第1讲 等差（等比）数列-【冲刺双一流】备战2023年高考数学二轮复习核心专题讲练（新高考版）

第1讲　等差（等比）数列
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：判断（证明）等差（等比）数列
突破二：等差（等比）中项
突破三：等差（等比）数列下标和性质
突破四：等差（等比）数列的单调性
突破五：等差（等比）数列奇偶项和
突破六：等差（等比）数列片段和性质
突破七：两个等差数列前项和比的问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、等差中项
由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做与的等差中项.这三个数满足关系式 .
2、等差数列的单调性
①当，等差数列为递增数列
②当，等差数列为递减数列
③当，等差数列为常数列
3、等差数列的四种判断方法
(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．
(2)等差中项法： ()是等差数列．
(3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数）
(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项）
提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法
4、等差数列前项和性质
(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为
(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列
(3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则
(4)若等差数列的项数为,则
，。
(5)若等差数列的项数为,则
，，，
5、等比中项
如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔.
6、等比数列的单调性
已知等比数列的首项为，公比为
1、当或时，等比数列为递增数列；
2、当或时，等比数列为递减数列；
3、当时，等比数列为常数列（）
4、当时，等比数列为摆动数列.
7、等比数列的判断（证明）
1、定义：（或者）（可判断，可证明）
2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明）
3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断）
8、等比数列前项和的性质
公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类:
(1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列
(2)当是偶数时,
当是奇数时,
(3)
第二部分：重难点题型突破
突破一：判断（证明）等差（等比）数列
1．（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）“数列为等差数列”是“数列为等比数列”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】取，则，故为等差数列，
但，，，不为等比数列，故数列不是等比数列，
故“数列为等差数列”推不出“数列为等比数列”，
若数列为等比数列，故，其中，
故，
故，故数列为等差数列，
故“数列为等比数列”可推出“数列为等差数列”，
故“数列为等差数列”是“数列为等比数列”的必要不充分条件，
故选：B.
2．（2022·山东省莒南第一中学高三期中）“数列为等比数列”是“数列为等差数列”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】数列为等比数列，设其公比为，则也为等比数列，且，
所以，所以，为等差数列，
反之，若数列为等差数列，例如则，即，
满足数列为等差数列，但推不出“数列为等比数列”（正负随取构不成等比数列）.
所以，“数列是等比数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）已知等比数列满足，，则（    ）
A．数列是等差等列 B．数列是等差数列
C．数列是递减数列 D．数列是递增数列
【答案】B
【详解】解：因为等比数列满足，，
则，故数列是以1为首项，以2为公比的等比等列，故A错误；
则，故数列是以0为首项，以-1为公差的等差数列，故B正确；
由A知：。故数列是递增数列，故C错误；
由B知：，故数列是递减数列，故D错误；
故选：B
4．（2022·北京·人大附中高三开学考试）若数列满足，则“，，”是“为等比数列”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】解：“，，”，取，则，
为等比数列．
反之不成立，为等比数列，设公比为，则，，只有时才能成立满足．
数列满足，则“，，”是“为等比数列”的充分不必要条件．
故选：A．
5．（2022·全国·高三专题练习）数列中，“，”是“是公比为2的等比数列”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】解：若是公比为2的等比数列，则一定有，，
若，，则不一定为等比数列，例如当，满足，，但此时该数列不是等比数列.
所以“，”是“是公比为2的等比数列”的必要而不充分条件.
故选：B
6．（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））若数列{an}的前n项和Sn=an-1(a∈R，且a≠0)，则此数列是（    ）
A．等差数列
B．等比数列
C．等差数列或等比数列
D．既不是等差数列，也不是等比数列
【答案】C
【详解】当n=1时，a1=S1=a-1;
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)=an-an-1=an-1(a-1).
当a-1=0，即a=1时，该数列为等差数列，当a≠1时，该数列为等比数列.
故选:C
突破二：等差（等比）中项
1．（2022·广西河池·模拟预测（文））已知，，且是与的等差中项，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为是与的等差中项，所以，所以，
因为，，则，当且仅当时取等号.
故选：A
2．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知正项等比数列满足，若是和的等差中项，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】正项等比数列满足，所以，且，
解得，又因为是和的等差中项，
所以，得，
即，
，
当且仅当时，等号成立.
故选：A.
3．（2022·山西·高三期中）已知数列是等差数列，且．若是和的等差中项，则的最小值为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：因为数列是等差数列，
所以是正项等比数列，
又，
所以 ，
解得 或-1（舍），
又因为是和的等差中项，
所以，
则，即．
所以，
令，则，
所以，
当且仅当时，即时取等号．
故选：A．
4．（2022·全国·模拟预测）已知正实数b是实数a和实数c的等差中项，且，若，，成等比数列，则______．
【答案】
【详解】设a，b，c的公差为d，则，，则，化简得，
因为，所以，则，得，因此．
故答案为：
5．（2022·山西临汾·高三阶段练习）已知，若是与的等比中项，则的最小值为__________．
【答案】
【详解】解：由题意得，即，
所以，
又，所以，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立．
故的最小值为．
故答案为：
6．（2022·天津河东·高二期末）设各项均为正数的等差数列的前n（）项和为，，且是与的等比中项，则数列的公差d为______．
【答案】1
【详解】设各项均为正数的等差数列的公差为，
因为是与的等比中项，所以，
所以，解得或（舍）.
经检验满足题意.
故答案为：1.
突破三：等差（等比）数列下标和性质
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列满足（，），则_____．
【答案】
【详解】因为数列是等差数列，故，解得；
令，
则，
故
解得.
故答案为：.
2．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习（理））已知数列为等差数列，其前项和为，则___________.
【答案】55
【详解】由题意知数列为等差数列，设公差为d，，
则，即，
所以，
故答案为：55
3．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则___________.
【答案】13122
【详解】由解得或
和是方程的两根，所以
所以公比
则
故答案为：13122
4．（2022·福建省福州第八中学高三阶段练习）在正项等比数列中，若，则______．
【答案】2
【详解】．
故答案为：2
5．（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，则___________.
【答案】##
【详解】等差数列中，，则，
等比数列中，，则，所以，
所以.
故答案为：
6．（2022·全国·高二课时练习）等比数列中，，是方程的两根，则的值为___________.
【答案】
【详解】由题设知：，又为等比数列，
∴，且，而，
∴，故.
故答案为：
7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则___________.
【答案】
【详解】在等比数列中，，
由等比数列的性质，可得.
在等差数列中，，
由等差数列的性质，可得.
.
故答案为：
突破四：等差（等比）数列的单调性
1．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高二阶段练习）在等差数列中，记，则数列（    ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】C
【详解】解：依题意可得公差，，
所以当时，，当时，，
因为，，，
，，
，
又当时，，且，即，所以当时，数列单调递增，
所以数列无最大项，数列有最小项.
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由已知，
对任意的，都有成立，即，即，
又数列是首项为，公差为1的等差数列，
，且是单调递增数列，当时，，
，即，解得.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，，则使成立的最大自然数的值为（    ）
A．9 B．10
C．18 D．19
【答案】C
【详解】由，可得一个大于，另一个小于，由，可得大于.
又其中一个大于，则都大于，故.
若，由，可得均大于，与题意矛盾.
故，由，可得：，.
因为，又，当时单调递增，当时单调递减.
故当时，单调递增，于是此时.
当时，单调递减，而..
故当时都有，而是满足成立的最大自然数.
故选：
4．（2022·安徽·高三开学考试）设正项等比数列的前项乘积为， 已知，则的（    ）
A．最大值为 32 B．最大值为 1024
C．最小值为 D．最小值为
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为，
因为,即，
化简可得，
且，所以
所以，且等比数列各项为正，所以
即等比数列是递减数列，且
所以有最大值，最大值是前4项积或者前5项积，
则
所以的最大值为32.
故选:A.
突破五：等差（等比）数列奇偶项和
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（    ）．
A．30 B．29 C．28 D．27
【答案】B
【详解】奇数项共有项，其和为，
∴．
偶数项共有n项，其和为，
∴．
故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，，
所以，，
，
所以，，.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【详解】设等差数列的公差为，项数为，前项和为，则，即这个数列的项数为20，故选择B.
4．（2020·全国·高二课时练习）一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（   ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【详解】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,
则,又它的首项为1，所以通项为，
中间两项的和为，解得，所以项数为8，故选B.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设这个等比数列共有项，公比为，
则奇数项之和为，
偶数项之和为，
，
等比数列的所有项之和为，则，
解得，因此，这个等比数列的项数为.
故选：C.
6．（2022·全国·高二课时练习）等比数列共有项，其中，偶数项和为84，奇数项和为170，则（    ）
A．3 B．4 C．7 D．9
【答案】A
【详解】因为等比数列共有项，所以等比数列中偶数项有项，奇数项有项，
由题意得，所以偶数项和为，奇数项和为，相减得

故选：A
突破六：等差（等比）数列片段和性质
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，则（    ）
A． B．13 C．-13 D．-18
【答案】D
【详解】由，可设
∵为等差数列，∴S3，S6S3，S9S6为等差数列，
即a，6a，成等差数列，∴，即
∴
故选:D.
2．（2022·全国·高二课时练习）等差数列中其前n项和为, 则为．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由等差数列前项和性质可知：，，成等差数列
又，    

本题正确选项：
3．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前项和为，，则的值为（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】等差数列的前项和为，则有成等差数列，
即，而，则，
所以.
故选：B
4．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（理））设等差数列的前n项和为，则= .
【答案】16
【详解】由等差数列性质知：也成等差，
所以成等差，即，
因此,故答案为16.
5．（2022·四川南充·三模（理））若等比数列的前项和为，且，，则_____．
【答案】511
【详解】因为等比数列中成等比数列，
所以成等比数列，
所以，
即，解得：.
故答案为：511
6．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，，则________.
【答案】
【详解】，且，
、、成等比数列，即，
因此，.
故答案为：.
7．（2022·广东·潮州市湘桥区南春中学高二阶段练习）已知为等比数列的前n项和，若，，则_____________.
【答案】30
【详解】由等比数列的性质可知， ， ， 构成首项为10，公比为1 的等比数列，所以
8．（2022·全国·高二课时练习）一个等比数列的前项和为10，前项和为30，则前项和为_____________.
【答案】70
【详解】试题分析：由题意得
9．（2022·全国·高二课时练习）已知数列是等比数列，其前项和为.若，，则___________.
【答案】
【详解】解：因为等比数列等长连续片段的和为等比数列，因此设前10项的和为20,那么依次得到40,80,160,这样可知前30项的和为140，那么比值即为140:2=7
突破七：两个等差数列前项和比的问题
1．（2022·云南昭通·高三期末（理））等差数列的前n项和分别为，则的公差为___________.
【答案】8
【详解】可得，
又，，
，，
，所以，，
即的公差为8.
故答案为：8.
2．（2022·上海·高三专题练习）已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为___________.
【答案】
【详解】设等比数列的公比为，则（常数），
所以，数列为等差数列，同理可知，数列也为等差数列，
因为，
同理可得，因此，.
故答案为：.
3．（2022·天津·南开中学高二期末）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意自然数都有，则的值为______.
【答案】
【详解】由等差数列的性质可得：．
对于任意的都有，
则．
故答案为：．
4．（2022·上海·高二课时练习）已知两个等差数列和的前项和的比，则它们相应的第项的比______．
【答案】
【详解】由等差数列的求和公式可得，同理可得，
所以，.
故答案为：.
5．（2022·四川·达州市第一中学校高一阶段练习）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______.
【答案】
【详解】∵数列，都是等差数列，
∴．
故答案为：．
6．（2022·全国·高二课时练习）等差数列，的前项和分别为，，且，则______.
【答案】
【详解】，当时
故答案为
7．（2022·福建·莆田第五中学高三期中）已知 、 分别是等差数列 、 的前 项的和，且.则 ______.
【答案】
【详解】试题分析：由等差数列性质可知
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）设为等差数列的前项和，且，都有.若，则（    ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最大值是
【答案】A
【详解】由得：，即，
数列为递增的等差数列，
，，，
当且时，；当且时，；
有最小值，最小值为.
故选：A.
2．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（理））已知是各项不全为零的等差数列，前n项和是，且，若，则正整数m＝（    ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
【答案】C
【详解】因为，所以，
又，所以，则，
所以，解得.
故选：C
3．（2022·浙江台州·模拟预测）已知数列满足：，，.若，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．2022
【答案】A
【详解】令，则
故，为常数，
故数列是等差数列



故选：A.
4．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知正项等比数列满足（其中），则的最小值为（    ）．
A．6 B．16 C． D．2
【答案】D
【详解】解：因为等比数列满足，
所以由等比数列的性质，可得，
所以，
当且仅当，时，等号成立，
所以的最小值为2．
故选：D．
5．（2022·全国·模拟预测）已知，，是与的等比中项，则的最小值为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由等比中项定义知：，，
（当且仅当，即，时取等号），
即的最小值为.
故选：B.
6．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校三模（文））公比为q的等比数列，其前n项和为，前n项积为，满足．则下列结论正确的是（    ）
A． B．的最大值为
C．的最大值为 D．
【答案】B
【详解】若，则不合乎题意，
所以，故数列为正项等比数列，
因为，，，
若，则，
则，，则，
这与已知条件矛盾，所以不符合题意，
所以，故D错误；
因为，，
所以数列为各项为正的递减数列，
所以，无最大值，故C错误；
又，
所以，，
所以，故A错误；
又，，
所以是数列中的最大项，故B正确.
故选：B.
7．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为，前n项积为，满足，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设公比为q（显然），
由得，
即，得或（舍去），
所以递增且，
所以最小值为．
故选：C
8．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知数列为等比数列，若，为函数的两个零点，则（    ）
A．10 B．12 C．32 D．33
【答案】B
【详解】解：因为，为函数的两个零点，
所以，所以或
所以，当时，，，
当时，，，
所以，.
故选：B
二、多选题
9．（2022·全国·模拟预测）在数列中，，，且，则下列说法正确的是（    ）
A．
B．
C．，使得
D．，都有
【答案】ABD
【详解】，，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，则，A正确；
，
，B正确；
令，则，
在上单调递增，又，
当时，，即，，
即，
，C错误，D正确.
故选：ABD.
10．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知为数列的前项之和，且满足 ，则下列说法正确的是（    ）
A． 为等差数列 B．若 为等差数列，则公差为2
C．可能为等比数列 D．的最小值为0，最大值为20
【答案】CD
【详解】当时，，解得或，当时，，，
整理得，当时，若，可得此时为等差数列，若，，
可得数列为等比数列，；当时，可得，数列为等差数列，
若，可得，若，可得；故A错误；B错误；C正确；当时，；
当时，；当时，；当时，；故D正确.
故选：CD.
11．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ）
A．为递减数列 B．
C．是数列中的最大项 D．
【答案】AC
【详解】由可得：和异号，即或.
而，，可得和同号，且一个大于1，一个小于1.
因为，所有，，即数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.
对于A：公比，因为，所以为减函数，所以为递减数列.故A正确；
对于B：因为，所以，所以.故B错误；
对于C：等比数列的前项积为，且数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，所以是数列中的最大项.故C正确；
对于D：





因为，所以，即.故D错误.
故选：AC
12．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）设公比为的等比数列的前项和为，则下列说法中一定正确的是（    ）
A．数列：，，，成等比数列
B．当时，数列是等比数列
C．是等比数列
D．是等比数列
【答案】BD
【详解】解：A选项中，当时，数列，，，，为等比数列，但，
所以，，，就不能构成等比数列，故A错误；
B选项中，当时，，，
则，所以为常数，
所以数列是等比数列，故B正确；
C选项中，当时，则，即，
所以不能构成等比数列，故C错误；
D选项中，，则为常数，
所以是等比数列，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．（2022·河南开封·一模（文））在数列中，，.记是数列的前项和，则______.
【答案】
【详解】当为奇数时，，所以，数列的奇数项成以为首项，公差为的等差数列，
所以，；
当为偶数时，，
所以，.
因此，.
故答案为：.
14．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列中，，，已知，则___________.
【答案】
【详解】因为，所以，
两式相减可得：，
所以数列中奇数项和偶数项都是以为公差的等差数列，
因为，由可得：，
所以，，
因为，所以，
故答案为：.
15．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））设等比数列满足，记为中在区间中的项的个数，则数列的前50项和___________.
【答案】114
【详解】设等比数列的公比为q，则，
解得，故，
因为为中在区间中的项的个数，
所以当时，；当时，；当时，；
当时，；
故,
故答案为：114.
16．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司模拟预测（文））由正数组成的等比数列中，若，则__________．
【答案】
【详解】由已知，数列为正项等比数列，所以，所以
由等比中项性质可知：
所以
.故答案为：.