第1讲 函数的图象与性质（重难点题型突破）-【冲刺双一流】备战2023年高考数学二轮复习核心专题讲练（新高考版）

第1讲　函数的图象与性质
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：函数的定义及其表示
角度1：函数的定义域
角度2：函数的值域
角度3：分段函数及其应用
突破二：函数奇偶性与单调性
突破三：函数奇偶性与对称性与周期性综合
突破四：函数的图象及其应用
角度1：根据解析式识别函数图象
角度2由图象确定函数解析式
第三部分：冲刺重难点特训











第一部分：知识强化
1、函数的单调性
①判断方法:定义法、图象法、导数法.
②复合函数的单调性（同调增；异调减）
对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
③函数相加或相减后单调性
设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减）



增
增
增
减
减
减



增
减
增
减
增
减
2、函数的奇偶性
①判断方法:定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).
②对数型复合函数判断奇偶性常用或来判断奇偶性.
③，在它们的公共定义域上有下面的结论：






偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
3、函数的周期性
函数周期性的常用结论与技巧（同号周期）
设函数，.
①若，则函数的周期；
②若，则函数的周期；
③若，则函数的周期；
④若，则函数的周期；
⑤，则函数的周期
4、函数对称性
（1）轴对称：若函数关于直线对称，则
①；
②；
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
5、函数图象
（1）平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）

①
②
③
④
（2）对称变换
①的图象的图象；
②的图象的图象；
③的图象的图象；
④(，且)的图象(，且)的图象.
（3）伸缩变换

①.
②.
（4）翻折变换（绝对值变换）
①的图象的图象；
（口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方）
②的图象的图象.
（口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数）
（5）图象识别技巧（按使用频率优先级排序）
①特殊值法（观察图象，寻找图象中出现的特殊值）
②单调性法（；；，；通过求导判断单调性）
③奇偶性法






偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
④极限（左右极限）（；；；；）
⑤零点法
⑥极大值极小值法
第二部分：重难点题型突破
突破一：函数的定义及其表示
角度1：函数的定义域
1．（2022·山东济南·二模）函数的定义域是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由，得，且，
所以函数的定义域是.
故选：A.
2．（2022·江西·修水中等专业学校模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为函数的定义域为，
所以，，即，解得，
所以，函数的定义域为
故选：C
角度2：函数的值域
1．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））函数的值域（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：依题意，，其中的值域为，故函数的值域为，故选D．
2．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知定义在 的函数，满足：在上的解析式为，设的值域为．若存在实数，使得，则的可能取值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，当时，，则
当时，，则
所以时，
由，则时，
则时，
所以则时，
由则存在实数，使得， 即存在实数使得 ，
解得
由上可知，当时，的值域为，显然满足题意.
当时，当时，，则
当时，，则
所以时，
同理可得，当时，
由则存在实数，使得， 即存在实数使得 ，
解得
所以满足条件的是范围：，由选项可知：选项C满足
故选：A
角度3：分段函数及其应用
1．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数 ，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵，,
∴当时， ，解得；
当时，，解得,即（舍去），
∴,
故选:C
2．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知，若，则n的最大值为（    ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【详解】因为当时，，
所以
，
又，所以，
所以，，，
所以若，则n的最大值为10，
故选：B.
3．（2022·山西·模拟预测（文））已知函数若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数当时，方程．可得．解得，函数有一个零点，
则当时，函数有两个零点，即，在时有两个解．
设，其开口向上，对称轴为：在上单调递减，在上单调递增，所以，且，解得．
故选：C．
4．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））已知函数满足对任意的实数，且，都有成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：因为对任意的实数，且，都有成立，
所以，对任意的实数，且，，即函数是上的减函数．
因为，
令，，要使在上单调递减，
所以，在上单调递增．
另一方面，函数为减函数，
所以，，解得，
所以实数a的取值范围是．
故选：D．
5．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数则不等式的解集为______．
【答案】
【详解】当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，易知，解得；
当时，不等式为，解得；
综上，解集为：.
故答案为：.
6．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数，则的图象上关于坐标原点对称的点共有（    ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【答案】C
【详解】作出函数的图象，如图示，
则的图象上上关于坐标原点对称的点，
即为当时，关于原点对称的函数图象，与的图象的交点，

由图象可知，交点有2个，
所以函数的图象上关于坐标原点对称的点共有2对．
故选：．
突破二：函数奇偶性与单调性
1．（2022·河南·模拟预测（理））已知是偶函数且在上单调递增，则满足的一个区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为是偶函数，故，
故由，得，
由函数在上单调递增得，
则，则，
所以，即，，
所以ACD不合题意，选项B符合条件．
故选：B.
2．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））已知是上的奇函数，当时，，则满足的m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数在上均为减函数，
∴在上为减函数.又，且是上的奇函数，∴在上为减函数.
又，得或，解得或.
所以实数m的取值范围是.
故选：D.
3．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知函数是定义在上的偶函数，且上单调递减，设，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数是定义在上的偶函数，所以，
因为，，所以，
又为偶函数且上单调递减，所以在上单调递增，
所以，即.
故选：C.
4．（2022·广西北海·一模（理））已知奇函数的定义域为，且在上单调递增，在上单调递减．若，则的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】奇函数的定义域为，，且在上单调递增，在上单调递减，可作出的大致图象：

由图象可知解集为．
故选：B
5．（2022·河南许昌·三模（文））已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，所以，函数在上是增函数，所以，即有，所以或，解得或．
故选：D．
6．（2022·青海·西宁北外附属新华联外国语高级中学有限公司模拟预测）已知函数，则不等式的解集为______．
【答案】
【详解】由知：，所以是奇函数，又，所以是上的增函数，，故可得
令则当时，，此时单调递增.当时，，此时单调递减.又，所以不等式的解为
故答案为：
突破三：函数奇偶性与对称性与周期性综合
1．（2022·青海·西宁北外附属新华联外国语高级中学有限公司模拟预测）已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（    ）
A．1 B．-1 C．2 D．-3
【答案】B
【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期为4，所以．
故选:B．
2．（2022·河南·固始县高级中学第一中学模拟预测（文））已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（    ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【详解】因为是上的偶函数，所以，
又的图象关于点对称，则，
所以，则，得，
即，所以是周期函数，且周期，
由时，，则，，，，
则，
则.
故选：C
3．（2022·四川·盐亭中学模拟预测（文））已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）
A．3 B．0 C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，所以的周期为4，
所以，
又是定义在上的奇函数，所以，
所以，
又因为在中，令，得，
所以，又当时，，所以令，，
所以.故A，B，C错误.
故选：D.
4．（2022·河南信阳·一模（理））已知定义在上的偶函数满足，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意, 函数满足, 则,
又由为偶函数，则有,
则有,
即函数是周期为4的周期函数,
，令可得.
，，
所以
故选：B
5．（2022·广西北海·一模（文））已知奇函数的定义域为,且对任意恒成立,若,则____________.
【答案】2
【详解】解:由题知,,所以周期为4,
因为奇函数,所以,
因为,所以,
所以,
因为,所以,
又,所以,
因为,
所以.
故答案为:2
6．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知函数的图象关于直线对称，且对都有，当时，.则___________.
【答案】
【详解】因函数的图象关于直线对称，而函数的图象右移1个单位得的图象，
则函数的图象关于直线对称，即，而对都有，
则，即，，有，
因此函数是周期函数，周期为8，又当时，，
所以.
故答案为：
突破四：函数的图象及其应用
角度1：根据解析式识别函数图象
1．（2022·四川雅安·模拟预测（理））函数在上的图象大致是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】，，而，
因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，选项A，B不满足；
又，，于是得，选项C不满足，D符合题意.
故选：D
2．（2022·江苏南通·模拟预测）函数的部分图像大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知，的定义域为，
因为，所以，
故为奇函数，从而的图像关于原点对称，故B错误；
当时，且，此时，故D错误；
因为在上有无数个零点，
所以在上也有无数个零点，故A错误，C正确.
故选：C.
3．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））函数在的图像大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】，故为奇函数，函数图像关于原点中心对称，排除B选项；令，则或，故在上有三个零点，排除A选项；
当时，，排除C选项.
故选:D.
4．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）函数的大致图象是（   ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为函数的定义域为 ，且
故是偶函数，排除选项B，C；
当时，，对应点在第四象限，故排除A，
故选：D.
5．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）函数的大致图象是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数定义域为，，
则有函数是奇函数，其图象关于原点对称，选项B，C不满足；
当时，，即，因此，选项A不满足，D符合条件.
故选：D
角度2由图象确定函数解析式
1．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式可能为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】对于A，，，
即不是偶函数，不符合题意；
对于C, ，，不符合题意；
对于D，，，不符合题意；
对于B，，，
故为偶函数，结合函数的性质，可知B符合题意，
故选:B
2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数图象如图所示，那么该函数可能为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由图象可知，函数定义域为，图象关于原点对称，函数是奇函数， 时，
据此，定义域不符合，排除A;
若 ，则时，，不符合图象，故排除B；
若，则当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于1，不符合图象，故排除C;
故选：D
3．（2022·浙江·金华市曙光学校模拟预测）函数的图像如图所示, 则其解析式可能是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由给定图像知，函数的定义域为且，
对于B，且，B不是；
对于C，，C不是；
由图像知，当时，恒成立，
对于D，当时，，D不是，A满足条件.
故选：A
4．（2022·安徽·安庆一中模拟预测（文））已知函数在上的图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当时，，则，故排除AB.
当时，则，
令，得或，
当或时，，当时，，
所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，故C错误；
当时，则，
令，得或，
当或时，，当时，，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，故D正确
故选：D.
5．（2022·黑龙江·一模（理））已知某个函数的图像如图所示，则下列解析式中与此图像最为符合的是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解： 对于B选项，函数有意义，则，解得且且，故不满足，错误；
对于C选项，函数有意义，则，解得，故不满足，错误；
对于D选项，当时，，故图像不满足，错误.
故根据排除法得与此图像最为符合.
故选：A
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·辽宁实验中学高一期中）函数的值域是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，，
即表示坐标平面内x轴上的点到定点距离的和，而,
如图，

显然线段AB与x轴交于点C，有，当且仅当点P与点C重合时取等号，即，
所以函数的值域是.
故选：C
2．（2022·浙江·温州中学高一期中）函数的值域是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为，所以，
设，
因为，
令==，
令,则，
所以 ，
因为，
由对勾函数的性质可得，
所以，
所以，
所以以，
即函数的值域为.
故选：A.
3．（2022·江西·高二阶段练习）对于定义在上的函数，如果存在实数，使得对任意实数恒成立，则称为关于的“函数”．已知定义在上的函数是关于和的“函数”，且当时的值域为，则当时的值域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】是关于和的“函数”，，，
由得：，，
是周期为的周期函数；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，的值域为.
故选：A.
4．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）高一期中）已知函数的最小值为，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数的最小值为，则函数在上单调递减，则，且，
当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
由题意可得，解得.
综上，.
故选：A.
5．（2022·浙江·德清县教育研训中心高一期中）已知是偶函数，对，且，都有，且则的解集是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为是偶函数，所以，故关于对称，
由，且，都有，可得在上单调递增，
所以在上单调递减，
因为关于对称，所以，
由可得或，
所以当时，，所以，此时；
当时，，所以，此时；
综上所述，的解集是，
故选：B
6．（2022·四川外国语大学附属外国语学校高一期中）已知函数，若对所有，都有成立，则实数的取值范围是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由可得，
令，满足，
即为奇函数，且为单调递减函数，
由可得，
即，即，
对所有，都有成立，
即对所有，都有成立，即，
故需满足或 ，解得或，
故实数的取值范围是，
故选：A.
7．（2022·山西忻州·高三阶段练习）已知定义在上的函数满足：．且当时，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，取可得，所以
，所以函数为奇函数，
所以函数的图象关于点（1，1）对称，由取可得，
由取可得，又，
所以，又，所以
，所以，
因为当时，，
所以当时，，
所以，又，
所以
故选：A.
8．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高三阶段练习）函数对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【详解】解：∵函数的图象关于对称，且把向左平移1个单位可得的图象，
∴函数的图象关于对称，即函数为奇函数，
∴，
∵
∴函数是以2为周期的周期函数，
∴，
，
，
即有.
故选：A.
9．（2022·河南南阳·高三期中（理））已知定义在上的函数满足：，，且当时，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为，所以，
又，所以，即，
所以，所以是以为周期的周期函数，
又当时，，
所以，，，，
，，
，即，又，即，解得，
所以，
又，，，，，
所以    ，
又，
所以


；
故选：A
10．（2022·贵州遵义·高三期中（理））已知定义在R上的偶函数满足，且当时，，则（    ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】∵为上的偶函数，∴，
又，∴用替换，得，
∴，∴的周期为4，
∴，
因为，所以
故选：C
11．（2022·广东·深圳市福田区福田中学高三阶段练习）函数在区间的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令，则，
为奇函数，图象关于原点对称，可排除BD；
当时，，，，可排除C.
故选：A.
12．（2022·河南·模拟预测（理））如图是函数的图象，则函数的解析式可以为（    ）．

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：对于A：定义域为，
当时，则，即函数在上单调递增，故A错误；
对于B：定义域为，且，，所以，故B错误；
对于C：定义域为，
又，所以当时，
当或时，即函数在，上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对于D：定义域为，

所以当或时，当时，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，符合题意；
故选：D
13．（2022·江苏·南京师大附中高三期中）函数的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由，则其定义域为，
因为，故函数为偶函数，
，，
令，解得，可得下表：
















极小值


极小值

故选：A.
14．（2022·河北·唐山市第十一中学高三阶段练习）函数的部分图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数的定义域关于原点对称，且，故函数是偶函数，则排除B，
又，则排除AC；
故选：D
15．（2022·辽宁大连·高三期中）下列函数的解析式（其中…为自然对数的底数）与所给图像最契合的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由图像可知，所求函数的定义域为，为奇函数，在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，，
故对于A选项，由幂函数性质可知，为奇函数，且在上单调递增，不满足题意；
对于B选项，函数的定义域为，不满足；
对于C选项，函数，由于函数在上单调递增，在上单调递增，所以函数在定义域上为单调递增函数，故不满足；
对于D选项，易得函数为奇函数，，当时，，函数为减函数，时，，函数为增函数，且时，，时，，故满足条件.
故选：D
16．（2022·陕西·西安中学高二期中）函数的图像可能是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为定义域为，
又，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B，
，
于是得，即函数图象在原点处切线斜率大于0，显然选项C不满足，D满足，
故选：D
二、填空题
17．（2022·北京市第三十九中学三模）函数的定义域为________.
【答案】.
【详解】解：令，即，所以，
故答案为:.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是__．
【答案】
【详解】解：当时，，值域是[0，+∞），满足条件；
令 ，
当m＜0时，的图象开口向下，故f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；
当m＞0时，的图象开口向上，只需的，
即（m﹣2）2﹣4m（m﹣1）≥0，
∴，又 ，所以
综上，，
∴实数m的取值范围是：，
故答案为：.
19．（2022·广东·深圳市福田区福田中学高三阶段练习）已知函数，当时，，则的最大值是________．
【答案】##
【详解】令，解得：；令，解得：；
图象如下图所示，

由图象可知：，，.
故答案为：.
20．（2022·四川·成都七中高一期中）已知函数是定义在上的单调递增函数，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【详解】因为在上单调递增，
所以当时，在上单调递增，
又因为开口向下，对称轴为，
所以，故，且在上的最大值为，
当时，在上单调递增，
所以由幂函数的性质可知，且，
故，得，
由于以上条件要同时成立，故，即.
故答案为：.
21．（2022·天津三中高一期中）若函数是定义在R上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为__________.
【答案】
【详解】奇函数在内是增函数,所以函数在内是增函数,
，
由可得或，
当时,,所以，此时；
当时,,所以，此时，
所以的解集为.
故答案为：
22．（2022·山西临汾·高三期中）函数的定义域为，且满足，，当时，，则_________.
【答案】##0.5
【详解】由可知的图象关于对称，所以，结合得，
故当时， 以4为周期，故，
故答案为：
23．（2022·上海市复兴高级中学高三期中）已知是定义在R上的奇函数且对于任意的均有，若当时，，则________．
【答案】
【详解】解：因为，所以，
又是定义在R上的奇函数，所以，所以，
所以的周期为，
当时，
所以，，，
在中，令可得，所以，
，，
所以，
因为，
所以

.
故答案为：.
三、解答题
24．（2022·全国·高三专题练习）设．函数，若函数的最小值为0，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：当时，；
∴要使的最小值为0，
即|在时的最小值为0，可知在时有解．
即在时有解
则．
∴a的取值范围是．
故答案为:．
四、双空题
25．（2022·江苏省镇江中学高一期中）已知函数，若存在互不相等的实数，,满足，且，则__________；的取值范围为______________.
【答案】         
【详解】作出函数的图象：
可得时，的图象是二次函数的一部分，顶点为；当时，是一次函数的一部分，令，则实数，,即为与有三个交点时，对应的三个实数根，此时，结合，可知；
令，是方程的两根，则，则，又
故答案为：6，.