第3讲 数列解答题（数列求和）-【冲刺双一流】备战2023年高考数学二轮复习核心专题讲练（新高考版）

第3讲　数列解答题（数列求和）
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：倒序相加法
突破二：分组求和法
突破三：裂项相消法
突破四：错位相减法求和
突破五：奇偶项讨论求和
突破六：特定通项数列求和
突破七：插入新数列混合求和
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、倒序相加法
如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
2、分组求和法
如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
3、裂项相消法
3.1等差型
①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
3.2无理型
①
如：
3.3指数型
①
如：
3.4通项裂项为“”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
4、错位相减法求和
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．
5、奇偶项讨论求和
5.1通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
5.2通项含有的类型；例如：
6、特定通项数列求和
6.1通项含绝对值：如：求的前项和
6.2通项含取整函数：如：求的前项和
6.3通项含自定义符号如：记表示x的个位数字，如
求的前项和
7、插入新数列混合求和
7.1插入新数列构成等差

7.2插入新数列构成等比
7.3插入新数混合
第二部分：重难点题型突破
突破一：倒序相加法
1．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（理））已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（    ）
A．230 B．115 C．110 D．100
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，，即，则数列的前项和为（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知是上的奇函数，,,则数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知若等比数列满足则（    ）
A． B．1010 C．2019 D．2020
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则________.
6．（2022·黑龙江·尚志市尚志中学高三阶段练习）已知函数，数列为等比数列，，，则______．




突破二：分组求和法
1．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知递增的等比数列满足，且是和的等差中项.数列是等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.




2．（2022·甘肃·兰州一中高二期中）已知数列满足（，且），且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.




3．（2022·广东·中山大学附属中学高三期中）已知数列满足：，．
(1)证明：为等差数列，并求的通项公式；
(2)数列，求满足的最大正整数n．



4．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．




5．（2022·山东·潍坊七中高三阶段练习）在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，数列的前n项和，若不等式对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围.



突破三：裂项相消法
1．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））已知等差数列的前n项的和为，.数列的前n项和为，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：.



2．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）设为数列的前n项和，已知，且，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．



3．（2022·四川·南江中学高三阶段练习（理））已知等比数列的前n项和为，且对，恒成立，，．
(1)求数列的通项公式及前n项和；
(2)设，求证：．
4．（2022·陕西·长安一中高三期中（文））已知等差数列是单调递增数列，，且，，成等比数列，是数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，是数列的前项和，求.




5．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）在单调递增数列中，已知，，且，，成等比数列，，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和．若对，不等式均成立．求实数k的取值范围．




6．（2022·吉林长春·模拟预测）已知数列满足：，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和．



7．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）已知数列的首项为3，且．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．


突破四：错位相减法求和
1．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，且，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若数列满足，求的前n项和.




2．（2022·全国·模拟预测（文））已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的前项和.




3．（2022·山东济南·模拟预测）已知数列和满足，，且，设．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且，求的前n项和．



4．（2022·四川资阳·一模（理））已知数列的前项和为，满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，求的前项和．




5．（2022·云南云南·模拟预测）给定三个条件：①成等比数列，②，③，从上述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.
问题：设公差不为零的等差数列的前n项和为，且，___________.
(1)求数列的通项；
(2)若，求数列的前n项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.



突破五：奇偶项讨论求和
1．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)当n为偶数时，求数列的前n项和.




2．（2022·陕西·铜川市耀州中学模拟预测（理））在数列中，，数列的前n项和满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．




3．（2022·江西赣州·二模（文））已知数列的前项和为，且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和．


4．（2022·山东潍坊·二模）已知正项数列的前n项和为，且，数列满足．
(1)求数列的前n项和，并证明，，是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和．




5．（2022·天津和平·一模）已知等差数列各项均不为零，为其前项和，点在函数的图像上.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和；
(3)若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.



突破六：特定通项数列求和
1．（2022·浙江·高三阶段练习）在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.
①；②；③.
已知为数列的前项和，满足，_____.
(1)求的通项公式；
(2)若，其中表示不超过的最大整数，求数列的前100项和.


2．（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）从条件①；②；③中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
已知数列的前项和为，，_____________.
(1)求的通项公式；
(2)表示不超过的最大整数，记，求的前项和.
3．（2022·广东珠海·高三阶段练习）已知公差不为零的等差数列和等比数列，满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为．若表示不大于m的正整数的个数，求．





4．（2022·全国·高三专题练习）为等差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如.
(1)求；
(2)求数列的前2022项和.





5．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列满足（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记的前项和为，求.



6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.


突破七：插入新数列混合求和
1．（2022·河南·一模（理））已知等比数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中是公差不为的等差数列）成等比数列？若存在，求出这项；若不存在，请说明理由．




2．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）在①，②的前7项和为77，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．
已知等差数列中，，_____________．
(1)求的通项公式；
(2)在中每相邻两项之间插入4个数，使它们与原数列的数构成新的等差数列，则是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，，求k的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．




3．（2022·福建福州·高三期中）已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.
(1)求数列的通项公式：
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值.



4．（2022·云南·高三阶段练习）已知等差数列满足，设.
(1)求的通项公式，并证明数列为等比数列；
(2)将插入中，插入中，插入中，，依此规律得到新数列，求该数列前20项的和.
第三部分：冲刺重难点特训
1．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)＝ (x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2的中点P的横坐标是.
（1）求证：点P的纵坐标是定值；
（2）若数列{an}的通项公式是an＝，求数列{an}的前m项和Sm.




2．（2022·广东江门·高二期末）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和.




3．（2022·四川省蓬溪县蓬南中学高三阶段练习）给定数列，若满足，对于任意的，都有，则称为“指数型数列”.若数列满足：；
(1)判断是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(2)若，求数列的前项和.



4．（2022·江苏·苏州中学高二期中）已知等差数列满足，，数列是单调递增的等比数列且满足，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项的和.

5．（2022·福建泉州·高三开学考试）已知数列各项均为正数，且．
(1)求的通项公式
(2)设，求．






6．（2022·江苏省镇江第一中学高三阶段练习）已知数列的首项为0，且，数列的首项，且对任意正整数恒有.
(1)求和的通项公式；
(2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和S2n.





7．（2022·陕西·长安一中高二期中（文））是等差数列，公差，是的前项和.已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列前n项和.



8．（2022·江苏·海安高级中学高三期中）已知数列的前n项和为，且．
(1)求证：是等差数列，并求出的通项公式；
(2)设，求证：．
9．（2022·湖北·高三期中）已知等差数列中，首项，公差，，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前n项和为，，求正整数n的最大值.






10．（2022·甘肃·高台县第一中学高三期中（文））已知数列的前项和，数列满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前项和.





11．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知数列是首项为4的单调递增数列，满足
(1)求证：；
(2)设数列满足，数列前㑔和，求的值.


12．（2022·全国·高二单元测试）已知数列的前项和为，（），且，．
（1）求的值，并证明的等比数列；
（2）设，，求．