2022-2023学年浙江省湖州市南浔区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省湖州市南浔区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省湖州市南浔区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中是一元二次方程的是(    )
A. x2+1=0 B. x2+y=1 C. 2x+1=0 D. 1x+x2=1
2. 下列用数学家命名的图形中，是中心对称图形的是(    )
A. 笛卡尔心形线 B. 谢尔宾斯基地毯
C. 赵爽弦图 D. 斐波那契螺旋线
3. 方差是刻画一组数据波动大小的量，对于一组数据x1，x2，x3，…，xn，可用如下算式计算方差：S2=1n[(x1−3)2+(x2−3)2+(x3−3)2+…+(xn−3)2]，其中“3”是这组数据的(    )
A. 最小值 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数
4. 若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(3,−2)，则该反比例函数的图象在(    )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
5. 下列各式中，是最简二次根式的是(    )
A. 2 B. 15 C. 27 D. a2
6. 用反证法证明“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”时，第一步应假设(    )
A. AB=AC B. AB≠AC C. ∠B=∠C D. ∠B≠∠C
7. 如图，已知在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于点E.∠AEB=25°，则∠A的度数是(    )


A. 150° B. 120° C. 100° D. 130°
8. 已知：Rt△ABC中.∠ABC=90°，求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：
甲：1.以点C为圆心，AB为半径画弧；2.以点A为圆心，BC为半径画弧；3.两弧在BC上方交于点D，连接AD、CD.四边形ABCD即为所求(如图1)．
乙：1.分别以点A、C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，相交于点E、F，作直线EF，交线段AC于点O；2.作射线BO，在BO上截取OD，使OD=OB；3.连接AD、CD.四边形ABCD即为所求(如图2)．
对于两人的作业，下列说法正确的是(    )

A. 甲对，乙不对 B. 甲不对，乙对 C. 两人都对 D. 两人都不对
9. 若关于x的方程(k+2)x2−2(k−1)x+k+1=0，有且只有一个x的值使等式成立，则k的值是(    )
A. −15 B. 1 C. 1或−2 D. −15或−2
10. 将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFCH.现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且A′E=ME.B′F=NF，C′G=PG，D′H=HQ，得到图2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即△A′EF，△B′FG，△C′CH.△D′HE.若FM平分∠BFE，正方形ABCD和正方形EFGH的边长比为1：5.若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，则正方形EFCH的面积是(    )

A. 76m B. 53m C. 3m D. 95m
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 当x=5时，二次根式 x−3的值是______ ．
12. 如图，l1//l2，点A在直线l1上，点B、C在直线l2上，AC⊥l2.如果AB=5cm，BC=4cm.那么平行线l1，l2之间的距离为______ cm．


13. 在平面直角坐标系xOy中，若点A(1,−2)与点A′关于原点O成中心对称，则点A′的坐标是______ ．
14. 已知x=a是方程x2−4x−6=0的根，代数式a2−4a+3的值是______ ．
15. 定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”.如图，在“对垂四边形”ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC=2 2，若点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD，DA的中点，且四边形EFGH是“对垂四边形”，则四边形EFGH的面积是______ ．


16. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点P在反比例函数y=kx(k<0)图象上，点B为y轴负半轴上一点，连接PB交x轴于点A，点C为x轴负半轴上一点，连接BC和PC.若PA=PC，OA=12AC，且△PBC的面积为3，则k的值是______ ．


三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算： (−2)2+( 3)2− 12× 3．
18. (本小题6.0分)
如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，线段AB的端点在格点上，请在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按要求作图，所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图1中，以AB为边画一个面积为2的▱ABCD；
(2)在图2中，以AB为对角线画一个面积为2的▱AEBF．


19. (本小题6.0分)
已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(−2,4)．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)若B(1,y1)，C(3,y2)是该反比例函数图象上的两个点，请比较y1，y2的大小，并说明理由．
20. (本小题8.0分)
根据以下素材，探索完成“问题解决”中的任务1和任务2．
让学生了解班级粮食浪费现状.体会浪费粮食的危害
背景
为了解落实“光盘行动”的情况，某校同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．
素材1
从七、八年级中随机抽取了10个班的餐厨垃圾质量，数据如表：(单位：kg)
七年级
0.8
0.9
0.8
0.9
1.1
1.7
2.3
1.1
1.9
1.6
八年级
1.0
0.9
1.3
1.0
1.9
1.0
0.9
1.7
2.3
1.0

素材2
餐厨垃圾质量用x表示.分四个等级：
A：x 素材3
七、八年级抽取的班级餐厨垃圾数据分析表
年级
平均数
中位数
众数
方差
A等级所占百分比
七年级
a
1.1
0.8
0.26
40%
八年级
1.3
b
1.0
0.22
c

问题解决
任务1
数据处理
(1)求出素材3表格中的a，b，c的值；
任务2
数据分析
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好，请说明理由.(写出一条理由即可)．

21. (本小题8.0分)
如图，已知在矩形ABCD中，E是边BC的中点.连接AE并延长，与DC的延长线交于点F.连接AC和BF．
(1)求证：四边形ABFC是平行四边形；
(2)若AB=3，BF=5，求AF的长．

22. (本小题10.0分)
据调查，2021年“五一”南浔古镇累计接待游客为36万人次，但2023年“五一”假期，南浔古镇火出圈了，假期接待游客突破81万人次，位列江南六大古镇之首.古镇附近某宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房.如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．
(1)求2021年“五一”到2023年“五一”假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率；
(2)为了尽可能让游客享受更低的单价，当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为9450元．
23. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点B在x轴的负半轴上，OB=m，AB=4，以线段AB为边向上作正方形ABCD，反比例函数y=kx(x<0,k<0)的图象经过顶点C，且与边AD相交于点E．
(1)当m=4时，求k的值及点E的坐标；
(2)连接OC，CE，OE．
①若△COE的面积为485，求该反比例函数的表达式；
②是否存在某一位置，使得OC⊥CE，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

24. (本小题12.0分)
如图，已知在菱形ABCD中.∠DAB=60°，AB=6，对角线AC与BD交于点O，点E是射线AC上的一个动点，将线段DE绕点D顺时针旋转120°，得到线段DF，连接EF，AF，BE．
(1)如图1，当点E在线段AC上运动时，
①求证：△ADF≌△CDE；
②当BE//AF时，判断四边形ABEF的形状，并说明理由．
(2)在点E的整个运动过程中，将△CDE沿着DE翻折得到四边形CDC′E，当四边形CDC′E为菱形时，求出此时△AEF的面积．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：A.方程是一元二次方程，故本选项符合题意，
B.方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，
C.方程是一元一次次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，
D.方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，
故选：A．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

2.【答案】C 
【解析】解：A.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．

3.【答案】B 
【解析】解：方差S2=1n[(x1−3)2+(x2−3)2+(x3−3)2+…+(xn−3)2]，
中“3”是这组数据的平均数，
故选：B．
根据方差的定义可得答案．
本题考查方差，解题的关键是掌握方差的定义：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差．

4.【答案】D 
【解析】解：因为反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(3,−2)，
所以k=3×(−2)=−6<0，
所以反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过第二、四象限，
故选：D．
利用待定系数法求得k的值，进而根据反比例函数的性质解答即可．
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键．

5.【答案】A 
【解析】解：A． 2，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式，故本选项符合题意；
B. 15= 55，被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C. 27=3 3，被开方数含能开得尽得因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.   a2=|a|，被开方数含能开得尽得因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法必须满足两条，就是(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

6.【答案】C 
【解析】解：用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C”，第一步应是假设∠B=∠C，
故选：C．
根据反证法的一般步骤解答即可．
本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．

7.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于E，
∴∠ABE=∠CBE=∠AEB=25°，
∴∠A=180°−∠ABE−∠AEB=130°．
故选：D．
由平行四边形的性质得出∠AEB=∠CBE，由角平分线的定义和邻补角关系得出∠ABE=∠CBE=∠AEB=25°，再由三角形内角和定理即可得出∠A的度数．
本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ABE=∠CBE=∠AEB是解决问题的关键．

8.【答案】C 
【解析】解：甲正确．理由如下：
由作图可知，AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
乙正确．理由如下：
由作图可知，OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：C．
根据矩形的判定方法一一判断即可．
本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的判定等知识，解题的关键是掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型．

9.【答案】D 
【解析】解：分为两种情况：①方程是一元二次方程，此时k+2≠0且Δ=[−2(k−1)]2−4(k+2)(k+1)=0，
解得：k=−15，
②方程为一元一次方程，此时k+2=0且−2(k−1)≠0，
解得：k=−2，
故选：D．
分为两种情况：①方程是一元二次方程，此时k+2≠0且Δ=[−2(k−1)]2−4(k+2)(k+1)=0，②方程为一元一次方程，此时k+2=0且−2(k−1)≠0，再求出k即可．
本题考查了一元二次方程和一元一次方程，能求出符合是所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．

10.【答案】B 
【解析】解：∵将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFCH.正方形ABCD和正方形EFGH的边长比为1：5．
∴设正方形ABCD的边长为a，则正方形EFGH的边长为5a，设AE=BF=CG=DH=x，
在△BEF中，BE2+BF2=EF2，
即(x+a)2+x2=(5a)2，
x2+ax−12a2=0，
(x+4a)(x−3a)=0，
x=−4a(舍去)或x=3a，
∴BE=4a，BF=3a，EF=5a，
∵FM平分∠BFE，
∴△EMF边EF上的高为BM，
则S△BMF+S△MBF=S△BEF，
即12BF⋅BM+12EF⋅BM=12BE⋅BF，
∴12×3a⋅BM+12×5a⋅BM=12×4a×3a，
∴BM=32a，
∵A′E=ME=BE−BM=4a−32a=52a，若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，
∴S△EMF=S△EFA′=14m，
∴12×52a×3a=14m，
∴a2=115m，
∴a= 515⋅ m，
∴EF=5a= 153⋅ m，
∴S正方形EFCH=EF2=( 153⋅ m)2=159m=53m，
故选：B．
设正方形ABCD的边长为a，则正方形EFGH的边长为5a，设AE=BF=CG=DH=x，根据勾股定理得出x=−4a(舍去)或x=3a，得出BE=4a，BF=3a，EF=5a，由FM平分∠BFE，得△EMF边EF上的高为BM，根据S△BMF+S△MBF=S△BEF，得出BM=32a，由A′E=ME=BE−BM=4a−32a=52a，若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，得出S△EMF=S△EFA′=14m，求出EF=5a= 153⋅ m，从而得出结果．
本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积，全等三角形的性质，正方形的性质，正确识图是解题的关键．

11.【答案】 2 
【解析】解：当x=5时， x−3= 5−3= 2，
故答案为： 2．
将x=5代入 x−3中计算即可．
本题考查二次根式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

12.【答案】3 
【解析】解：∵AC⊥l2，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5cm，BC=4cm．
∴AC= AB2−BC2=3(cm)，
∴平行线l1，l2之间的距离为3cm．
故答案为：3．
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由勾股定理求出AC的长即可．
本题考查平行线之间的距离，关键是由勾股定理求出AC的长．

13.【答案】(−1,2) 
【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，若点A(1,−2)与点A′关于原点O成中心对称，则点A′的坐标是(−1,2)．
故答案为：(−1,2)．
直接利用关于原点对称点的特点得出答案．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)．
此题主要考查了关于原点对称点的特点，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．

14.【答案】9 
【解析】解：把x=a代入方程x2−4x−6=0得a2−4a−6=0，
∴a2−4a=6，
∴a2−4a+3=6+3=9．
故答案为：9．
把x=a代入一元二次方程可得a2−4a=6，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决问题的关键．

15.【答案】2 
【解析】解：∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD，DA的中点，
∴EF、GH、EH分别为△ABC、△ADC、△ABD的中位线，
∴EF=12AC= 2，EF//AC，GH=12AC= 2，GH//AC，EH//BD，
∴EF=GH，EF//GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵GH//AC，EH//BD，AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴平行四边形EFGH为矩形，
∵四边形EFGH是“对垂四边形”，
∴矩形EFGH为正方形，
∴四边形EFGH的面积为：( 2)2=2，
故答案为：2．
根据三角形中位线定理得到EF=12AC，EF//AC，GH=12AC，GH//AC，EH//BD，根据“对垂四边形”的定义得到四边形EFGH为正方形，关键正方形的面积公式计算即可．
本题考查的是中点四边形，掌握正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．

16.【答案】−3 
【解析】解：过点P作PD⊥x轴于D，如图：

∵PA=PC，PD⊥AC，
∴AD=CD=12AC，
∵OA=12AC，
∴AD=CD=OA，
在△PAD和△BAO中，
∠PDA=∠BOA=90°AD=OA∠PAD=∠BAO，
∴△PAD≌△BAO(ASA)，
∴PA=AB，PD=OB，
设OA=a，OB=b，则AD=CD=OA=a，PD=OB=b，
∴OD=AC=2a，
∴点A(−a,0)，B(0,−b)，点P(−2a,b)，
∵点P在反比例函数的图象上，
∴k=−2ab，
∵△PBC的面积为3，
∴S△PBC=S△PAC+S△BAC=3，
∴12AC⋅PD+12AC⋅OB=3，
∴12×2ab+12×2ab=3，
∴2ab=3，
∴k=−2ab=−3．
故答案为：−3．
过点P作PD⊥x轴于D，先证AD=CD=OA，进而可证△PAD和△BAO全等，从而得PA=AB，PD=OB，设OA=a，OB=b，则点A(−a,0)，B(0,−b)，点P(−2a,b)，k=−2ab，再由S△PBC=S△PAC+S△BAC=3可得2ab=3，据此可得k的值．
此题主要考查了反比例函数的图象，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，难点是设置适当的未知数，并表示出点P的坐标和△PBC的面积．

17.【答案】解：原式=|−2|+3− 12×3
=5−6
=−1． 
【解析】先化简，算二次根式乘法，再合并即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．

18.【答案】解：(1)取格点C，D，作四边形ACD，如图：

四边形ABCD即为所求；
(2)取格点E，F，作四边形AEBF，如图：

四边形AEBF即为所求． 
【解析】(1)取格点C，D，使BC=AD=1即可；
(2)作底为1，高为2，AB为对角线的平行四边形即可．
本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是掌握平行四边形面积公式．

19.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(−2,4)．
∴k=xy=−2×4=−8，
∴反比例函数的表达式为y=−8x．
(2)∵y=−8x．
因为k=−8<0，
所以反比例函数图象分布在二四象限，在每个象限中，y随x的增大而增大，
∵1<3，
∴y1 【解析】(1)待定系数法求出k值即可；
(2)利用反比例函数在各个象限的增减性进行判断即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法求函数解析式．函数的增减性一定要在每一个象限内进行表述．

20.【答案】解：(1)由题可知：a=110×(0.8+0.9+0.8+0.9+1.1+1.7+2.3+1.1+1.9+1.6)=1.31，b=1.0+1.02=1.0，m=210×100%=20%．
(2)七年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
①七年级各班餐厨垃圾质量众数0.8，低于八年级各班餐厨质量垃圾的众数1.0．
②七年级各班餐厨垃圾质量A等级的40%高于八年级各班餐厨质量垃圾质量A等级的20%． 
【解析】(1)根据平均数、中位数的定义即可求解．
(2)从众数，中位数、A等级的百分比、方差进行评论即可．
本题考查了中位数、众数、方差的意义，关键在于根据图中信息结合统计相关知识的意义进行分析即可．

21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠BAE=∠CFE，∠ABE=∠BCF，
又∵E是边BC的中点，
∴BE=CE，
∴△ABE≌△FCE(AAS)，
∴AB=CF，
又∵AB//CF，
∴四边形ABFC是平行四边形；
(2)解：∵AB=CF=3，BF=5，
∴BC= BF2−CF2= 25−9=4，
∴AD=BC=4，
又∵DF=CD+CF=6，
∴AF= AD2+DF2= 16+36=2 13． 
【解析】(1)由“AAS”可证△ABE≌△FCE，可得AB=CF，由平行四边形的判定可得结论；
(2)由勾股定理可求BC的长，AF的长．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

22.【答案】解：(1)设南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为x，
由题意得：36(1+x)2=81，
解得：x1=0.5=50%，x2=−2.5(不符合题意，舍去)，
答：南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为50%；
(2)设房价定为y元时，宾馆当天的利润为9450元，
由题意得：(y−20)(50−x−18010)=9450，
解得：x1=230，x2=470，
∵为了尽可能让游客享受更低的单价，
∴x=230，
答：当房价定为230元时，宾馆当天的利润为9450元． 
【解析】(1)设南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为x，根据2021年“五一”到2023年“五一”的游客人数，列出一元二次方程，解之取正值即可；
(2)设房价定为y元时，根据宾馆当天的利润为9450元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=4，
∵m=4，
∴OB=4，
∴C(−4,4)，代入y=kx得k=−16，
∵OB=4，AB=4，
∴OA=8，把x=−8代入y=−16x得，y=2，
∴E的坐标为(−8,2)．
(2)①∵C(−m,4)，
∴k=−4m，
∴E(−m−4,4mm+4)，
∴AE=4mm+4，
∵点C，E都在双曲线上，
∴S△BOC=S△AOE，
∴S△COE=S四边形OCEA−S△AOE=S四边形OCEA−S△BOC=S梯形ABCE，
∴12(4mm+4+4)⋅4=485，
∴m=1，
∴C(−1,4)，
∴k=−4，
∴该反比例函数的表达式为y=−4 x．
②过C作CF垂直于y轴，垂足为F，
∵OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∵∠DCE+∠OCF=90°，∠COF+∠OCF=90°，
∴∠DCE=∠COF，
∵DC=OF，∠D=∠OFC，
∴△CDE≌△OCF(ASA)，
∴DE=CF=m，
∴AE=4−m，
∴E(−m−4,4−m)，C(−m,4)，
∴(−m−4)(4−m)=−4m，
∴m2+4m−16=0，
∴m=2 5−2或m=−2 5−2(舍掉)，
∴存在m=2 5−2使得OC⊥CE．
 
【解析】(1)先确定点C的坐标，再求k的值，再确定点E的坐标；
(2)①用m表示△COE的面积，解方程求出m，进而求出反比例函数的表达式；
②由OC⊥CE，构造一线三等角，然后利用点E，C在双曲线上建立方程，求出m的值．
此题考查了反比例函数的图象与性质，并与正方形，面积，全等三角形，方程结合起来，综合性强．

24.【答案】(1)①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，AB//CD，
∴∠ADC+∠DAB=180°，
∴∠ADC=180°−∠DAB=180°−60°=120°，
由旋转的性质得：∠EDF=120°，DF=DE，
∴∠EDF−∠ADE=∠ADC−∠ADE，
即∠ADF=∠CDE，
在△ADF和△CDE中，
AD=CD∠ADF=∠CDEDF=DE，
∴△ADF≌△CDE(SAS)；
②解：四边形ABEF是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=DC，∠BCE=∠DCE，AB//CD，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
即∠BAD+∠ABE+∠CBE=180°，
∵BE//AF，
∴∠BAF+∠ABE=180°，
即∠BAD+∠DAF+∠ABE=180°，
∴∠CBE=∠DAF，
在△BCE和△DCE中，
BC=DC∠BCE=∠DCECE=CE，
∴△BCE≌△DCE(SAS)，
∴BE=DE，∠CBE=∠CDE，
由①可知，DF=DE，△ADF≌△CDE，
∴∠ADF=∠CDE，
∴DF=BE，∠ADF=∠DAF，
∴AF=DF，
∴BE=AF，
∴四边形ABEF是平行四边形；
(2)解：分两种情况：
①当点E在线段AC上，四边形CDC′E为菱形时，如图2，过点F作FG⊥AE于点G，

则∠FGA=90°，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，AB=6，
∴OA=OC，CD=AD=AB=6，AC⊥BD，∠DCA=∠DAO=12∠DAB=30°，
∴OD=12AD=3，
∴OA= AD2−OD2= 62−32=3 3，
∴AC=2OA=6 3，
∵四边形CDC′E是菱形，
∴CE=CD=6，
∴AE=AC−CE=6 3−6，
由①可知，△ADF≌△CDE，
∴AF=CE=6，∠DAF=∠DCE=30°，
∴∠FAE=∠DAF+∠DAO=30°+30°=60°，
∴∠AFG=90°−∠FAG=90°−60°=30°，
∴AG=12AF=3，
∴FG= AF2−AG2= 62−32=3 3，
∴S△AEF=12AE⋅FG=12×(6 3−6)×3 3=27−9 3；
②当点E在线段AC的延长线上，四边形CDC′E为菱形时，
如图3，过点F作FG⊥AE，交EA的延长线于点G，

同理得：AE=6 3+6，AF=6，∠AFG=30°，
∴AG=12AF=3，
∴FG= AF2−AG2= 62−32=3 3，
∴S△AEF=12AE⋅FG=12×(6 3+6)×3 3=27+9 3；
综上所述，当四边用CDC′E为菱形时，此时△AEF的面积为27−9 3或27+9 3． 
【解析】(1)①由菱形的性质得AD=CD，AB//CD，再由旋转的性质得∠EDF=120°，DF=DE，然后证∠ADF=∠CDE，即可解决问题；
②由菱形的性质得BC=DC，∠BCE=∠DCE，AB//CD，再证△BCE≌△DCE(SAS)，得BE=DE，∠CBE=∠CDE，然后证AF=DF，则BE=AF，即可得出结论；
(2)①当点E在线段AC上，四边形CDC′E为菱形时；②当点E在线段AC的延长线上，求出AE、FG的长，即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、旋转的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的性质和旋转的性质是解题的关键，属于中考常考题型．