（2）购买设备资金不超过7200元的条件下，若要求有效监控半径覆盖范围不低于1600米，请你设计一种最省钱的购买方案．
【分析】（1）根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多150元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备（15﹣x）台，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数即可得出答案；
（3）由（2）的结论结合监控半径覆盖范围不低于1600米，可求出x的值，再利用总价＝单价×数量可求出当x＝12和x＝13时购买费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意，，
解得，
（2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备（15﹣x）台．
根据题意，得450x+600（15﹣x）≤7200，
解得x≥12．
答：至少购买甲型设备12台．
（3）根据题意，得100x+150（15﹣x）≥1600．
解得x≤13，
∴12≤x≤13．
∴x的取值为12或13．
共有两种购买方案：
方案一：购买甲型设备12台，乙型设备5台；
方案二：购买甲型设备13台，乙型设备2台．
∵7200＞7050，
∴方案二省钱．
答：最省钱的购买方法为购买甲型设备13台，乙型设备2台．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在AC上，且AE＝DE
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）求证：E是AC的中点；
（3）若BD＝3，BF＝2.5，则四边形ABFE的面积为 12 ．
【分析】（1）根据角平分线定义，结合已知条件易得∠BAD＝∠ADE，则AB∥EF，然后结合已知条件，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证得结论；
（2）结合已知条件，根据三线合一及平行线分线段成比例即可证得结论；
（3）利用平行四边形性质及线段中点的定义可得AC＝5，然后利用三线合一及勾股定理求得AD的长度，再利用平行线性质及全等三角形的判定及性质易证得S△DCE＝S△DBF，最后利用面积的和差将平行四边形ABFE的面积转化成△ABC的面积后利用三角形面积公式即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AE＝DE，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AB∥EF，
∵BF∥AC，
∴四边形ABFE是平行四边形；
（2）证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴，
∵DE∥AB，
∴，
∴AE＝CE，
∴E是AC的中点；
（3）解：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴CE＝AE＝BF＝2.5，
∴AC＝6，
∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，
∵CD＝BD＝3，
∴，BC＝2+3＝6，
∵BF∥CE，
∴∠C＝∠DBF，∠DEC＝∠F，
在△DCE与△DBF中，
，
∴△DCE≌△DBF（AAS），
∴S△DCE＝S△DBF，
∴S▱ABFE＝S△DBF+S四边形ABDE
＝S△DCE+S四边形ABDE
＝S△ABC
＝BC•AD
＝
＝12．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是利用面积的和差将平行四边形ABFE的面积转化成△ABC的面积．
24．（12分）对于平面直角坐标系xOy中的线段MN及点Q，给出如下定义：
若点Q满足QM＝QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；当QM＝QN＝MN时
（1）如图1，A（4，0），下列各点中，线段OA的中垂点是 Q2 ．
Q1（0，4），Q2，（2，﹣4），Q3（1，）
（2）如图2，点A为x轴上一点，若Q（2，2），写出线段OQ的两个“完美中垂点”是 A（4，0） 和 Q′（﹣2，2） ，两者的距离是 4 ．
（3）如图3，若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段OA的“完美中垂点”（0，m）在y轴上，在线段PA上方画出线段AP的“完美中垂点”M |m| （用含m的式子表示）．并求出∠MQA（写出简单思路即可）．
【分析】（1）由“中垂点”定义可求解．
（2）如图，当△AOQ，△OQQ′是等边三角形时，点A和点Q是线段OQ的“完美中垂点”，
（3）如图3中，以PA为边，向上作等边三角形PAM，连接QM．利用全等三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵若点Q满足QM＝QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；
∴Q在MN的垂直平分线上，
∵线段OA的对称点在OA的垂直平分线上，且A（4，O（0，
∴线段OA的中垂点横坐标为7，
∴Q2（2，﹣4）符合题意，
故答案为Q2．
（2）如图，当△AOQ，点A和点Q是线段OQ的“完美中垂点”，
∴A（4，3），2），
AQ′＝＝4，
故答案为：A（4，0），8），4．
（3）如图3中，以PA为边，连接QM．
∵点Q为线段OA的“完美中垂点”，
∴△AOQ是等边三角形，
∴∠OAQ＝∠PAM＝60°，
∴∠OAP＝∠QAM，
在△OAP和△QAM中，
∴△OAP≌△QAM（SAS），
∴OP＝QM＝|m|，∠AOP＝∠AQM＝90°，
故答案为：|m|，90°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（12分）综合与实践：
动手操作：某校八（1）班数学课外兴趣小组在学完第13章的特殊三角形后，利用手头上的一副三角板（DOE＝90°，∠E＝30°）的直角顶点O放置在另一块直角三角板ABC（∠C＝90°，AC＝BC）斜边AB的中点处
发现结论：
（1）如图1，三角板DOE的两边DO，EO分别与另一块三角板的边AC，Q（规定：此时点P，Q均在边AC，BC上运动），他们在旋转过程中，发现线段AP与CQ的长总相等及四边形OPCQ的面积不会发生变化．
问题解决：①请你帮他们说明AP＝CQ的理由；
②若AB＝12cm，请你帮他们求出四边形OPCQ的面积．
拓展延申：
（2）如图2，连接CD，当AB＝12cm，那么直角三角板DOE在绕点O旋转一周的过程中，请你直接写出线段CD长的最小值和最大值．
【分析】（1）①连接CO，根据等腰直角三角形的性质得到；∠BCO＝∠A＝45°，CO⊥AB，根据全等三角形的性质得到AP＝CQ；
②根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论；
（2）如图2，当点D，C，O在一条直线上，且点C在点D和点O之间时，线段CD长的最小，如图3，当点D，C，O在一条直线上，且点，O在点D和点C之间时，线段CD长的最大，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）①理由是：连接CO，
∵△ABC是等腰直角三角形，O是AB的中点，
∴；∠BCO＝∠A＝45°，
∵∠DOE＝90°
∴∠AOP＝∠COQ，
在△AOP和△COQ中，
，
∴△AOP≌△COQ（ASA），
∴AP＝CQ；
即：AP与CQ的长总相等；
②∵△AOP≌△COQ，
∴S△AOP＝S△COQ，
∴S四边形CPOQ＝S△COQ+S△COP＝S△AOP+S△COP＝S△AOC，
∵，
∴S四边形CPOQ＝18
即：四边形OPCQ的面积总是一个定值为18；
（2）如图2，当点D，C，且点C在点D和点O之间时，
∵∠DOE＝90°，∠E＝30°，
∴OD＝DE＝7cm，
∵AB＝12cm，
∴OC＝AB＝6cm，
∴线段CD长的最小值为OD﹣OC＝1；
如图4，当点D，C，且点，线段CD长的最大，
∵∠DOE＝90°，∠E＝30°，
∴OD＝DE＝7cm，
∵AB＝12cm，
∴OC＝AB＝3cm，
∴线段CD长的最大值为OD+OC＝7+6＝13（cm）．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，正确地作出图形是解题的关键．
四川省达州市渠县清溪中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）历时7年研发建设完成，拥有100%自主知识产权的“云巴”（如图）在重庆璧山正式运行（ ）
A．对称 B．旋转 C．平移 D．跳跃
2．（4分）分式的值为零，则x等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．0或1
3．（4分）如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（ ）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
4．（4分）下列说法错误的是（ ）
A．若a＞b，则a+3＞b+3 B．若a＞b，则3﹣2a＜3﹣2b
C．若ac2＜bc2，则a＜b D．若a＜b，则
5．（4分）如图，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针方向旋转30°到△AB′C′，则∠AC′C等于（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
6．（4分）把多项式m（a﹣2）+（a﹣2）分解因式等于（ ）
A．m（a﹣2） B．（a﹣2）（m+1） C．m（a+2） D．（m﹣1）（a﹣2）
7．（4分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．一组边、一组角对应相等的两个直角三角形全等
B．若等腰三角形的两边长分别为5cm，6cm，则该等腰三角形的周长是16cm
C．平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心
D．三角形中三边的垂直平分线的交点到三边的距离相等
8．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，E是AD的中点，连接OE．若AC＝8，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．17 B．20 C．26 D．34
9．（4分）已知不等式ax+b＜0的解是x＞﹣2，下列有可能是函数y＝ax+b的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，连接DE交AB于点F，连接CFEC：②四边形AEBD是平行四边形：③若∠ADF＝∠BCF，则∠ABC＝90°，则△DCE是直角三角形．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）计算：7582﹣2422＝ ．
12．（4分）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC．若AB＝AC＝26cm，∠ABC＝30°，则AD的长为 cm．
13．（4分）如图，∠1，∠2；②∠1+∠3＜∠ABC+∠D；③∠1+∠2+∠3＝360° ．（填序号）
14．（4分）如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边（P在格点上），使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为 个．
15．（4分）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：
①PM＝PN恒成立；②△OMN的周长不变；③OM+ON的值不变，其中正确的为 （请填写正确结论前面的序号）．
三、解答题（本大题共10小题，共90分）
16．（8分）（1）解分式方程：；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
17．（8分）先化简：，再从﹣2．﹣1，0，1中挑一个自己喜欢的整数代入求值．
18．（6分）已知关于x的分式方程＝2的解为正数，求m的取值范围．
19．（10分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC的三个顶点A（5，5），B（6，3），C（2，1）均在格点上．
（1）画出将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到的△A2B2C，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，直接写出线段BA在旋转过程中扫过的面积．
20．（8分）如图，已知线段a，b，求作等腰三角形，腰长为b．（a＜b，尺规作图，保留作图痕迹）
21．（8分）已知，如图，在▱ABCD中，延长BC到点F，使得AE＝CF，分别交AB，CD于点M，N，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．
22．（10分）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元
甲型
乙型
价格（单位：元/台）
a
b
有效监控半径（单位：米/台）
100
150
（1）求a，b的值；
（2）若购买该批设备的资金不超过7200元，则至少购买甲型设备多少台？
（3）在（2）购买设备资金不超过7200元的条件下，若要求有效监控半径覆盖范围不低于1600米，请你设计一种最省钱的购买方案．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在AC上，且AE＝DE
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）求证：E是AC的中点；
（3）若BD＝3，BF＝2.5，则四边形ABFE的面积为 ．
24．（12分）对于平面直角坐标系xOy中的线段MN及点Q，给出如下定义：
若点Q满足QM＝QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；当QM＝QN＝MN时
（1）如图1，A（4，0），下列各点中，线段OA的中垂点是 ．
Q1（0，4），Q2，（2，﹣4），Q3（1，）
（2）如图2，点A为x轴上一点，若Q（2，2），写出线段OQ的两个“完美中垂点”是 和 ，两者的距离是 ．
（3）如图3，若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段OA的“完美中垂点”（0，m）在y轴上，在线段PA上方画出线段AP的“完美中垂点”M （用含m的式子表示）．并求出∠MQA（写出简单思路即可）．
25．（12分）综合与实践：
动手操作：某校八（1）班数学课外兴趣小组在学完第13章的特殊三角形后，利用手头上的一副三角板（DOE＝90°，∠E＝30°）的直角顶点O放置在另一块直角三角板ABC（∠C＝90°，AC＝BC）斜边AB的中点处
发现结论：
（1）如图1，三角板DOE的两边DO，EO分别与另一块三角板的边AC，Q（规定：此时点P，Q均在边AC，BC上运动），他们在旋转过程中，发现线段AP与CQ的长总相等及四边形OPCQ的面积不会发生变化．
问题解决：①请你帮他们说明AP＝CQ的理由；
②若AB＝12cm，请你帮他们求出四边形OPCQ的面积．
拓展延申：
（2）如图2，连接CD，当AB＝12cm，那么直角三角板DOE在绕点O旋转一周的过程中，请你直接写出线段CD长的最小值和最大值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）历时7年研发建设完成，拥有100%自主知识产权的“云巴”（如图）在重庆璧山正式运行（ ）
A．对称 B．旋转 C．平移 D．跳跃
【分析】根据平移的定义判断即可．
【解答】解：“云巴”在轨道上的运行可以看作是平移．
故选：C．
【点评】本题考查对平移与旋转的理解及在实际当中的运用．平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心．所以，它并不一定是绕某个轴的．正确理解平移与旋转的定义是解题的关键．
2．（4分）分式的值为零，则x等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．0或1
【分析】直接利用分式的值为零，其分子为零分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：分式的值为零，
则x6﹣x＝0且x﹣1≠2，
解得：x＝0．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握分式的值为零的条件是解题关键．
3．（4分）如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（ ）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
【分析】根据在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示，可得答案．
【解答】解：由题意，得：x＜1，
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．（4分）下列说法错误的是（ ）
A．若a＞b，则a+3＞b+3 B．若a＞b，则3﹣2a＜3﹣2b
C．若ac2＜bc2，则a＜b D．若a＜b，则
【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴a+3＞b+3，
∴选项A不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣4a＜﹣2b，
∴3﹣8a＜3﹣2b，
∴选项B不符合题意；
∵若ac8＜bc2，则c2＞5，
∴＜，即a＜b，
∴选项C不符合题意；
∵若a＜b，则＜1（b＞3），，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5．（4分）如图，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针方向旋转30°到△AB′C′，则∠AC′C等于（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】先由旋转得到AC'＝AC，∠C'AC＝30°，再根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：由旋转可知，AC'＝AC，
∴∠AC'C＝∠ACC'＝（180﹣30）°＝75°，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
6．（4分）把多项式m（a﹣2）+（a﹣2）分解因式等于（ ）
A．m（a﹣2） B．（a﹣2）（m+1） C．m（a+2） D．（m﹣1）（a﹣2）
【分析】首先找出公因式（a﹣2），进而分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝（a﹣2）（m+1）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
7．（4分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．一组边、一组角对应相等的两个直角三角形全等
B．若等腰三角形的两边长分别为5cm，6cm，则该等腰三角形的周长是16cm
C．平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心
D．三角形中三边的垂直平分线的交点到三边的距离相等
【分析】根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的定义，平行四边形的对称性和三角形外心的性质等分别判断即可．
【解答】解：一组边和任一组锐角对应相等的两个直角三角形全等，故A是假命题；
若等腰三角形的两边长分别为5cm，6cm，故B是假命题；
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心，符合题意；
三角形中三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故D是假命题；
故选：C．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
8．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，E是AD的中点，连接OE．若AC＝8，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．17 B．20 C．26 D．34
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，得到O是AC的中点，进而得到OE为△ACD的中位线，得到△ACD的周长是△AOE的周长的2倍，用△ACD的周长减去AC的长，得到AD+CD的长，即可得解．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC＝AC，
∵点E是AD中点，
∴AE＝ED＝AD，
∴OE＝CD，
∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝2（AO+OE+AE），
∵△AOE的周长＝AO+OE+AE＝9，
∴AC+AD+CD＝18，
∵AC＝5，
∴AD+CD＝18﹣8＝10，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AD+CD）＝20，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理．熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，是解题的关键．
9．（4分）已知不等式ax+b＜0的解是x＞﹣2，下列有可能是函数y＝ax+b的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由不等式ax+b＜0的解是x＞﹣2可得直线y＝ax+b与x轴交点为（﹣2，0）且y随x增大而减小，进而求解．
【解答】解：∵不等式ax+b＜0的解是x＞﹣2，
∴直线y＝ax+b与x轴交点为（﹣6，0）且y随x增大而减小，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系．解题关键是将不等式问题转化为图象求解．
10．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，连接DE交AB于点F，连接CFEC：②四边形AEBD是平行四边形：③若∠ADF＝∠BCF，则∠ABC＝90°，则△DCE是直角三角形．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定判断求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵AE∥BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
故②正确，符合题意；
∴AD＝EB，
∴EB＝BC，
∵EC＝EB+BC，
∴BC＝EC，
故①正确，符合题意；
∵AD∥EC，
∴∠ADF＝∠FEC，
∵∠ADF＝∠BCF，
∴∠FEC＝∠BCF，
∴FE＝FC，
又∵BC＝BE，
∴FB⊥BC，
即∠ABC＝90°，
故③正确，符合题意；
∵四边形AEBD是平行四边形，
∴DF＝EF，
∵DF＝FC，
∴EF＝FC，
∴∠ABC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCE+∠ABC＝180°，
∴∠DCE＝90°，
∴△DCE是直角三角形，
故④正确，符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）计算：7582﹣2422＝ 516000 ．
【分析】直接利用平方差公式计算，进而得出答案．
【解答】解：7582﹣2422＝（758+242）×（758﹣242）
＝1000×516
＝516000．
故答案为：516000．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
12．（4分）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC．若AB＝AC＝26cm，∠ABC＝30°，则AD的长为 13 cm．
【分析】由等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADB＝90°，再由含30°角的直角三角形的性质即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC＝26cm，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝30°，
∴AD＝AB＝，
故答案为：13．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，含30°角的直角三角形以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
13．（4分）如图，∠1，∠2；②∠1+∠3＜∠ABC+∠D；③∠1+∠2+∠3＝360° ① ．（填序号）
【分析】根据多边形的外角和是360°及三角形的外角定理求解判断即可．
【解答】解：如图，连接BD，
∵∠1＝∠ABD+∠ADB，∠3＝∠DBC+∠BDC，
∴∠7+∠3＝∠ABD+∠ADB+∠DBC+∠BDC＝∠ABC+∠ADC，
故①正确，②不正确；
∵多边形的外角和是360°，
∴∠1+∠3+∠3＜360°，
故③④不正确．
故答案为：①．
【点评】此题考查了多边形的内角与外角，构造三角形的外角是解题的关键．
14．（4分）如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边（P在格点上），使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为 5 个．
【分析】分三种情况：当MP＝MN时，当NP＝NM时，当PM＝PN时，即可解答．
【解答】解：如图：
分三种情况：
当MP＝MN时，以点M为圆心，则点P1，P2即为所求；
当NP＝NM时，以点N为圆心，则点P2即为所求；
当PM＝PN时，作线段MN的垂直平分线4，P5即为所求；
综上所述：使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为8个，
故答案为：5．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．
15．（4分）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：
①PM＝PN恒成立；②△OMN的周长不变；③OM+ON的值不变，其中正确的为 ①③④ （请填写正确结论前面的序号）．
【分析】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
【解答】解：如图，作PE⊥OA于E，
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，
∴PE＝PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE＝OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故④正确，
∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE，
∴OM+ON为定值，故③②正确，
在旋转过程中，△PMN是顶角不变的等腰三角形，
∵PM的长度是变化的，
∴MN的长度是变化的，故错误，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共10小题，共90分）
16．（8分）（1）解分式方程：；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】（1）观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
（2）先分别求得每个不等式的解集，再找到其公共解集即可．
【解答】解：（1）方程两边都乘以x﹣2得
1﹣x﹣（x﹣2）＝﹣3，
解得x＝3，
经检验x＝6是原方程的根，
∴原方程的根为x＝3；
（2），
解不等式①，得x＞﹣4，
解不等式②，得x≤2，
∴不等式组的解集为﹣4＜x≤6，
把解集在数轴上表示：．
【点评】本题考查解不等式组及解分式方程．用到的知识点为：解不等式组应找到两个不等式的公共解集；分式方程必须验根．
17．（8分）先化简：，再从﹣2．﹣1，0，1中挑一个自己喜欢的整数代入求值．
【分析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后从﹣2．﹣1，0，1中挑一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝•
＝•
＝•
＝，
∵当x＝1或﹣6时，原分式无意义，
∴x可以取﹣1或0，
当x＝8时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（6分）已知关于x的分式方程＝2的解为正数，求m的取值范围．
【分析】表示出分式方程的解，由分式方程的解是正数，求出m的范围即可．
【解答】解：方程两边同乘（x+2）得：
m+x＝2x+3，
解得：x＝m﹣4，
根据分式方程的解为正数，得到m﹣4＞6，
解得：m＞4，
∴m的取值范围为m＞4．
【点评】此题考查的是分式方程的解，能够正确求得分式方程的解是解决此题关键．
19．（10分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC的三个顶点A（5，5），B（6，3），C（2，1）均在格点上．
（1）画出将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到的△A2B2C，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，直接写出线段BA在旋转过程中扫过的面积．
【分析】（1）根据平移的性质即可画出图形；
（2）根据旋转的性质即可画出图形，从而得出点A2的坐标；
（3）由勾股定理得BA＝，再代入扇形面积公式即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C7即为所求；
（2）如图，△A2B2C即为所求，A8（﹣2，4）；
（3）∵A（6，5），3），
∴BA＝＝，
∴线段BA在旋转过程中扫过的面积为＝π．
【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换，旋转变换，扇形的面积等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
20．（8分）如图，已知线段a，b，求作等腰三角形，腰长为b．（a＜b，尺规作图，保留作图痕迹）
【分析】若高为底边上的高：在直线l上取点D，作l′⊥l于D，在l′上截取AD＝a，然后以点A为圆心，b为半径画弧交l于B、C两点，则△ABC满足条件．若高为腰上的高：先作AB＝b，再作AB的垂中平分线得到AB的中点，接着以AB为直径作圆，再圆上截取BD＝a，然后在AD的延长线上（DA的反向延长线上）截取AC＝b，则△ABC满足条件．
【解答】解：如图，△ABC为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
21．（8分）已知，如图，在▱ABCD中，延长BC到点F，使得AE＝CF，分别交AB，CD于点M，N，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB＝∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E＝∠F，∠EAM＝∠FCN，从而利用ASA可作出证明；
（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得\;BM4{＝}^{∥}\left\{\begin{array}{l}{∠EAM＝∠FCN}\\{AE＝CF}\\{∠E＝∠F}\end{array}\right.{AB}_{＝}^{∥}CD{BM}_{＝}^{∥}DN$，
∴四边形BMDN是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定，属于基础题，比较简单．
22．（10分）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元
甲型
乙型
价格（单位：元/台）
a
b
有效监控半径（单位：米/台）
100
150
（1）求a，b的值；
（2）若购买该批设备的资金不超过7200元，则至少购买甲型设备多少台？
（3）在（2）购买设备资金不超过7200元的条件下，若要求有效监控半径覆盖范围不低于1600米，请你设计一种最省钱的购买方案．
【分析】（1）根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多150元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备（15﹣x）台，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数即可得出答案；
（3）由（2）的结论结合监控半径覆盖范围不低于1600米，可求出x的值，再利用总价＝单价×数量可求出当x＝12和x＝13时购买费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意，，
解得，
（2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备（15﹣x）台．
根据题意，得450x+600（15﹣x）≤7200，
解得x≥12．
答：至少购买甲型设备12台．
（3）根据题意，得100x+150（15﹣x）≥1600．
解得x≤13，
∴12≤x≤13．
∴x的取值为12或13．
共有两种购买方案：
方案一：购买甲型设备12台，乙型设备5台；
方案二：购买甲型设备13台，乙型设备2台．
∵7200＞7050，
∴方案二省钱．
答：最省钱的购买方法为购买甲型设备13台，乙型设备2台．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在AC上，且AE＝DE
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）求证：E是AC的中点；
（3）若BD＝3，BF＝2.5，则四边形ABFE的面积为 12 ．
【分析】（1）根据角平分线定义，结合已知条件易得∠BAD＝∠ADE，则AB∥EF，然后结合已知条件，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证得结论；
（2）结合已知条件，根据三线合一及平行线分线段成比例即可证得结论；
（3）利用平行四边形性质及线段中点的定义可得AC＝5，然后利用三线合一及勾股定理求得AD的长度，再利用平行线性质及全等三角形的判定及性质易证得S△DCE＝S△DBF，最后利用面积的和差将平行四边形ABFE的面积转化成△ABC的面积后利用三角形面积公式即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AE＝DE，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AB∥EF，
∵BF∥AC，
∴四边形ABFE是平行四边形；
（2）证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴，
∵DE∥AB，
∴，
∴AE＝CE，
∴E是AC的中点；
（3）解：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴CE＝AE＝BF＝2.5，
∴AC＝6，
∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，
∵CD＝BD＝3，
∴，BC＝2+3＝6，
∵BF∥CE，
∴∠C＝∠DBF，∠DEC＝∠F，
在△DCE与△DBF中，
，
∴△DCE≌△DBF（AAS），
∴S△DCE＝S△DBF，
∴S▱ABFE＝S△DBF+S四边形ABDE
＝S△DCE+S四边形ABDE
＝S△ABC
＝BC•AD
＝
＝12．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是利用面积的和差将平行四边形ABFE的面积转化成△ABC的面积．
24．（12分）对于平面直角坐标系xOy中的线段MN及点Q，给出如下定义：
若点Q满足QM＝QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；当QM＝QN＝MN时
（1）如图1，A（4，0），下列各点中，线段OA的中垂点是 Q2 ．
Q1（0，4），Q2，（2，﹣4），Q3（1，）
（2）如图2，点A为x轴上一点，若Q（2，2），写出线段OQ的两个“完美中垂点”是 A（4，0） 和 Q′（﹣2，2） ，两者的距离是 4 ．
（3）如图3，若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段OA的“完美中垂点”（0，m）在y轴上，在线段PA上方画出线段AP的“完美中垂点”M |m| （用含m的式子表示）．并求出∠MQA（写出简单思路即可）．
【分析】（1）由“中垂点”定义可求解．
（2）如图，当△AOQ，△OQQ′是等边三角形时，点A和点Q是线段OQ的“完美中垂点”，
（3）如图3中，以PA为边，向上作等边三角形PAM，连接QM．利用全等三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵若点Q满足QM＝QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；
∴Q在MN的垂直平分线上，
∵线段OA的对称点在OA的垂直平分线上，且A（4，O（0，
∴线段OA的中垂点横坐标为7，
∴Q2（2，﹣4）符合题意，
故答案为Q2．
（2）如图，当△AOQ，点A和点Q是线段OQ的“完美中垂点”，
∴A（4，3），2），
AQ′＝＝4，
故答案为：A（4，0），8），4．
（3）如图3中，以PA为边，连接QM．
∵点Q为线段OA的“完美中垂点”，
∴△AOQ是等边三角形，
∴∠OAQ＝∠PAM＝60°，
∴∠OAP＝∠QAM，
在△OAP和△QAM中，
∴△OAP≌△QAM（SAS），
∴OP＝QM＝|m|，∠AOP＝∠AQM＝90°，
故答案为：|m|，90°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（12分）综合与实践：
动手操作：某校八（1）班数学课外兴趣小组在学完第13章的特殊三角形后，利用手头上的一副三角板（DOE＝90°，∠E＝30°）的直角顶点O放置在另一块直角三角板ABC（∠C＝90°，AC＝BC）斜边AB的中点处
发现结论：
（1）如图1，三角板DOE的两边DO，EO分别与另一块三角板的边AC，Q（规定：此时点P，Q均在边AC，BC上运动），他们在旋转过程中，发现线段AP与CQ的长总相等及四边形OPCQ的面积不会发生变化．
问题解决：①请你帮他们说明AP＝CQ的理由；
②若AB＝12cm，请你帮他们求出四边形OPCQ的面积．
拓展延申：
（2）如图2，连接CD，当AB＝12cm，那么直角三角板DOE在绕点O旋转一周的过程中，请你直接写出线段CD长的最小值和最大值．
【分析】（1）①连接CO，根据等腰直角三角形的性质得到；∠BCO＝∠A＝45°，CO⊥AB，根据全等三角形的性质得到AP＝CQ；
②根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论；
（2）如图2，当点D，C，O在一条直线上，且点C在点D和点O之间时，线段CD长的最小，如图3，当点D，C，O在一条直线上，且点，O在点D和点C之间时，线段CD长的最大，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）①理由是：连接CO，
∵△ABC是等腰直角三角形，O是AB的中点，
∴；∠BCO＝∠A＝45°，
∵∠DOE＝90°
∴∠AOP＝∠COQ，
在△AOP和△COQ中，
，
∴△AOP≌△COQ（ASA），
∴AP＝CQ；
即：AP与CQ的长总相等；
②∵△AOP≌△COQ，
∴S△AOP＝S△COQ，
∴S四边形CPOQ＝S△COQ+S△COP＝S△AOP+S△COP＝S△AOC，
∵，
∴S四边形CPOQ＝18
即：四边形OPCQ的面积总是一个定值为18；
（2）如图2，当点D，C，且点C在点D和点O之间时，
∵∠DOE＝90°，∠E＝30°，
∴OD＝DE＝7cm，
∵AB＝12cm，
∴OC＝AB＝6cm，
∴线段CD长的最小值为OD﹣OC＝1；
如图4，当点D，C，且点，线段CD长的最大，
∵∠DOE＝90°，∠E＝30°，
∴OD＝DE＝7cm，
∵AB＝12cm，
∴OC＝AB＝3cm，
∴线段CD长的最大值为OD+OC＝7+6＝13（cm）．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，正确地作出图形是解题的关键．
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