浙江省金华市义乌市稠江中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试题（解析版）

这是一份浙江省金华市义乌市稠江中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试题（解析版），共29页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年浙江义乌稠州中学教育集团九年级下册数学期中学力检测卷（4月份）
一、选择题
1. 5的绝对值是（ ）
A. 5 B. ﹣5 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值的意义：数轴上一个数所对应的点与原点（O点）的距离叫做该数的绝对值，绝对值只能为非负数； 即可得解．
【详解】解：在数轴上，数5所表示的点到原点0的距离是5；
故选A．
【点睛】本题考查了绝对值，解决本题的关键是一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
2. 据央视网消息，全国广大共产党员积极响应党中央号召，踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持，据统计，截至2020年3月26日，全国已有7901万多名党员自愿捐款，共捐款亿元，亿用科学记数法可表示为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
【详解】解：∵亿，
∴亿用科学记数法可表示为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
3. 下列交通标识，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，知：
A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
D、既是中心对称图形，又是轴对称图形．
故选：D．
【点睛】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，折叠后对称轴两旁的部分可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后会与原图重合．
4. 下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式运算法则，同底数幂运算法则，乘方运算以及合并同类项法则，逐个进行计算即可．
【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C正确，符合题意；
D、，不是同类项，不能合并；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式运算法则，同底数幂运算法则，乘方运算以及合并同类项法则，解题的关键是熟练掌握各个运算法则．
5. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．
【详解】∵x2＋2＞0，
∴点P（x2＋2，−3）所在的象限是第四象限．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
6. 关于反比例函数，下列说法中，错误的是（　　）
A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限
C. y随x的增大而增大 D. 图象关于直线对称
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、把代入得：，故A正确，不符合题意；
B、∵，∴该反比例函数图象经过第二、四象限，故B正确，不符合题意；
C、∵，∴在第二、四象限内，y随x的增大而减小，故C错误，符合题意；
D、反比例函数图象关于直线对称，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，当时，图象经过第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，反之，图象经过第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而减小．
7. 如图，半径为10的扇形中，，C为AB上一点，，，垂足分别为D、E．若为，则图中阴影部分的面积为（　　）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，易证得四边形是矩形，则，得到，图中阴影部分的面积=扇形的面积，利用扇形的面积公式即可求得．
【详解】解：如图，连接，

∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积=扇形的面积，
∵，
∴图中阴影部分的面积，
故选：A．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，利用扇形的面积等于阴影的面积是解题的关键．
8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可．
【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组为：，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．
9. 在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　）
A. 若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B. 若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C. 若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D. 若M1＝0，M2＝0，则M3＝0
【答案】B
【解析】
【分析】选项B正确，利用判别式的性质证明即可．
【详解】解：选项B正确．
理由：∵M1＝1，
∴a2﹣4＝0，
∵a是正实数，
∴a＝2，
∵b2＝ac，
∴c＝b2，
∵M2＝0，
∴b2﹣8＜0，
∴b2＜8，
对于y3＝x2+cx+4，
则有△＝c2﹣16＝b2﹣16＝（b2﹣64）＜0，
∴M3＝0，
∴选项B正确，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与x轴的交点个数及一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本题的关键．
10. 如图，在中，，以，为边分别向外作正方形和正方形，交于点M，交于点N．若，则（ ）

A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】过点D作DH⊥BC交BC延长线于点H，延长AC交DH延长线于点Q，先由，可得，然后设AB=x，则BC=2x，可得AC=，再证明△ABC≌△CHD，可得AB=CH=x，DH=BC=2x，再由△ABC∽△QHC，可得，，从而得到AQ=AC+CQ=，DQ=DH+HQ=，再由△ABN∽△QDN，可得，再设AN=2a，则NQ=5a，可得，从而得到，，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作DH⊥BC交BC延长线于点H，延长AC交DH延长线于点Q，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥FG，AB=BF，
∴，
∴，
设AB=x，则BC=2x，
∵∠ABC=90°，
∴AC=，
∵四边形ACDE是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=90°，
∴∠1+∠ACB=∠2+∠ACB=90°，
∴∠1=∠2，
∵DH⊥BH，
∴∠CHD=∠ABC=90°，
∴△ABC≌△CHD，
∴AB=CH=x，DH=BC=2x，
∵∠ABC+∠CHD=180°，
∴AB∥DQ，
∴∠1=∠Q，
∵∠ACB=∠QCH，
∴△ABC∽△QHC，
∴，
∴，，
∴AQ=AC+CQ=，DQ=DH+HQ=，
∵∠1=∠Q，∠ANB=∠QND，
∴△ABN∽△QDN，
∴，
设AN=2a，则NQ=5a，
∴AQ=，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题
11. 若分式的值不存在，则__________．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可．
【详解】∵分式的值不存在，
∴x+1=0，
解得：x=-1，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．
12. 在一个不透明的袋子中装有个红球和个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，则摸出白球的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据白球的个数÷总个数即可得解；
【详解】根据题意可得：摸出白球的概率；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了概率公式算概率，准确分析计算是解题的关键．
13. 若单项式与单项式是同类项，则___________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项.可列式子m-1=2,n+1=2,分别求出m,n的值，再代入求解即可.
【详解】解：∵单项式与单项式是同类项，
∴m-1=2,n+1=2,
解得：m=3,n=1.
∴m+n=3+1=4.
故答案为：4.
【点睛】本题考查了同类项的概念，正确理解同类项的定义是解题的关键.
14. 如图，在平面直角坐标系中，Rt的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数（）的图象经过OA的中点C，交于点D，连接．若的面积是1，则k的值是_________．

【答案】##
【解析】
【分析】连接OD，过C作，交x轴于E，利用反比例函数k的几何意义得到，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论．
【详解】解：连接OD，过C作，交x轴于E，

∵∠ABO＝90°，反比例函数（x＞0）的图象经过OA的中点C，，
∴，，2OC=OA，
∵，
∴△OCE∽△OAB，
∴，
∴，
∴，
∴k＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．
15. 在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，点P是外部的第一象限内一动点，且，点Q是直线上的一个动点，则的最小值为________________．

【答案】
【解析】
【分析】先求出点A、B、C、D坐标，得出，以点O为圆心，为半径画圆，点E为下方，圆上任意点，连接点，根据圆的内接四边形对角互补可推出点A、P、B、E四点共圆，即点P在上运动，，将逆时针旋转，交x轴于点T，使，证明，得出，，则，当取最小值时，最小，过点T作的垂线，交于点P，交于点Q，此时点T、P、Q共线，且，取最小值，解直角三角形，求出，即可求解．
【详解】解：把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴，
把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴，
∴，
∴，则，
以点O为圆心，为半径画圆，点E为下方，圆上任意点，连接点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点A、P、B、E四点共圆，即点P在上运动，，
将逆时针旋转，交x轴于点T，使，
∵，，
∴，
∴，则，，
则点T为定点，
∴，
当取最小值时，最小，
过点T作的垂线，交于点P，交于点Q，
此时点T、P、Q共线，且，取最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了圆的综合，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造相似三角形，根据相似三角形的性质求解．
16. 如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm），且AC=BD，AFBE，sin∠BAF=0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点，，的位置，气簧活塞杆CD随之伸长．已知直线BE⊥，=2CD，那么AB的长为 ____cm，的长为 ____cm．

【答案】 ①. 20 ②. 40
【解析】
【分析】过A作AP⊥EB延长线交于点P，由BE旋转一定角度后得到可知，旋转角度为90°，过作⊥AP，交AP于点H，分别表示出、PB的长，即可得出AB的长，设CD=xcm，则AC=BD=cm，利用勾股定理可得，代入解方程即可．
【详解】解：过A作AP⊥EB延长线交于点P，

∵AFBE，
∴∠ABP=∠BAF，
∴sin∠ABP=0.8，cos∠ABP=0.6，
∴BP=0.6AB，
由BE旋转一定角度后得到可知，旋转角度为90°，
过作⊥AP，交AP于点H，
∵∠PAB+∠ABP=90°，∠+∠PAB=90°，
∴∠=∠ABP，=sin∠=ABsin∠=0.8AB，
∴28=+PB=0.8AB+0.6AB=1.4AB，
∴AB=20cm；
设CD=xcm，则AC=BD=cm，AD'=AD=x+(cm)，
=2CD=2x，
∵∠=90°，
∴，
∴，
解得x=20，或x=20（舍），
∴=2x=40cm，
故答案为：20，40．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，已知三角函数表示边长，旋转的性质，以及勾股定理等知识，利用旋转的性质得出旋转角是90°是解题的关键．
三、解答题
17. 计算：
【答案】1
【解析】
【分析】根据负整指数幂的性质，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂的性质，直接计算即可．
【详解】


．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，包含零指数幂，负整数指数幂，绝对值及特殊角的余弦值等，灵活运用是解题关键．
18. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行求解即可．
【详解】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项合并，得：，
配方，得：，
开方，得：，
移项，得：．
经检验，均是原分式方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，解题的关键是正确找出最简公分母，掌握解一元二次方程的方法和步骤．
19. 在疫情期间，为落实停课不停学，某校对本校学生某一学科在家学习的情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任教老师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习，参入调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图，解答下列问题．
（1）本次受调查的学生有________人；
（2）补全条形统计图；
（3）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生与任课教师在线辅导？

【答案】（1）60；（2）详见解析；（3）900
【解析】
【分析】（1）根据A得占比和人数已知可得结果；
（2）算出C的人数，然后补全条形统计图；
（3）用总人数乘以在线辅导的学生占比即可；
【详解】（1）由题可知受调查人数，
故答案为60．
（2）补全图形如图：C的人数=，

（3）学生数为
答：在线辅导的有900人．
【点睛】本题主要考查了数据分析的知识点应用，准确分析题中数据是解题的关键．
20. 如图，已知由边长为1的小等边三角形构成的网格中，每个小等边三角形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形，为格点三角形，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．（温馨提示：保留画图过程线）

（1）在图1中画出绕点A顺时针旋转后得到的；
（2）图2中在边上找一点D，连接，使得的面积与的面积之比是．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用格点三角形为等边三角形即可得到旋转角，再利用旋转的性质即可画出图像；
（2）利用高相等的三角形面积比为底边长之比，取得，再通过相似三角形的性质即可确定D点在上的位置，连接即可．
小问1详解】
解：如图1所示：
将绕点顺时针旋转：
图1中，旋转后；
∵格点三角形为等边三角形；
∴即为旋转角；
同理顺时针方向旋转即为图中；
连接
∴即为所求；
【小问2详解】
解：如图2：连接，交于点D，点D即为所求，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故点D即为所求．

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和旋转图形的作图方法和相似三角形的性质，需要灵活综合运用所学知识．
21. 如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C，

（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O半径为2 ，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2.
【解析】
【分析】（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；
（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．
【详解】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴OB=2，AC=4，
∵OP∥BC，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴，
即，
∴BC=2．

考点：切线的判定
22. 我市某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，A种户型每套成本和售价分别为90万元和102万元，B种户型每套成本和售价分别为60万元和70万元，设计划建A户型x套，所建户型全部售出后获得的总利润为W万元．
（1）求W与x之间的函数解析式；
（2）该公司所建房资金不少于5700万元，且所筹资金全部用于建房，若A户型不超过32套，则该公司有哪几种建房方案？
（3）在（2）的前提下，根据国家房地产政策，公司计划每套A户型住房的售价降低a万元（0＜a≤3），B户型住房的售价不变，且预计所建的两种住房全部售出，求该公司获得最大利润的方案．
【答案】（1）W＝2x+800
（2）该公司有3种建房方案：①建A种户型30套，B种户型50套；②建A种户型31套，B种户型49套；三建A种户型32套，B种户型48套
（3）当0＜a≤2时，按（2）中第三种方案；当a＝2时，按（2）中三种方案均可；当2＜a≤3时，按（2）中第一种方案
【解析】
【分析】（1）根据A种户型x套，则B种户型（80﹣x）套，根据一套的利润×总的套数＝总利润，列出一次函数可得出答案；
（2）根据该公司所建房资金不少于5700万元且A户型不超过32套，得出该公司建房方案；
（3）在（2）的前提下，根据函数的性质求最值即可．
【小问1详解】
∵A、B两种户型的住房共80套，A户型x套，则B户型有（80﹣x）套，
根据题意得，W＝（102﹣90）x+（70﹣60）（80﹣x）＝12x+10（80﹣x）＝2x+800，
∴W与x之间的函数解析式为W＝2x+800；
【小问2详解】
由题意得：90x+60（80﹣x）≥5700，
解得：x≥30，
∵x≤32，
∴30≤x≤32（x为正整数），
∴x取30，31，32，
∴该公司有3种建房方案：
第一种：建A种户型30套，B种户型50套；
第二种：建A种户型31套，B种户型49套；
第三种：建A种户型32套，B种户型48套；
【小问3详解】
由题意得：W＝（12﹣a）x+10（80﹣x）＝（2﹣a）x+800，
当0＜a≤2时，W随x的增大而增大，
∴x＝32时，W最大，
此时按（2）中第三种方案；
当a＝2时，W＝800，
此时按（2）中三种方案均可；
当2＜a≤3时，W随x的增大而减小，
∴当x＝30时，W最大，
此时按（2）中第一种方案．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用和一次函数的应用，读懂题意，找出它们之间的数量关系，列出不等式或一次函数，掌握函数的增减性是解题的关键．
23. 等腰直角中，，点D为延长线上一点，连接，以为斜边构造直角（点E与点C在直线的异侧）．

（1）如图1，若，，，求的长；
（2）如图2，若，连接，则_______；
（3）如图3，若，tan∠，连接，取的中点P，连接，求线段的最小值，并求此时的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由锐角三角函数可求，的长，由勾股定理可求的长；
（2）取的中点，连接，通过证明，可得，即可求解；
（3）过点作于，根据，设，，且，运用勾股定理求出，再由，得出，，，延长至，使，连接，以为直径作，连接，，与交于点，根据三角形中位线定理可得，当线段最短时，最短，即与重合，运用勾股定理可求出，过点作于点，即可求得答案．
【小问1详解】
解：，，，
，，
，
，
或（舍去），
；
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图2，取的中点，连接，

，，，
，，，
，
是的中点，
，
，即，
，
，
，
；
故答案为：；
【小问3详解】
解：如图3，过点作于，
，，
，
，
，
，
设，，且，
，
，
解得：，
，，
，，
，
，即，
，，
，，
，，
延长至，使，连接，以为直径作，连接，，
与交于点，

点是线段的中点，点是的中点，
，
当线段最短时，最短，
点在上，
最短时，点为与的交点，即与重合，
，，
∴，，，
，
∴，
，
的最小值为，
过点作于点，则，
，即，
，
；
当线段最短时，．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形性质、点到直线的距离、勾股定理、线段垂直平分线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握解直角三角形和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．点M为射线AC上一动点，过M作ME垂直射线AB于点E，点D为直线BC上一动点，连接DE、DM，以DE、DM为边作MDEF，设AM=5t，

（1）如图2，当M在线段AC上运动时，MDEF的顶点F恰好也落在线段AC上，则ME的长为 ，CD的长为 （都用含t的代数式表示）；
（2）如图3，当时，若MDEF顶点F恰好落在线段AB上，求出BF的长；
（3）点M在整个运动过程中，若点D存在唯一的位置，使得MDEF为矩形，请求出所有满足条件的t的值．
【答案】（1）3t ，；
（2）；
（3）满足条件的t的值为或或或时，MDEF为矩形．
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出AB，根据sinA=即，cosA=即求得ME和AE，进而求得BE和BD，即可求解CD长；
（2）如图3中，当时，先计算AM，进而求得ME和AE，CM，BE的长，最后利用三角函数计算出EF=DM=，即可求解；
（3）分四种情形∶①当时， CM=4-5t，ME=3t，取EM的中点P，过点P作PG⊥AC于G，根据PM=CG=PD即可解决问题．②当t=时，即点M与C重合，此时t=．③当时，点E与B重合；④当 时，E与B不重合，分别求解即可．
【小问1详解】
解：如图2，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=4，BC=3，
∴，
∵ME⊥AB，∠ACB=90，AM=5t，
∴sinA=即，cosA=即，
∴ME=3t，AE=4t，
∴BE=5-4t，
∵四边形MDEF是平行四边形，
∴，
∴∠BDE=∠ACB=90，∠BED=∠A，
∴sin∠BED=sinA=即，
∴，
∴CD=BC-BD=3-=，
故答案为：3t ，；
【小问2详解】
解：如图3，

当时，AM=5t=5×=3，由（1）得，sinA=，cosA=，
∴ME=，AE=，CM=AC-AM=4-3=1，
∴BE=AB-AE=5-=，
∵四边形MDEF是平行四边形，
∴，DM=EF，
∴cos∠CMD=cosA=，
∴EF=DM=，
∴BF=BE+EF=；
小问3详解】
解：①当时，如下图，

，取EM的中点P，连接PD，过点P作PG⊥AC于G，则PM= ，PG=，，
∴，
由题意得PM=CG=PD，
∴，
∴；
②当t=时，如下图，即点M与C重合，此时t=；

③当时，点E与B重合，如下图，

∵∠BCM=∠ACB=∠ABM=90° ，
∴∠A+∠ABC=90°，∠CBM+∠ABC=90 ，
∴∠A=∠CBM，
∴
∴，
∴，
∴；
④当， E与B不重合，如下图，

∵ME=3t，取EM的中点P，作PG⊥MC于G，则PM=，，
∴，
由题意得，
，
，
综上所述，满足条件的t的值为或或或时，MDEF为矩形．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．