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2022-2023学年广东省广州市南沙区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省广州市南沙区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市南沙区八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子中，为最简二次根式的是( )
A. 12 B. 3 C. 4 D. 12
2. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是( )
A. 5，7，10 B. 3，4，5 C. 6，8，10 D. 1,2, 3
3. 在四边形ABCD中，AB//DC，当满足下列哪个条件时，可以得出四边形ABCD是平行四边形( )
A. ∠A+∠C=180° B. ∠B+∠D=180°
C. ∠A+∠B=180° D. ∠A+∠D=180°
4. 已知函数y=(k−3)x是正比例函数，且y随着x的增大而减小，则下面判断正确的是( )
A. k>0 B. k<0 C. k>3 D. k<3
5. 若甲、乙、丙、丁四位同学在八年级第一学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分，方差分别为S甲2=0.80，S乙2=1.75，S丙2=0.32，S丁2=1.26，则成绩最稳定的同学是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 菱形ABCD的对角线AC=4，∠D=60°，则对角线BD的长是( )
A. 4 3 B. 2 3 C. 4 D. 2
7. 如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？( )
A. 0.4 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8
8. 如果 (2a−1)2=2a−1，且a是非负数，则( )
A. 0
A. B.
C. D.
10. 如图，点B，C，E在同一直线上，分别以BC，CE为边作正方形ABCD和正方形CEFG，BC=2，CE=4，H是AF的中点，那么CH的长是( )
A. 2 2
B. 10
C. 2 10
D. 4 2
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算： 8− 2= ______ ．
12. 直线y=−2x+4的图象一定不经过第______ 象限．
13. 平面直角坐标系中，点P(−3,2)到坐标原点的距离是______ ．
14. 若一组数据：1，7，8，a，4的平均数是5，中位数是______ ．
15. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABD的平分线与边AD交于点E，则DE的长是______ ．
16. 直线y=−2x+m与直线y=x−1的交点在第四象限内，则m的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
计算： 3( 12+1)．
18. (本小题4.0分)
如图，在△ABC中，∠A=55°，∠C=35°，AC=4，BC=3.求AB的长．
19. (本小题6.0分)
周长为20cm的矩形，若它的一边长是x cm，面积是S cm2．
(1)请用含x的式子表示S，并指出常量与变量；
(2)当x=6时，求S的值．
20. (本小题6.0分)
如图，AE//BF，∠BAE的平分线交BF于点C，点D在AE上，AB=AD，连接CD．
求证：四边形ABCD是菱形．
21. (本小题8.0分)
请阅读下面的材料，并探索用材料中的方法解决问题．
【材料1】两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：( 3+ 2)( 3− 2)=1，我们称 3+ 2的一个有理化因式是 3− 2．
【材料2】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：2 3+ 2=2( 3− 2)( 3+ 2)( 3− 2)=2( 3− 2)1=2 3−2 2．
问题探究：(1)写出 5− 7的一个有理化因式：______ ；
(2)计算：(2 3+3 2)(2 3−3 2)−( 3+ 2)2；
(3)将式子222 5+3分母有理化．
22. (本小题10.0分)
某渔业养殖户在自家鱼塘中放养了某种鱼2000条，若干年后，准备打捞出售，为了估计鱼塘中这种鱼的总质量，现从鱼塘中捕捞三次，得到数据如下表：
鱼的条数(条)
平均每条鱼的质量(千克)
第一次
30
2.8
第二次
40
3
第三次
30
3.2
(1)求鱼塘中这种鱼平均每条的重量．
(2)若这种鱼放养的成活率是85%，请估计鱼塘中这种鱼的总重量.(新生鱼和死鱼不计算入内.)
(3)如果把鱼塘中放养的2000条中存活的这种鱼全部卖掉，价格为每千克20元，若投资成本为45000元，求卖出后获得的纯利润．
23. (本小题10.0分)
一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C.一次函数y=−x+4的图象与x轴交于点B，与y轴交于点D.两函数图象交于点P(m,3)．
(1)求k和m的值；
(2)求线段AP的长；
(3)若直线AC上有一动点Q，过Q作直线QH，QH平行于y轴，QH直线BD于点H.当QH=OB时，求Q的坐标．
24. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，AB=10cm.动点P从点A出发，沿着A→C→B→A的路径，以每秒2cm的速度运动，当P回到A点时运动结束，设点P运动的时间为t秒．
(1)当t=2时，求△BPC的面积；
(2)若AP平分∠CAB，求t的值；
(3)深入探索：若点P运动到边AB，且△ACP是等腰三角形，求t的值．
25. (本小题12.0分)
已知，如图①，在▱ABCD中，∠A=90°，AB=BC=4 5，点E为CD上的一动点，连接BE，过点C作CH⊥BE于点H，以CH为腰作等腰直角△HCG，∠HCG=90°，连接DH．
(1)求证：四边形ABCD为正方形；
(2)如图②，当D，H，G三点共线时，求DH2+DG2的值；
(3)求DH的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A． 12= 22，所以A选项不符合题意；
B. 3为最简二次根式，所以B选项符合题意；
C. 4=2，所以C选项不符合题意；
D. 12=2 3，所以D选项不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义对各选项进行判断．
本题考查了最简二次根式：掌握最简二次根式满足的条件(被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式)是解决问题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、52+72≠102，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、32+42=52，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、62+82=102，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、12+( 3)2=22，能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3.【答案】D
【解析】解：∠A+∠C=180°与∠B+∠D=180°以及∠B+∠C=180°，都不能判定AD//BC或者AB=CD.故A、B、C不符合题意．
若∠A+∠B=180°时，AD//BC，所以根据“有两组对边互相平行的四边形是平行四边形”可以判定四边形ABCD是平行四边形，选项D符合题意．
故选：D．
平行四边形的五种判定方法分别是：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定逐一验证．
本题考查平行四边形的判定，对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
4.【答案】D
【解析】解：∵函数y=(k−3)x是正比例函数，且y随着x的增大而减小，
∴k−3<0，
解得k<3．
故选：D．
根据正比例函数y=(k−3)x中，y随着x增大而减小得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
本题考查的是一次函数图象与系数的关系，掌握正比例函数y=kx(k≠0)中，当k<0时，y随x的增大而减小是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵S甲2=0.80，S乙2=1.75，S丙2=0.32，S丁2=1.26，
∴S丙2
故选：C．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则它与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC，BD=2OD，∠ADO=12∠ADC，
∵∠ADC=60°，
∴∠ADO=30°，
∵AC=4，
∴AO=12AC=2，
∴OD= 3AO=2 3，
∴BD=4 3．
故选：A．
由菱形的性质，推出AC⊥BD，AO=OC，BD=2OD，∠ADO=12∠ADC，得到∠ADO=30°，AO=12AC=2，由直角三角形的性质求出OD= 3AO=2 3，得到BD=4 3．
本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，关键是由菱形的性质求出∠ADO=30°，AO=2，由直角三角形的性质即可解决问题．
7.【答案】D
【解析】解：∵AB=2.5米，AC=0.7米，
∴BC= AB2−AC2=2.4(米)，
∵梯子的顶部下滑0.4米，
∴BE=0.4米，
∴EC=BC−0.4=2米，
∴DC= DE2−EC2=1.5米．
∴梯子的底部向外滑出AD=1.5−0.7=0.8(米)．
故选：D．
首先在直角三角形ABC中计算出CB长，再由题意可得EC长，再次在直角三角形EDC中计算出DC长，从而可得AD的长度．
此题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，关键是掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
8.【答案】C
【解析】解：∵ (2a−1)2=|2a−1|=2a−1，
∴2a−1≥0，
即a≥12，
故选：C．
根据二次根式的性质与化简方法进行计算即可．
本题考查二次根式的性质与化简，理解负数没有平方根，即二次根式的被开方数为非负数是正确解答的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵正比例函数y=kx的图象在第二、第四象限，
∴k<0，
∵常数k和b互为相反数，
∴b>0，
∴一次函数y=kx−b在平面直角坐标系中的图象在第二、三、四象限，
故选：D．
根据正比例函数的性质确定k的符号，然后根据一次函数的性质即可得到结论．
本题考查了正比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握正比例函数和一次函数的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接AC、CF，
在正方形ABCD和正方形CEFG中，
∠ACG=45°，∠FCG=45°，
∴∠ACF=90°，
∵BC=2，CE=4，
∴AC=2 2，CF=4 2，
由勾股定理得，AF=2 10，又H是AF的中点，
∴CH=12AF= 10，
故选：B．
连接AC、CF，根据正方形的性质得到∠ACF=90°，根据勾股定理求出AF的长，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
11.【答案】 2
【解析】解： 8− 2
=2 2− 2
= 2．
故答案为： 2．
利用二次根式的减法的法则进行运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
12.【答案】三
【解析】解：∵直线y=−2x+4中，k=−2，b=4，
∴此直线经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故答案为：三．
先根据一次函数的解析式判断出k、b的值，再根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限．
13.【答案】 13
【解析】解：∵点P(−3,2)
∴点P(−3,2)到坐标原点的距离= (−3)2+22= 13，
故答案为： 13．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：∵1，7，8，a，4的平均数是5，
∴a=25−1−7−8−4=5，
因此这组数据为：1，7，8，5，4，
将这5个数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是5，
所以中位数是5，
故答案为：5．
根据平均数的计算方法求出a，再根据中位数的定义进行计算即可．
本题考查平均数、中位数，掌握平均数的计算方法，中位数的定义是正确解答的关键．
15.【答案】5
【解析】解：过E作EH⊥BD于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD=BC=8，
∴BD= AB2+AD2=10，
∵BE平分∠ABD，
∴AE=EH，
在Rt△ABE与Rt△HBE中，
AE=EHBE=BE，
∴Rt△ABE≌Rt△HBE(HL)，
∴BH=AB=6，
∴DH=10−6=4，
∵DE2=EH2+DH2，
∴DE2=(8−DE)2+42，
解得DE=5，
故答案为：5．
过E作EH⊥BD于H，根据勾股定理得到BD= AB2+AD2=10，根据角平分线的性质得到AE=EH，根据全等三角形的性质得到BH=AB=6，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，全等三角形 的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
16.【答案】−1
解得x=m+13y=m−23，
∵交点在第四象限，
∴m+13>0m−23<0，
解得−1
本题考查了两直线相交的问题，解一元一次不等式组，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．
17.【答案】解： 3( 12+1)
= 3× 12+ 3×1
=6+ 3．
【解析】利用二次根式的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】解：∵∠A=55°，∠C=35°，
∴∠B=180°−∠A−∠C=180°−55°−35°=90°．
故△ABC为直角三角形，
∴AB= AC2−BC2= 42−32= 7，
故AB的长为 7．
【解析】根据直角三角形勾股定理AB= AC2−BC2解．
本题考查直角三角形的勾股定理，解题的关键是先解出直角三角形，对勾股定理的熟练运用．
19.【答案】解：(1)S=x×20−2x2=−x2+10x，
周长20cm是常量；一边x cm，面积Scm2是变量．
(2)当x=6时，
S=−x2+10x
=−62+10×6
=−36+60
=24．
【解析】(1)根据函数的定义来确定常量与变量；根据矩形的面积公式写出S与x之间的关系式；
(2)代入数值求S的值．
本题考查了二次函数的定义，二次函数的解析式，函数值，解题的关键是列函数的解析式．
20.【答案】证明：∵AE//BF，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AC平分∠BAE，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴AB=BC，
∵AB=AD，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
【解析】根据平行线的性质得到∠DAC=∠ACB，根据角平分线的定义得到∠DAC=∠BAC，等量代换得到∠ACB=∠BAC，根据菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定，平行线的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
21.【答案】 5+ 7(答案不唯一)
【解析】解：(1)写出 5− 7的一个有理化因式： 5+ 7，
故答案为： 5+ 7(答案不唯一)；
(2)(2 3+3 2)(2 3−3 2)−( 3+ 2)2
=(2 3)2−(3 2)2−(5+2 6)
=12−18−5−2 6
=−11−2 6；
(3)222 5+3=22(2 5−3)(2 5+3)(2 5−3)=22(2 5−3)11=2(2 5−3)=4 5−6．
(1)根据互为有理化因式的定义，即可解答；
(2)利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答；
(3)根据材料2的解题思路进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理数，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22.【答案】解：(1)平均重量为：30×2.8+40×3+30×3.230+40+30=3(千克)，
答：鱼塘中这种鱼平均每条的重量为3千克；
(2)∵鱼放养的成活率是85%，
∴该鱼塘中共有鱼2000×85%=1700条，
总重量为：1700×3=5100(千克)，
答：估计鱼塘中这种鱼的总重量为5100千克；
(3)总收入为：5100×20=102000(元)，
∴102000−45000=57000(元)，
答：卖出后获得的纯利润为57000元．
【解析】(1)用加权平均数的计算方法求得鱼的平均重量即可；
(2)用总条数乘以成活率求得鱼的总条数，然后乘以平均重量即可求得总重量；
(3)算出总售价减去投资成本即可求得纯收入．
本题考查了用样本估计总体的知识，与实际生活联系非常密切，锻炼了学生们应用数学知识解决生活实际问题的能力．
23.【答案】解：(1)把P(m,3)代入一次函数y=−x+4中得3=−m+4，
∴m=1，
∴P(1,3)，
把P(1,3)代入一次函数y=kx+2中得3=k+2，
∴k=1；
(2)由(1)知y=x+2，
当y=0时，x=−2，
∴A(−2,0)，
∴AP= (1+2)2+32=3 2；
(3)由(1)得y=x+2，令y=0，得y=−x+4=0，
∴x=4，
∴OB=4，
设Q(t,t+2)，则H(t,−t+4)，
∵QH=OB，
∴|−t+4−(t+2)|=4，
∴|−t+1|=2，
解得t=3或t=−1，
当t=3时，t+2=5，
当t=−1时，t+2=1，
∴Q的坐标为(3,5)或(−1,1)．
【解析】(1)把P(m,3)代入一次函数y=−x+4中求出m，根据待定系数法即可求出k；
(2)根据两点间的距离公式即可求出AP；
(3)设Q(t,t+2)，则H(t,−t+4)，由QH=OB，得到|−t+4−(t+2)|=4，解方程求出t，即可求出Q的坐标．
本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，两点间的距离，分类讨论是解题的关键．
24.【答案】解：(1)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，AB=10cm，
∴BC= AB2−AC2= 102−62=8(cm)，
由题意得，当t=2时，AP=2t=4(cm)，则CP=6−4=2(cm)，
∴S△BPC=12×BC×CP=12×8×2=8(cm2)；
(2)当线段AP恰好平分∠CAB时，作PD⊥AB于D，如图2，
∵线段AP平分∠CAB，∠ACB=90°，PD⊥AB，
∴PC=PD，AC=AD=6(cm)，
∴BD=AB−AD=4(cm)，
在Rt△BPD中，PB2=PD2+BD2，即(8−PC)2=PC2+42，
解得，PC=3(cm)，
∴t=12(AC+PC)=12×(6+3)=4.5(s)，
∴当t=4.5s时，线段AP恰好平分∠CAB；
(3)如图3，当PA=PC时，∠PAC=∠PCA，
∵∠PAC+∠B=90°，∠ACP+∠PCB=90°，
∴∠PCB=∠PBC，
∴PA=PC=PB=5cm，
∴t=12(AC+CB+BP)=9.5(s)；
如图4，当AC=CP时，作CD⊥AB于点D，
△ABC的面积=12×AC×BC=12×AB×CD，即12×6×8=12×10×CD，
解得，CD=4.8，
在Rt△ACD中，AD= AC2−CD2= 62−4．82=3.6(cm)，
∴AP=2AD=7.2(cm)，
∴BP=AB−AP=2.8(cm)，
∴t=12(AC+CB+BP)=8.4(s)；
如图5，当AC=AP时，AP=6cm，AB=10cm，
∴PB=AB−AP=4cm，
∴t=12(AC+CB+BP)=9(s)；
综上所述，当t为9.5s或9s或8.4s时，△ACP是等腰三角形．
【解析】(1)根据题意求出CP，根据三角形面积公式计算；
(2)作PD⊥AB于D，根据角平分线的性质得到PC=PD，根据勾股定理列式计算；
(3)分PA=PC、AC=CP、AC=AP三种情况，根据等腰三角形的性质解答．
本题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想、掌握勾股定理和等腰三角形的性质定理是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形．
(2)解：连接BD，BG．
∵∠BCG+∠BCH=90°，
∴∠DCH+∠BCH=90°，
∴∠BCG=∠DCH，
∵CG=CH，BC=DC，
∴△BGC≌△DHC(SAS)，
∴BG=DH，∠BGC=∠DHC，
∵∠HCG=45°，
∴∠DHC=135°，
∴∠BGC=135°，
∵∠HGC=45°，
∴∠BGD=90°，
在Rt△BGD中，BG2+DG2=BD2=2AB2=160，
∵BG=DH，
∴DH2+DG2=160．
(3)解：∵∠BHC=90°，
∴点H在以BC的中点O为圆心，以2 5为半径的圆上运动．
∴DH≥OD−OH= DC2+OC2−2 5=10−2 5，
∴DH的最小值10−2 5．
【解析】(1)先证是矩形，再证是正方形；
(2)从DH2+DG2形式看，联想到勾股定理，说明三角形DHG是直角三角形即可；
(3)D，H两点一定一动，由CH⊥BE联想到隐圆．
此题以正方形为载体，考查了正方形的判断，三角形全等，隐圆及线段的最值，综合性强．
2022-2023学年广东省广州市南沙区八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子中，为最简二次根式的是( )
A. 12 B. 3 C. 4 D. 12
2. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是( )
A. 5，7，10 B. 3，4，5 C. 6，8，10 D. 1,2, 3
3. 在四边形ABCD中，AB//DC，当满足下列哪个条件时，可以得出四边形ABCD是平行四边形( )
A. ∠A+∠C=180° B. ∠B+∠D=180°
C. ∠A+∠B=180° D. ∠A+∠D=180°
4. 已知函数y=(k−3)x是正比例函数，且y随着x的增大而减小，则下面判断正确的是( )
A. k>0 B. k<0 C. k>3 D. k<3
5. 若甲、乙、丙、丁四位同学在八年级第一学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分，方差分别为S甲2=0.80，S乙2=1.75，S丙2=0.32，S丁2=1.26，则成绩最稳定的同学是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 菱形ABCD的对角线AC=4，∠D=60°，则对角线BD的长是( )
A. 4 3 B. 2 3 C. 4 D. 2
7. 如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？( )
A. 0.4 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8
8. 如果 (2a−1)2=2a−1，且a是非负数，则( )
A. 0
A. B.
C. D.
10. 如图，点B，C，E在同一直线上，分别以BC，CE为边作正方形ABCD和正方形CEFG，BC=2，CE=4，H是AF的中点，那么CH的长是( )
A. 2 2
B. 10
C. 2 10
D. 4 2
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算： 8− 2= ______ ．
12. 直线y=−2x+4的图象一定不经过第______ 象限．
13. 平面直角坐标系中，点P(−3,2)到坐标原点的距离是______ ．
14. 若一组数据：1，7，8，a，4的平均数是5，中位数是______ ．
15. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABD的平分线与边AD交于点E，则DE的长是______ ．
16. 直线y=−2x+m与直线y=x−1的交点在第四象限内，则m的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
计算： 3( 12+1)．
18. (本小题4.0分)
如图，在△ABC中，∠A=55°，∠C=35°，AC=4，BC=3.求AB的长．
19. (本小题6.0分)
周长为20cm的矩形，若它的一边长是x cm，面积是S cm2．
(1)请用含x的式子表示S，并指出常量与变量；
(2)当x=6时，求S的值．
20. (本小题6.0分)
如图，AE//BF，∠BAE的平分线交BF于点C，点D在AE上，AB=AD，连接CD．
求证：四边形ABCD是菱形．
21. (本小题8.0分)
请阅读下面的材料，并探索用材料中的方法解决问题．
【材料1】两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：( 3+ 2)( 3− 2)=1，我们称 3+ 2的一个有理化因式是 3− 2．
【材料2】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：2 3+ 2=2( 3− 2)( 3+ 2)( 3− 2)=2( 3− 2)1=2 3−2 2．
问题探究：(1)写出 5− 7的一个有理化因式：______ ；
(2)计算：(2 3+3 2)(2 3−3 2)−( 3+ 2)2；
(3)将式子222 5+3分母有理化．
22. (本小题10.0分)
某渔业养殖户在自家鱼塘中放养了某种鱼2000条，若干年后，准备打捞出售，为了估计鱼塘中这种鱼的总质量，现从鱼塘中捕捞三次，得到数据如下表：
鱼的条数(条)
平均每条鱼的质量(千克)
第一次
30
2.8
第二次
40
3
第三次
30
3.2
(1)求鱼塘中这种鱼平均每条的重量．
(2)若这种鱼放养的成活率是85%，请估计鱼塘中这种鱼的总重量.(新生鱼和死鱼不计算入内.)
(3)如果把鱼塘中放养的2000条中存活的这种鱼全部卖掉，价格为每千克20元，若投资成本为45000元，求卖出后获得的纯利润．
23. (本小题10.0分)
一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C.一次函数y=−x+4的图象与x轴交于点B，与y轴交于点D.两函数图象交于点P(m,3)．
(1)求k和m的值；
(2)求线段AP的长；
(3)若直线AC上有一动点Q，过Q作直线QH，QH平行于y轴，QH直线BD于点H.当QH=OB时，求Q的坐标．
24. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，AB=10cm.动点P从点A出发，沿着A→C→B→A的路径，以每秒2cm的速度运动，当P回到A点时运动结束，设点P运动的时间为t秒．
(1)当t=2时，求△BPC的面积；
(2)若AP平分∠CAB，求t的值；
(3)深入探索：若点P运动到边AB，且△ACP是等腰三角形，求t的值．
25. (本小题12.0分)
已知，如图①，在▱ABCD中，∠A=90°，AB=BC=4 5，点E为CD上的一动点，连接BE，过点C作CH⊥BE于点H，以CH为腰作等腰直角△HCG，∠HCG=90°，连接DH．
(1)求证：四边形ABCD为正方形；
(2)如图②，当D，H，G三点共线时，求DH2+DG2的值；
(3)求DH的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A． 12= 22，所以A选项不符合题意；
B. 3为最简二次根式，所以B选项符合题意；
C. 4=2，所以C选项不符合题意；
D. 12=2 3，所以D选项不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义对各选项进行判断．
本题考查了最简二次根式：掌握最简二次根式满足的条件(被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式)是解决问题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、52+72≠102，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、32+42=52，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、62+82=102，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、12+( 3)2=22，能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3.【答案】D
【解析】解：∠A+∠C=180°与∠B+∠D=180°以及∠B+∠C=180°，都不能判定AD//BC或者AB=CD.故A、B、C不符合题意．
若∠A+∠B=180°时，AD//BC，所以根据“有两组对边互相平行的四边形是平行四边形”可以判定四边形ABCD是平行四边形，选项D符合题意．
故选：D．
平行四边形的五种判定方法分别是：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定逐一验证．
本题考查平行四边形的判定，对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
4.【答案】D
【解析】解：∵函数y=(k−3)x是正比例函数，且y随着x的增大而减小，
∴k−3<0，
解得k<3．
故选：D．
根据正比例函数y=(k−3)x中，y随着x增大而减小得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
本题考查的是一次函数图象与系数的关系，掌握正比例函数y=kx(k≠0)中，当k<0时，y随x的增大而减小是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵S甲2=0.80，S乙2=1.75，S丙2=0.32，S丁2=1.26，
∴S丙2
故选：C．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则它与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC，BD=2OD，∠ADO=12∠ADC，
∵∠ADC=60°，
∴∠ADO=30°，
∵AC=4，
∴AO=12AC=2，
∴OD= 3AO=2 3，
∴BD=4 3．
故选：A．
由菱形的性质，推出AC⊥BD，AO=OC，BD=2OD，∠ADO=12∠ADC，得到∠ADO=30°，AO=12AC=2，由直角三角形的性质求出OD= 3AO=2 3，得到BD=4 3．
本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，关键是由菱形的性质求出∠ADO=30°，AO=2，由直角三角形的性质即可解决问题．
7.【答案】D
【解析】解：∵AB=2.5米，AC=0.7米，
∴BC= AB2−AC2=2.4(米)，
∵梯子的顶部下滑0.4米，
∴BE=0.4米，
∴EC=BC−0.4=2米，
∴DC= DE2−EC2=1.5米．
∴梯子的底部向外滑出AD=1.5−0.7=0.8(米)．
故选：D．
首先在直角三角形ABC中计算出CB长，再由题意可得EC长，再次在直角三角形EDC中计算出DC长，从而可得AD的长度．
此题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，关键是掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
8.【答案】C
【解析】解：∵ (2a−1)2=|2a−1|=2a−1，
∴2a−1≥0，
即a≥12，
故选：C．
根据二次根式的性质与化简方法进行计算即可．
本题考查二次根式的性质与化简，理解负数没有平方根，即二次根式的被开方数为非负数是正确解答的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵正比例函数y=kx的图象在第二、第四象限，
∴k<0，
∵常数k和b互为相反数，
∴b>0，
∴一次函数y=kx−b在平面直角坐标系中的图象在第二、三、四象限，
故选：D．
根据正比例函数的性质确定k的符号，然后根据一次函数的性质即可得到结论．
本题考查了正比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握正比例函数和一次函数的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接AC、CF，
在正方形ABCD和正方形CEFG中，
∠ACG=45°，∠FCG=45°，
∴∠ACF=90°，
∵BC=2，CE=4，
∴AC=2 2，CF=4 2，
由勾股定理得，AF=2 10，又H是AF的中点，
∴CH=12AF= 10，
故选：B．
连接AC、CF，根据正方形的性质得到∠ACF=90°，根据勾股定理求出AF的长，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
11.【答案】 2
【解析】解： 8− 2
=2 2− 2
= 2．
故答案为： 2．
利用二次根式的减法的法则进行运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
12.【答案】三
【解析】解：∵直线y=−2x+4中，k=−2，b=4，
∴此直线经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故答案为：三．
先根据一次函数的解析式判断出k、b的值，再根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限．
13.【答案】 13
【解析】解：∵点P(−3,2)
∴点P(−3,2)到坐标原点的距离= (−3)2+22= 13，
故答案为： 13．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：∵1，7，8，a，4的平均数是5，
∴a=25−1−7−8−4=5，
因此这组数据为：1，7，8，5，4，
将这5个数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是5，
所以中位数是5，
故答案为：5．
根据平均数的计算方法求出a，再根据中位数的定义进行计算即可．
本题考查平均数、中位数，掌握平均数的计算方法，中位数的定义是正确解答的关键．
15.【答案】5
【解析】解：过E作EH⊥BD于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD=BC=8，
∴BD= AB2+AD2=10，
∵BE平分∠ABD，
∴AE=EH，
在Rt△ABE与Rt△HBE中，
AE=EHBE=BE，
∴Rt△ABE≌Rt△HBE(HL)，
∴BH=AB=6，
∴DH=10−6=4，
∵DE2=EH2+DH2，
∴DE2=(8−DE)2+42，
解得DE=5，
故答案为：5．
过E作EH⊥BD于H，根据勾股定理得到BD= AB2+AD2=10，根据角平分线的性质得到AE=EH，根据全等三角形的性质得到BH=AB=6，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，全等三角形 的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
16.【答案】−1
解得x=m+13y=m−23，
∵交点在第四象限，
∴m+13>0m−23<0，
解得−1
本题考查了两直线相交的问题，解一元一次不等式组，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．
17.【答案】解： 3( 12+1)
= 3× 12+ 3×1
=6+ 3．
【解析】利用二次根式的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】解：∵∠A=55°，∠C=35°，
∴∠B=180°−∠A−∠C=180°−55°−35°=90°．
故△ABC为直角三角形，
∴AB= AC2−BC2= 42−32= 7，
故AB的长为 7．
【解析】根据直角三角形勾股定理AB= AC2−BC2解．
本题考查直角三角形的勾股定理，解题的关键是先解出直角三角形，对勾股定理的熟练运用．
19.【答案】解：(1)S=x×20−2x2=−x2+10x，
周长20cm是常量；一边x cm，面积Scm2是变量．
(2)当x=6时，
S=−x2+10x
=−62+10×6
=−36+60
=24．
【解析】(1)根据函数的定义来确定常量与变量；根据矩形的面积公式写出S与x之间的关系式；
(2)代入数值求S的值．
本题考查了二次函数的定义，二次函数的解析式，函数值，解题的关键是列函数的解析式．
20.【答案】证明：∵AE//BF，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AC平分∠BAE，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴AB=BC，
∵AB=AD，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
【解析】根据平行线的性质得到∠DAC=∠ACB，根据角平分线的定义得到∠DAC=∠BAC，等量代换得到∠ACB=∠BAC，根据菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定，平行线的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
21.【答案】 5+ 7(答案不唯一)
【解析】解：(1)写出 5− 7的一个有理化因式： 5+ 7，
故答案为： 5+ 7(答案不唯一)；
(2)(2 3+3 2)(2 3−3 2)−( 3+ 2)2
=(2 3)2−(3 2)2−(5+2 6)
=12−18−5−2 6
=−11−2 6；
(3)222 5+3=22(2 5−3)(2 5+3)(2 5−3)=22(2 5−3)11=2(2 5−3)=4 5−6．
(1)根据互为有理化因式的定义，即可解答；
(2)利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答；
(3)根据材料2的解题思路进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理数，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22.【答案】解：(1)平均重量为：30×2.8+40×3+30×3.230+40+30=3(千克)，
答：鱼塘中这种鱼平均每条的重量为3千克；
(2)∵鱼放养的成活率是85%，
∴该鱼塘中共有鱼2000×85%=1700条，
总重量为：1700×3=5100(千克)，
答：估计鱼塘中这种鱼的总重量为5100千克；
(3)总收入为：5100×20=102000(元)，
∴102000−45000=57000(元)，
答：卖出后获得的纯利润为57000元．
【解析】(1)用加权平均数的计算方法求得鱼的平均重量即可；
(2)用总条数乘以成活率求得鱼的总条数，然后乘以平均重量即可求得总重量；
(3)算出总售价减去投资成本即可求得纯收入．
本题考查了用样本估计总体的知识，与实际生活联系非常密切，锻炼了学生们应用数学知识解决生活实际问题的能力．
23.【答案】解：(1)把P(m,3)代入一次函数y=−x+4中得3=−m+4，
∴m=1，
∴P(1,3)，
把P(1,3)代入一次函数y=kx+2中得3=k+2，
∴k=1；
(2)由(1)知y=x+2，
当y=0时，x=−2，
∴A(−2,0)，
∴AP= (1+2)2+32=3 2；
(3)由(1)得y=x+2，令y=0，得y=−x+4=0，
∴x=4，
∴OB=4，
设Q(t,t+2)，则H(t,−t+4)，
∵QH=OB，
∴|−t+4−(t+2)|=4，
∴|−t+1|=2，
解得t=3或t=−1，
当t=3时，t+2=5，
当t=−1时，t+2=1，
∴Q的坐标为(3,5)或(−1,1)．
【解析】(1)把P(m,3)代入一次函数y=−x+4中求出m，根据待定系数法即可求出k；
(2)根据两点间的距离公式即可求出AP；
(3)设Q(t,t+2)，则H(t,−t+4)，由QH=OB，得到|−t+4−(t+2)|=4，解方程求出t，即可求出Q的坐标．
本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，两点间的距离，分类讨论是解题的关键．
24.【答案】解：(1)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，AB=10cm，
∴BC= AB2−AC2= 102−62=8(cm)，
由题意得，当t=2时，AP=2t=4(cm)，则CP=6−4=2(cm)，
∴S△BPC=12×BC×CP=12×8×2=8(cm2)；
(2)当线段AP恰好平分∠CAB时，作PD⊥AB于D，如图2，
∵线段AP平分∠CAB，∠ACB=90°，PD⊥AB，
∴PC=PD，AC=AD=6(cm)，
∴BD=AB−AD=4(cm)，
在Rt△BPD中，PB2=PD2+BD2，即(8−PC)2=PC2+42，
解得，PC=3(cm)，
∴t=12(AC+PC)=12×(6+3)=4.5(s)，
∴当t=4.5s时，线段AP恰好平分∠CAB；
(3)如图3，当PA=PC时，∠PAC=∠PCA，
∵∠PAC+∠B=90°，∠ACP+∠PCB=90°，
∴∠PCB=∠PBC，
∴PA=PC=PB=5cm，
∴t=12(AC+CB+BP)=9.5(s)；
如图4，当AC=CP时，作CD⊥AB于点D，
△ABC的面积=12×AC×BC=12×AB×CD，即12×6×8=12×10×CD，
解得，CD=4.8，
在Rt△ACD中，AD= AC2−CD2= 62−4．82=3.6(cm)，
∴AP=2AD=7.2(cm)，
∴BP=AB−AP=2.8(cm)，
∴t=12(AC+CB+BP)=8.4(s)；
如图5，当AC=AP时，AP=6cm，AB=10cm，
∴PB=AB−AP=4cm，
∴t=12(AC+CB+BP)=9(s)；
综上所述，当t为9.5s或9s或8.4s时，△ACP是等腰三角形．
【解析】(1)根据题意求出CP，根据三角形面积公式计算；
(2)作PD⊥AB于D，根据角平分线的性质得到PC=PD，根据勾股定理列式计算；
(3)分PA=PC、AC=CP、AC=AP三种情况，根据等腰三角形的性质解答．
本题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想、掌握勾股定理和等腰三角形的性质定理是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形．
(2)解：连接BD，BG．
∵∠BCG+∠BCH=90°，
∴∠DCH+∠BCH=90°，
∴∠BCG=∠DCH，
∵CG=CH，BC=DC，
∴△BGC≌△DHC(SAS)，
∴BG=DH，∠BGC=∠DHC，
∵∠HCG=45°，
∴∠DHC=135°，
∴∠BGC=135°，
∵∠HGC=45°，
∴∠BGD=90°，
在Rt△BGD中，BG2+DG2=BD2=2AB2=160，
∵BG=DH，
∴DH2+DG2=160．
(3)解：∵∠BHC=90°，
∴点H在以BC的中点O为圆心，以2 5为半径的圆上运动．
∴DH≥OD−OH= DC2+OC2−2 5=10−2 5，
∴DH的最小值10−2 5．
【解析】(1)先证是矩形，再证是正方形；
(2)从DH2+DG2形式看，联想到勾股定理，说明三角形DHG是直角三角形即可；
(3)D，H两点一定一动，由CH⊥BE联想到隐圆．
此题以正方形为载体，考查了正方形的判断，三角形全等，隐圆及线段的最值，综合性强．
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