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2022-2023学年广东省东莞市八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省东莞市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省东莞市八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算 22的结果是( )
A. −2 B. 2 C. −4 D. 4
2. 已知直角三角形的两条直角边分别为6，8，则斜边的长为( )
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
3. 甲、乙、丙三人进行立定跳远测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：S甲2=0.41，S乙2=0.46，S丙2=0.52，其中成绩最稳定的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 三个都一样
4. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点M、N，测量得MN=16米，则A、B两点间的距离为( )
A. 30米 B. 32米 C. 36米 D. 48米
5. 点(2,1)在一次函数y=3x−b的图象上，则b的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是( )
A. 1，1，2 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，7
7. 下列计算中，正确的是( )
A. 2+ 2=2 2 B. 3 3× 2=3 5
C. ( 2− 3)2=5−2 6 D. 15÷ 3=5
8. 一次函数y=kx+1的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是( )
A. −3 B. −2 C. −1 D. 1
9. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能证明▱ABCD是菱形的是( )
A. ∠ABD=∠ADB B. AC⊥BD
C. AB=BC D. AC=BD
10. 如图，已知点A(−2,3)，B(2,1)，当直线y=kx−1与线段AB有交点时，k的取值范围是( )
A. k≥1
B. k≤−2或k≥1
C. k≤−2
D. −2≤k≤1
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若二次根式 x−1有意义，则x的取值范围是______．
12. 数据1，3，4，3，5的众数是______ ．
13. 点P1(3,y1)，P2(4,y2)在一次函数y=−6x+1的图象上，则y1 ______ y2.(填“>”“<”或“=”)
14. 如图，等边三角形ABC的边长是4，则高AD的长是______ ．
15. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为OB上一点，连接AE、CE，F为CE的中点，连接OF，若∠AEO=90°，OE=3，OF=2，则AO的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算：2 2−6 12+ 6× 3．
17. (本小题8.0分)
如图，已知一次函数y=23x+2，完成下列问题：
(1)图象与x轴的交点坐标是______ ，与y轴的交点坐标是______ ；
(2)在所给直角坐标系中画出此函数的图象；
(3)根据图象回答：当x ______ 时，y>0．
18. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别在BD和DB的长线上，且DE=BF，连接AF、FC、CE、EA．
求证：四边形AFCE是平行四边形．
19. (本小题9.0分)
某地区在一次八年级数学检测中，有一道满分8分的解答题，按评分标准，所有学生的得分只有四种：0分、3分、5分、8分，老师为了了解学生的得分情况，从全区5000名考生的试卷中随机抽取一部分，通过分析与整理，绘制出如下两幅不完整的统计图：图1和图2.请根据相关信息，解答下列问题：
(1)图2中a的值为______ ，b的值为______ ；
(2)此样本数据的平均数是______ ，中位数是______ ；
(3)请估计该地区此题得满分的学生人数．
20. (本小题9.0分)
在矩形ABCD中，点M在DC上，AM=AB，且BN⊥AM，垂足为N．
(1)求证：△ABN≌△MAD；
(2)若AD=2，AN=4，求AM的长．
21. (本小题9.0分)
观察下列等式，解答下列问题：
第1个等式： 1+13=2 13；
第2个等式： 2+14=3 14；
第3个等式： 3+15=4 15；
……
(1)请直接写出第5个等式：______ ；(不用化简)
(2)根据上述规律，猜想第n个等式，并给予证明．
22. (本小题12.0分)
如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH．
(1)求证：△EBF≌△HAE；．
(2)四边形EFGH的形状是______ ；
(3)若AH=a，AE=b，EH=c，请借助图中几何图形的面积关系来证明a2+b2=c2．
23. (本小题12.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，点A坐标为(3,0)，直线l2：y=3x与直线l1相交于点C，点C的横坐标为1．
(1)求直线l1的解析式；
(2)在x轴上是否存在一点E，使得△ACE是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，说明理由；
(3)如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交l1、l2于点M、N，当MN=2时，求点D的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解： 22=2．
故选：B．
根据算术平方根的含义和求法，求出计算 22的结果是多少即可．
此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
2.【答案】D
【解析】解：根据勾股定理可以得出：斜边长= 62+82=10．
故选：D．
根据勾股定理直接解答即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵甲、乙、丙三人的平均成绩相同，S甲2=0.41，S乙2=0.46，S丙2=0.52，
∴方差最小的是甲，
∴成绩最稳定的是甲．
故选：A．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4.【答案】B
【解析】解：∵点M、N是分别是AC和BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，MN=16米，
∴MN=12AB=16米，
∴AB=32米．
故选：B．
根据三角形中位线的定义推知MN是三角形ABC的中位线，然后利用三角形中位线定理求得AB的长度即可．
此题考查的是三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
5.【答案】D
【解析】解：∵点(2,1)在一次函数y=3x−b的图象上，
∴3×2−b=1，解得b=5，
故选：D．
点(2,1)在一次函数y=3x−b的图象上，可以得到3×2−b=1，然后计算出b的值即可．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出b的值．
6.【答案】C
【解析】解：A、因为12+12≠22，所以三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
B、因为22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
C、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，符合题意；
D、因为42+52≠72，所以三条线段不能组成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
7.【答案】C
【解析】解：A、2与 2不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、3 3× 2=3 6，计算错误，不符合题意；
C、( 2− 3)2=2−2 6+3=5−2 6，计算正确，符合题意；
D、 15÷ 3= 5，计算错误，不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的合并和乘除以及完全平方公式判断即可．
此题考查二次根式的混合计算，关键根据二次根式的合并和乘除以及完全平方公式解答．
8.【答案】D
【解析】解：∵一次函数y=kx+1的函数值y随x的增大而增大，
∴k>0，
故选：D．
首先根据一次函数y=kx+1的函数值y随x的增大而增大，得k>0，然后再根据题目中的四个选项即可得出答案．
此题主要考查了一次函数的性质，解答此题的关键是理解一次函数的性质：对于一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小．
9.【答案】D
【解析】解：A、∵∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意，
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵y=kx−1，
∴直线y=kx−1恒过点P(0,−1)，
当直线刚好过点A时，将A(−2,3)代入y=kx−1中得：3=−2k−1，
解得k=−2，
当直线刚好过点B时，将B(2,1)代入y=kx−k中得：1=2k−1，
解得k=1，
∴当直线y=kx−k与线段AB有交点时，k的取值范围为：k≤−2或k≥1．
故选：B．
由已知得直线y=kx−1恒过点P(0,−1)，分别求出直线PA和直线PB的比例系数k，即可求解．
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法求出临界值是解题的关键．
11.【答案】x≥1
【解析】解：根据二次根式有意义的条件，x−1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
12.【答案】3
【解析】解：这组数据中3出现次数最多，有2次，
所以这组数据的众数为3，
故答案为：3．
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义．
13.【答案】>
【解析】解：∵−6<0，
∴y随x的增大而减小，
∵3<4，
∴y1>y2．
故答案为：>．
根据一次函数的增减性和已知两点的横坐标的大小即可确定两个y值的大小．
本题主要考查一次函数的增减性，熟练掌握“当k<0时，y随x的增大而减小”是解决问题的关键．
14.【答案】2 3
【解析】解：如图所示．
∵AB=4，∠B=60°，
∴BD=2，
∴AD= AB2−BD2=2 3，
故答案为：2 3．
等边三角形三个角都是60°，作高，得到一直角三角形，进而求解．
本题考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，并能运用等边三角形的性质进行一些简单的运算．
15.【答案】5
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO，
∵F为CE的中点，
∴EF=CF，
∴OF是△ACE的中位线，
∴OF=12AE，OF//AE，
∴AE=4，∠AEO=90°，
在Rt△AEO中，由勾股定理得AO= AE2+OE2=5，
故答案为：5．
如图，根据OF是△ACE的中位线，则OF=12AE，OF//AE，AE=4，∠AEO=90°，在Rt△AEO中，由勾股定理求AO的值，由矩形的性质可得OB=OA，根据BE=OB−OE，求解BE的值即可．
本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，解题的关键在于添加辅助线，构造三角形中位线．
16.【答案】解：原式=2 2−3 2+3 2=2 2．
【解析】根据二次根式的化简和乘法以及二次根式的合并解答即可．
此题考查二次根式的混合计算，关键是根据二次根式的运算顺序解答．
17.【答案】(−3,0) (0,2) >−3
【解析】解：(1)令x=0，y=2，
∴与y轴的交点为(0,2)，
令y=0，0=23x+2，
解得：x=−3，
∴与x轴的交点为(−3,0)，
故答案为：(−3,0)，(0,2)．
(2)由(1)可知，一次函数过(−3,0)，(0,2)，
函数图象如图所示：
(3)由函数图象可知：
当x>−3时，y>0．
故答案为：>−3．
(1)分别令x=0，y=0，即可求得与y轴，x轴的交点坐标；
(2)根据描点法，画出图象即可；
(3)利用函数图象解决问题，图象在x轴上方，即是y>0．
本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的特点画出图象，并根据图象得出相关结论是解题关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵DE=BF，
∴OD+DE=OB+BF，
即OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
【解析】由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，再证OE=OF，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】25 20 4.6分 5分
【解析】解：(1)由条形统计图可知0分的同学有24人，由扇形统计图可知，0分的同学占10%，
∴抽取的总人数是：24÷10%=240，
故得3分的学生数是：240−24−108−48=60，
∴a%=60240=25%，b%=48240=20%，
故答案为：25，20；
(2)此样本数据的平均数为0×10%+3×25%+8×20%+5×45%=4.6(分)，
240个数据按从小到大的顺序排列后，第120、121个数都是5，所以中位数是5分；
故答案为：4.6分，5分；
(3)由(1)可得，得满分的占20%，
∴该地区此题得满分(即8分)的学生人数是：5000×20%=1000(人)，
即该地区此题得满分(即8分)的学生数大约有1000人．
(1)根据0分的同学有24人，占10%，求出抽取的总人数，进而得到a和b的值；
(2)根据平均数、中位数的定义求解即可；
(3)用500乘以样本中此题得满分(即8分)的学生所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了加权平均数、众数、中位数以及用样本估计总体．
20.【答案】(1)证明：在矩形ABCD中，∠D=90°，DC//AB，
∴∠BAN=∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠BNA=90°，
在△ABN和△MAD中，
∠BAN=∠AMD∠BNA=∠D=90°AM=AB，
∴△ABN≌△MAD(AAS)；
(2)解：∵△ABN≌△MAD，
∴AD=BN=2，MD=AN=4，
在Rt△ADM中，
AM= AD2+DM2=2 5．
【解析】(1)利用矩形的对边平行和四个角都是直角的性质得到两对相等的角，利用AAS证得两三角形全等即可；
(2)利用全等三角形的性质求得AD=BN=2，MD=AN=4，从而利用勾股定理求得AM的长即可．
本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定和性质，了解矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分是解答本题的关键，难度不大．
21.【答案】 5+17=6 17
【解析】解：(1)由前几个等式的规律得到第5个等式是 5+17=6 17，
故答案为： 5+17=6 17．
(2)猜想第n个等式是 n+1n+2=(n+1) 1n+2，
证明： n+1n+2= (n+1)2n+2=(n+1) 1n+2．
(1)由前几个等式的规律，即可得到答案；
(2)由给出的等式，发现规律，即可得到答案．
本题考查规律型—数字的变化类，算术平方根，关键是由给出的等式，发现规律．
22.【答案】正方形
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠B=∠A=∠C=90°，
∵AE=BF=DH，
∴AB−AE=DA−DH，
∴BE=AH，
在△EBF和△HAE中，
BF=AE∠B=∠ABE=AH，
∴△EBF≌△HAE(SAS)．
(2)解：∵BC=AB，AE=BF=CG，
∴BC−BF=AB−AE，
∴CF=BE，
在△FCG和△EBF中，
CG=BF∠C=∠BCF=BE，
∴△FCG≌△EBF(SAS)，
∴FG=EF，∠CFG=∠BEF，
∴∠EFG=180°−∠BFE−∠CFG=180°−∠BFE−∠BEF=∠B=90°，
∵△EBF≌△HAE，
∴EF=HE，∠BEF=∠AHE，
∴FG=HE，∠HEF=180°−∠AEH−∠BEF=180°−∠AEH−∠AHE=∠A=90°，
∴∠EFG+∠HEF=180°，
∴FG//HE，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵∠HEF=90°，EF=HE，
∴四边形EFGH是正方形，
故答案为：正方形．
(3)解：用与(1)或(2)相同的方法可证明△GDH≌△FCG，
∴△BEF、△AHE、△CFG、△DGH是四个全等的直角三角形，
∴S正方形ABCD=4SHAE+S正方形EFGH，
∴AB2=4×12AH⋅AE+EH2，
∵BE=AH=a，AE=b，EH=c，
∴AB=BE+AE=a+b，
∴(a+b)2=4×12ab+c2，
整理得a2+b2=c2．
(1)由正方形的性质得AB=DA，∠B=∠A=∠C=90°，由AE=BF=DH可推导出BE=AH，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△EBF≌△HAE；
(2)由BC=AB，AE=BF=CG，推导出CF=BE，可证明△FCG≌△EBF，则FG=EF，∠CFG=∠BEF，则∠EFG=180°−∠BFE−∠CFG=180°−∠BFE−∠BEF=∠B=90°，由△EBF≌△HAE，得EF=HE，∠BEF=∠AHE，则FG=HE，同理可得∠HEF=∠A=90°，可证明FG//HE，则四边形EFGH是平行四边形，而∠HEF=90°，EF=HE，则四边形EFGH是正方形，于是得到问题的答案；
(3)用与(1)或(2)相同的方法可证明△GDH≌△FCG，则△BEF、△AHE、△CFG、△DGH是四个全等的直角三角形，由S正方形ABCD=4SHAE+S正方形EFGH，得(a+b)2=4×12ab+c2，即可证明a2+b2=c2．
此题重点考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、根据面积等式证明勾股定理等知识与方法，此题综合性强，难度较大．
23.【答案】解：(1)∵直线l2：y=3x与直线l1相交于点C，点C的横坐标为1，
∴C(1,3)，
设直线l1的解析式为y=kx+b，把A(3,0)、C(1,3)代入，得3k+b=0k+b=3，
解得：k=−32b=92，
∴直线l1的解析式为y=−32x+92；
(2)存在．
如图1，过点C作CH⊥x轴于点H，则H(1,0)，
∴AH=3−1=2，CH=3，
在Rt△ACH中，AC= AH2+CH2= 22+32= 13，
设E(x,0)，则AE=|x−3|，
当AE=AC时，|x−3|= 13，
解得：x=3− 13或3+ 13，
∴E(3− 13,0)或(3+ 13,0)；
当AC=CE时，
∵CH⊥x轴，即CE⊥AE，
∴AH=EH，即AE=2AH=4，
∴E(−1,0)；
综上所述，点E的坐标为(3− 13,0)或(3+ 13,0)或(−1,0)；
(3)设D(m,0)，则M(m,−32m+92)，N(m,3m)，
如图2，当m<1时，MN=−32m+92−3m=−92m+92，
∵MN=2，
∴−92m+92=2，
解得：m=59，
∴D(59,0)；
当m>1时，MN=3m−(−32m+92)=92m−92，
∵MN=2，
∴92m−92=2，
解得：m=139，
∴D(139,0)；
综上所述，点D的坐标为(59,0)或(139,0)．
【解析】(1)先求得C(1,3)，再运用待定系数法即可求得直线l1的解析式；
(2)过点C作CH⊥x轴于点H，则H(1,0)，利用勾股定理可得AC= AH2+CH2= 22+32= 13，设E(x,0)，则AE=|x−3|，分两种情况：当AE=AC时，当AC=CE时，分别求出点E的坐标即可；
(3)设D(m,0)，则M(m,−32m+92)，N(m,3m)，分两种情况：当m<1时，MN=−32m+92−3m=−92m+92，当m>1时，MN=3m−(−32m+92)=92m−92，分别根据MN=2建立方程求解即可得出答案．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，分类讨论思想等相关知识，解题的关键是进行正确的分类讨论．
2022-2023学年广东省东莞市八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算 22的结果是( )
A. −2 B. 2 C. −4 D. 4
2. 已知直角三角形的两条直角边分别为6，8，则斜边的长为( )
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
3. 甲、乙、丙三人进行立定跳远测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：S甲2=0.41，S乙2=0.46，S丙2=0.52，其中成绩最稳定的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 三个都一样
4. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点M、N，测量得MN=16米，则A、B两点间的距离为( )
A. 30米 B. 32米 C. 36米 D. 48米
5. 点(2,1)在一次函数y=3x−b的图象上，则b的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是( )
A. 1，1，2 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，7
7. 下列计算中，正确的是( )
A. 2+ 2=2 2 B. 3 3× 2=3 5
C. ( 2− 3)2=5−2 6 D. 15÷ 3=5
8. 一次函数y=kx+1的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是( )
A. −3 B. −2 C. −1 D. 1
9. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能证明▱ABCD是菱形的是( )
A. ∠ABD=∠ADB B. AC⊥BD
C. AB=BC D. AC=BD
10. 如图，已知点A(−2,3)，B(2,1)，当直线y=kx−1与线段AB有交点时，k的取值范围是( )
A. k≥1
B. k≤−2或k≥1
C. k≤−2
D. −2≤k≤1
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若二次根式 x−1有意义，则x的取值范围是______．
12. 数据1，3，4，3，5的众数是______ ．
13. 点P1(3,y1)，P2(4,y2)在一次函数y=−6x+1的图象上，则y1 ______ y2.(填“>”“<”或“=”)
14. 如图，等边三角形ABC的边长是4，则高AD的长是______ ．
15. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为OB上一点，连接AE、CE，F为CE的中点，连接OF，若∠AEO=90°，OE=3，OF=2，则AO的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算：2 2−6 12+ 6× 3．
17. (本小题8.0分)
如图，已知一次函数y=23x+2，完成下列问题：
(1)图象与x轴的交点坐标是______ ，与y轴的交点坐标是______ ；
(2)在所给直角坐标系中画出此函数的图象；
(3)根据图象回答：当x ______ 时，y>0．
18. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别在BD和DB的长线上，且DE=BF，连接AF、FC、CE、EA．
求证：四边形AFCE是平行四边形．
19. (本小题9.0分)
某地区在一次八年级数学检测中，有一道满分8分的解答题，按评分标准，所有学生的得分只有四种：0分、3分、5分、8分，老师为了了解学生的得分情况，从全区5000名考生的试卷中随机抽取一部分，通过分析与整理，绘制出如下两幅不完整的统计图：图1和图2.请根据相关信息，解答下列问题：
(1)图2中a的值为______ ，b的值为______ ；
(2)此样本数据的平均数是______ ，中位数是______ ；
(3)请估计该地区此题得满分的学生人数．
20. (本小题9.0分)
在矩形ABCD中，点M在DC上，AM=AB，且BN⊥AM，垂足为N．
(1)求证：△ABN≌△MAD；
(2)若AD=2，AN=4，求AM的长．
21. (本小题9.0分)
观察下列等式，解答下列问题：
第1个等式： 1+13=2 13；
第2个等式： 2+14=3 14；
第3个等式： 3+15=4 15；
……
(1)请直接写出第5个等式：______ ；(不用化简)
(2)根据上述规律，猜想第n个等式，并给予证明．
22. (本小题12.0分)
如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH．
(1)求证：△EBF≌△HAE；．
(2)四边形EFGH的形状是______ ；
(3)若AH=a，AE=b，EH=c，请借助图中几何图形的面积关系来证明a2+b2=c2．
23. (本小题12.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，点A坐标为(3,0)，直线l2：y=3x与直线l1相交于点C，点C的横坐标为1．
(1)求直线l1的解析式；
(2)在x轴上是否存在一点E，使得△ACE是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，说明理由；
(3)如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交l1、l2于点M、N，当MN=2时，求点D的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解： 22=2．
故选：B．
根据算术平方根的含义和求法，求出计算 22的结果是多少即可．
此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
2.【答案】D
【解析】解：根据勾股定理可以得出：斜边长= 62+82=10．
故选：D．
根据勾股定理直接解答即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵甲、乙、丙三人的平均成绩相同，S甲2=0.41，S乙2=0.46，S丙2=0.52，
∴方差最小的是甲，
∴成绩最稳定的是甲．
故选：A．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4.【答案】B
【解析】解：∵点M、N是分别是AC和BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，MN=16米，
∴MN=12AB=16米，
∴AB=32米．
故选：B．
根据三角形中位线的定义推知MN是三角形ABC的中位线，然后利用三角形中位线定理求得AB的长度即可．
此题考查的是三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
5.【答案】D
【解析】解：∵点(2,1)在一次函数y=3x−b的图象上，
∴3×2−b=1，解得b=5，
故选：D．
点(2,1)在一次函数y=3x−b的图象上，可以得到3×2−b=1，然后计算出b的值即可．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出b的值．
6.【答案】C
【解析】解：A、因为12+12≠22，所以三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
B、因为22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
C、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，符合题意；
D、因为42+52≠72，所以三条线段不能组成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
7.【答案】C
【解析】解：A、2与 2不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、3 3× 2=3 6，计算错误，不符合题意；
C、( 2− 3)2=2−2 6+3=5−2 6，计算正确，符合题意；
D、 15÷ 3= 5，计算错误，不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的合并和乘除以及完全平方公式判断即可．
此题考查二次根式的混合计算，关键根据二次根式的合并和乘除以及完全平方公式解答．
8.【答案】D
【解析】解：∵一次函数y=kx+1的函数值y随x的增大而增大，
∴k>0，
故选：D．
首先根据一次函数y=kx+1的函数值y随x的增大而增大，得k>0，然后再根据题目中的四个选项即可得出答案．
此题主要考查了一次函数的性质，解答此题的关键是理解一次函数的性质：对于一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小．
9.【答案】D
【解析】解：A、∵∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意，
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵y=kx−1，
∴直线y=kx−1恒过点P(0,−1)，
当直线刚好过点A时，将A(−2,3)代入y=kx−1中得：3=−2k−1，
解得k=−2，
当直线刚好过点B时，将B(2,1)代入y=kx−k中得：1=2k−1，
解得k=1，
∴当直线y=kx−k与线段AB有交点时，k的取值范围为：k≤−2或k≥1．
故选：B．
由已知得直线y=kx−1恒过点P(0,−1)，分别求出直线PA和直线PB的比例系数k，即可求解．
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法求出临界值是解题的关键．
11.【答案】x≥1
【解析】解：根据二次根式有意义的条件，x−1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
12.【答案】3
【解析】解：这组数据中3出现次数最多，有2次，
所以这组数据的众数为3，
故答案为：3．
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义．
13.【答案】>
【解析】解：∵−6<0，
∴y随x的增大而减小，
∵3<4，
∴y1>y2．
故答案为：>．
根据一次函数的增减性和已知两点的横坐标的大小即可确定两个y值的大小．
本题主要考查一次函数的增减性，熟练掌握“当k<0时，y随x的增大而减小”是解决问题的关键．
14.【答案】2 3
【解析】解：如图所示．
∵AB=4，∠B=60°，
∴BD=2，
∴AD= AB2−BD2=2 3，
故答案为：2 3．
等边三角形三个角都是60°，作高，得到一直角三角形，进而求解．
本题考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，并能运用等边三角形的性质进行一些简单的运算．
15.【答案】5
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO，
∵F为CE的中点，
∴EF=CF，
∴OF是△ACE的中位线，
∴OF=12AE，OF//AE，
∴AE=4，∠AEO=90°，
在Rt△AEO中，由勾股定理得AO= AE2+OE2=5，
故答案为：5．
如图，根据OF是△ACE的中位线，则OF=12AE，OF//AE，AE=4，∠AEO=90°，在Rt△AEO中，由勾股定理求AO的值，由矩形的性质可得OB=OA，根据BE=OB−OE，求解BE的值即可．
本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，解题的关键在于添加辅助线，构造三角形中位线．
16.【答案】解：原式=2 2−3 2+3 2=2 2．
【解析】根据二次根式的化简和乘法以及二次根式的合并解答即可．
此题考查二次根式的混合计算，关键是根据二次根式的运算顺序解答．
17.【答案】(−3,0) (0,2) >−3
【解析】解：(1)令x=0，y=2，
∴与y轴的交点为(0,2)，
令y=0，0=23x+2，
解得：x=−3，
∴与x轴的交点为(−3,0)，
故答案为：(−3,0)，(0,2)．
(2)由(1)可知，一次函数过(−3,0)，(0,2)，
函数图象如图所示：
(3)由函数图象可知：
当x>−3时，y>0．
故答案为：>−3．
(1)分别令x=0，y=0，即可求得与y轴，x轴的交点坐标；
(2)根据描点法，画出图象即可；
(3)利用函数图象解决问题，图象在x轴上方，即是y>0．
本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的特点画出图象，并根据图象得出相关结论是解题关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵DE=BF，
∴OD+DE=OB+BF，
即OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
【解析】由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，再证OE=OF，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】25 20 4.6分 5分
【解析】解：(1)由条形统计图可知0分的同学有24人，由扇形统计图可知，0分的同学占10%，
∴抽取的总人数是：24÷10%=240，
故得3分的学生数是：240−24−108−48=60，
∴a%=60240=25%，b%=48240=20%，
故答案为：25，20；
(2)此样本数据的平均数为0×10%+3×25%+8×20%+5×45%=4.6(分)，
240个数据按从小到大的顺序排列后，第120、121个数都是5，所以中位数是5分；
故答案为：4.6分，5分；
(3)由(1)可得，得满分的占20%，
∴该地区此题得满分(即8分)的学生人数是：5000×20%=1000(人)，
即该地区此题得满分(即8分)的学生数大约有1000人．
(1)根据0分的同学有24人，占10%，求出抽取的总人数，进而得到a和b的值；
(2)根据平均数、中位数的定义求解即可；
(3)用500乘以样本中此题得满分(即8分)的学生所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了加权平均数、众数、中位数以及用样本估计总体．
20.【答案】(1)证明：在矩形ABCD中，∠D=90°，DC//AB，
∴∠BAN=∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠BNA=90°，
在△ABN和△MAD中，
∠BAN=∠AMD∠BNA=∠D=90°AM=AB，
∴△ABN≌△MAD(AAS)；
(2)解：∵△ABN≌△MAD，
∴AD=BN=2，MD=AN=4，
在Rt△ADM中，
AM= AD2+DM2=2 5．
【解析】(1)利用矩形的对边平行和四个角都是直角的性质得到两对相等的角，利用AAS证得两三角形全等即可；
(2)利用全等三角形的性质求得AD=BN=2，MD=AN=4，从而利用勾股定理求得AM的长即可．
本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定和性质，了解矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分是解答本题的关键，难度不大．
21.【答案】 5+17=6 17
【解析】解：(1)由前几个等式的规律得到第5个等式是 5+17=6 17，
故答案为： 5+17=6 17．
(2)猜想第n个等式是 n+1n+2=(n+1) 1n+2，
证明： n+1n+2= (n+1)2n+2=(n+1) 1n+2．
(1)由前几个等式的规律，即可得到答案；
(2)由给出的等式，发现规律，即可得到答案．
本题考查规律型—数字的变化类，算术平方根，关键是由给出的等式，发现规律．
22.【答案】正方形
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠B=∠A=∠C=90°，
∵AE=BF=DH，
∴AB−AE=DA−DH，
∴BE=AH，
在△EBF和△HAE中，
BF=AE∠B=∠ABE=AH，
∴△EBF≌△HAE(SAS)．
(2)解：∵BC=AB，AE=BF=CG，
∴BC−BF=AB−AE，
∴CF=BE，
在△FCG和△EBF中，
CG=BF∠C=∠BCF=BE，
∴△FCG≌△EBF(SAS)，
∴FG=EF，∠CFG=∠BEF，
∴∠EFG=180°−∠BFE−∠CFG=180°−∠BFE−∠BEF=∠B=90°，
∵△EBF≌△HAE，
∴EF=HE，∠BEF=∠AHE，
∴FG=HE，∠HEF=180°−∠AEH−∠BEF=180°−∠AEH−∠AHE=∠A=90°，
∴∠EFG+∠HEF=180°，
∴FG//HE，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵∠HEF=90°，EF=HE，
∴四边形EFGH是正方形，
故答案为：正方形．
(3)解：用与(1)或(2)相同的方法可证明△GDH≌△FCG，
∴△BEF、△AHE、△CFG、△DGH是四个全等的直角三角形，
∴S正方形ABCD=4SHAE+S正方形EFGH，
∴AB2=4×12AH⋅AE+EH2，
∵BE=AH=a，AE=b，EH=c，
∴AB=BE+AE=a+b，
∴(a+b)2=4×12ab+c2，
整理得a2+b2=c2．
(1)由正方形的性质得AB=DA，∠B=∠A=∠C=90°，由AE=BF=DH可推导出BE=AH，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△EBF≌△HAE；
(2)由BC=AB，AE=BF=CG，推导出CF=BE，可证明△FCG≌△EBF，则FG=EF，∠CFG=∠BEF，则∠EFG=180°−∠BFE−∠CFG=180°−∠BFE−∠BEF=∠B=90°，由△EBF≌△HAE，得EF=HE，∠BEF=∠AHE，则FG=HE，同理可得∠HEF=∠A=90°，可证明FG//HE，则四边形EFGH是平行四边形，而∠HEF=90°，EF=HE，则四边形EFGH是正方形，于是得到问题的答案；
(3)用与(1)或(2)相同的方法可证明△GDH≌△FCG，则△BEF、△AHE、△CFG、△DGH是四个全等的直角三角形，由S正方形ABCD=4SHAE+S正方形EFGH，得(a+b)2=4×12ab+c2，即可证明a2+b2=c2．
此题重点考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、根据面积等式证明勾股定理等知识与方法，此题综合性强，难度较大．
23.【答案】解：(1)∵直线l2：y=3x与直线l1相交于点C，点C的横坐标为1，
∴C(1,3)，
设直线l1的解析式为y=kx+b，把A(3,0)、C(1,3)代入，得3k+b=0k+b=3，
解得：k=−32b=92，
∴直线l1的解析式为y=−32x+92；
(2)存在．
如图1，过点C作CH⊥x轴于点H，则H(1,0)，
∴AH=3−1=2，CH=3，
在Rt△ACH中，AC= AH2+CH2= 22+32= 13，
设E(x,0)，则AE=|x−3|，
当AE=AC时，|x−3|= 13，
解得：x=3− 13或3+ 13，
∴E(3− 13,0)或(3+ 13,0)；
当AC=CE时，
∵CH⊥x轴，即CE⊥AE，
∴AH=EH，即AE=2AH=4，
∴E(−1,0)；
综上所述，点E的坐标为(3− 13,0)或(3+ 13,0)或(−1,0)；
(3)设D(m,0)，则M(m,−32m+92)，N(m,3m)，
如图2，当m<1时，MN=−32m+92−3m=−92m+92，
∵MN=2，
∴−92m+92=2，
解得：m=59，
∴D(59,0)；
当m>1时，MN=3m−(−32m+92)=92m−92，
∵MN=2，
∴92m−92=2，
解得：m=139，
∴D(139,0)；
综上所述，点D的坐标为(59,0)或(139,0)．
【解析】(1)先求得C(1,3)，再运用待定系数法即可求得直线l1的解析式；
(2)过点C作CH⊥x轴于点H，则H(1,0)，利用勾股定理可得AC= AH2+CH2= 22+32= 13，设E(x,0)，则AE=|x−3|，分两种情况：当AE=AC时，当AC=CE时，分别求出点E的坐标即可；
(3)设D(m,0)，则M(m,−32m+92)，N(m,3m)，分两种情况：当m<1时，MN=−32m+92−3m=−92m+92，当m>1时，MN=3m−(−32m+92)=92m−92，分别根据MN=2建立方程求解即可得出答案．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，分类讨论思想等相关知识，解题的关键是进行正确的分类讨论．
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