第1讲 三角函数的图象与性质（重难点题型突破）-【冲刺双一流】备战2023年高考数学二轮复习核心专题讲练（新高考版）

第1讲　三角函数的图象与性质
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：三角函数的周期性
突破二：三角函数的奇偶性
突破三：三角函数的对称性
突破四：三角函数图象变换
突破五：根据图象求解析式
突破六：五点法作图问题
突破七：和三角函数有关的零点问题
第三部分：冲刺重难点特训


第一部分：知识强化
1、三角函数的周期性
函数



周期







函数



周期







函数
()
()
()
周期



2、三角函数的奇偶性
三角函数
取何值为奇函数
取何值为偶函数

()
()

()
()

()

3、三角函数的对称性
(1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；
(2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；
(3)函数的图象的对称中心由)解得．
4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩　　　　　　 (2)先伸缩后平移

5、根据图象求的解析式
求解析式
求法
方法一：代数法 方法二：读图法表示平衡位置；表示振幅
求法
方法一：图中读出周期，利用求解；
方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取舍答案.
求法
方法一：将最高（低）点代入求解；
方法二：若无最高（低）点，可使用其他特殊点代入求解；但需注意根据具体题意取舍答案.
6、五点法作图
五点法步骤
③






①






②






对于复合函数，
第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行）
第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。）
第三步：得到五个关键点为：，,,,
第二部分：重难点题型突破
突破一：三角函数的周期性
1．（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数的最小正周期是（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西咸阳·二模（理））下列四个函数，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·辽宁沈阳·三模）函数的最小正周期为________．
4．（2022·上海·模拟预测）函数的周期为___________；
5．（多选）（2022·北京东城·三模）下列函数中最小正周期不是的周期函数为（    ）
A． B． C． D．

突破二：三角函数的奇偶性
1．（2022·广西·模拟预测（理））若将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川德阳·三模（理））将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象对应函数为奇函数，则m的最小值是___________.
3．（2022·山东聊城·一模）若为奇函数，则___________.（填写符合要求的一个值）
4．（2022·四川泸州·三模（文））下列函数中，定义域为R且周期为π的偶函数是（    ）
A． B．
C． D．
5．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则的一个取值为_________．

突破三：三角函数的对称性
1．（2022·江西南昌·高三阶段练习（文））已知函数的最小值为2，且的图象关于点对称，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·宁夏·平罗中学高三期中（文））将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于原点O对称，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室一模（文））已知定义在上的偶函数满足，则的一个解析式为___________．
4．（2022·江西赣州·高三期中（文））已知函数图象的一条对称轴为．若,则的最大______．
5．（2022·内蒙古·保康一中高三阶段练习（理））函数的图象的对称中心为_________
突破四：三角函数图象变换
1．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））已知函数（，）的相邻两条对称轴之间的距离为，且为奇函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的图象（    ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
2．（多选）（2022·湖南·宁乡一中高三期中）已知是偶函数，将函数图像上所有点向右平移个单位得到函数的图像，则（    ）
A．在的值域为 B．的图像关于直线对称
C．在有5个零点 D．的图像关于点对称
3．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数将其图象向左平移个单位得到函数图象且函数为偶函数，若是使变换成立的最小正数，则（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南·高三阶段练习）将函数的图像先向右平移个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像，则的一个可能取值是______.
5．（2022·重庆市云阳县高阳中学高三阶段练习（理））若的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的值可以是______．（写出满足条件的一个值即可）

突破五：根据图象求解析式
1．（2022·四川省绵阳南山中学模拟预测（理））函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为
B．函数的一条对称轴为直线
C．函数的一个对称中心坐标为
D．再向左平移个单位得到的函数为偶函数
2．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．的图象关于点对称
B．的图象向右平移个单位后得到的图象
C．在区间的最小值为
D．为偶函数
3．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））如图是函数的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数的图像（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4．（2022·山东潍坊·模拟预测）函数的部分图像如图所示，现将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的表达式可以为（    ）

A． B．
C． D．
5．（多选）（2022·全国·模拟预测）函数的部分图像如图所示，则（    ）

A． B．
C．函数在上单调递增 D．函数图像的对称轴方程为
6．（多选）（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数，若函数的部分图象如图所示，则关于函数，下列结论中正确的是（    ）

A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上的减区间为
D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度而得到

突破六：五点法作图问题
1．（2022·全国·高一单元测试）已知函数．

(1)用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像，并写出图像的对称中心；
(2)先将函数的图像向右平移个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域．


















2．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）已知向量，，．

(1)求函数f（x）的对称中心；
(2)利用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的图象．
















3．（2022·陕西·西北大学附中高一阶段练习）设函数f(x)＝sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝，此对称轴相邻的对称中心为（）
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)用五点法画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．






















4．（2022·广东·华南师范大学第二附属中学高一期中）已知函数，.
(1)在用“五点法”作函数的图象时，列表如下：













0
2
0

0
完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；

(2)求函数的单调递增区间；
(3)求函数在区间上的值域.









突破七：和三角函数有关的零点问题
1．（2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习）已知函数的最小正周期．
(1)求函数单调递增区间；
(2)若函数在上有零点，求实数的取值范围．







2．（2022·陕西·宝鸡中学高三阶段练习（理））已知向量，函数
(1)求函数的单调增区间；
(2)若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．




3．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知．
(1)求函数的值域；
(2)若方程在上的所有实根按从小到大的顺序分别记为，求的值．






第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高三阶段练习（理））函数零点的个数为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022·江西赣州·高三期中（理））函数的部分图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三阶段练习（理））记函数的最小正周期为T．若，且的图象在点处取得最大值，则的解集是（    ）
A． B．
C． D．
4．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数，现将的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（    ）
A． B． C． D．
5．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知A，B是函数的图像上的两个相邻最高点和最低点，且，为得到的图像，只需要将函数的图像（    ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移π个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移3个单位长度

6．（2022·江苏·沭阳县建陵高级中学高三阶段练习）已知函数（，）  的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．
B．图像的对称中心为，
C．直线是图像的一条对称轴
D．将的图像向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图像
7．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（    ）

A．函数的解析式为
B．函数的单调递增区间为
C．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度
D．函数的图象关于点对称
8．（2022·福建龙岩·高三期中）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”，由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（单位；cm）和时间t（单位：s）的函数关系式为，若振幅是2，图像上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则和的值分别为（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）设函数的最小正周期为，且过点，则下列正确的为（    ）
A．在单调递减
B．的一条对称轴为
C．的最小正周期为
D．把函数的图像向左平移个长度单位得到函数的解析式为
10．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的图象，若对于任意的实数，都单调递增，则正数的值可能为（    ）
A．3 B． C． D．
11．（2022·福建宁德·高三期中）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型函数f（x），其图象是由的图象向右平移个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长到原来的2倍而得到，若，则下列结论正确的是（    ）
A．的图像关于点（，0）中心对称
B．f（x）在单调递减
C．若一个奇函数的图象向左平移个单位长度后，可得f（x）的图象，则n的最小值为
D．若在有解，则k的取值范围是



12．（2022·广东·华南师大附中南海实验高中高三阶段练习）已知函数（，，）的部分图像如图所示，下列说法正确的是（    ）

A．的图像关于点对称
B．的图像关于直线对称
C．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
三、填空题
13．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数，若关于x的方程在上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是_________．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，将的图象上所有点沿x轴平移个单位长度，得到函数的图象，且函数为偶函数，当θ最小时，函数h（x）＝2cos（πx－θ）的单调递减区间为________.
四、解答题
15．（2022·上海南汇中学高三期中）已知函数的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式；
(2)将函数的图像向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，当时，求函数的值域；
(3)设，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值.









16．（2022·广东广雅中学高一期末）设函数，将该函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，函数的图象关于y轴对称.

(1)求的值，并在给定的坐标系内，用“五点法”列表并画出函数在一个周期内的图象；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)设关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.