2022-2023学年四川省成都市天府新区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

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2022-2023学年四川省成都市天府新区八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 已知x>y，下列不等式一定成立的是(    )
A. −2x>−2y B. x−312y
3. 已知一次函数y=(m+2)x−6，若y的值随x值增大而减小，则m的取值范围是(    )
A. m<−2 B. m>−2 C. m<6 D. −2 4. 如果一个多边形的每个内角与它的外角相等，则它的边数为(    )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 在四边形ABCD中，AB/​/CD，下列添加的条件中，不能使四边形ABCD是平行四边形的是(    )
A. AB=CD B. BC/​/AD C. BC=AD D. ∠A=∠C
6. 如图，△ABC经过平移得到△DEF，DE分别交BC，AC于点G，H，若∠B=97°，∠C=40°，则∠GHC的度数为(    )

A. 147° B. 40° C. 97° D. 43°
7. 将关于x的分式方程3x−2−2=52−x去分母后所得整式方程正确的是(    )
A. 3(2−x)−2(x−2)=5 B. 3−2(x−2)=−5
C. −3−2(x−2)=5 D. 3−2(x−2)=5
8. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，BE=3，EO=3.5，则▱ABCD的周长为(    )

A. 9.5 B. 13 C. 26 D. 19
9. 分解因式：x2y−2xy+y=______．
10. 若分式xx+4有意义，则x的取值范围为______ ．
11. 一次函数y=kx和y=−x+3的图象如图所示，则关于x的不等式kx≥−x+3的解集为______ ．


12. 如图，△ABC是等边三角形，延长BC到D，使∠ADB=50°，在AC右侧作等腰直角△ACE，CE与AD相交于点F，则∠DAE的度数为______ ．

13. 如图，在直角△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，F；
②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点G；③作射线AG交BC于点D；若AC=8，BC=6，则CD的长为______


14. (1)解不等式组：2x−13−5x+12≤1,①5x−1<3(x+1).②
(2)先化简，再求值：(1−1x−1)÷x2−4x+4x−1，其中，x= 2+2．
15. 如图，在正方形网格中，每个小方格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点位置如图所示，若点A的坐标为(a,2)，点B的坐标为(6,b)．
(1)在图中画出平面直角坐标系xOy，并写出点B的坐标；
(2)平移△ABC，使得点C平移到点F的位置，A，B点平移后的对应点分别是D，E，画出△DEF；
(3)求BE的长度．

16. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OF=13OA，OE=13OC，连接BE，BF，DE，DF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若BE⊥AC，CE=12，DF=8，求BD的长．

17. “成都成就梦想”，第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日在成都举行，某特许经销商试销售A，B两类大运会纪念品，若A类纪念品每个进价比B类纪念品每个进价少5元，且用90元购进A类纪念品的数量和100元购进B类纪念品的数量相同．
(1)求A，B两类纪念品每个进价分别是多少元？
(2)若该经销商购进A类纪念品数量比B类纪念品数量的3倍还少5个，两类纪念品的总数不超过95个，且B类纪念品的个数多于24个，求该经销商应购进B类纪念品多少个？
18. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠D=60°，以AD为边向下作等边△ADE，F是AD上一点，AB=AF，连接CF，作∠GFG=60°且GF与AE交于点G，连接CG．
(1)求证：△AFG≌△DCF；
(2)若∠GCB=45°，试判断CF，DE的数量关系，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，若CF= 6，求平行四边形ABCD的面积．

19. 已知a+b=3，ab=2，则多项式a2b+ab2的值为______ ．
20. 有6张大小形状相同的卡片，正面分别写有1，2，3，4，5，6这6个数字，将它们的背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为m，能使关于x的分式方程2x−mx−1=3的解为正整数的概率是______ ．
21. 已知，如图，Rt△ABC面积为30，∠ACB=90°，CD为△ABC的中线，若CD=132，则△ABC的周长为______ ．

22. 我们称形如ax+b>0bx+a>0(其中ba为整数)的不等式组为“互倒不等式组”，若互倒不等式组ax+b>0bx+a>0(其中ba为整数)有且仅有1，2两个正整数解，则ba= ______ ．
23. 如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，D为AB中点，E为直线BC上一点，以DE为边在DE右侧作等边△DEF，连接AF，则AF的最小值为______ ．

24. 为我市创建全国文明典范城市，天府新区开展了“文明进万家⋅千企大联动”活动，在文明接力的同时，众多商家专门对文明市民给予特殊照顾——提供“折上折”大优惠.某商家根据近段时间的销售需求，购进甲、乙两种商品，已知按进价购买2件甲商品与3件乙商品费用为180元，按进价购买3件甲商品的费用比2件乙商品的费用多75元．
(1)求甲乙商品每件的进价各是多少元；
(2)商家准备购进甲乙两种商品共300件，且甲商品件数的3倍不低于乙商品件数.甲乙商品的原售价分别为62元/件，50元/件，现做以下优惠活动：甲商品销售单价降低9元，乙商品打八折售价，若300件商品全部卖完，则该商家的总利润W最大是多少元？
25. 如图，直线y=x+2与坐标轴交于A，B两点，点C坐标为(112,0)，将B点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到点D，直线CD交直线AB于点E．

(1)求直线CD的表达式；
(2)我们定义：如果一个三角形中有一个内角为45°，则称这个三角形为“天府三角形”
①点F是直线AB上第一象限内一点，若△EFD为“天府三角形”，求点F的坐标；
②在①的条件下，当点F的横坐标大于72时，作点B关于x轴的对称点B′，点P为直线FD上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP的中点，连接B′Q，当AP+2B′Q最小时，求点Q的坐标．
26. 在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC= 2，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为a(0° (1)如图1，当a=45°时，求BP的长；
(2)如图2，若∠CPB=135°，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由；
(3)在旋转过程中，当CP=BP时，求旋转角α的度数．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．
【解答】
解：A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
故选：B．  
2.【答案】D 
【解析】解：A、∵x>y，∴−2x<−2y，原变形错误，不符合题意；
B、∵x>y，∴x−3>y−3，原变形错误，不符合题意；
C、∵x>y，∴x3>y3，原变形错误，不符合题意；
D、∵x>y，∴12x>12y，正确，符合题意．
故选：D．
根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．

3.【答案】A 
【解析】解：∵一次函数y=(m+2)x−6的y随x的增大而减小，
∴m+2<0，
解得：m<−2．
故答案为：A．
由一次函数y=(m+2)x−6的y随x的增大而减小，列出m+2<0，即可求得．
本题考查了一次函数的增减性来确定自变量系数的取值范围，本题关键是根据增减性列出不等式．

4.【答案】A 
【解析】解：设每一个外角为x°，则每一个内角为x°，
根据题意，得x+x=180，
解得x=90．
∴360÷90=4，
答：它的边数为4．
故选：A．
一个多边形的每个内角与它的外角相等，它的外角=90°.多边形的外角和是360°，这个多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．
本题考查了多边形的内角与外角．根据正多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟记．

5.【答案】C 
【解析】解：A、∵AB/​/CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB/​/CD，BC/​/AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AB/​/CD，BC=AD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意；
D、∵AB/​/CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠B+∠A=180°，
∴AD/​/BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：∵∠B=97°，∠C=40°，
∴∠A=180°−97°−40°=43°，
由平移的性质可知∠D=∠A=43°，AC/​/DF，
∴∠GHC=∠D=43°，
故选：D．
求出∠D=43°，判断出AB/​/DE，利用平行线的性质求解即可．
本题考查三角形内角和定理，平移变换的性质等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．

7.【答案】B 
【解析】解：原分式方程可化为
3x−2−2=−5x−2，
方程两边乘x−2得，
3−2(x−2)=−5，
故选：B．
分式方程去分母转化为整式方程，从而进行判断．
本题考查了解分式方程，利用了转化思想，一定要注意符号问题．

8.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，
∵OE=3.5，点E为BC边的中点，
∴DC=2OE=7，BC=2BE=6，
∴C平行四边形ABCD=2(DC+BC)=2×(7+6)=26．
故选：C．
根据平行四边形的性质和三角形中位线定理可得DC=2OE=7，BC=2BE=6，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，求出BC的长是解题的关键．

9.【答案】y(x−1)2 
【解析】解：x2y−2xy+y，
=y(x2−2x+1)，
=y(x−1)2．
故答案为：y(x−1)2．
先提取公因式y，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2−2ab+b2=(a−b)2．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．

10.【答案】x≠−4 
【解析】解：由题意可知：x+4≠0，
∴x≠−4，
故答案为：x≠−4．
根据分母不为零即可求出答案．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．

11.【答案】x≥1 
【解析】解：不等式kx≥−x+3的解集为x≥1．
故答案为：x≥1．
写出直线y=kx在直线y=−x+3上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

12.【答案】35° 
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ADB=50°，
∴∠DAC=∠ACB−∠ADB=60°−50°=10°，
∵等腰直角△ACE，
∴∠CAE=45°，
∴∠DAE=∠CAE−∠DAC=45°−10°=35°，
故答案为：35°．
根据等边三角形的性质得出∠ACB=60°，进而利用三角形外角性质得出∠DAC=10°，进而利用等腰直角三角形的性质解答即可．
此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质得出∠ACB=60°解答．

13.【答案】83 
【解析】解：过D作DH⊥AB于H，
由作图知，AD平分∠CAB，
∵∠C=90°，
∴CD=DH，
∵AC=8，BC=6，
∴AB= AC2+BC2=10，
在Rt△ACD与Rt△AHD中，
CD=DHAD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AHD(HL)，
∴AH=AC=8，
∴CH=2，
∵BD2=DH2+BH2，
∴(6−CD)2=CD2+22，
∴CD=83，
故答案为：83．
过D作DH⊥AB于H，由作图知，AD平分∠CAB，根据勾股定理得到AB= AC2+BC2=10，根据全等三角形的性质得到AH=AC=8，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地直线辅助线是解题的关键．

14.【答案】解：(1)解不等式①得：x≥−1，
解不等式②得：x<2，
故原不等式组的解集为：−1≤x<2；
(2)(1−1x−1)÷x2−4x+4x−1
=x−2x−1⋅x−1(x−2)2
=1x−2，
当x= 2+2时，
原式=1 2+2−2
= 22． 
【解析】(1)利用解一元一次不等式组的方法进行求解即可；
(2)根据分式的相应的法则对式子进行化简，再把相应的值代入运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

15.【答案】解：(1)如图所示，平面直角坐标系xOy即为所求，B(6,1)；
(2)如图所示，△DEF即为所求；
(3)BE= 62+52= 61．
 
【解析】(1)根据点的坐标作出平面直角坐标系即可；
(2)根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
(3)根据勾股定理求解即可．
本题考查了平移变换的性质，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．

16.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵OF=13OA，OE=13OC，
∴OF=OE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)解：由(1)可知，OB=OD，四边形BEDF是平行四边形，
∴BE=DF=8，
∵OE=13OC，CE=12，
∴OE=12CE=6，
∵BE⊥AC，
∴∠BEO=90°，
∴OB= BE2+OE2= 82+62=10，
∴BD=2OB=20，
即BD的长为20． 
【解析】(1)由平行四边形的性质得OB=OD，OA=OC，再证OF=OE，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
(2)由平行四边形的性质得BE=DF=8，再求出OE=12CE=6，然后由勾股定理得OB=10，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

17.【答案】解：(1)设A类纪念品每个进价是x元，则B类纪念品每个进价是(x+5)元，
根据题意得：90x=100x+5，
解得：x=45，
经检验，x=45是所列方程的解，且符合题意，
∴x+5=45+5=50．
答：A类纪念品每个进价是45元，B类纪念品每个进价是50元；
(2)设该经销商购进B类纪念品m个，则购进A类纪念品(3m−5)个，
根据题意得：3m−5+m≤95m>24，
解得：24 又∵m为正整数，
∴m=25．
答：该经销商应购进B类纪念品25个． 
【解析】(1)设A类纪念品每个进价是x元，则B类纪念品每个进价是(x+5)元，利用数量=总价÷单价，结合用90元购进A类纪念品的数量和100元购进B类纪念品的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出A类纪念品每个的进价，再将其代入(x+5)中，即可求出B类纪念品每个的进价；
(2)设该经销商购进B类纪念品m个，则购进A类纪念品(3m−5)个，根据“购进两类纪念品的总数不超过95个，且B类纪念品的个数多于24个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

18.【答案】(1)证明：∵△ADE为等边三角形，
∴∠DAE=∠ADE=60°，即∠FAG=∠CDF，
∴∠AFG+∠AGF=120°，
∵∠CFG=60°，
∴∠AFG+∠DFC=120°，
∴∠AGF=∠DFC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，
∵AB=AF，
∴AF=CD，
在△AFG和△DCF中，
∠AGF=∠DFC∠FAG=∠CDFAF=CD，
∴△AFG≌△DCF(AAS)；
(2)解：DE= 2CF，理由如下：
如图，过点G作GH⊥BC于点H，

由(1)知，△AFG≌△DCF，
∴FG=CF，
∵∠CFG=60°，
∴△CFG为等边三角形，
∴FG=CG，∠CGF=60°，
∴∠AGF+∠CGE=120°，
∵△ADE为等边三角形，
∴∠FAG=∠GEC=60°，
∴ECG+∠CGE=120°，
∴∠AGF=∠ECG，
在△AFG和△EGC中，
∠FAG=∠GEC∠AGF=∠ECGFG=CG，
∴△AFG≌△EGC(AAS)，
∴AG=CE，
∵GC⊥BC，∠GCB=45°，
∴△CHG为等腰直角三角形，GH=CH，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD/​/BC，
∴∠CKE=∠DAE=60°，∠KCE=∠ADE=60°，
∴△CKE为等边三角形，
∴CE=CK=KE=AG，∠CKE=60°，
∴∠GKH=∠CKE=60°，
在Rt△GKH中，∠HGK=30°，
∴GK=2HK，GH= 3HK，
设HK=a，
∴GK=2a，GH=CH= 3a，
∴CF=CG= 2GH= 6a，
∴CE=AG=KE=CK=CH−HK= 3a−a=( 3−1)a，
∴DE=AE=AG+GK+KE=( 3−1)a+2a+( 3−1)a=2 3a，
∴DECF=2 3a 6a= 2，
∴DE= 2CF；
(3)解：如图，过点C作CM⊥AD于点M，

由(2)知，CF= 6a，
∵CF= 6，
∴a=1，
∴AD=DE= 2CF= 2× 6=2 3，
由(2)知，△AFG≌△EGC，
∴AF=EG，
∵CD=AB=AF，
∴CD=EG=GK+KE=2a+( 3−1)a= 3+1，
∵∠D=60°，
∴∠DCM=30°，
∴DM=12CD= 3+12，
∴CM= 3DM=3+ 32，
∴S▱ABCD=AD⋅CM=2 3×3+ 32=3 3+3． 
【解析】(1)由△ADE为等边三角形可得∠FAG=∠CDF，由三角形内角和定理得∠AFG+∠AGF=120°，由平角的定义得∠AFG+∠DFC=120°，根据同角加等角相等得∠AGF=∠DFC，由平行四边形的性质易得AB=CD=AF，以此即可通过AAS证明△AFG≌△DCF；
(2)过点G作GH⊥BC于点H，用利用(1)中方法可△AFG≌△EGC，得到AG=CE，易得△CHG为等腰直角三角形，GH=CH，易得△CKE为等边三角形，CE=CK=KE=AG，由含30度角的直角三角形性质可得GK=2HK，GH= 3HK，设HK=a，则GK=2a，CE=AG=KE=CK=( 3−1)a，CF=CG= 2GH= 6a，以此即可得到结论；
(3)过点C作CM⊥AD于点M，由CF= 6可知a=1，于是求得AD=DE= 2CF=2 3，由△AFG≌△EGC得AF=EG，进而得CD=AB=AF，则CD=EG=GK+KE= 3+1，由含30度角的直角三角形性质可得DM=12CD= 3+12，CM= 3DM=3+ 32，于是S▱ABCD=AD⋅CM，代入计算即可求解．
本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形性质、平行四边形的面积公式，解题关键是灵活应用所学知识解决问题．

19.【答案】6 
【解析】解：∵a+b=3，ab=2，
∴a2b+ab2
=ab(a+b)
=2×3
=6，
故答案为：6．
将a2b+ab2因式分解后代入数值计算即可．
本题考查因式分解的应用，将原式因式分解成ab(a+b)是解题的关键．

20.【答案】16 
【解析】解：解方程2x−mx−1=3得x=3−m，
因为方程的解为正整数，
因为x−1≠0，
所以m≠2，
所以m的值为1共1个，
所以使关于x的分式方程2x−mx−1=3的解为正整数的概率是16，
故答案为：16．
解分式方程得x=3−m，根据解为正整数得出m的范围，据此确定符合条件的m的值的个数，再根据概率公式计算可得．
此题考查了概率公式的应用以及分式方程的解的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21.【答案】30 
【解析】解：设BC=a，AC=b，AB=c，
∵Rt△ABC面积为30，∠ACB=90°，
∴12ab=30，
∴ab=60，
∵CD为△ABC的中线，CD=132，
∴c=2CD=13，
∵a2+b2=c2，
∴(a+b)2−2ab=132，
∴a+b=17，
∴△ABC的周长=a+b+c=17+13=30．
故答案为：30．
设BC=a，AC=b，AB=c，由三角形面积公式得到ab=60，由直角三角形斜边中线的性质得到c=2CD=13，由勾股定理得到a2+b2=c2，因此(a+b)2−2ab=132，即可求出a+b=17，即可得到△ABC的周长=a+b+c=17+13=30．
本题考查直角三角形斜边中线的性质，三角形的面积，完全平方公式，勾股定理，关键是以上知识点求出a+b=17．

22.【答案】−3 
【解析】解：ax+b>0①bx+a>0②，a≠0，
若b=0，则原不等式可化为ax>0a>0，
如a<0，不等式组无解；若a>0，解得：x>0，均不合题意；
若a>0，b>0，则任意正整数都满足ax+b>0bx+a>0，不符合题意；
若a<0，b<0，则任意正整数都不满足ax+b>0bx+a>0，不符合题意；
∴a，b必定是异号的，
∵ba是整数，
∴b能被a整除，即|b|>|a|，
∴|ba|≥1≥|ab|，
∵a，b异号，
∴−ab≤1≤−ba(当且仅当a=−b时取等号)，
∴若a>0，b<0，
由①得：x>−ba，由②得：x<−ab，
由−ab≤1≤−ba可知，此时无解；
∴只能是a<0，b>0，
由①得x<−ba，由②得：x>−ab，
∴不等式组的解集为−ab ∵互倒不等式组ax+b>0bx+a>0(其中ba为整数)有且仅有1，2两个正整数解，
∴0<−ab<1<2<−ba≤3，
∵ba为整数，
∴−ba=3，
此时ab=−13代入0<−ab<1得：0<13<1，符合题意，
则ba=−3．
故答案为：−3．
首先a，b必须是异号的，否则不等式组必定有无数个正整数解或没有正整数解，从而推出a<0，b>0，进而确定出−ba的范围，求出ba的值即可．
此题考查了解一元一次不等式组的整数解，根据不等式组的解的情况求式子的值，推导出a<0，b>0是解本题的关键．

23.【答案】 32 
【解析】解：过点D作DM⊥BC于点M，过点F作FN⊥AB于点N，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°
又∵DM⊥BC，
∴∠BDM=30°
又∵AB=2，D为AB中点，
∴BD=12AB=1，
∴BM=12BD=12
∴DM= BD2−BM2= 32
∵△DEF为等边三角形，
∴∠EDF=60°，DE=DF，
①当点N在点D下方时，作图如下：(两图情况略有不同，但证明过程完全一致)

∵∠BDM=30°，∠EDF=60°，
∴∠EDF+∠BDM=∠EDM+∠NDF=90°，
又∵DM⊥BC，
∴∠EDM+∠MED=90°
∴∠NDF=∠MED，
∵∠DNF=∠EMD=90°，∠NDF=∠MED，DE=DF，
∴△DNF≌△EMD(AAS)；
∴FN=DM= 32，
∴此时，点F在直线AB的右侧，且与AB距离为 32的直线上，这条直线与AB平行；
②当点N在点D上方时，作图如下：

∵∠BDM=30°，∠EDF=60°，
∴∠EDF+∠BDM=90°，
∴∠EDM+∠NDF=180°−(∠EDF+∠BDM)=90°，
又∵DM⊥BC，
∴∠EDM+∠MED=90°，
∴∠NDF=∠MED，
∵∠DNF=∠EMD=90°，∠NDF=∠MED，DE=DF，
∴△DNF≌△EMD(AAS)，
∴FN=DM= 32，
∴此时，点F在直线AB的右侧，且与AB距离为 32的直线上，这条直线与AB平行；
③当点D与点N重合时，作图如下：

由图可知：FN=DM= 32，
∴此时，点F在直线AB的右侧，且与AB距离为 32的直线上，这条直线与AB平行；
综上所述：点F在直线AB的右侧，且与AB距离为 32的直线上，这条直线与AB平行．根据垂线段最短可知：当点N与点A重合时，AF最小，即AFmin=NF= 32．
故答案为： 32．
过点D作DM⊥BC于点M，点F作FN⊥AB于点N，分①点N在点D下方，②点N在点D上方，③点N与点D重合三种情况讨论，都可以得到FN=DM= 32，重合得到点F在直线AB的右侧，且与AB距离为 32的直线上，这条直线与AB平行，再根据垂线段最短可知：当点N与点A重合时，AF最小，重合得解．
本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，推断出“点F在直线AB的右侧，且与AB距离为 32的直线上，这条直线与AB平行”是解题的关键．

24.【答案】解：(1)设甲商品每件的进价是m元，乙商品每件的进价是n元，
由题意得：2m+3n=1803m=2n+75，
解得：m=45n=30，
∴甲商品每件的进价是45元，乙商品每件的进价是30元；
(2)设购进甲种商品x件，则购进乙种商品(300−x)件，
∵甲商品件数的3倍不低于乙商品件数，
∴3x≥300−x，
解得x≥75，
根据题意得：W=(62−9−45)x+(50×0.8−30)(300−x)=−2x+3000，
∵−2<0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x=75时，W取最大值−2×75+3000=2850，
∴该商家的总利润W最大是2850元． 
【解析】(1)设甲乙商品每件的进价各是m、n元，由题意可以得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
(2)设购进甲种商品x件，由甲商品件数的3倍不低于乙商品件数，得3x≥300−x，解得x≥75，而W=(62−9−45)x+(50×0.8−30)(300−x)=−2x+3000，根据一次函数性质可得答案．
本题考查二元一次方程组应用和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．

25.【答案】解：(1)在y=x+2中，当x=0时，y=x+2=2．
∴B(0,2)；
将B(0,2)点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到点D，
∴D(4,1)，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
∴4k+b=1112k+b=0，
解得k=−23b=113，
∴直线CD的解析式为y=−23x+113，
(2)①如图，∠EFD=45°时，

在y=x+2中，当y=0时，x=−2，
∴A(−2,0)，
∴OA=OB=2，
∴∠OBA=45°，
∴∠OBA=∠EFD，
∴FD//OB，
∴点F的横坐标为4，
∴F(4,6)，
如图，当∠EDF=45°时，过点E作EH⊥ED，且EH=ED，过点E作GT//y轴，分别过点H，D作GT的垂线，垂足别为G、T，

联立y=x+2y=−23x+113，
解得x=1y=3，
∴E(1,3)，
∴ET=2，DT=3，
∵EH⊥ED，∠EDH=45°，
∴△EDH是等腰直角三角形，
∴HE=ED，
∵∠G=∠T=90°，
∴∠GEH+∠TED=90°=∠TED+∠TDE，
∴∠GEH=∠TDE，
∴△GEH≌△TDE(AAS)，
∴GE=DT=3，GH=ET=2，
∴H(3,6)，
同理可得直线DH的解析式为y=−5x+21，
联立y=−5x+21y=x+2，
解得x=196y=316，
∴F(196,316)，
综上所述，F的坐标为F(4,6)或(196,316)，
②∵点B′是点B关于x轴的对称点，
∴B(0,−2)，
∵点F的横坐标大于72，
∴由(2)①得点F的为(4,6)，
∴直线FD即为直线x=4，
∵点P在直线x=4上运动，即点P的横坐标为4，
∴点Q为AP的中点，
∴点Q的横坐标为1，AQ=12AP，
∴点Q在直线r=1上运动，
如图所示，作点B′关于直线r=1的对称点M，连接QM，

∴M(2,−2)，
由轴对称的性质可得B′Q=QM，
∵AP+2B′Q=2(12AP+B′Q)=2(AQ+B′Q)=2(AQ+MQ)．
当A、Q、M三点共线时，AQ+MQ最小，即此时AP+2B′Q最小，
同理求得直线AM的解析式为y=−12x−1，在y=−12x−1中，当x=1时，y=−12x−l=−32，
∴Q(1,−32). 
【解析】(1)先求出B(0,2)，再由平移方式求出D(4,1)，进而利用待定系数法求出直线CD的解析式即可；
(2)①如图所示，当∠EFD=45°时，证明∠OBA=45°得到FD//OB，则点F的横坐标为4，由此可得F(4,6)；当∠EDF=45°时，过点E作EH⊥ED且EH=ED，过点E作GT//y轴，分别过点H，D作GT的垂线，垂足分别为G、T，求出E(1,3)，得到ET=2DT=3，证明△GEH≌△TDE，得到GE=DT=3，GH=ET=2，则H(3,6)，同理可得直线DH的解析式为y=−5x+21，由此可求出F；
②求出B′(0,−2)，由点F的横坐标大于72，可由(2)①得点的坐标为(4,6)，则点P在直线r=4上运动，即点P的横坐标为4，进而得到点Q在直线r=1上运动，如图所示，作点B′关于直线r=1的对称点M，连接QM，则M(2,−2)，由轴对称的性质可得B′Q=OM，则当4、Q、M三点共线时，AQ+MQ最小，即此时AP+2B′Q最小，同理求得直线AM的解析式为y=−12x−1，则可得点Q的坐标．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键

26.【答案】解：(1)α=45°时，点P落在AB上，
在等腰直角△ABC中，AC= 2，
∴AB= AC2+BC2= 2AC，
∴BP=AB−AP=AB−AC=2− 2．
(2)如图，延长PD到点F，使得PD=DF，连接AF，
∵AD=BD，∠ADF=∠BDP，
∴△ADF≌△BDP(SAS)，
∴AF=BP，∠DAF=∠DBP，
∵AP=AC，AC=BC，
∴AP=BC，
∵∠APB+∠DAP+∠DBP=180°，
∴∠FAP=∠DAF+∠DAP=∠DBP+∠DAP=180°−∠APB，
在△PAC中，PA=AC，∠PAC=α，
∴∠APB=∠ACP=12(180°−α)=90°−12α，
∴∠APB=360°−∠CPB−∠APC=360°−135°−(90°−12α)=135°+12α，

∴∠FAP=180°−∠APB=45°−12α，
∴∠BCP=90°−∠ACP=90°−(90°−12α)=12α，
∴∠CBP=180°−∠CPB−BCP=180°−135°−12α=45°−12α，
∴∠FAP=∠CBP，
∴△FAP≌△PBC(SAS)，
∴PF=CP，
∵PD=DF，
∴CP=2DP．
(3)分两种情况：①当点P在△ABC内部，如图，过点P作PG⊥BC，交BC于点G，过点C作CD⊥AP，垂足为E，

∵CP=BP，
∴CG=BG=12BC，
在Rt△ACE中，∠ACE=90°−α，
∴∠PCE=∠PCA−∠ACE=(90°−12α)−(90°−α)=12α，
由(2)知∠BCP=12α，
∴∠PCE=∠BCP，
又∠CEP=∠CGP=90°，
∴△CEP≌△CGP(AAS)，
∴CE=CG=12BC，
又∵AC=BC，
在Rt△ACE中，AC=2CE，
∴∠CAE=α=30°；
②当点P在△ABC外部，如图，延长PD，交BC于点I，过点A作AH⊥PD，垂足为点H，

∵PC=BP，
∴∠DIB=90°，CI=BI=12BC，
∵AD=BD，∠AHD=∠DIB=90°，∠ADH=∠BDI，
∴△ADH≌△BDI(AAS)，
∴AH=BI=12BC，
又∵AC=BC=AP，
∴AP=2AH∠APH=30°，
∵∠ACB=∠DIB=90°，
∴AC//PI∠PAC+∠APH=180°，
∴∠PAC=180°−30°=150°，
即α=150°，
综上，α=30°或150°． 
【解析】(1)点P落在AB上，解等腰直角△ABC，AB= AC2+BC2= 2AC，所以BP=AB−AP=2− 2．
(2)如图，延长PD到点F，使得PD=DF，连接AF，可证△ADF≌△BDP，于是AF=BP，∠DAF=∠DBP，结合三角形内和定理，可求证∠FAP=∠CBP，于是△FAP≌△BPC，得PF=CP，所以CP=2DP；
(3)分两种情况：①当点P在△ABC内部，如图，过点P作PG⊥BC，交BC于点G，过点C作CD⊥AP，垂足为E，求证∠PCE=∠BCP，于是△CEP≌△CGP，所以CE=CG=12BC，在Rt△ACE中，AC=2CE，于是∠CAE=α=30°；②当点P在△ABC外部，如图，延长PD，交BC于点I，过点A作AH⊥PD，垂足为点H，求证△ADH≌△BDI，于是AH=BI=12BC，进一步证得AP=2AH，∠APH=30°，而AC//PI，所以∠PAC=180°−30°=150°，即a=150°．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，注意动态问题的分类讨论，添加辅助线构造全等三角形，寻求线段之间的关系是解题的关键．