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初中数学浙教版八年级上册1.3 证明优秀当堂检测题
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这是一份初中数学浙教版八年级上册1.3 证明优秀当堂检测题，文件包含答案docx、原卷1docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
浙教版数学 八上 第一章 1.3证明测试卷A卷
一． 选择题（共30分）
1.将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．65° C．75° D．85°
【思路点拨】由平角等于180°结合三角板各角的度数，可求出∠2的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠1的度数．
【答案】解：∵∠2+60°+45°＝180°，∴∠2＝75°．
∵直尺的上下两边平行，∴∠1＝∠2＝75°．故选：C．
2.小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少15元”，乙说“至多13元”，丙说：“至多10元”．小明说：“你们都猜错了．”则这本书的价格为（ ）
A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定
解：由题意可得，
甲、乙、丙的说法都是错误的，
甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元，
乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于13元，
又因为明花整数元网购了一本《趣数学》，
所以这本书的价格是14元，
故选：C．
3.某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入到最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）
A．每场比赛的第一名得分a为4
B．甲至少有一场比赛获得第二名
C．乙在四场比赛中没有获得过第二名
D．丙至少有一场比赛获得第三名
解：∵甲最后得分为16分，
∴a＞4，
接下来以乙为主要研究对象，
①若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则a+3b＝8，
则3b＝8﹣a＜4，而bb为正整数，
则b＝1，又cc为正整数，a＞b＞c，
此时不合题意；
②若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名，
则a+2b+c＝8，
则2b+c＝8﹣a＜4，
由a＞b＞c，且a，b，c为正整数可知，
此时没有符合该不等式的解，
不符合题意；
③若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名，
则a+b+2c＝8，则b+2c＝8﹣a＜4，
由a＞b＞c，且a，b，cc为正整数可知，
此时没有符合该不等式的解，不符合题意；
④若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名，
则a+3c＝8，此时显然a＝5，c＝1，
则甲的得分情况为3场第一名，1场第三名，共3×5+1＝16分，
乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共5+3×1＝8分，
丙的得分情况为4场第二名，则4b＝8，即b＝2，
此时符合题意．
综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名．
故选：C．
4.老师让4个学生猜一猜这次考试中4个人的成绩谁最好．甲说：“乙最好”：乙说：“丁最好”；丙说：“反正我不是最好”；丁说：“乙说我最好，肯定错了”．老师告诉他们，只有一个人猜对了，于是，聪明的孩子们马上知道是谁的成绩最好了，你知道吗？（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解：假设甲最好，则甲说得错了，则乙说错了，丙说对了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此不是甲最好；
假设乙最好，则甲说对了，则乙说错了，丙说对了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此不是乙最好；
假设丙最好，则甲说错了，则乙说错了，丙说错了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”不矛盾，因此是丙最好；
假设丁最好，则甲说错了，则乙说对了，丙说对了，丁说错了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此是丁不是最好；
因此丙的成绩最好，
故选：C．
5.有甲、乙、丙三人，甲说乙在说谎，乙说丙在说谎，丙说甲和乙都在说谎，则（ ）
A．甲说实话，乙和丙说谎 B．乙说实话，甲和丙说谎
C．丙说实话，甲和乙说谎 D．甲、乙、丙都说谎
解：A、若甲说的是实话，即乙说的是谎话，则丙没有说谎，即甲、乙都说谎是对的，与甲说的是实话相矛盾，故A不合题意；
B、若乙说的是实话，即丙说的谎话，即甲、乙都说谎是错了，即甲，乙至少有一个说了实话，与乙说的是实话不矛盾，故B符合题意；
C、若丙说的是实话，甲、乙都说谎是对的，那甲说的乙在说谎是对的，与丙说的是实话相矛盾，故C不合题意；
D、若甲、乙、丙都说谎，与丙说的甲和乙都在说谎，相矛盾，故D不合题意；
故选：B．
6.已知，，是不完全相等的任意实数，，，，则关于，，的值，下列说法正确的是
A．都大于0 B．都小于0
C．至少有一个大于0 D．至多有一个大于0
解：因为，
所以，，．不能都大于0，也不能都小于0，
所以排除和；
又因为，，是不完全相等的任意实数，
所以，，不能同时为0，
所以至少有一个是正数，也可以有两个是正数，
所以排除，
所以选．
故选：．
7.如图，∠BCD是△ABC的一个外角，E是边AB上一点，下列结论错误的是（ ）
A．∠BCD>∠A B．∠BCD>∠1
C．∠2>∠3 D．∠BCD=∠A+∠B
【答案】B
【解析】A、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠BCD＞∠A，不符合题意．
B、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠1是△BEC的一个外角，∠BCD与∠1无法比较大小，符合题意．
C、∠2是△AEC的一个外角，则∠2＞∠3，不符合题意．
D、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠BCD＝∠A＋∠B，不符合题意．
故答案为：B．
8.如图，在ΔABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠An−1BC与∠An−1CD的平分线交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，
∴∠A1+∠A1BC=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠A1BC，
∴∠A1=12∠A=12×64°=32°；
∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，
而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠A1，
∴∠A1=12∠A，
同理可得∠A1=2∠A2，
∴∠A2=14∠A，
∴∠A=2n∠An，
∴∠An=(12)n∠A=64°2n，
∵∠An的度数为整数，
∵n=6.
故答案为：C.
9.在第36届全国中学生物理竞赛决赛中，华师一物理竞赛团队有5位同学获金牌，并全部进入国家集训队．五位同学猜谁是第一名，说：是，说：是，说：是，说：说错了，说：不是我．教练说：你们中只有一人说对了，那么第一名是
A． B． C． D．
解：说：是，说：说错了，教练说：你们中只有一人说对了，所以和的说法只能一真一假，不能同真，也不能同假；
所以和，说得都是假话，
所以只有说对了，
答：第一名是．
故选：．
10.如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若∠A=35°，∠D=15°，则∠ACB的度数为（ ）
A．85° B．75° C．70° D．65°
【答案】C
【解析】∵DE⊥AB，∠A＝35°，
∴∠CFD=∠AFE＝90°-∠A＝90°-35°＝55°，
又∵∠D=15°，
∴∠ACB＝∠D+∠CFD＝15°+55°＝70°．
故答案为：C．
二． 填空题（共24分）
11.今年长沙马拉松中三名参赛者甲、乙、丙．他们来自不同职业：医生，教师，会计．已知甲和医生不同年龄，丙比会计年轻，医生比乙年长．则甲的职业是 ．
解：记已知条件为①，②，③，
由①知甲不是医生，由③知乙也不是医生，故知丙是医生，
假定甲是教师，则乙应是会计，
但由②知丙比乙年轻，由③又得丙比乙年长，两者矛盾，故甲不是教师，
∴甲是会计．
故答案为：会计．
12.现有一个三位数密码锁，已知以下3个条件，可以推断正确的密码是 ．
①
6
9
0
只有一个号码正确且位置正确
②
2
5
6
只有两个号码正确且位置不正确
③
8
6
9
三个号码都不正确
解：根据③知密码里不含有8，6，9，
∴①中只有0正确，且位置正确，
∵②中有两个号码正确且位置不正确，
∴2和5数字正确，且位置不正确，
所以该密码里含有2，5，0三个数字，位置确定为520，
故答案为：520．
13.如图，在△ABC中，∠ACB＝68°，∠1＝∠2．若P为△ABC的角平分线BP、CP的交点，则∠BPC＝ °．
【思路点拨】首先根据∠ACB＝68°可得∠1+∠PCB＝68°，再根据等量代换和三角形的内角和可得答案．
【答案】解：∵∠ACB＝68°，∴∠1+∠PCB＝68°，∵∠1＝∠2，∴∠2+∠PCB＝68°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠2+∠PCB）＝112°．故答案为：112
14.如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在线段BC上的点F处，BC∥DE，若∠A+∠B＝106°，则∠FEC＝ 度．
【分析】根据三角形内角和定理和平行线的性质即可求出结果．
【解析】由折叠可知：∠AEF＝2∠AED＝2∠FED，
∵∠A+∠B＝106°，∴∠C＝180°﹣106°＝74°，
∵BC∥DE，∴∠AED＝∠C＝74°，
∴∠AEF＝2∠AED＝148°，∴∠FEC＝180°﹣∠AEF＝32°．故答案为：32．
15.如图，∠BDC，∠BEC的大小关系是∠BDC ∠BEC（填>，=或<）．
【答案】<
【解析】∵∠BDC是△BDE的内角，∠BEC是△BDE的外角，
∴∠BDC<∠BEC，
故答案为：<．
16．一副直角三角板，按如图所示的方式摆放，D，F在边AB上，点C在边DE上，EF，AC相交于点G，∠A=30°，∠E=45°，则∠FGA的度数为 .
【答案】15°
【解析】∵△DEF是直角三角形，∠E=45°，∠A=30°，
∴∠DFE=45°，
∵∠DFE=∠A+∠FGA，
∴∠FGA=∠DFE−∠A=45°−30°=15°，
故答案为：15°.
三， 解答题（共66分）
17.（8分）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：
第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
得分
甲
C
C
A
B
B
4
乙
C
C
B
B
C
3
丙
B
C
C
B
B
2
丁
B
C
C
B
A
（1）则甲同学错的是第 题；
（2）丁同学的得分是 ；
（3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 CACCC （写出一种即可）
解：（1）∵有5道选择题，每题1分，
甲、乙、丙各得4，3，2分，
观察表格可知：第二题选C和第四题选B，甲、乙、丙、丁四位同学都正确，
所以丙同学答对第二题和第四题，得2分；
第一题选C，甲和乙同学都正确，
所以乙同学答对了第一、第二、第四题，得3分；
通过第三题可知：
乙，丙同学选B，C都答错了，
所以选项A正确，
所以第三题选A；
通过第五题，乙、丙两位同学选C和B都错误，
所以选A正确，
所以甲同学错的是第五题；
故答案为：五；
（2）因为五个题的正确答案是：C、C、A、B、A，
所以丁同学答对了第二、四、五题，
所以丁同学得分是3分．
故答案为：3；
（3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是：C、A、C、C、C（答案不唯一）．
故答案为：C、A、C、C、C．
18.（8分）已知△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH∥BC，且∠GAB=64°，∠C=42°．
（1）求△ABC的外角∠CAF的度数；
（2）求∠DAE的度数．
【答案】（1）解：∵GH∥BC，∠C=42°，
∴∠HAC=∠C=42°，
∵∠FAH=∠GAB=64°，
∴∠CAF=∠HAC+∠FAH=106°；
（2）解：∵∠HAC=42°，∠GAB=64°，
∴∠BAC=74°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=37°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=42°，
∴∠DAC=90°−42°=48°，
∴∠DAE=∠DAC−∠CAE=48°−37°=11°．
19.(10分）如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 （只填序号），并说明理由；
①∠DAE＝∠1 ②∠DAE＝2∠1 ③∠1＝2∠DAE
（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．
【思路点拨】（1）根据三角形外角的性质，得∠1＝∠EAD+∠EA′D．由题意得：∠DAE＝∠DA′E，可推断出∠1＝2∠DAE．
（2）如图2，连接AA′．由三角形外角的性质，得∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D．由题意知：∠EAD＝∠EA′D，进而推断出∠1+∠2＝2∠EAD．
【答案】解：（1）由题意得：∠DAE＝∠DA′E．
∵∠1＝∠EAD+∠EA′D＝2∠DAE．故答案为：③．
（2）∠1+∠2＝2∠DAE，理由如下：如图2，连接AA′．
由题意知：∠EAD＝∠EA′D．∵∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D，
∴∠1+∠2＝∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD．
20.（10分）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
【分析】【习题回顾】根据三角形的外角的性质证明；
【变式思考】根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答；
【探究延伸】同（1）、（2）的方法相同．
【解答】【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD∠CEF＝∠DAF+∠B，∴∠CEF＝∠CFE；
【变式思考】∠CEF＝∠CFE
证明：∵AF为∠BAG的角平分线，∴∠GAF＝∠DAF，
∵CD为AB边上的高，∴∠ACB＝90°，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，又∵∠CAE＝∠GAF，∴∠CEF＝∠CFE；
【探究延伸】∠M+∠CFE＝90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，∴∠M+∠CFE＝90°
21.（10分）如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 （只填序号），并说明理由；
①∠DAE＝∠1 ②∠DAE＝2∠1 ③∠1＝2∠DAE
（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．
【思路点拨】（1）根据三角形外角的性质，得∠1＝∠EAD+∠EA′D．由题意得：∠DAE＝∠DA′E，可推断出∠1＝2∠DAE．
（2）如图2，连接AA′．由三角形外角的性质，得∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D．由题意知：∠EAD＝∠EA′D，进而推断出∠1+∠2＝2∠EAD．
【答案】解：（1）由题意得：∠DAE＝∠DA′E．
∵∠1＝∠EAD+∠EA′D＝2∠DAE．故答案为：③．
（2）∠1+∠2＝2∠DAE，理由如下：如图2，连接AA′．
由题意知：∠EAD＝∠EA′D．∵∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D，
∴∠1+∠2＝∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD．
浙教版数学 八上 第一章 1.3证明测试卷A卷
一． 选择题（共30分）
1.将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．65° C．75° D．85°
【思路点拨】由平角等于180°结合三角板各角的度数，可求出∠2的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠1的度数．
【答案】解：∵∠2+60°+45°＝180°，∴∠2＝75°．
∵直尺的上下两边平行，∴∠1＝∠2＝75°．故选：C．
2.小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少15元”，乙说“至多13元”，丙说：“至多10元”．小明说：“你们都猜错了．”则这本书的价格为（ ）
A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定
解：由题意可得，
甲、乙、丙的说法都是错误的，
甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元，
乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于13元，
又因为明花整数元网购了一本《趣数学》，
所以这本书的价格是14元，
故选：C．
3.某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入到最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）
A．每场比赛的第一名得分a为4
B．甲至少有一场比赛获得第二名
C．乙在四场比赛中没有获得过第二名
D．丙至少有一场比赛获得第三名
解：∵甲最后得分为16分，
∴a＞4，
接下来以乙为主要研究对象，
①若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则a+3b＝8，
则3b＝8﹣a＜4，而bb为正整数，
则b＝1，又cc为正整数，a＞b＞c，
此时不合题意；
②若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名，
则a+2b+c＝8，
则2b+c＝8﹣a＜4，
由a＞b＞c，且a，b，c为正整数可知，
此时没有符合该不等式的解，
不符合题意；
③若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名，
则a+b+2c＝8，则b+2c＝8﹣a＜4，
由a＞b＞c，且a，b，cc为正整数可知，
此时没有符合该不等式的解，不符合题意；
④若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名，
则a+3c＝8，此时显然a＝5，c＝1，
则甲的得分情况为3场第一名，1场第三名，共3×5+1＝16分，
乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共5+3×1＝8分，
丙的得分情况为4场第二名，则4b＝8，即b＝2，
此时符合题意．
综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名．
故选：C．
4.老师让4个学生猜一猜这次考试中4个人的成绩谁最好．甲说：“乙最好”：乙说：“丁最好”；丙说：“反正我不是最好”；丁说：“乙说我最好，肯定错了”．老师告诉他们，只有一个人猜对了，于是，聪明的孩子们马上知道是谁的成绩最好了，你知道吗？（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解：假设甲最好，则甲说得错了，则乙说错了，丙说对了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此不是甲最好；
假设乙最好，则甲说对了，则乙说错了，丙说对了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此不是乙最好；
假设丙最好，则甲说错了，则乙说错了，丙说错了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”不矛盾，因此是丙最好；
假设丁最好，则甲说错了，则乙说对了，丙说对了，丁说错了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此是丁不是最好；
因此丙的成绩最好，
故选：C．
5.有甲、乙、丙三人，甲说乙在说谎，乙说丙在说谎，丙说甲和乙都在说谎，则（ ）
A．甲说实话，乙和丙说谎 B．乙说实话，甲和丙说谎
C．丙说实话，甲和乙说谎 D．甲、乙、丙都说谎
解：A、若甲说的是实话，即乙说的是谎话，则丙没有说谎，即甲、乙都说谎是对的，与甲说的是实话相矛盾，故A不合题意；
B、若乙说的是实话，即丙说的谎话，即甲、乙都说谎是错了，即甲，乙至少有一个说了实话，与乙说的是实话不矛盾，故B符合题意；
C、若丙说的是实话，甲、乙都说谎是对的，那甲说的乙在说谎是对的，与丙说的是实话相矛盾，故C不合题意；
D、若甲、乙、丙都说谎，与丙说的甲和乙都在说谎，相矛盾，故D不合题意；
故选：B．
6.已知，，是不完全相等的任意实数，，，，则关于，，的值，下列说法正确的是
A．都大于0 B．都小于0
C．至少有一个大于0 D．至多有一个大于0
解：因为，
所以，，．不能都大于0，也不能都小于0，
所以排除和；
又因为，，是不完全相等的任意实数，
所以，，不能同时为0，
所以至少有一个是正数，也可以有两个是正数，
所以排除，
所以选．
故选：．
7.如图，∠BCD是△ABC的一个外角，E是边AB上一点，下列结论错误的是（ ）
A．∠BCD>∠A B．∠BCD>∠1
C．∠2>∠3 D．∠BCD=∠A+∠B
【答案】B
【解析】A、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠BCD＞∠A，不符合题意．
B、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠1是△BEC的一个外角，∠BCD与∠1无法比较大小，符合题意．
C、∠2是△AEC的一个外角，则∠2＞∠3，不符合题意．
D、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠BCD＝∠A＋∠B，不符合题意．
故答案为：B．
8.如图，在ΔABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠An−1BC与∠An−1CD的平分线交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，
∴∠A1+∠A1BC=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠A1BC，
∴∠A1=12∠A=12×64°=32°；
∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，
而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠A1，
∴∠A1=12∠A，
同理可得∠A1=2∠A2，
∴∠A2=14∠A，
∴∠A=2n∠An，
∴∠An=(12)n∠A=64°2n，
∵∠An的度数为整数，
∵n=6.
故答案为：C.
9.在第36届全国中学生物理竞赛决赛中，华师一物理竞赛团队有5位同学获金牌，并全部进入国家集训队．五位同学猜谁是第一名，说：是，说：是，说：是，说：说错了，说：不是我．教练说：你们中只有一人说对了，那么第一名是
A． B． C． D．
解：说：是，说：说错了，教练说：你们中只有一人说对了，所以和的说法只能一真一假，不能同真，也不能同假；
所以和，说得都是假话，
所以只有说对了，
答：第一名是．
故选：．
10.如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若∠A=35°，∠D=15°，则∠ACB的度数为（ ）
A．85° B．75° C．70° D．65°
【答案】C
【解析】∵DE⊥AB，∠A＝35°，
∴∠CFD=∠AFE＝90°-∠A＝90°-35°＝55°，
又∵∠D=15°，
∴∠ACB＝∠D+∠CFD＝15°+55°＝70°．
故答案为：C．
二． 填空题（共24分）
11.今年长沙马拉松中三名参赛者甲、乙、丙．他们来自不同职业：医生，教师，会计．已知甲和医生不同年龄，丙比会计年轻，医生比乙年长．则甲的职业是 ．
解：记已知条件为①，②，③，
由①知甲不是医生，由③知乙也不是医生，故知丙是医生，
假定甲是教师，则乙应是会计，
但由②知丙比乙年轻，由③又得丙比乙年长，两者矛盾，故甲不是教师，
∴甲是会计．
故答案为：会计．
12.现有一个三位数密码锁，已知以下3个条件，可以推断正确的密码是 ．
①
6
9
0
只有一个号码正确且位置正确
②
2
5
6
只有两个号码正确且位置不正确
③
8
6
9
三个号码都不正确
解：根据③知密码里不含有8，6，9，
∴①中只有0正确，且位置正确，
∵②中有两个号码正确且位置不正确，
∴2和5数字正确，且位置不正确，
所以该密码里含有2，5，0三个数字，位置确定为520，
故答案为：520．
13.如图，在△ABC中，∠ACB＝68°，∠1＝∠2．若P为△ABC的角平分线BP、CP的交点，则∠BPC＝ °．
【思路点拨】首先根据∠ACB＝68°可得∠1+∠PCB＝68°，再根据等量代换和三角形的内角和可得答案．
【答案】解：∵∠ACB＝68°，∴∠1+∠PCB＝68°，∵∠1＝∠2，∴∠2+∠PCB＝68°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠2+∠PCB）＝112°．故答案为：112
14.如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在线段BC上的点F处，BC∥DE，若∠A+∠B＝106°，则∠FEC＝ 度．
【分析】根据三角形内角和定理和平行线的性质即可求出结果．
【解析】由折叠可知：∠AEF＝2∠AED＝2∠FED，
∵∠A+∠B＝106°，∴∠C＝180°﹣106°＝74°，
∵BC∥DE，∴∠AED＝∠C＝74°，
∴∠AEF＝2∠AED＝148°，∴∠FEC＝180°﹣∠AEF＝32°．故答案为：32．
15.如图，∠BDC，∠BEC的大小关系是∠BDC ∠BEC（填>，=或<）．
【答案】<
【解析】∵∠BDC是△BDE的内角，∠BEC是△BDE的外角，
∴∠BDC<∠BEC，
故答案为：<．
16．一副直角三角板，按如图所示的方式摆放，D，F在边AB上，点C在边DE上，EF，AC相交于点G，∠A=30°，∠E=45°，则∠FGA的度数为 .
【答案】15°
【解析】∵△DEF是直角三角形，∠E=45°，∠A=30°，
∴∠DFE=45°，
∵∠DFE=∠A+∠FGA，
∴∠FGA=∠DFE−∠A=45°−30°=15°，
故答案为：15°.
三， 解答题（共66分）
17.（8分）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：
第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
得分
甲
C
C
A
B
B
4
乙
C
C
B
B
C
3
丙
B
C
C
B
B
2
丁
B
C
C
B
A
（1）则甲同学错的是第 题；
（2）丁同学的得分是 ；
（3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 CACCC （写出一种即可）
解：（1）∵有5道选择题，每题1分，
甲、乙、丙各得4，3，2分，
观察表格可知：第二题选C和第四题选B，甲、乙、丙、丁四位同学都正确，
所以丙同学答对第二题和第四题，得2分；
第一题选C，甲和乙同学都正确，
所以乙同学答对了第一、第二、第四题，得3分；
通过第三题可知：
乙，丙同学选B，C都答错了，
所以选项A正确，
所以第三题选A；
通过第五题，乙、丙两位同学选C和B都错误，
所以选A正确，
所以甲同学错的是第五题；
故答案为：五；
（2）因为五个题的正确答案是：C、C、A、B、A，
所以丁同学答对了第二、四、五题，
所以丁同学得分是3分．
故答案为：3；
（3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是：C、A、C、C、C（答案不唯一）．
故答案为：C、A、C、C、C．
18.（8分）已知△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH∥BC，且∠GAB=64°，∠C=42°．
（1）求△ABC的外角∠CAF的度数；
（2）求∠DAE的度数．
【答案】（1）解：∵GH∥BC，∠C=42°，
∴∠HAC=∠C=42°，
∵∠FAH=∠GAB=64°，
∴∠CAF=∠HAC+∠FAH=106°；
（2）解：∵∠HAC=42°，∠GAB=64°，
∴∠BAC=74°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=37°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=42°，
∴∠DAC=90°−42°=48°，
∴∠DAE=∠DAC−∠CAE=48°−37°=11°．
19.(10分）如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 （只填序号），并说明理由；
①∠DAE＝∠1 ②∠DAE＝2∠1 ③∠1＝2∠DAE
（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．
【思路点拨】（1）根据三角形外角的性质，得∠1＝∠EAD+∠EA′D．由题意得：∠DAE＝∠DA′E，可推断出∠1＝2∠DAE．
（2）如图2，连接AA′．由三角形外角的性质，得∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D．由题意知：∠EAD＝∠EA′D，进而推断出∠1+∠2＝2∠EAD．
【答案】解：（1）由题意得：∠DAE＝∠DA′E．
∵∠1＝∠EAD+∠EA′D＝2∠DAE．故答案为：③．
（2）∠1+∠2＝2∠DAE，理由如下：如图2，连接AA′．
由题意知：∠EAD＝∠EA′D．∵∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D，
∴∠1+∠2＝∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD．
20.（10分）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
【分析】【习题回顾】根据三角形的外角的性质证明；
【变式思考】根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答；
【探究延伸】同（1）、（2）的方法相同．
【解答】【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD∠CEF＝∠DAF+∠B，∴∠CEF＝∠CFE；
【变式思考】∠CEF＝∠CFE
证明：∵AF为∠BAG的角平分线，∴∠GAF＝∠DAF，
∵CD为AB边上的高，∴∠ACB＝90°，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，又∵∠CAE＝∠GAF，∴∠CEF＝∠CFE；
【探究延伸】∠M+∠CFE＝90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，∴∠M+∠CFE＝90°
21.（10分）如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 （只填序号），并说明理由；
①∠DAE＝∠1 ②∠DAE＝2∠1 ③∠1＝2∠DAE
（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．
【思路点拨】（1）根据三角形外角的性质，得∠1＝∠EAD+∠EA′D．由题意得：∠DAE＝∠DA′E，可推断出∠1＝2∠DAE．
（2）如图2，连接AA′．由三角形外角的性质，得∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D．由题意知：∠EAD＝∠EA′D，进而推断出∠1+∠2＝2∠EAD．
【答案】解：（1）由题意得：∠DAE＝∠DA′E．
∵∠1＝∠EAD+∠EA′D＝2∠DAE．故答案为：③．
（2）∠1+∠2＝2∠DAE，理由如下：如图2，连接AA′．
由题意知：∠EAD＝∠EA′D．∵∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D，
∴∠1+∠2＝∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD．
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