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2022-2023学年河北省承德市兴隆县七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年河北省承德市兴隆县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省承德市兴隆县七年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 我国质检总局规定，针织内衣等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下．将0.000075用科学记数法表示为( )
A. 7.5×105 B. 7.5×10−5 C. 0.75×10−4 D. 75×10−6
2. 下列不等式说法中，不正确的是( )
A. 若x>y，y>2，则x>2 B. 若x>y，则x−2
3. 若a不为0，则( a⋅a⋯an个)2=( )
A. an+2 B. 2an C. an2 D. a2n
4. 下列式子从左到右变形是因式分解的是( )
A. 12xy2=3xy⋅4y B. (x+1)(x−3)=x2−2x−3
C. x2−4x+1=x(x−4)+1 D. x3−x=x(x+1)(x−1)
5. 若一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，则此三角形的第三边长可能为( )
A. 1cm B. 2cm C. 5cm D. 8cm
6. 如图，下列能判定AB//EF的条件有( )
①∠B+∠BFE=180°
②∠1=∠2
③∠3=∠4
④∠B=∠5．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
7. 下列说法中，错误的是( )
A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B. 两点确定一条直线
C. 同角的补角相等
D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
8. 若(x−2)(x+3)=x2+ax+b，则a，b的值分别为( )
A. a=5，b=−6 B. a=5，b=6 C. a=1，b=6 D. a=1，b=−6
9. 如图，直线l1//l2，∠1=50°，∠2=75°，则∠3=( )
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
10. 若不等式组9−4x≤15x−2>3.的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
11. 若a是整数，则a2+a一定能被下列哪个数整除( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
12. 如图，已知△ABC的周长为20cm，现将△ABC沿AB方向平移2cm至△A′B′C′的位置，连接CC′.则四边形AB′C′C的周长是( )
A. 18cm B. 20cm C. 22cm D. 24cm
13. 如果23⋅25=m2，那么m=( )
A. 16 B. −16 C. ±16 D. ±32
14. 已知x2m−1+3y4−2n=−7是关于x，y的二元一次方程，则m、n的值是( )
A. m=2n=1 B. m=1n=−32 C. m=1n=52 D. m=1n=32
15. 关于x，y的方程组2x+y=mx+2y=5m的解满足x+y<6，则m的最大整数值是( )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
16. 我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式，例如图1可以用来解(a+b)2−(a−b)2=4ab，那么通过图2中阴影部分面积的计算验证的恒等式是( )
A. (a−b)2=a2−2ab+b2
B. a2−b2=(a+b)(a−b)
C. (a+b)2=a2+2ab+b2
D. (a−b)(a+2b)=a2+ab−2b2
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
17. 计算：50+(−3)−1= ______ ．
18. 分解因式：2ab3−2ab=______．
19. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中，提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示(a+b)”(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：(a+b)0=1他只有一项，系数为1；
(a+b)1=a+b他有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
(a+b)2=a2+2ab+b2他有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4：
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b2，他有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……
根据以上规律解答下列问题：
(a+b)4展开式共有______ 项，系数分别为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题8.0分)
解不等式组：4(x+1)≤7x+7x−5
已知a−b=−1，ab=2022，求代数式a3b−2a2b2+ab3的值．
22. (本小题8.0分)
如图，直线m//n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C=90°，∠1=25°，∠2=70°，求∠B的度数．
23. (本小题10.0分)
观察下列等式：
1−56=12×16 ①
2−107=22×17 ②
3−158=32×18 ③
…
(1)请写出第四个等式：______ ；
(2)观察上述等式的规律，猜想第n个等式(用含n的式子表示)，并证明其正确性．
24. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中AD、AE、AF分别为△ABC的高、角平分线和中线，已知△AFC的面积为10，AD=4，∠DAE=20°，∠C=30°．
(1)求BC的长度；
(2)求∠B的度数．
25. (本小题10.0分)
某地的柑橘喜获丰收，政府积极帮助果农进行销售，准备调用某车队进行运输，已知该车队派出载重量为8吨和10吨的货车共12辆，全部车辆一次装满能运输110吨柑橘．
(1)求该车队派出载重量为8吨和10吨的货车各多少辆；
(2)随着柑橘采摘量的不断增大，需要车队一次运输柑橘165吨以上，为了完成任务，准备增派这两种货车共6辆，有多少种增派方案？请你一一写出．
26. (本小题12.0分)
嘉嘉同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
问题发现
(1)他用1张Ⅰ型、1张Ⅱ型和2张Ⅲ型卡片拼出一个新的图形(如图②).根据图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是______；
(2)如果要拼成一个长为a+2b，宽为a+b的大长方形，那么需要Ⅱ型卡片______张，Ⅲ型卡片______张．
拓展探究
(3)若a+b=5，ab=6，求a2+b2的值；
(4)当他拼成如图③所示的长方形时，根据图形的面积，可把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是______．
解决问题
(5)请你依照嘉嘉的方法，画出图形并利用拼图分解因式：a2+5ab+6b2=______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：将0.000075用科学记数法表示为：7.5×10−5．
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2.【答案】B
【解析】解：A、∵x>y，y>2，
∴x>2，原说法正确，故本选项不符合题意；
B、∵x>y，
∴x−2>y−2，原说法错误，故本选项符合题意；
C、∵x>y，
∴2x>2y，原说法正确，故本选项不符合题意；
D、∵x>y，
∴−2x−2<−2y−2，原说法正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：若a不为0，则( a⋅a⋯an个)2=(an)2=a2n．
故选：D．
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘．据此解答即可．
本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
5.【答案】C
【解析】解：设第三边长为c，根据三角形的三边关系可得：
5−3
故选：C．
根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，进而得出答案．
本题考查了三角形的三边关系，熟记性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：①∵∠B+∠BFE=180°，∴AB//EF，故本小题正确；
②∵∠1=∠2，∴DE//BC，故本小题错误；
③∵∠3=∠4，∴AB//EF，故本小题正确；
④∵∠B=∠5，∴AB//EF，故本小题正确．
故选：C．
根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，因此选项A不符合题意；
B.两点确定一条直线，因此选项B不符合题意；
C.同角的补角相等，因此选项C不符合题意；
D.两条直线被第三条直线所截，两直线平行，同位角相等，因此选项D符合题意；
故选：D．
根据垂线的性质，直线的性质，互为补角的定义以及平行线的性质进行判断即可．
本题考查垂线的性质，直线的性质，互为补角的定义以及平行线的性质，掌握垂线的性质，直线的性质，互为补角的定义以及平行线的性质是正确判断的前提．
8.【答案】D
【解析】解：已知等式整理得：x2+x−6=x2+ax+b，
则a=1，b=−6，
故选：D．
已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．
此题考查了多项式乘多项式，以及多项式相等的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
根据平行线的性质得到∠4=∠2=75°，再根据三角形的内角和是180°即可得解．
【解答】
解：如图，
∵l1//l2，∠2=75°，
∴∠4=∠2=75°，
∵∠1=50°，
∴∠3=180°−∠1−∠4=55°，
故选：A．
10.【答案】A
【解析】解：解不等式组9−4x≤15x−2>3.
解9−4x≤1，得x≥2，
解5x−2>3，得x>1，
所以不等式组的解集为≥2．
故选：A．
先解出不等式组的解集，再在数轴上表示出来对比判定．
本题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是正确的解出不等式组的解集．
11.【答案】A
【解析】解：∵a2+a=a(a+1)，a是整数，
∴a(a+1)一定是两个连续的整数相乘，
∴a(a+1)一定能被2整除，
选项B、C、D不符合要求，所以答案选A，
故选：A．
根据题目中的式子，进行因式分解，根据a是整数，从而可以解答本题．
本题考查因式分解的应用，解题的关键是理解题目意图．
12.【答案】D
【解析】解：根据题意，得A的对应点为A′，B的对应点为B′，C的对应点为C′，
所以BC=B′C′，BB′=CC′，
则四边形AB′C′C的周长=CA+AB+BB′+B′C′+C′C=△ABC的周长+2BB′=20+4=24cm．
故选：D．
根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段相等，对应线段相等，找出对应线段和对应点所连的线段，结合四边形的周长公式求解即可．
本题考查了平移的性质，主要运用的知识点是：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．
13.【答案】C
【解析】解：∵23⋅25=m2，
∴23+5=m2，
∴28=m2，
∴m2=256，
则m=±16．
故选：C．
利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14.【答案】D
【解析】
【分析】
主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
根据二元一次方程的定义(含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程)解答．
【解答】
解：根据题意，得2m−1=1，解得m=1；
4−2n=1，解得n=32，
即m=1n=32；
故选：D．
15.【答案】D
【解析】解：2x+y=m①x+2y=5m②，
①+②，得：3x+3y=6m，
则x+y=2m，
∵x+y<6，
∴2m<6，
解得：m<3，
则m的最大整数值是为2．
故选：D．
方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，确定出m的最小整数值即可．
此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】A
【解析】解：阴影部分的面积：(a−b)2，
还可以表示为：a2−2ab+b2，
∴此等式是(a−b)2=a2−2ab+b2．
故选：A．
根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积再加上右上角小正方形的面积列式整理即可得解．
本题考查了完全平方公式的几何背景，利用两种方法表示出阴影部分的面积是解题的关键．
17.【答案】23
【解析】解：原式=1−13=23，
故答案为：23．
根据零指数幂，负整数指数幂的运算性质进行计算即可．
本题考查零指数幂，负整数指数幂，掌握零指数幂，负整数指数幂的运算性质是正确解答的前提．
18.【答案】2ab(b+1)(b−1)
【解析】解：原式=2ab(b2−1)
=2ab(b+1)(b−1)，
故答案为：2ab(b+1)(b−1)．
先提公因式2ab，再利用平方差公式分解可得．
本题主要考查因式分解，解题的关键是掌握提公因式法与公式法的综合运用．
19.【答案】5 1，4，6，4，1
【解析】解：(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1，
故答案为：5；1，4，6，4，1．
经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多1.根据上面观察的规律很容易解答问题．
本题考查完全平方式．本题主要是根据已知与图形，让学生探究，观察规律，锻炼学生的思维，属于一种开放性题目．
20.【答案】解：4(x+1)≤7x+7①x−5
解不等式②得：x<4，
∴不等式组的解集是−1≤x<4，
在数轴上表示为：
．
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
21.【答案】解：a3b−2a2b2+ab3
=ab(a2−2ab+b2)
=ab(a−b)2，
∵a−b=−1，ab=2022，
∴原式=2022×(−1)2
=2022×1
=2022．
【解析】将代数式因式分解后，利用整体代入的方法解答即可．
本题主要考查了求代数式的值，因式分解的应用，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
22.【答案】解：∵m//n，
∴∠BAD=∠2=70°，
∴∠BAC=∠BAD−∠1=70°−25°=45°，
∵∠C=90°，
∴∠B=90°−∠BAC=90°−45°=45°．
【解析】根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD=∠2，再求出∠BAC，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
23.【答案】4−209=42×19
【解析】解：(1)第四个等式为：
4−209=42×19．
(2)根据上述等式的规律，猜想第n个等式为：
n−5nn+5=n2⋅1n+5，
∵左边=n−5nn+5=n(n+5)−5nn+5=n2n+5=n2⋅1n+5=右边，
∴等式成立．
故答案为：4−209=42×19．
(1)把前三个等式都看作减法算式的话，每个算式的被减数分别是1、2、3，减数的分母分别是6=1+5、7=2+5、8=3+5，减数的分子分别是5=5×1，10=5×2，15=5×3，差分别是被减数的平方和以减数的分母作分母，以1作分子的分数的差；据此判断出第四个等式的被减数是4，减数的分母是9，分子是5的4倍，差等于42与19的乘积；
(2)根据上述等式的规律，猜想第n个等式为：n−5nn+5=n2⋅1n+5，然后把等式的左边化简，根据左边=右边，证明等式的准确性即可．
此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：第n个等式为：n−5nn+5=n2⋅1n+5．
24.【答案】解：(1)∵AF是△ABC的中线，
∴BC=2BF=2CF，BF=CF，
∴△ABF和△ACF的面积相等，
∵△AFC的面积为10，
∴∠ABF的面积为10，
∵AD=4，
∴12×BF×4=10，
∴BF=5，
∴BC=2BF=10；
(2)∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠DAE=20°，
∴∠AED=180°−90°−20°=70°，
∵∠C=30°，
∴∠CAE=∠AED−∠C=40°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAC=2∠CAE=80°，
∴∠B=180°−∠BAC−∠C=180°−80°−30°=70°．
【解析】(1)求出△ABF和△ACF的面积相等，根据三角形的面积求出BF，再求出BC即可；
(2)求出∠AED的度数，根据三角形的外角性质求出∠CAE，根据角平分线的定义求出∠BAC，根据三角形内角和定理求出∠B即可．
本题考查了三角形的角平分线、中线、高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的面积等知识点，能求出BF的长和∠CAE的度数是解此题的关键．
25.【答案】解：(1)设该车队派出载重量为8吨的货车x辆，载重量为10吨的货车y辆，
根据题意得：x+y=128x+10y=110，
解得：x=5y=7．
答：该车队派出载重量为8吨的货车5辆，载重量为10吨的货车7辆；
(2)设增派m辆载重量为8吨的货车，则增派(6−m)辆载重量为10吨的货车，
根据题意得：110+8m+10(6−m)>165，
解得：m<52，
又∵m为正整数，
∴m可以为1，2，
∴共有2种增派方案，
方案1：增派1辆载重量为8吨的货车，5辆载重量为10吨的货车；
方案2：增派2辆载重量为8吨的货车，4辆载重量为10吨的货车．
【解析】(1)设该车队派出载重量为8吨的货车x辆，载重量为10吨的货车y辆，根据“该车队派出载重量为8吨和10吨的货车共12辆，全部车辆一次装满能运输110吨柑橘”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设增派m辆载重量为8吨的货车，则增派(6−m)辆载重量为10吨的货车，根据增派后该车队一次可运输柑橘165吨以上，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各增派方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】(a+b)2=a2+2ab+b2 2 3 (a+2b)(a+b) (a+2b)(a+3b)
【解析】(1)由题意得(a+b)2=a2+2ab+b2；
(2)由面积计算(a+2b)(a+b)
=a2+3ab+2b2
可得共需Ⅱ型卡片2张，Ⅲ型卡片3张；
(3)∵(a+b)2
=a2+2ab+b2
可得，a2+b2
=(a+b)2−2ab
=52−2×6=25−12
=13；
(4)由图形可得a2+3ab+2b
=(a+b)(a+2b)；
(5)由拼图(如图)
可得a2+5ab+6b2
=(a+2b)(a+3b)．
(1)通过观察图形和面积计算可得：(a+b)2=a2+2ab+b2；
(2)由面积计算(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2可得共需Ⅰ型卡片1张，Ⅱ型卡片2张，Ⅲ型卡片3张；
(3)由(a+b)2=a2+2ab+b2可得，a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×6=25−12=13；
(4)由图形可得a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b)
(5)由拼图(如图)可得a2+5ab+6b2=(a+2b)(a+3b)．
此题考查了利用图形面积实现整式变形能力的数形结合思想，主要实现图形面积与整式变形的结合
2022-2023学年河北省承德市兴隆县七年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 我国质检总局规定，针织内衣等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下．将0.000075用科学记数法表示为( )
A. 7.5×105 B. 7.5×10−5 C. 0.75×10−4 D. 75×10−6
2. 下列不等式说法中，不正确的是( )
A. 若x>y，y>2，则x>2 B. 若x>y，则x−2
3. 若a不为0，则( a⋅a⋯an个)2=( )
A. an+2 B. 2an C. an2 D. a2n
4. 下列式子从左到右变形是因式分解的是( )
A. 12xy2=3xy⋅4y B. (x+1)(x−3)=x2−2x−3
C. x2−4x+1=x(x−4)+1 D. x3−x=x(x+1)(x−1)
5. 若一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，则此三角形的第三边长可能为( )
A. 1cm B. 2cm C. 5cm D. 8cm
6. 如图，下列能判定AB//EF的条件有( )
①∠B+∠BFE=180°
②∠1=∠2
③∠3=∠4
④∠B=∠5．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
7. 下列说法中，错误的是( )
A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B. 两点确定一条直线
C. 同角的补角相等
D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
8. 若(x−2)(x+3)=x2+ax+b，则a，b的值分别为( )
A. a=5，b=−6 B. a=5，b=6 C. a=1，b=6 D. a=1，b=−6
9. 如图，直线l1//l2，∠1=50°，∠2=75°，则∠3=( )
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
10. 若不等式组9−4x≤15x−2>3.的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
11. 若a是整数，则a2+a一定能被下列哪个数整除( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
12. 如图，已知△ABC的周长为20cm，现将△ABC沿AB方向平移2cm至△A′B′C′的位置，连接CC′.则四边形AB′C′C的周长是( )
A. 18cm B. 20cm C. 22cm D. 24cm
13. 如果23⋅25=m2，那么m=( )
A. 16 B. −16 C. ±16 D. ±32
14. 已知x2m−1+3y4−2n=−7是关于x，y的二元一次方程，则m、n的值是( )
A. m=2n=1 B. m=1n=−32 C. m=1n=52 D. m=1n=32
15. 关于x，y的方程组2x+y=mx+2y=5m的解满足x+y<6，则m的最大整数值是( )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
16. 我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式，例如图1可以用来解(a+b)2−(a−b)2=4ab，那么通过图2中阴影部分面积的计算验证的恒等式是( )
A. (a−b)2=a2−2ab+b2
B. a2−b2=(a+b)(a−b)
C. (a+b)2=a2+2ab+b2
D. (a−b)(a+2b)=a2+ab−2b2
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
17. 计算：50+(−3)−1= ______ ．
18. 分解因式：2ab3−2ab=______．
19. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中，提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示(a+b)”(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：(a+b)0=1他只有一项，系数为1；
(a+b)1=a+b他有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
(a+b)2=a2+2ab+b2他有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4：
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b2，他有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……
根据以上规律解答下列问题：
(a+b)4展开式共有______ 项，系数分别为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题8.0分)
解不等式组：4(x+1)≤7x+7x−5
已知a−b=−1，ab=2022，求代数式a3b−2a2b2+ab3的值．
22. (本小题8.0分)
如图，直线m//n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C=90°，∠1=25°，∠2=70°，求∠B的度数．
23. (本小题10.0分)
观察下列等式：
1−56=12×16 ①
2−107=22×17 ②
3−158=32×18 ③
…
(1)请写出第四个等式：______ ；
(2)观察上述等式的规律，猜想第n个等式(用含n的式子表示)，并证明其正确性．
24. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中AD、AE、AF分别为△ABC的高、角平分线和中线，已知△AFC的面积为10，AD=4，∠DAE=20°，∠C=30°．
(1)求BC的长度；
(2)求∠B的度数．
25. (本小题10.0分)
某地的柑橘喜获丰收，政府积极帮助果农进行销售，准备调用某车队进行运输，已知该车队派出载重量为8吨和10吨的货车共12辆，全部车辆一次装满能运输110吨柑橘．
(1)求该车队派出载重量为8吨和10吨的货车各多少辆；
(2)随着柑橘采摘量的不断增大，需要车队一次运输柑橘165吨以上，为了完成任务，准备增派这两种货车共6辆，有多少种增派方案？请你一一写出．
26. (本小题12.0分)
嘉嘉同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
问题发现
(1)他用1张Ⅰ型、1张Ⅱ型和2张Ⅲ型卡片拼出一个新的图形(如图②).根据图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是______；
(2)如果要拼成一个长为a+2b，宽为a+b的大长方形，那么需要Ⅱ型卡片______张，Ⅲ型卡片______张．
拓展探究
(3)若a+b=5，ab=6，求a2+b2的值；
(4)当他拼成如图③所示的长方形时，根据图形的面积，可把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是______．
解决问题
(5)请你依照嘉嘉的方法，画出图形并利用拼图分解因式：a2+5ab+6b2=______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：将0.000075用科学记数法表示为：7.5×10−5．
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2.【答案】B
【解析】解：A、∵x>y，y>2，
∴x>2，原说法正确，故本选项不符合题意；
B、∵x>y，
∴x−2>y−2，原说法错误，故本选项符合题意；
C、∵x>y，
∴2x>2y，原说法正确，故本选项不符合题意；
D、∵x>y，
∴−2x−2<−2y−2，原说法正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：若a不为0，则( a⋅a⋯an个)2=(an)2=a2n．
故选：D．
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘．据此解答即可．
本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
5.【答案】C
【解析】解：设第三边长为c，根据三角形的三边关系可得：
5−3
故选：C．
根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，进而得出答案．
本题考查了三角形的三边关系，熟记性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：①∵∠B+∠BFE=180°，∴AB//EF，故本小题正确；
②∵∠1=∠2，∴DE//BC，故本小题错误；
③∵∠3=∠4，∴AB//EF，故本小题正确；
④∵∠B=∠5，∴AB//EF，故本小题正确．
故选：C．
根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，因此选项A不符合题意；
B.两点确定一条直线，因此选项B不符合题意；
C.同角的补角相等，因此选项C不符合题意；
D.两条直线被第三条直线所截，两直线平行，同位角相等，因此选项D符合题意；
故选：D．
根据垂线的性质，直线的性质，互为补角的定义以及平行线的性质进行判断即可．
本题考查垂线的性质，直线的性质，互为补角的定义以及平行线的性质，掌握垂线的性质，直线的性质，互为补角的定义以及平行线的性质是正确判断的前提．
8.【答案】D
【解析】解：已知等式整理得：x2+x−6=x2+ax+b，
则a=1，b=−6，
故选：D．
已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．
此题考查了多项式乘多项式，以及多项式相等的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
根据平行线的性质得到∠4=∠2=75°，再根据三角形的内角和是180°即可得解．
【解答】
解：如图，
∵l1//l2，∠2=75°，
∴∠4=∠2=75°，
∵∠1=50°，
∴∠3=180°−∠1−∠4=55°，
故选：A．
10.【答案】A
【解析】解：解不等式组9−4x≤15x−2>3.
解9−4x≤1，得x≥2，
解5x−2>3，得x>1，
所以不等式组的解集为≥2．
故选：A．
先解出不等式组的解集，再在数轴上表示出来对比判定．
本题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是正确的解出不等式组的解集．
11.【答案】A
【解析】解：∵a2+a=a(a+1)，a是整数，
∴a(a+1)一定是两个连续的整数相乘，
∴a(a+1)一定能被2整除，
选项B、C、D不符合要求，所以答案选A，
故选：A．
根据题目中的式子，进行因式分解，根据a是整数，从而可以解答本题．
本题考查因式分解的应用，解题的关键是理解题目意图．
12.【答案】D
【解析】解：根据题意，得A的对应点为A′，B的对应点为B′，C的对应点为C′，
所以BC=B′C′，BB′=CC′，
则四边形AB′C′C的周长=CA+AB+BB′+B′C′+C′C=△ABC的周长+2BB′=20+4=24cm．
故选：D．
根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段相等，对应线段相等，找出对应线段和对应点所连的线段，结合四边形的周长公式求解即可．
本题考查了平移的性质，主要运用的知识点是：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．
13.【答案】C
【解析】解：∵23⋅25=m2，
∴23+5=m2，
∴28=m2，
∴m2=256，
则m=±16．
故选：C．
利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14.【答案】D
【解析】
【分析】
主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
根据二元一次方程的定义(含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程)解答．
【解答】
解：根据题意，得2m−1=1，解得m=1；
4−2n=1，解得n=32，
即m=1n=32；
故选：D．
15.【答案】D
【解析】解：2x+y=m①x+2y=5m②，
①+②，得：3x+3y=6m，
则x+y=2m，
∵x+y<6，
∴2m<6，
解得：m<3，
则m的最大整数值是为2．
故选：D．
方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，确定出m的最小整数值即可．
此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】A
【解析】解：阴影部分的面积：(a−b)2，
还可以表示为：a2−2ab+b2，
∴此等式是(a−b)2=a2−2ab+b2．
故选：A．
根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积再加上右上角小正方形的面积列式整理即可得解．
本题考查了完全平方公式的几何背景，利用两种方法表示出阴影部分的面积是解题的关键．
17.【答案】23
【解析】解：原式=1−13=23，
故答案为：23．
根据零指数幂，负整数指数幂的运算性质进行计算即可．
本题考查零指数幂，负整数指数幂，掌握零指数幂，负整数指数幂的运算性质是正确解答的前提．
18.【答案】2ab(b+1)(b−1)
【解析】解：原式=2ab(b2−1)
=2ab(b+1)(b−1)，
故答案为：2ab(b+1)(b−1)．
先提公因式2ab，再利用平方差公式分解可得．
本题主要考查因式分解，解题的关键是掌握提公因式法与公式法的综合运用．
19.【答案】5 1，4，6，4，1
【解析】解：(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1，
故答案为：5；1，4，6，4，1．
经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多1.根据上面观察的规律很容易解答问题．
本题考查完全平方式．本题主要是根据已知与图形，让学生探究，观察规律，锻炼学生的思维，属于一种开放性题目．
20.【答案】解：4(x+1)≤7x+7①x−5
解不等式②得：x<4，
∴不等式组的解集是−1≤x<4，
在数轴上表示为：
．
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
21.【答案】解：a3b−2a2b2+ab3
=ab(a2−2ab+b2)
=ab(a−b)2，
∵a−b=−1，ab=2022，
∴原式=2022×(−1)2
=2022×1
=2022．
【解析】将代数式因式分解后，利用整体代入的方法解答即可．
本题主要考查了求代数式的值，因式分解的应用，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
22.【答案】解：∵m//n，
∴∠BAD=∠2=70°，
∴∠BAC=∠BAD−∠1=70°−25°=45°，
∵∠C=90°，
∴∠B=90°−∠BAC=90°−45°=45°．
【解析】根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD=∠2，再求出∠BAC，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
23.【答案】4−209=42×19
【解析】解：(1)第四个等式为：
4−209=42×19．
(2)根据上述等式的规律，猜想第n个等式为：
n−5nn+5=n2⋅1n+5，
∵左边=n−5nn+5=n(n+5)−5nn+5=n2n+5=n2⋅1n+5=右边，
∴等式成立．
故答案为：4−209=42×19．
(1)把前三个等式都看作减法算式的话，每个算式的被减数分别是1、2、3，减数的分母分别是6=1+5、7=2+5、8=3+5，减数的分子分别是5=5×1，10=5×2，15=5×3，差分别是被减数的平方和以减数的分母作分母，以1作分子的分数的差；据此判断出第四个等式的被减数是4，减数的分母是9，分子是5的4倍，差等于42与19的乘积；
(2)根据上述等式的规律，猜想第n个等式为：n−5nn+5=n2⋅1n+5，然后把等式的左边化简，根据左边=右边，证明等式的准确性即可．
此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：第n个等式为：n−5nn+5=n2⋅1n+5．
24.【答案】解：(1)∵AF是△ABC的中线，
∴BC=2BF=2CF，BF=CF，
∴△ABF和△ACF的面积相等，
∵△AFC的面积为10，
∴∠ABF的面积为10，
∵AD=4，
∴12×BF×4=10，
∴BF=5，
∴BC=2BF=10；
(2)∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠DAE=20°，
∴∠AED=180°−90°−20°=70°，
∵∠C=30°，
∴∠CAE=∠AED−∠C=40°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAC=2∠CAE=80°，
∴∠B=180°−∠BAC−∠C=180°−80°−30°=70°．
【解析】(1)求出△ABF和△ACF的面积相等，根据三角形的面积求出BF，再求出BC即可；
(2)求出∠AED的度数，根据三角形的外角性质求出∠CAE，根据角平分线的定义求出∠BAC，根据三角形内角和定理求出∠B即可．
本题考查了三角形的角平分线、中线、高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的面积等知识点，能求出BF的长和∠CAE的度数是解此题的关键．
25.【答案】解：(1)设该车队派出载重量为8吨的货车x辆，载重量为10吨的货车y辆，
根据题意得：x+y=128x+10y=110，
解得：x=5y=7．
答：该车队派出载重量为8吨的货车5辆，载重量为10吨的货车7辆；
(2)设增派m辆载重量为8吨的货车，则增派(6−m)辆载重量为10吨的货车，
根据题意得：110+8m+10(6−m)>165，
解得：m<52，
又∵m为正整数，
∴m可以为1，2，
∴共有2种增派方案，
方案1：增派1辆载重量为8吨的货车，5辆载重量为10吨的货车；
方案2：增派2辆载重量为8吨的货车，4辆载重量为10吨的货车．
【解析】(1)设该车队派出载重量为8吨的货车x辆，载重量为10吨的货车y辆，根据“该车队派出载重量为8吨和10吨的货车共12辆，全部车辆一次装满能运输110吨柑橘”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设增派m辆载重量为8吨的货车，则增派(6−m)辆载重量为10吨的货车，根据增派后该车队一次可运输柑橘165吨以上，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各增派方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】(a+b)2=a2+2ab+b2 2 3 (a+2b)(a+b) (a+2b)(a+3b)
【解析】(1)由题意得(a+b)2=a2+2ab+b2；
(2)由面积计算(a+2b)(a+b)
=a2+3ab+2b2
可得共需Ⅱ型卡片2张，Ⅲ型卡片3张；
(3)∵(a+b)2
=a2+2ab+b2
可得，a2+b2
=(a+b)2−2ab
=52−2×6=25−12
=13；
(4)由图形可得a2+3ab+2b
=(a+b)(a+2b)；
(5)由拼图(如图)
可得a2+5ab+6b2
=(a+2b)(a+3b)．
(1)通过观察图形和面积计算可得：(a+b)2=a2+2ab+b2；
(2)由面积计算(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2可得共需Ⅰ型卡片1张，Ⅱ型卡片2张，Ⅲ型卡片3张；
(3)由(a+b)2=a2+2ab+b2可得，a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×6=25−12=13；
(4)由图形可得a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b)
(5)由拼图(如图)可得a2+5ab+6b2=(a+2b)(a+3b)．
此题考查了利用图形面积实现整式变形能力的数形结合思想，主要实现图形面积与整式变形的结合
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