第3讲 利用导数研究函数的单调性、极值、最值（重难点题型突破）-【冲刺双一流】备战2023年高考数学二轮复习核心专题讲练（新高考版）

第3讲　利用导数研究函数的单调性、极值、最值
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：导数的几何意义
突破二：利用导数研究函数的单调性
角度1：利用导数求函数的单调区间（不含参）
角度2：已知函数在区间上单调
角度3：已知函数在区间上存在单调区间
角度4：已知函数在区间上不单调
角度5：已知函数有三个单调区间
突破三：利用导数研究函数的极值与最值
角度1：求已知函数的极值（点）、最值
角度2：根据函数的极值（点）、最值，求参数
突破四：含参问题讨论单调性
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
角度2:导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
角度3:导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
第三部分：冲刺重难点特训






第一部分：知识强化
1、导数的几何意义
函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即，相应的切线方程为.
（1）在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
（2）过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
2、利用导数研究函数的单调性
（1）求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
（2）已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（3）已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间，有解.
②已知在区间上存在单调减区间，有解.
（4）已知函数在区间上不单调，使得（是变号零点）
3、函数的极值
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
4、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
5、函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
第二部分：重难点题型突破
突破一：导数的几何意义
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·河南河南·模拟预测（理））已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（   ）
A．1 B．2 C．3 D．不确定
3．（2022·江苏南通·模拟预测）已知过点作曲线的切线有且仅有条，则（    ）
A． B． C．或 D．或
4．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为（    ）
A． B． C． D．
5．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________.
6．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）已知直线是曲线的切线，则___________.
7．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知函数，若存在一条直线同时与两个函数图象相切，则实数a的取值范围__________．
8．（2022·广东佛山·模拟预测）已知函数，函数在处的切线方程为____________．若该切线与的图象有三个公共点，则的取值范围是____________．

突破二：利用导数研究函数的单调性
角度1：利用导数求函数的单调区间（不含参）
1．（2022·福建·莆田一中高二期中）若函数，则的一个单调递增区间是（    ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）下列区间中能使函数单调递增的是（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·辽宁省实验中学东戴河分校高三阶段练习）已知函数，则的单调减区间为______.
4．（2022·全国·高二单元测试）已知函数的单调减区间为，若，则的最大值为______．

角度2：已知函数在区间上单调
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数在上为增函数，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二学业考试）函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·重庆市朝阳中学高二阶段练习）已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是_____.
5．（2022·江苏·常熟外国语学校高二阶段练习）若函数的单调减区间是,则实数的值为__________．
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______
角度3：已知函数在区间上存在单调区间
1．（2022·河南信阳·高二期中（理））已知函数，在其定义域内的子区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·温县第一高级中学高二阶段练习（理））已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是
A． B． C． D．



角度4：已知函数在区间上不单调
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2022·全国·高二单元测试）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件有（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·天津市武清区杨村第三中学高三阶段练习）函数在上不单调，则实数a的取值范围是_____．

角度5：已知函数有三个单调区间
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若函数在定义域上恰有三个单调区间，则的取值范围是（     ）
A． B． C． D．

突破三：利用导数研究函数的极值与最值
角度1：求已知函数的极值（点）、最值
1．（2022·广西河池·模拟预测（理））已知函数有两个极值点，且，则的极大值为（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））设函数，则下列不是函数极大值点的是（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·江西南昌·一模（理））已知函数，若不等式的解集为，且，则函数的极大值为（    ）
A． B． C．0 D．
4．（2022·四川省绵阳南山中学模拟预测（理））已知函数的零点为，零点为，则的最大值为（    ）
A．1 B． C． D．
5．（2022·四川省南充高级中学模拟预测（文））已知函数，方程恰有两个不同的实数根、，则的最小值与最大值的和（    ）
A． B．
C． D．
6．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））已知函数存在两个极值点.
(1)求的取值范围；
(2)求的最小值.




7．（2022·四川成都·模拟预测（理））(且)．
(1)当时，求经过且与曲线相切的直线；
(2)记的极小值为，求的最大值．







8．（2022·湖南省临澧县第一中学二模）已知函数.
(1)当时，若在上存在最大值，求m的取值范围；
(2)讨论极值点的个数.





9．（2022·全国·模拟预测）设函数，.
(1)当时，证明：在上无极值；
(2)设，，证明：在上只有一个极大值点.




角度2：根据函数的极值（点）、最值，求参数
1．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知函数有三个极值点，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·江西赣州·高三期中（理））已知函数存在唯一的极值点，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·江西赣州·高三阶段练习（文））等比数列中的项，是函数的极值点，则（    ）
A．3 B． C． D．
4．（2022·江西·萍乡市第二中学高三阶段练习（理））已知函数在上的最小值为，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
5．（2022·天津市瑞景中学高三期中）当时，函数取得最大值，则（    ）
A． B． C．2 D．4
6．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数，．
(1)求在上的极小值点；
(2)若的最大值大于的最大值，求的取值范围．





7．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若在区间上存在极值点，求实数a的取值范围.






8．（2022·北京海淀·高三期中）已知函数．
①当时，的极值点个数为__________；
②若恰有两个极值点，则的取值范围是__________．







突破四：含参问题讨论单调性
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
1．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知函数
(1)请讨论函数的单调性
2．（2022·河南河南·一模（文））已知函数.
(1)讨论的单调性；







3．（2022·吉林·长春市实验中学二模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；







4．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校模拟预测（文））已知函数
(1)若，求的极小值
(2)讨论函数的单调性；






角度2:导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
1．（2022·四川绵阳·一模（理））已知函数（）．
(1)讨论函数的单调性；








2．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数，为函数的导函数．
(1)讨论的单调性；







3．（2022·天津·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；







角度3:导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
1．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数
(1)讨论的单调性；









2．（2022·江西·模拟预测（理））已知函数，
(1)讨论的单调性；






第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·全国·高二专题练习），在处切线方程为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022·福建·高三阶段练习）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ）
A．16 B．12 C．8 D．4
3．（2022·河南·濮阳油田实验学校高三阶段练习（文））“过点可以作两条与曲线相切的直线”的充要条件是（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海市行知中学高三阶段练习）“”是“函数在上是严格增函数”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022·海南昌茂花园学校高三阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
6．（2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的a的范围是（      ）
A． B．
C． D．
7．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数在处有极值，则的最小值为（    ）
A．2 B． C． D．4
8．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））函数，的极值点为，则的值为（    ）
A． B． C． D．
9．（2022·贵州·盘州市聚道高中有限责任公司高三阶段练习（文））已知函数，若对任意的，都有，则实数a的最小值为（    ）
A． B． C． D．
10．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为3，则实数a的值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
11．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数有两个极值点与，且，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
12．（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数，则下列判断正确的是（    ）
A．直线与曲线相切
B．函数只有极大值，无极小值
C．若与互为相反数，则的极值与的极值互为相反数
D．若与互为倒数，则的极值与的极值互为倒数
三、填空题
13．（2022·上海·上外附中高三阶段练习），若在上存在单调递增区间，则的取值范围是_______
14．（2022·四川省高县中学校高三阶段练习（文））已知函数，若函数在区间上不单调，则的取值范围为_____________.
15．（2022·江西·萍乡市第二中学高三阶段练习（理））若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是__________.
四、解答题
16．（2022·北京市房山区良乡中学高三期中）已知函数在及时取得极值．
(1)求的值；
(2)若对于任意的，都有成立，求的取值范围．





17．（2022·山东·潍坊瀚声学校高三期中）已知函数
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间.


18．（2022·河南·濮阳南乐一高高三阶段练习（文））．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上为单调递减，求的取值范围．






19．（2022·陕西咸阳中学高三阶段练习（理））已知函数​.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在区间上的最大值与最小值之差为，求​.






20．（2022·四川·石室中学高三阶段练习（文））已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)当时，，的取值范围．