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2022-2023学年广西南宁十四中八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广西南宁十四中八年级（下）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广西南宁十四中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C=2πr.下列判断正确的是( )
A. 2是变量 B. π是变量 C. r是变量 D. C是常量
2. 下列二次根式，最简二次根式是( )
A. 15 B. 0.5 C. 5 D. 50
3. 以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是( )
A. 1，2，5 B. 1， 3，4 C. 2，3，4 D. 3，4，5
4. 如图是甲，乙两名射击运动员10次射击成绩的折线统计图，根据折线图判断，甲，乙两人成绩更稳定的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 同样稳定 D. 无法确定
5. 如图，要测量A，B两点间距离，在O点设桩，取OA中点C，OB中点D，测得CD=3米，则AB的长为( )
A. 3米
B. 6米
C. 8米
D. 12米
6. 如图，在正方形ABCD外侧作等边△ABE，连接DE，则∠EDB的度数为( )
A. 15°
B. 20°
C. 22.5°
D. 30°
7. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为一折线)，这个容器的形状是下图中的( )
A. B. C. D.
8. 一次函数y=−3x+1的图象经过( )
A. 第一、二、四象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、三象限 D. 第二、三、四象限
9. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.学校为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第—天进馆1280人次，进馆人次逐日增加，第三天进馆2880人次，若进馆人次的日平均增长率为x，则可列方程为( )
A. 1280(1+x)=2880
B. 1280(1+x)2=2880
C. 1280(1+x)+1280(1+x)2=2880
D. 1280+1280(1+x)+1280(1+x)2=2880
10. 已知点A(−1,y1)、B(−2,y2)、C(2,y3)三点都在二次函数y=−x2−2x+m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为( )
A. y1>y2>y3 B. y1>y3>y2 C. y3>y1>y2 D. y2>y1>y3
11. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4=125，S3=46，则S2=( )
A. 171
B. 79
C. 100
D. 81
12. 在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2−4ax+2(a<0)部分图象和一次函数y=−12x+2的图象如图所示.已知它们有一个交点为A，点B(−1,−1)在该二次函数图象上，则它们的另一个交点在( )
A. MN之间 B. 点N C. NQ之间 D. 点Q
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
13. 若二次根式 x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14. 若将抛物线y=2x2先向右平移5个单位，再向上平移4个单位，得到新抛物线的表达式为______ ．
15. 若a是一元二次方程x2+2x−3=0的一个根，则2a2+4a的值是______．
16. 如图，一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(−1,4)，B(6,2)两点，则关于x的不等式kx+n>ax2+bx+c的解集为______ ．
17. 如图，图1是第七届国际数学教育大会(ICME−7)会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图2)演化而成的.如果图2中的OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，若S1代表△A1OA2的面积，S2代表△A2OA3的面积，以此类推，则S10的值为______ ．
18. 如图，正方形ABCD中，AB=6，H为CD上一动点(不含C、D)，连接AH交BD于G，过点G作GE⊥AH交BC于E，过E作EF⊥BD于F，连接CG，则GF的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算： 6÷ 2+( 5+3)( 5−3)+ 12．
20. (本小题6.0分)
解方程：x2+2x−2=0．
21. (本小题10.0分)
如图，在矩形ABCD中.延长AD至点E，使DE=AD，连接BE交DC于点F．
(1)求证：△DEF≌△CBF；
(2)若AB=8，BC=3，求点A，F之间的距离．
22. (本小题10.0分)
《长空之王》和《速度与激情10》是五一“黄金周”以来最火的两部电影，为了解本校学生对这两部部作品的评价，某调查小组从该校观看过这两部电影的学生中各随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行评分(满分10分)，并通过整理和分析，给出了部分信息.请根据以上信息，解答下列问题：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)电影《长空之王》得分的中位数是______ ，众数是______ ；
(2)电影《速度与激情10》得分的平均数是多少？
(3)若该校有400名学生观看过这两部影片，他们都对这两部作品分别进行了评分，你认为这两部作品一共可得到多少个满分？
23. (本小题10.0分)
【问题情境】勤劳智慧的中国人在很早的时候就发明了一种称重工具——杆秤(如图1)，相传为春秋时期“商圣”范蠡所创，杆秤的应用方便了古人的生活，直至今日仍然有人还在使用杆秤进行交易．
【实践发现】某兴趣小组为探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x厘米(x≥4)与秤钩所挂物体重量y斤之间的关系，进行了6次称重，下表为称重时所记录的一些数据．
x
4
12
16
24
28
36
y
0
1
1.5
2.5
3
4
【实践探究】
(1)在图2的平面直角坐标系中，请以表格中的x值为横坐标、y值为纵坐标描出所有的点，并将这些点依次连接起来；
(2)根据(1)所描各点的分布规律，观察它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由；
【问题解决】
(3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为40厘米时，求秤钩所挂物体的重量．
24. (本小题10.0分)
2023年南宁市公共资源交易中心明确提出将五象站铁路枢纽接入地铁4号线.目前4号线剩余的东段(五象火车站—一龙岗站)已经在建设中，施工方决定对终点站龙岗站施工区域中的一条特殊路段进行围挡施工，先沿着路边砌了一堵长27m的砖墙，然后打算接若用长60m的铁皮围栏靠着墙围成中间隔有一道铁皮围栏(平行于AB)的长方形施工区域．
(1)设施工区域的一边AB为x m，施工区域的面积为S m2.请求出S与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当围成的施工区域面积为288m2时，AB的长是多少？
(3)该特殊路段围挡区域的施工成本为400元/m2，项目方打算拨款120000元用于施工，请你通过计算判断项目方的拨款能否够用．
25. (本小题10.0分)
如图1，将正方形纸片ABCD对折，使得边AB与CD重合，展开铺平，折痕为PQ.然后，再将正方形纸片沿着过点C的直线折叠，此时点B恰好落在折痕PQ的点F处，展开铺平，设CE与PQ交于点G，连接BG，得到图2．
(1)若正方形ABCD的边长为6，求FQ的长；
(2)求证：四边形BGFE是菱形；
(3)如图3，M是正方形ABCD的边AD上一点，连接BM，将△ABM沿着BM折叠，使得点A落在正方形ABCD的内部点K处，连接DK，若正方形ABCD的边长为10，请直接写出DK的最小值．
26. (本小题10.0分)
如图1，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A(−2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上的—个动点，使△PBC的面积等于△ABC面积的14，求点P的坐标；
(3)过点C作直线l//x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象(如图2)，请你结合新图象解答：当直线y=−12x+d与新图象只有一个公共点Q(m,n)，且n≥−8时，求d的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据题意可得，
在C=2πr中．2、π为常量，r是自变量，C是因变量．
故选：C．
根据变量与常量的定义进行求解即可得出答案．
本题主要考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义进行求解是解决本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：由判断最简二次根式的条件，得， 5是最简二次根式．
故选C．
用判断最简二次根式的条件直接判断．
此题是最简二次根式题，熟记最简二次根式的条件是解本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、12+22≠52，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、12+( 3)2=42，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、22+32=42，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、32+42=52，能组成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据勾股定理的逆定理，直接计算进行判断即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
4.【答案】B
【解析】解：由折线统计图得，乙运动员的10次射击成绩的波动性较小，甲运动员的10次射击成绩的波动性较大，所以乙的成绩更稳定．
故选：B．
利用折线统计图判断甲、乙成绩的波动性的大小，从而可判断谁的成绩更稳定．
本题考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了方差的意义．
5.【答案】B
【解析】解：∵C是OA中点，D是OB中点，
∴CD是三角形AOB的中位线，
∴CD=12AB，
∵CD=3米，
∴AB=6米．
故选：B．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，由此即可得到CD=12AB，又CD=3米，因此AB=6米．
本题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形中位线定理．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=AE，∠BAE=∠ABE=60°，
在△ADE中，AD=AE，∠DBE=∠ABD+∠ABE=90°+60°=150°，
∴∠EDB=12(180°−150°)=15°，
故选：A．
根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°求出BD=BE，∠DBE的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出∠EDB即可．
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记各性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为C．
故选：C．
根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．
8.【答案】A
【解析】解：∵y=−3x+1，
∴k<0，b>0，
故直线经过第一、二、四象限．
故选：A．
利用一次函数的性质即可确定直线经过的象限．
本题考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象经过的象限与k，b符号的关系是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：设进馆人次的日平均增长率为x，
根据题意得，1280(1+x)2=2880，
故选：B．
根据第—天的进馆人次数及进馆人次的月平均增长率，可得出第二个月进馆1280(1+x)人次，第二天进馆1280(1+x)2人次．，结合到第三天进馆2880人次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的图象和性质：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
先确定抛物线的对称轴，根据二次函数的性质，然后利用抛物线开口向下时，离对称轴越远，函数值越小求解．
解：y=−x2−2x+m=−(x+1)2+m+1，
【解答】
抛物线的对称轴为直线x=−1，开口向下，
而点A(−1,y1)在对称轴上，点C(2,y3)离对称轴最远，
所以y1>y2>y3．
故选：A．
11.【答案】B
【解析】解：由题意可知：S1=AB2，S2=BC2，S3=CD2，S4=AD2，
连接BD，在直角△ABD和△BCD中，
BD2=AD2+AB2=CD2+BC2，
即S1+S4=S3+S2，
因此S2=125−46=79，
故选：B．
利用勾股定理的几何意义解答．
本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．
12.【答案】A
【解析】解：把点B代入y=ax2−4ax+2中，
得：a+4a+2=−1，
解得a=−35，
∴抛物线的解析式为y=−35x2+125x+2，
联立抛物线和直线的解析式得：
y=−35x2+125x+2y=−12x+2，
解得x=0y=2或x=296y=−512，
∴它们的另一个交点坐标为(296,−512)，
∵M(4,0)，N(5,−12)，Q(6,−1)，
又∵4<296<5，
∴它们的另一个交点在MN之间，
故选：A．
由点B的坐标即可确定二次函数的解析式，和直线联立即可确定另一个交点的坐标．
本题主要考查二次函数的图象和性质，关键是要能根据点B的坐标确定抛物线的解析式．
13.【答案】x≥1
【解析】
【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解：∵式子 x−1在实数范围内有意义，
∴x−1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
14.【答案】y=2(x−5)2+4
【解析】解：将抛物线y=2x2先向右平移5个单位，再向上平移4个单位，得到新抛物线的表达式为：y=2(x−5)2+4．
故答案为：y=2(x−5)2+4．
直接利用二次函数的平移规律，上加下减，即可得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
15.【答案】6
【解析】解：∵a是一元二次方程x2+2x−3=0的一个根，
∴a2+2a−3=0，
∴a2+2a=3，
∴2a2+4a=2(a2+2a)=2×3=6，
故答案为：6．
将a代入x2+2x−3=0，即可得出a2+2a=3，再把a2+2a=3整体代入2a2+4a，即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键．
16.【答案】−1
根据图象可得关于x的不等式kx+n>ax2+bx+c的解集是：−1
本题考查了二次函数与不等式的关系，理解不等式的解集就是对应的自变量的取值范围是解答本题的关键．
17.【答案】 102
【解析】解：由勾股定理得：OA2= 12+12= 2，
OA3= ( 2)2+12= 3，
OA4= ( 3)2+12= 4，
OA5= 22+12= 5，
……
OA10= 10，
∴S10= 10×12= 102．
故答案为： 102．
由勾股定理得到OA10= 10，由三角形的面积公式即可得到答案．
本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是得到OA10= 10．
18.【答案】3 2
【解析】解：连接AC交BD于点I，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，AB//CD，∠ABG=∠CBG=45°，
在△ABG和△CBG中，
AB=CB∠ABG=∠CBGBG=BG，
∴△ABG≌△CBG(SAS)，
∴AG=CG，∠BAG=∠BCG，
∵AB//CD，
∴∠BAG=∠AHD，
∴∠BCG=∠AHD，
∵GE⊥AH，
∴∠AGE=∠HGE=90°，
∴∠GEC+∠AHC=180°，
∴∠GEC=180°−∠AHC=∠AHD，
∴∠BCG=∠GEC，
∴EG=CG，
∴AG=EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BC，
∴∠AIG=90°，
∵EF⊥BD，
∴∠GFE=∠AIG=90°，
∴∠GEF=∠AGI=90°−∠EGF，
在△GEF和△AGI中，
∠GFE=∠AIG∠GEF=∠AGIEG=AG，
∴△GEF≌△AGI(AAS)，
∴GF=AI，
∵AI=CI=12AC，
∴GF=12AC，
正方形ABCD中，AB=6，
∴AC=6 2，
∴GF=3 2，
故答案为：3 2．
连接AC交BD于点I，则AC⊥BC，而EF⊥BD，所以∠GFE=∠AIG=90°，得∠GEF=∠AGI=90°−∠EGF，即可证明△GEF≌△AGI，得GF=AI，由正方形的性质及勾股定理求出AC=2AI=2GF=6 2，据此求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，熟记全等三角形的判定与性质、正方形的性质是解题的关键．
19.【答案】解： 6÷ 2+( 5+3)( 5−3)+ 12
= 62+( 5)2−32+2 3
= 3+5−9+2 3
=−4+3 3．
【解析】先根据二次根式的除法，平方差公式，二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
20.【答案】解：原方程化为：x2+2x=2，
x2+2x+1=3
(x+1)2=3，
x+1=± 3
x1=−1+ 3，x2=−1− 3．
【解析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，即DE//BC，∠C=90°，AD=BC，
∴∠EDF=∠C，∠E=∠CBF，
∵DE=AD=BC，
∴DE=CB，
在△DEF和△CBF中，
∠EDF=∠CDE=CB∠E=∠CBF，
∴△DEF≌△CBF(ASA)；
(2)解：∵△DEF≌△CBF，
∴DF=CF=12CD，
在矩形ABCD中，CD=AB=8，AD=BC=3，∠ADC=90°，
∴DF=4，
∴AF= AD2+DF2=5，
即A、F之间的距离为5．
【解析】(1)结合矩形的性质利用ASA可证明△DEF≌△CBF；
(2)利用全等三角形的判定可得AD=BC=3，DF=CF=4，再利用勾股定理可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】8.5 9
【解析】解：(1)∵这组样本数据中，9出现了6次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是9．
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8，9，有8+92=8.5，
∴这组数据的中位数为8.5，
故答案为：9，8.5；
(2)10分所占的百分比：100%−10%−30%−15%−20%=25%，
《速度与激情10》评分的平均数为10×25%+9×20%+8×15%+7×30%+6×10%=8.2；
(3)400×(420+25%)=180(个)．
答：这两部作品一共大约可得到180个满分．
(1)根据中位数和众数的定义即可求解；
(2)通过加权平均数的计算方法得出答案；
(3)求出两部作品满分人数所占的百分比即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义是解决问题的前提，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键．
23.【答案】解：(1)如图所示：
(2)由(1)中图象可知，所描各点在同一直线上．
设x，y的函数关系式：y=kx+b，
把(12,1)和(28,3)代入解析式得：
12k+b=128k+b=3，
解得：k=18b=−12，
∴这条直线所对应的函数表达式为y=18x−12；
(3)当x=40时，y=18×40−12=4.5，
∴秤钩所挂物体的重量为4.5斤．
【解析】(1)根据表格中数据，在给定坐标系中描出对应的点即可；
(2)由(1)中图象可以判断所描各点在同一直线上，设出直线的函数解析式，用待定系数法求解即可；
(3)把x=40代入(2)中解析式求出y即可．
本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数解析式的求法是解题关键．
24.【答案】解：(1)根据题意得：S=x(60−3x)=−3x2+60x，
0<60−3x≤270<3x<60，
解得：11≤x<20，
∴S与x的函数关系式为：S=−3x2+60x(11≤x<20)；
(2)由(1)知：S=−3x2+60x(11≤x<20)，
∵围成的施工区域面积为288m2，
∴−3x2+60x=288，
解得：x=8(舍去)或x=12，
∴当AB的长是12米时，围成的施工区域面积为288m2；
(3)拨款够用．理由如下：
S=−3x2+60x=−3(x−10)2+300，
∵a=−3<0，函数图象的对称轴为直线：x=10，
∴当11≤x<20时，S随x的增大而减小，
∴当x=11时，施工区域有最大面积S=−3(11−10)2+300=297(m2)，
所需费用为297×400=118800<120000，
答：拨款够用．
【解析】(1)根据题意可得到S与x的函数关系式为：S=−3x2+60x，自变量x的取值范围是：11≤x<20；
(2)当围成的施工区域面积为288m2时：−3x2+60x=288，解一元二次方程即可求得AB；
(3)由S−3(x−10)2+300，结合11≤x<20，利用二次函数的性质即可求得最大面积，以及所需费用，即可判断．
本题是面积问题(二次函数综合)，考查了二次函数的性质及解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．
25.【答案】(1)解：∵正方形的边长为6，
∴CF=BC=6，
∴CQ=12BG=3，
∵∠FQC=90°，
∴FQ= CF2−CQ2=3 3．
答：FQ的长为3 3．
(2)证明：由折叠可得CQ=12BC=12CF，
∴∠QFC=30°，∠BCF=60°，
∴∠ECF=30°，即∠CEF=60°，
∵∠EFC=90°，
∴∠EFG=60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴EF=FG，
又∵GF//BE，GF=EF=BE，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴四边形BGFE是菱形；
(3)连接BD，
∵正方形边长为10，
∴AB=BC=CD=10，∠C=90°，
∴BD=10 2，
在△BDK中，有BD−BK
∴当B、K、D三点共线时，DK有最小值，
此时，DK=BD−BK=10 2−10，
∴DK的最小值为10 2−10．
【解析】(1)根据折叠可知CF=BC=6，CQ=12BC=3，然后根据勾股定理求出FQ的长即可；
(2)根据折叠得出CQ=12BC=12CF，根据三角函数求出∠CFQ的度数，然后推出△EFG是等边三角形，然后证明结论即可；
(3)连接BD，根据正方形的性质求出BD的长度，根据三角形三边关系得出，当B，K，D三点共线时，DK取得最小值，求出此时的DK即可．
本题考查了四边形的综合应用，主要考查正方形的综合题，熟练掌握菱形的判定，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．
26.【答案】解：(1)把A(−2,0)，B(4,0)代入y=ax2+x+c得：
4a−2+c=016a+4+c=0，
解得：a=−12c=4，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+x+4；
(2)过P作PK//y轴交BC于K，如图：
在y=−12x2+x+4中，令x=0得y=4，
∴C(0,4)，
∵A(−2,0)，B(4,0)，
∴AB=6，
∴S△ABC=12×6×4=12，
由B(4,0)，C(0,4)得直线BC函数表达式为y=−x+4，
设P(m,−12m2+m+4)，则K(m,−m+4)，
∴PK=−12m2+m+4−(−m+4)=−12m2+2m，
∵△PBC的面积等于△ABC面积的14，
∴12×(−12m2+2m)×4=12×14，
解得m=1或m=3，
∴点P的坐标为(1,92)或(3,52)；
(3)①当公共点Q(m,n)在C(0,4)下方时，
在y=−12x2+x+4中，令y=−8得：−8=−12x2+x+4，
解得x=6或x=−4，
∵将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，
∴新图象过点(6,−8)，
当直线y=−12x+d与新图象公共点为(6,−8)时，−8=−12×6+d，
解得d=−5，
如图：
∵C(0,4)，当−5≤d<4时，观察图象可知直线y=−12x+d与翻折后的抛物线无交点，
∴当−5≤d<4时，直线y=−12x+d与新图象只有一个公共点；
②当公共点Q(m,n)在C(0,4)上方时，如图：
若y=−12x+dy=−12x2+x+4有两个相等的实数解，即−12x2+32x+4−d=0的Δ=0，
则(32)2−4×(−12)(4−d)=0，
解得d=418；
由图可知，当d>418时，直线y=−12x+d与新图象只有一个公共点；
综上所述，d的取值范围是−5≤d<4或d>418．
【解析】(1)用待定系数法可得抛物线的解析式为y=−12x2+x+4；
(2)过P作PK//y轴交BC于K，求出C(0,4)，S△ABC=12×6×4=12，由B(4,0)，C(0,4)得直线BC函数表达式为y=−x+4，设P(m,−12m2+m+4)，则K(m,−m+4)，可得PK=−12m2+m+4−(−m+4)=−12m2+2m，根据△PBC的面积等于△ABC面积的14，有12×(−12m2+2m)×4=12×14，即可解得点P的坐标为(1,92)或(3,52)；
(3)分两种情况：①当公共点Q(m,n)在C(0,4)下方时，求出新图象过点(6,−8)，当直线y=−12x+d与新图象公共点为(6,−8)时，−8=−12×6+d，得d=−5，可知当−5≤d<4时，直线y=−12x+d与新图象只有一个公共点；②当公共点Q(m,n)在C(0,4)上方时，求出y=−12x+dy=−12x2+x+4有两个相等的实数解时d=418；即可得当d>418时，直线y=−12x+d与新图象只有一个公共点．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，翻折变换等，解题的关键是数形结合思想的应用．
2022-2023学年广西南宁十四中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C=2πr.下列判断正确的是( )
A. 2是变量 B. π是变量 C. r是变量 D. C是常量
2. 下列二次根式，最简二次根式是( )
A. 15 B. 0.5 C. 5 D. 50
3. 以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是( )
A. 1，2，5 B. 1， 3，4 C. 2，3，4 D. 3，4，5
4. 如图是甲，乙两名射击运动员10次射击成绩的折线统计图，根据折线图判断，甲，乙两人成绩更稳定的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 同样稳定 D. 无法确定
5. 如图，要测量A，B两点间距离，在O点设桩，取OA中点C，OB中点D，测得CD=3米，则AB的长为( )
A. 3米
B. 6米
C. 8米
D. 12米
6. 如图，在正方形ABCD外侧作等边△ABE，连接DE，则∠EDB的度数为( )
A. 15°
B. 20°
C. 22.5°
D. 30°
7. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为一折线)，这个容器的形状是下图中的( )
A. B. C. D.
8. 一次函数y=−3x+1的图象经过( )
A. 第一、二、四象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、三象限 D. 第二、三、四象限
9. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.学校为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第—天进馆1280人次，进馆人次逐日增加，第三天进馆2880人次，若进馆人次的日平均增长率为x，则可列方程为( )
A. 1280(1+x)=2880
B. 1280(1+x)2=2880
C. 1280(1+x)+1280(1+x)2=2880
D. 1280+1280(1+x)+1280(1+x)2=2880
10. 已知点A(−1,y1)、B(−2,y2)、C(2,y3)三点都在二次函数y=−x2−2x+m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为( )
A. y1>y2>y3 B. y1>y3>y2 C. y3>y1>y2 D. y2>y1>y3
11. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4=125，S3=46，则S2=( )
A. 171
B. 79
C. 100
D. 81
12. 在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2−4ax+2(a<0)部分图象和一次函数y=−12x+2的图象如图所示.已知它们有一个交点为A，点B(−1,−1)在该二次函数图象上，则它们的另一个交点在( )
A. MN之间 B. 点N C. NQ之间 D. 点Q
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
13. 若二次根式 x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14. 若将抛物线y=2x2先向右平移5个单位，再向上平移4个单位，得到新抛物线的表达式为______ ．
15. 若a是一元二次方程x2+2x−3=0的一个根，则2a2+4a的值是______．
16. 如图，一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(−1,4)，B(6,2)两点，则关于x的不等式kx+n>ax2+bx+c的解集为______ ．
17. 如图，图1是第七届国际数学教育大会(ICME−7)会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图2)演化而成的.如果图2中的OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，若S1代表△A1OA2的面积，S2代表△A2OA3的面积，以此类推，则S10的值为______ ．
18. 如图，正方形ABCD中，AB=6，H为CD上一动点(不含C、D)，连接AH交BD于G，过点G作GE⊥AH交BC于E，过E作EF⊥BD于F，连接CG，则GF的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算： 6÷ 2+( 5+3)( 5−3)+ 12．
20. (本小题6.0分)
解方程：x2+2x−2=0．
21. (本小题10.0分)
如图，在矩形ABCD中.延长AD至点E，使DE=AD，连接BE交DC于点F．
(1)求证：△DEF≌△CBF；
(2)若AB=8，BC=3，求点A，F之间的距离．
22. (本小题10.0分)
《长空之王》和《速度与激情10》是五一“黄金周”以来最火的两部电影，为了解本校学生对这两部部作品的评价，某调查小组从该校观看过这两部电影的学生中各随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行评分(满分10分)，并通过整理和分析，给出了部分信息.请根据以上信息，解答下列问题：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)电影《长空之王》得分的中位数是______ ，众数是______ ；
(2)电影《速度与激情10》得分的平均数是多少？
(3)若该校有400名学生观看过这两部影片，他们都对这两部作品分别进行了评分，你认为这两部作品一共可得到多少个满分？
23. (本小题10.0分)
【问题情境】勤劳智慧的中国人在很早的时候就发明了一种称重工具——杆秤(如图1)，相传为春秋时期“商圣”范蠡所创，杆秤的应用方便了古人的生活，直至今日仍然有人还在使用杆秤进行交易．
【实践发现】某兴趣小组为探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x厘米(x≥4)与秤钩所挂物体重量y斤之间的关系，进行了6次称重，下表为称重时所记录的一些数据．
x
4
12
16
24
28
36
y
0
1
1.5
2.5
3
4
【实践探究】
(1)在图2的平面直角坐标系中，请以表格中的x值为横坐标、y值为纵坐标描出所有的点，并将这些点依次连接起来；
(2)根据(1)所描各点的分布规律，观察它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由；
【问题解决】
(3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为40厘米时，求秤钩所挂物体的重量．
24. (本小题10.0分)
2023年南宁市公共资源交易中心明确提出将五象站铁路枢纽接入地铁4号线.目前4号线剩余的东段(五象火车站—一龙岗站)已经在建设中，施工方决定对终点站龙岗站施工区域中的一条特殊路段进行围挡施工，先沿着路边砌了一堵长27m的砖墙，然后打算接若用长60m的铁皮围栏靠着墙围成中间隔有一道铁皮围栏(平行于AB)的长方形施工区域．
(1)设施工区域的一边AB为x m，施工区域的面积为S m2.请求出S与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当围成的施工区域面积为288m2时，AB的长是多少？
(3)该特殊路段围挡区域的施工成本为400元/m2，项目方打算拨款120000元用于施工，请你通过计算判断项目方的拨款能否够用．
25. (本小题10.0分)
如图1，将正方形纸片ABCD对折，使得边AB与CD重合，展开铺平，折痕为PQ.然后，再将正方形纸片沿着过点C的直线折叠，此时点B恰好落在折痕PQ的点F处，展开铺平，设CE与PQ交于点G，连接BG，得到图2．
(1)若正方形ABCD的边长为6，求FQ的长；
(2)求证：四边形BGFE是菱形；
(3)如图3，M是正方形ABCD的边AD上一点，连接BM，将△ABM沿着BM折叠，使得点A落在正方形ABCD的内部点K处，连接DK，若正方形ABCD的边长为10，请直接写出DK的最小值．
26. (本小题10.0分)
如图1，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A(−2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上的—个动点，使△PBC的面积等于△ABC面积的14，求点P的坐标；
(3)过点C作直线l//x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象(如图2)，请你结合新图象解答：当直线y=−12x+d与新图象只有一个公共点Q(m,n)，且n≥−8时，求d的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据题意可得，
在C=2πr中．2、π为常量，r是自变量，C是因变量．
故选：C．
根据变量与常量的定义进行求解即可得出答案．
本题主要考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义进行求解是解决本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：由判断最简二次根式的条件，得， 5是最简二次根式．
故选C．
用判断最简二次根式的条件直接判断．
此题是最简二次根式题，熟记最简二次根式的条件是解本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、12+22≠52，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、12+( 3)2=42，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、22+32=42，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、32+42=52，能组成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据勾股定理的逆定理，直接计算进行判断即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
4.【答案】B
【解析】解：由折线统计图得，乙运动员的10次射击成绩的波动性较小，甲运动员的10次射击成绩的波动性较大，所以乙的成绩更稳定．
故选：B．
利用折线统计图判断甲、乙成绩的波动性的大小，从而可判断谁的成绩更稳定．
本题考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了方差的意义．
5.【答案】B
【解析】解：∵C是OA中点，D是OB中点，
∴CD是三角形AOB的中位线，
∴CD=12AB，
∵CD=3米，
∴AB=6米．
故选：B．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，由此即可得到CD=12AB，又CD=3米，因此AB=6米．
本题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形中位线定理．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=AE，∠BAE=∠ABE=60°，
在△ADE中，AD=AE，∠DBE=∠ABD+∠ABE=90°+60°=150°，
∴∠EDB=12(180°−150°)=15°，
故选：A．
根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°求出BD=BE，∠DBE的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出∠EDB即可．
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记各性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为C．
故选：C．
根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．
8.【答案】A
【解析】解：∵y=−3x+1，
∴k<0，b>0，
故直线经过第一、二、四象限．
故选：A．
利用一次函数的性质即可确定直线经过的象限．
本题考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象经过的象限与k，b符号的关系是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：设进馆人次的日平均增长率为x，
根据题意得，1280(1+x)2=2880，
故选：B．
根据第—天的进馆人次数及进馆人次的月平均增长率，可得出第二个月进馆1280(1+x)人次，第二天进馆1280(1+x)2人次．，结合到第三天进馆2880人次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的图象和性质：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
先确定抛物线的对称轴，根据二次函数的性质，然后利用抛物线开口向下时，离对称轴越远，函数值越小求解．
解：y=−x2−2x+m=−(x+1)2+m+1，
【解答】
抛物线的对称轴为直线x=−1，开口向下，
而点A(−1,y1)在对称轴上，点C(2,y3)离对称轴最远，
所以y1>y2>y3．
故选：A．
11.【答案】B
【解析】解：由题意可知：S1=AB2，S2=BC2，S3=CD2，S4=AD2，
连接BD，在直角△ABD和△BCD中，
BD2=AD2+AB2=CD2+BC2，
即S1+S4=S3+S2，
因此S2=125−46=79，
故选：B．
利用勾股定理的几何意义解答．
本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．
12.【答案】A
【解析】解：把点B代入y=ax2−4ax+2中，
得：a+4a+2=−1，
解得a=−35，
∴抛物线的解析式为y=−35x2+125x+2，
联立抛物线和直线的解析式得：
y=−35x2+125x+2y=−12x+2，
解得x=0y=2或x=296y=−512，
∴它们的另一个交点坐标为(296,−512)，
∵M(4,0)，N(5,−12)，Q(6,−1)，
又∵4<296<5，
∴它们的另一个交点在MN之间，
故选：A．
由点B的坐标即可确定二次函数的解析式，和直线联立即可确定另一个交点的坐标．
本题主要考查二次函数的图象和性质，关键是要能根据点B的坐标确定抛物线的解析式．
13.【答案】x≥1
【解析】
【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解：∵式子 x−1在实数范围内有意义，
∴x−1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
14.【答案】y=2(x−5)2+4
【解析】解：将抛物线y=2x2先向右平移5个单位，再向上平移4个单位，得到新抛物线的表达式为：y=2(x−5)2+4．
故答案为：y=2(x−5)2+4．
直接利用二次函数的平移规律，上加下减，即可得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
15.【答案】6
【解析】解：∵a是一元二次方程x2+2x−3=0的一个根，
∴a2+2a−3=0，
∴a2+2a=3，
∴2a2+4a=2(a2+2a)=2×3=6，
故答案为：6．
将a代入x2+2x−3=0，即可得出a2+2a=3，再把a2+2a=3整体代入2a2+4a，即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键．
16.【答案】−1
根据图象可得关于x的不等式kx+n>ax2+bx+c的解集是：−1
本题考查了二次函数与不等式的关系，理解不等式的解集就是对应的自变量的取值范围是解答本题的关键．
17.【答案】 102
【解析】解：由勾股定理得：OA2= 12+12= 2，
OA3= ( 2)2+12= 3，
OA4= ( 3)2+12= 4，
OA5= 22+12= 5，
……
OA10= 10，
∴S10= 10×12= 102．
故答案为： 102．
由勾股定理得到OA10= 10，由三角形的面积公式即可得到答案．
本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是得到OA10= 10．
18.【答案】3 2
【解析】解：连接AC交BD于点I，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，AB//CD，∠ABG=∠CBG=45°，
在△ABG和△CBG中，
AB=CB∠ABG=∠CBGBG=BG，
∴△ABG≌△CBG(SAS)，
∴AG=CG，∠BAG=∠BCG，
∵AB//CD，
∴∠BAG=∠AHD，
∴∠BCG=∠AHD，
∵GE⊥AH，
∴∠AGE=∠HGE=90°，
∴∠GEC+∠AHC=180°，
∴∠GEC=180°−∠AHC=∠AHD，
∴∠BCG=∠GEC，
∴EG=CG，
∴AG=EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BC，
∴∠AIG=90°，
∵EF⊥BD，
∴∠GFE=∠AIG=90°，
∴∠GEF=∠AGI=90°−∠EGF，
在△GEF和△AGI中，
∠GFE=∠AIG∠GEF=∠AGIEG=AG，
∴△GEF≌△AGI(AAS)，
∴GF=AI，
∵AI=CI=12AC，
∴GF=12AC，
正方形ABCD中，AB=6，
∴AC=6 2，
∴GF=3 2，
故答案为：3 2．
连接AC交BD于点I，则AC⊥BC，而EF⊥BD，所以∠GFE=∠AIG=90°，得∠GEF=∠AGI=90°−∠EGF，即可证明△GEF≌△AGI，得GF=AI，由正方形的性质及勾股定理求出AC=2AI=2GF=6 2，据此求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，熟记全等三角形的判定与性质、正方形的性质是解题的关键．
19.【答案】解： 6÷ 2+( 5+3)( 5−3)+ 12
= 62+( 5)2−32+2 3
= 3+5−9+2 3
=−4+3 3．
【解析】先根据二次根式的除法，平方差公式，二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
20.【答案】解：原方程化为：x2+2x=2，
x2+2x+1=3
(x+1)2=3，
x+1=± 3
x1=−1+ 3，x2=−1− 3．
【解析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，即DE//BC，∠C=90°，AD=BC，
∴∠EDF=∠C，∠E=∠CBF，
∵DE=AD=BC，
∴DE=CB，
在△DEF和△CBF中，
∠EDF=∠CDE=CB∠E=∠CBF，
∴△DEF≌△CBF(ASA)；
(2)解：∵△DEF≌△CBF，
∴DF=CF=12CD，
在矩形ABCD中，CD=AB=8，AD=BC=3，∠ADC=90°，
∴DF=4，
∴AF= AD2+DF2=5，
即A、F之间的距离为5．
【解析】(1)结合矩形的性质利用ASA可证明△DEF≌△CBF；
(2)利用全等三角形的判定可得AD=BC=3，DF=CF=4，再利用勾股定理可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】8.5 9
【解析】解：(1)∵这组样本数据中，9出现了6次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是9．
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8，9，有8+92=8.5，
∴这组数据的中位数为8.5，
故答案为：9，8.5；
(2)10分所占的百分比：100%−10%−30%−15%−20%=25%，
《速度与激情10》评分的平均数为10×25%+9×20%+8×15%+7×30%+6×10%=8.2；
(3)400×(420+25%)=180(个)．
答：这两部作品一共大约可得到180个满分．
(1)根据中位数和众数的定义即可求解；
(2)通过加权平均数的计算方法得出答案；
(3)求出两部作品满分人数所占的百分比即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义是解决问题的前提，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键．
23.【答案】解：(1)如图所示：
(2)由(1)中图象可知，所描各点在同一直线上．
设x，y的函数关系式：y=kx+b，
把(12,1)和(28,3)代入解析式得：
12k+b=128k+b=3，
解得：k=18b=−12，
∴这条直线所对应的函数表达式为y=18x−12；
(3)当x=40时，y=18×40−12=4.5，
∴秤钩所挂物体的重量为4.5斤．
【解析】(1)根据表格中数据，在给定坐标系中描出对应的点即可；
(2)由(1)中图象可以判断所描各点在同一直线上，设出直线的函数解析式，用待定系数法求解即可；
(3)把x=40代入(2)中解析式求出y即可．
本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数解析式的求法是解题关键．
24.【答案】解：(1)根据题意得：S=x(60−3x)=−3x2+60x，
0<60−3x≤270<3x<60，
解得：11≤x<20，
∴S与x的函数关系式为：S=−3x2+60x(11≤x<20)；
(2)由(1)知：S=−3x2+60x(11≤x<20)，
∵围成的施工区域面积为288m2，
∴−3x2+60x=288，
解得：x=8(舍去)或x=12，
∴当AB的长是12米时，围成的施工区域面积为288m2；
(3)拨款够用．理由如下：
S=−3x2+60x=−3(x−10)2+300，
∵a=−3<0，函数图象的对称轴为直线：x=10，
∴当11≤x<20时，S随x的增大而减小，
∴当x=11时，施工区域有最大面积S=−3(11−10)2+300=297(m2)，
所需费用为297×400=118800<120000，
答：拨款够用．
【解析】(1)根据题意可得到S与x的函数关系式为：S=−3x2+60x，自变量x的取值范围是：11≤x<20；
(2)当围成的施工区域面积为288m2时：−3x2+60x=288，解一元二次方程即可求得AB；
(3)由S−3(x−10)2+300，结合11≤x<20，利用二次函数的性质即可求得最大面积，以及所需费用，即可判断．
本题是面积问题(二次函数综合)，考查了二次函数的性质及解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．
25.【答案】(1)解：∵正方形的边长为6，
∴CF=BC=6，
∴CQ=12BG=3，
∵∠FQC=90°，
∴FQ= CF2−CQ2=3 3．
答：FQ的长为3 3．
(2)证明：由折叠可得CQ=12BC=12CF，
∴∠QFC=30°，∠BCF=60°，
∴∠ECF=30°，即∠CEF=60°，
∵∠EFC=90°，
∴∠EFG=60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴EF=FG，
又∵GF//BE，GF=EF=BE，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴四边形BGFE是菱形；
(3)连接BD，
∵正方形边长为10，
∴AB=BC=CD=10，∠C=90°，
∴BD=10 2，
在△BDK中，有BD−BK
∴当B、K、D三点共线时，DK有最小值，
此时，DK=BD−BK=10 2−10，
∴DK的最小值为10 2−10．
【解析】(1)根据折叠可知CF=BC=6，CQ=12BC=3，然后根据勾股定理求出FQ的长即可；
(2)根据折叠得出CQ=12BC=12CF，根据三角函数求出∠CFQ的度数，然后推出△EFG是等边三角形，然后证明结论即可；
(3)连接BD，根据正方形的性质求出BD的长度，根据三角形三边关系得出，当B，K，D三点共线时，DK取得最小值，求出此时的DK即可．
本题考查了四边形的综合应用，主要考查正方形的综合题，熟练掌握菱形的判定，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．
26.【答案】解：(1)把A(−2,0)，B(4,0)代入y=ax2+x+c得：
4a−2+c=016a+4+c=0，
解得：a=−12c=4，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+x+4；
(2)过P作PK//y轴交BC于K，如图：
在y=−12x2+x+4中，令x=0得y=4，
∴C(0,4)，
∵A(−2,0)，B(4,0)，
∴AB=6，
∴S△ABC=12×6×4=12，
由B(4,0)，C(0,4)得直线BC函数表达式为y=−x+4，
设P(m,−12m2+m+4)，则K(m,−m+4)，
∴PK=−12m2+m+4−(−m+4)=−12m2+2m，
∵△PBC的面积等于△ABC面积的14，
∴12×(−12m2+2m)×4=12×14，
解得m=1或m=3，
∴点P的坐标为(1,92)或(3,52)；
(3)①当公共点Q(m,n)在C(0,4)下方时，
在y=−12x2+x+4中，令y=−8得：−8=−12x2+x+4，
解得x=6或x=−4，
∵将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，
∴新图象过点(6,−8)，
当直线y=−12x+d与新图象公共点为(6,−8)时，−8=−12×6+d，
解得d=−5，
如图：
∵C(0,4)，当−5≤d<4时，观察图象可知直线y=−12x+d与翻折后的抛物线无交点，
∴当−5≤d<4时，直线y=−12x+d与新图象只有一个公共点；
②当公共点Q(m,n)在C(0,4)上方时，如图：
若y=−12x+dy=−12x2+x+4有两个相等的实数解，即−12x2+32x+4−d=0的Δ=0，
则(32)2−4×(−12)(4−d)=0，
解得d=418；
由图可知，当d>418时，直线y=−12x+d与新图象只有一个公共点；
综上所述，d的取值范围是−5≤d<4或d>418．
【解析】(1)用待定系数法可得抛物线的解析式为y=−12x2+x+4；
(2)过P作PK//y轴交BC于K，求出C(0,4)，S△ABC=12×6×4=12，由B(4,0)，C(0,4)得直线BC函数表达式为y=−x+4，设P(m,−12m2+m+4)，则K(m,−m+4)，可得PK=−12m2+m+4−(−m+4)=−12m2+2m，根据△PBC的面积等于△ABC面积的14，有12×(−12m2+2m)×4=12×14，即可解得点P的坐标为(1,92)或(3,52)；
(3)分两种情况：①当公共点Q(m,n)在C(0,4)下方时，求出新图象过点(6,−8)，当直线y=−12x+d与新图象公共点为(6,−8)时，−8=−12×6+d，得d=−5，可知当−5≤d<4时，直线y=−12x+d与新图象只有一个公共点；②当公共点Q(m,n)在C(0,4)上方时，求出y=−12x+dy=−12x2+x+4有两个相等的实数解时d=418；即可得当d>418时，直线y=−12x+d与新图象只有一个公共点．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，翻折变换等，解题的关键是数形结合思想的应用．
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