初中数学人教版八年级下册18.2.3 正方形作业课件ppt

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1.[2021河南洛阳模拟]在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.(1)如图1,当点E自D向C、点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请写出AE与DF的关系,并说明理由;(2)如图2,当点E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?(请直接回答“成立”或“不成立”,无需证明)(3)如图3,当点E,F分别在CD,BC的延长线上移动时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?请说明理由. 
类型1 十字模型
1.解:(1)AE=DF,AE⊥DF.理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°,又DE=CF,∴△ADE≌△DCF,∴AE=DF,∠DAE=∠CDF.∵∠CDF+∠ADF=90°,∴∠DAE+∠ADF=90°.∴AE⊥DF.(2)成立.(3)成立.理由如下:由(1)同理可证AE=DF,∠DAE=∠CDF.如图,延长FD交AE于点G,则∠CDF+∠ADG=90°,∴∠ADG+∠DAE=90°,∴AE⊥DF.
2.[2021吉林长春月考]在正方形ABCD中,E是边CD上一点(点E不与点C,D重合),连接BE.【感知】 如图1,过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)【探究】 如图2,取BE的中点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD于点G.(1)求证:BE=FG.(2)连接CM.若CM=1,则FG的长为　　　　. 【应用】如图3,取BE的中点M,连接CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G,连接EG,MG.若CM=3,则四边形GMCE的面积为　　　　. 
2.【探究】(1)证明:如图,将GF平移到AH处,则AH//GF,AH=GF.∵GF⊥BE,∴AH⊥BE,∴∠ABE+∠BAH=90°.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABH=∠BCE=90°,∴∠ABE+∠CBE=90°,∴∠BAH=∠CBE.
正方形中的“十字模型”如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是CD,AD上的两点,则有AE⊥BF⇔AE=BF.如图2,在正方形ABCD中,点E在CD边上,F,H分别在AD,BC边上,则有AE⊥FH⇒AE=FH.如图3,在正方形ABCD中,点E,F,G,H分别在AB,CD,AD,BC边上,则有EF⊥GH⇒EF=GH.
类型2 半角模型
3.[2021山东菏泽期中]如图,点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠MAN=45°,点E在CB的延长线上,连接AE,BE=DN.(1)求证:AE=AN.(2)若CM=3,CN=4,求EM的长.[变式][2021福建泉州期末]已知正方形ABCD,点E,F分别是边AB,BC上的动点.(1)如图1,点E,F分别是边AB,BC的中点,证明:DE=DF.(2)如图2,若正方形ABCD的边长为1,△BEF的周长为2,证明:∠EDF=45°.
(2)如图,延长BC至G,使CG=AE,∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠BCD=∠ADC=90°,AD=CD=AB=BC=1,∴BE+AE+BF+CF=BE+CG+BF+CF=2,即BE+BF+FG=2.∵△BEF的周长为2,∴BE+BF+EF=2,∴EF=FG.∵∠DCG=180°-∠BCD=90°,∴∠DCG=∠A.
类型3 手拉手模型
4.解:(1)∵四边形ABCD,AEFG均是正方形,∴AD=AB,∠DAG=∠BAE=90°,AG=AE,∴△ADG≌△ABE,∴∠AGD=∠AEB.如图1,延长EB交DG于点H.∵∠AGD+∠ADG=90°,∴∠AEB+∠ADG=90°,∴∠DHE=180°-(∠AEB+∠ADG)=90°,∴DG⊥BE.(2)∵四边形ABCD,AEFG均是正方形,∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=90°,AG=AE,∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG,∴∠DAG=∠BAE,∴△ADG≌△ABE,∴DG=BE.