2022-2023学年山东省潍坊市潍城区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省潍坊市潍城区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省潍坊市潍城区七年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知ab≠0，下列计算正确的是(    )
A. a6÷a4=a B. a⋅a2=a2 C. (ab)2=ab2 D. a0=1
2. 如图，点A、B、C分别表示学校、小明家、超市，已知学校在小明家的北偏东42°方向上，且∠ABC=90°，则超市在小明家的(    )
A. 北偏西48°的方向上
B. 北偏西42°的方向上
C. 南偏西48°的方向上
D. 南偏东42°的方向上
3. 下列因式分解正确的是(    )
A. 2a2+4a=a(2a+4) B. a2−b2=(a+b)(a−b)
C. −a2+2ab−b2=(a−b)2 D. ax2−a=a(x2−1)
4. 利用加减消元法解方程组2x−3y=13①3x+4y=−6②，下列做法正确的是(    )
A. 要消去x，可以将①×3+②×2
B. 要消去x，可以将①×(−3)−②×2
C. 要消去y，可以将①×(−3)+②×4
D. 要消去y，可以将①×4+②×3
5. 下列正多边形中，能够铺满地面的是(    )
A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十二边形
6. 若xm=5，xn=−2，则xm+2n的计算结果为(    )
A. −12 B. −20 C. 20 D. 12
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
7. 下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是(    )
A. 3cm，4cm，5cm B. 8cm，7cm，15cm
C. 5cm，5cm，2cm D. 13cm，12cm，20cm
8. 下列说法正确的是(    )
A. 长度相等的弧是等弧
B. 面积相等的两个圆是等圆
C. 直径是圆中最长的弦，有4条
D. 已知⊙O的半径为8，则平面内到点O的距离为8的点在⊙O上
9. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与直线l平行，AM//CB，CF⊥l，∠BCD=60°，∠BAC=46°，∠CBD=50°，CF=24寸，下列说法正确的是(    )


A. ∠MAC=72° B. ∠EBD=130° C. CD的长为24寸 D. 车轮周长为48π寸
10. 中国结中的“八字结”对应着数学典线中的双扭线，在平面直角坐标系中的形状如图所，点A、B、C、D、E、F均为格点，且A，B为双扭线与x轴的交点，点P为双扭线上的一个点，则下列结论中正确的有(    )


A. 双扭线围成的面积大于6
B. 双扭线上任意一点到原点的距离不超过3
C. 若△PAB的面积为3，则满足条件的点P的个数有4个
D. 双扭线内部(包含边界)包含12个整数点(横坐标、纵坐标都是整数的点)
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是______．


12. 某种生物细胞的直径约为0.0000086m，将0.0000086用科学记数法表示为______ ．
13. 如图，AE是△ABC的中线，点F为AE的中点，连接BF，若△BEF的面积为4，则△ABC的面积为______ ．


14. 若关于x，y的方程组x−y=3,2x+4y=3k的解满足x+y=2024，则k的值为______ ．
15. 在直角坐标系中，点A的坐标为(1,2)，直线AB//y轴，若AB=3，则点B的坐标______ ．
16. 如图，若大正方形与小正方形的面积之差为23，则图中阴影部分的面积是______ ．

四、解答题（本大题共8小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1)−12033+(π−3.14)0−2−2；
(2)先化简，再求值：(3x+1)(3x−1)+(x−3)2−3x(x−2)，其中x=−1．
18. (本小题8.0分)
因式分解：
(1)ax2−2ax+a；
(2)4a2(x−y)+b2(y−x)．
19. (本小题10.0分)
解方程组：
(1)2x−y=33x+2y=1；
(2)x2+y3=33(x−1)−2(y−2)=1．
20. (本小题10.0分)
如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，点A的坐标是(2,1)，点B的坐标是(−3,−2)．
(1)在图中画出此平面直角坐标系，将坐标原点标记为O；
(2)直接写出点C和点D的坐标以及它们所在的象限；
(3)若网格中一点P的坐标为(−3,−1)，请在图中标出点P，画出△OPD，并求出△OPD的面积．

21. (本小题10.0分)
小亮将一个多边形的内角和误算为1180°，已知正确的结果与1180°相差不到180°，则这个多边形有几条边？
22. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=2∠A，BD是∠ABC的平分线，交AB边上的高CE于点F．
(1)求∠BFC的度数；
(2)若DH平分∠BDC，请判断DH与AB的位置关系并说明理由．

23. (本小题12.0分)
某水果店购进甲、乙两种水果.若购进10千克甲水果和15千克乙水果，则共花费260元；若购进20千克甲水果和18千克乙水果，则共花费376元.在销售过程中，店主将甲种水果的销售单价定为20元/千克.对乙种水果的销售单价规定为：购买量不超过30千克时，单价为25元/千克；购买量超过30千克时，超过30千克的部分单价为15元/千克．
(1)试求两种水果的进价；
(2)若不计损耗等因素，当甲、乙两种水果的销售量均为a千克时，它们的利润和为1500元.试求a的值．
24. (本小题12.0分)
【问题提出】
在由(m×n)个小正方形(边长为1)组成的长方形网格中，长方形的一条对角线所穿过的小正方形个数f与m，n有怎样的关系？(其中，m、n为正整数且m≥n)
【问题探究】
我们采用“从特殊到一般”的问题解决策略，先来考虑几种特殊的情况．

(1)当m，n互质时，观察图1并完成如表：
长方形长m
2
3
3
5
4
5
…
长方形宽n
1
1
2
2
3
4
…
对角线所穿过的小正方形个数f
2
3
4
6
6
x
…
①观察如表数据，表中的x= ______ ；
②结论：当m，n互质时，在m×n的长方形网格中，该长方形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n之间的关系式是______ ．
(2)当m，n不互质时，不妨设k为m、n的最大公约数，且m=ka，n=kb(a,b,k为正整数)，观察图2并完成如表：
m×n的长方形
4×2
6×2
6×4
9×3
9×6
15×10

a
2
3
3
3
3
3
…
b
1
1
2
1
2
2
…
公约数k
2
2
2
3
3
5
…
对角线穿过的小正方形个数f
4
6
y
9
12
z
…
③观察如表数据，表中的y= ______ ，z= ______ ；
④当m，n不互质时，若m=ka，n=kb，(a,b,k为正整数).在(mxn)的长方形网格中，长方形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a，b，k之间的关系式是______ ．
【模型应用】
如果一个长方形的一条对角线穿过的小正方形的个数是14个，在图3所示网格图中用实线画出满足条件的小长方形(至少画出2个)．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：A.a6÷a4=a2≠a，故选项A计算错误；
B.a⋅a2=a3≠a2，故选项B计算错误；
C.(ab)2=a2b2≠ab2，故选项C计算错误；
D.∵ab≠0，∴a≠0．
∴a0=1.故选项D计算正确．
故选：D．
利用同底数幂的乘除法法则、积的乘方法则、零指数幂的意义逐个计算，根据计算结果得结论．
本题主要考查了整式的运算，掌握同底数幂的乘除法法则、零次幂的意义、积的乘方法则是解决本题的关键．

2.【答案】A 
【解析】解：由题意可知，∠ABN=42°，∠ABC=90°，
∴∠CBN=90°−42°=48°，
∴超市在小明家的北偏西48°的方向上，
故选：A．
根据方向角的定义以及图形中角的和差关系计算∠CBN=48°即可．
本题考查方向角，理解方向角的定义以及图形中角的和差关系是正确解答的前提．

3.【答案】B 
【解析】解：A、2a2+4a=2a(a+2)，故A不符合题意；
B、a2−b2=(a+b)(a−b)，故B符合题意；
C、−a2+2ab−b2=−(a−b)2，故C不符合题意；
D、ax2−a=a(x2−1)=a(x+1)(x−1)，故D不符合题意；
故选：B．
先提公因式，再运用公式法继续分解，逐一判断即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．

4.【答案】D 
【解析】解：若消去x，则①×(−3)+②×2得：17y=−51，
则A，B均不符合题意；
若消去y，则①×4+②×3得：17x=34，
则C不符合题意，D符合题意；
故选：D．
根据加减消元法的步骤计算即可．
本题考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：A.正五边形每个内角为108°，不能整除360°，所以不能铺满地面；
B.正六边形每个内角为120°，能整除360°，所以能铺满地面；
C.正八边形每个内角为135°，不能整除360°，所以不能铺满地面；
D.正十二边形每个内角为150°，不能整除360°，所以不能铺满地面；
故选：B．
分别求出正多边形各内角的度数，看能否整除360°即可．
此题考查了平面镶嵌(密铺)，计算正多边形的内角能否整除360°是解答此题的关键．

6.【答案】C 
【解析】解：当xm=5，xn=−2时，
xm+2n
=xm⋅x2n
=xm⋅(xn)2
=5×(−2)2
=5×4
=20．
故选：C．
利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

7.【答案】ACD 
【解析】解：A、3+4>5，三根木棒能摆成三角形，故A符合题意；
B、8+7=15，三根木棒不能摆成三角形，故B不符合题意；
C、5+2>5，三根木棒能摆成三角形，故C符合题意；
D、13+12>20，三根木棒能摆成三角形，故D符合题意；
故选：ACD．
运用三角形三边关系，判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．

8.【答案】BD 
【解析】解：A、在等圆或同圆中，长度相等的弧一定是等弧，原说法不正确，不符合题意；
B、面积相等的两个圆是等圆，说法正确，符合题意；
C、直径是圆中最长的弦，有无数条，原说法不正确，不符合题意；
D、已知⊙O的半径为8，则平面内到点O的距离为8的点在⊙O上，原说法正确，符合题意；
故选：BD．
利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的有关的定义及性质，难度不大．

9.【答案】BD 
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠BCD=∠CBA=60°，
∵∠BAC=46°，
∴∠ACB=180°−∠CBA−∠BAC=180°−60°−46°=74°，故A选项不符合题意；
∠EBD=180°−∠CBD=180°−50°=130°，故B选项符合题意；
CD的长度无法计算，故C选项不符合题意；
∵车轮的圆的半径为CF的长度，即24寸，
∴车轮的周长为：2π×24=48π(寸)，故D选项符合题意，
故选：BD．
根据平行线的判定定理与性质定理以及圆的周长计算公式解答即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．

10.【答案】ABC 
【解析】解：如图，连接OD，BD，
得S△ODB=32，4×32=6，
∴双扭线围成的面积大于6，
故A符合题意；

 由图得，点A、B与原点距离最大为3，
故B符合题意；
连接AD，设△DAB的高为h，
∵S△DAB=3，且AB=6，
∴h=1，
由图得，点C、E、F、D均满足题意，
故C符合题意，
由图得，双扭线内部包含4个整数点，边界上有7个整数点，共11个，
故D不符合题意；
故选：ABC．
由题得，点A、B、C、D、E、F都在双扭线上，计算△ODB的面积，观察图形，即可判断各个结论．
本题考查了在坐标系中判断点的位置，合理的推断及计算是解题关键．

11.【答案】三角形具有稳定性 
【解析】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
根据三角形的稳定性解答即可．
此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．

12.【答案】8.6×10−6 
【解析】解：0.0000086=8.6×10−6，
故答案为：8.6×10−6．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

13.【答案】16 
【解析】解：∵点F为AE的中点，△BEF的面积为4，
∴S△ABE=2S△BEF=8，
∵点E是BC的中点，
∴S△ABC=2S△ABE=16，
故答案为：16．
由F是AE的中点可得S△ABE=2S△BEF=8，再由点E是BC的中点，可得S△ABC=2S△ABE．
本题主要考查三角形的面积，解答的关键是明确三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．

14.【答案】2023 
【解析】解：关于x，y的方程组x−y=3①2x+4y=3k②，
方程①+方程②得，3x+3y=3+3k，
即x+y=1+k，
又∵x+y=2024，
∴1+k=2024，
∴k=2023，
故答案为：2023．
根据二元一次方程解的定义代入计算即可．
本题考查二元一次方程的解，理解二元一次方程解的定义，掌握二元一次方程的解法是正确解答的前提．

15.【答案】(1,5)或(1,−1) 
【解析】解：∵A(1,2)，直线AB//y轴，
∴B点的横坐标为1，
设B点的纵坐标为y，
∵AB=3，
∴|y−2|=3，解得y=5或y=−1，
∴B(1,5)或(1,−1)．
故答案为：(1,5)或(1,−1)．
根据直线AB//y轴可知B点的横坐标为1，设纵坐标为y，则|y−2|=3，求出y的值即可．
本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上点的坐标特点是解题的关键．

16.【答案】232 
【解析】解：设大正方形和小正方形的边长各为a，b，
由题意可得a2−b2=23，
∴阴影部分的面积为：
a(a−b)2+b(a−b)2
=(a+b)(a−b)2
=a2−b22
=232，
故答案为：232．
设大正方形和小正方形的边长各为a，b，由题意可得a2−b2=30，再运用三角形面积公式进行求解．
此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解题意，结合图形运用以上知识进行求解．

17.【答案】解：(1)−12033+(π−3.14)0−2−2
=−1+1−14
=−14；
(2)(3x+1)(3x−1)+(x−3)2−3x(x−2)
=9x2−1+x2−6x+9−3x2+6x
=7x2+8，
当x=−1时，
原式=7×(−1)2+8
=7+8
=15． 
【解析】(1)先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算加减即可；
(2)先算平方差，完全平方，单项式乘多项式，再合并同类项，最后把相应的值代入运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

18.【答案】解：(1)ax2−2ax+a
=a(x2−2x+1)
=a(x−1)2；
(2)4a2(x−y)+b2(y−x)
=4a2(x−y)−b2(x−y)
=(x−y)(4a2−b2)
=(x−y)(2a+b)(2a−b)． 
【解析】(1)先提取公因式，再利用完全平方公式；
(2)先提取公因式，再利用平方差公式分解．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法、公式法是解决本题的关键．

19.【答案】解：(1)2x−y=3①3x+2y=1②，
①×2+②得：7x=7，
解得：x=1，
将x=1代入①中可得：2−y=3，
解得：y=−1，
故原方程组的解为x=1y=−1；
(2)x2+y3=3①3(x−1)−2(y−2)=1②，
由①得：3x+2y=18③，
由②得：3x−3−2y+4=1，
即3x−2y=0④，
③+④得：6x=18，
解得：x=3，
将x=3代入③得：9+2y=18，
解得：y=4.5，
故原方程组的解为x=3y=4.5． 
【解析】利用加减消元法解方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握并应用解方程组的方法是解题的关键．

20.【答案】解：(1)如图，

(2)C点坐标为(5,−1)，D点坐标为(2,−5)，
C点和D点都在第四象限；
(3)如图，△OPD为所作；
△OPD的面积=5×5−12×3×1−12×4×5−12×2×5=8.5． 
【解析】(1)利用点A和点B的坐标建立平面直角坐标系；
(2)利用所画得平面直角坐标系求解；
(3)先描出P点得到△OPD，然后用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△OPD的面积．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的面积．

21.【答案】解：多边形的内角和公式为：(n−2)×180°，
正确的结果与1180°相差不到180°，
∴1180°−180°<内角和度数<1180°+180°，
即1000°<(n−2)×180°<1360°，
解得759 n为整数，
故这个多边形有8或9条边． 
【解析】由三角形的内角和为(n−2)×180°，正确的结果与1180°相差不到180°，所以1180°−180°<内角和度数<1180°+180°，进而作答．
本题考查多边形的内角和的计算，解题的关键是对多边形内角和公式的灵活运用．

22.【答案】解：(1)∵∠ABC=∠ACB=2∠A，且∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠A+2∠A+∠A=180°，解得∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=12×72°=36°．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠BFC=∠CEB+∠ABD=90°+36°=126°．
(2)平行，理由如下：
∵∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°，
∵DH平分∠BDC，
∴∠BDH=12∠BDC=36°，
∴∠ABD=∠BDH，
∴AB//DH． 
【解析】(1)先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再由角平分线的性质得出∠ABD的度数，由直角三角形的性质即可得出结论；
(2)根据角平分线的性质得出∠BDH=36°，根据∠ABD=∠BDH，由此解答即可．
本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的性质，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．

23.【答案】解：(1)设甲种水果的进价是x元/千克，乙种水果的进价是y元/千克，
根据题意得：10x+15y=26020x+18y=376，
解得：x=8y=12．
答：甲种水果的进价是8元/千克，乙种水果的进价是12元/千克；
(2)当a≤30时，20a−8a+25a−12a=1500，
解得：a=60(不符合题意，舍去)；
当a>30时，20a−8a+25×30+15(a−30)−12a=1500，
解得：a=80．
答：a的值为80． 
【解析】(1)设甲种水果的进价是x元/千克，乙种水果的进价是y元/千克，根据“购进10千克甲水果和15千克乙水果，共花费260元；购进20千克甲水果和18千克乙水果，共花费376元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)分a≤30及a>30两种情况考虑，利用总利润=销售单价×销售数量−进货单价×销售数量，可列出关于a的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．

24.【答案】8  f=m+n−1  8  20  f=k(a+b−1) 
【解析】解：【问题探究】(1)根据表中规律可知，当m，n互质时，在m×n的长方形网格中，该长方形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n之间的关系式是f=m+n−1，
∴当长方形的长m=5，宽n=4时，x=5+4−1=8；
故答案为：①8；②f=m+n−1；
(2)当m，n不互质时，根据图2和表格可得：
当a=2，b=1，k=2，m=ka=4，n=kb=2时，f=2×(2+1−1)=4，
当a=3，b=1，k=2，m=ka=6，n=kb=2时，f=2×(3+1−1)=6，
当a=3，b=2，k=2，m=ka=6，n=kb=4时，f=2×(3+2−1)=8，
当a=3，b=1，k=3，m=ka=9，n=kb=3时，f=3×(3+1−1)=9，
当a=3，b=2，k=3，m=ka=9，n=kb=6时，f=3×(3+2−1)=12，
当a=3，b=2，k=5，m=ka=15，n=kb=10时，f=5×(3+2−1)=20，
以此可发现规律：当m，n不互质时，若m=ka，n=kb，(a,b,k为正整数).在(m×n)的长方形网格中，长方形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a，b，k之间的关系式是f=k(a+b−1)；
故答案为：③8，20；④f=k(a+b−1)；
【模型应用】由【问题提出】可知，当m，n互质时，在m×n的长方形网格中，该长方形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n之间的关系式是f=m+n−1，
∴在7×8的长方形网格中，长方形一条对角线所穿过的小正方形的个数14，
在4×11的长方形网格中，长方形一条对角线所穿过的小正方形的个数14，
如图(答案不唯一)：

【问题探究】(1)①②根据表格中数据可总结出规律：f=m+n−1，以此即可求解；
(2)③④利用表格数据结合图2可总结出规律：f=k(a+b−1)，以此即可求解；
【模型应用】利用【问题提出】所得结论即可求解．
本题主要考查规律型：图形的变化类，读懂题目意思，仔细观察图形和分析所给数据，总结出变化规律是解题关键．