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2022-2023学年江苏省宿迁市沭阳县八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江苏省宿迁市沭阳县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省宿迁市沭阳县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列说法正确的是( )
A. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是必然事件
B. 任意画一个三角形，其内角和是360°是随机事件
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是不可能事件
D. 射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件
3. 某校调查学生的视力情况，在全校的2800名学生中随机抽取了150名学生，下列说法正确的是( )
A. 此次调查属于全面调查 B. 样本容量是150
C. 2800名学生是总体 D. 被抽取的每一名学生称为个体
4. 下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 15 B. 0.5 C. 15 D. 50
5. 《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：每头牛比每只羊贵1两，20两买牛，15两买羊，买得牛羊的数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为( )
A. 20x=15x+1 B. 20x=15x−1 C. 20x+1=15x D. 20x−1=15x
6. 把分式x+yx2中的x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值( )
A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小为原来的12
7. 学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系．当水温将至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是( )
A. 水温从20℃加热到100℃，需要7min
B. 水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=400x
C. 上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D. 水温不低于30℃的时间为773min
8. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=−3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线y=kx上，现将正方形ABCD沿x轴向右平移a个单位，可以使得顶点B落在双曲线上，则a的值为( )
A. 32 B. 73 C. 2 D. 43
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 分式2a3b2c与2b9ac2的最简公分母是______ ．
10. 若点A(a,b)在双曲线y=5x上，则代数式ab−8的值为______ ．
11. 在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入3个黑球(每个球除颜色外其余都与红球相同)，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球约有______个．
12. 若等式 (x−1)(x+2)= x−1⋅ x+2成立，则字母x应满足条件______
13. 已知1a−1b=13，则abb−a的值等于______．
14. 若分式|x|−1x−1的值等于0，那么x等于______ ．
15. 若点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)都在反比例函数y=k2+1x的图象上，若x1
17. 已知|2022−a|+ a−2023=a，则a−20222= ．
18. 如图，点A在直线y=x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边作正方形ACDE，点D恰好在反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)第一象限的图象上，连接AD.若OA2−AD2=30，则k的值为______ ．
三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）
19. 化简并求值：(a+1a+2)÷a2−1a+2，其中a= 2+1
20. 如图，函数y=kx的图象与函数y=−2x+8的图象交于点A(1,a)，B(b,2)．
(1)求函数y=kx的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式kx<−2x+8的解集；
(3)若点P是y轴上的动点，当△ABP周长最小时，求点P的坐标．
四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题8.0分)
化简与求值：
(1) 18− 6÷ 3；
(2)(2+ 5)(2− 5)−( 3−2)2．
22. (本小题8.0分)
解方程：
(1)2x+3=5x；
(2)x+1x−1−4x2−1=1．
23. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC所在直线上有两点E、F，满足AE=AC=CF，连接BE、BF、DE、DF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若∠EDC=90°，则当∠DEA=______°时，四边形BEDF是菱形．
24. (本小题10.0分)
为了弘扬航天精神，郑州市某中学开展了主题为“理想高于天，青春梦启航”的航天知识竞答活动，学校随机抽取了七年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理(满分为100分，将抽取的成绩在60～70分之间的记为A组，70～80分之间的记为B组，80～90分之间的记为C组，90～100分之间的记为D组，每个组都含最大值不含最小值，例如A组包括70分不包括60分)，得到如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图：
(1)请求出学校抽取的七年级同学的人数；
(2)请求出D组的人数并把扇形统计图补充完整；
(3)学校将此次竞答活动的D组成绩记为优秀，已知该校七年级共有400名学生，请估计七年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数．
25. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高．
(1)若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为 ．
(2)求证：∠DHF=∠DEF．
26. (本小题10.0分)
市面上有A、B两种类型的口罩，小明用12元买A型口罩，小丽用21元买B型口罩．已知每个B型口罩比A型口罩贵1.2元，小明和小丽能买到相同数量的口罩吗？
27. (本小题12.0分)
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写出另一个式子的平方，如3+2 2=(1+ 2)2.善于思考的小明进行了以下探索：设a+b 2=(m+n 2)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+b 2=m2+2n2+2mn 2，∴a=m2+2n2，b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b 2的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数，若a+b 3=(m+n 3)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a= ______ ，b= ______ ；
(2)若a+4 3=(m+n 3)2，且a、m、n均为正整数，求a的值．
(3)化简 6+2 5．
28. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，A(8,0)、B(0,6)是矩形OACB的两个顶点，双曲线y=kx(k≠0,x>0)经过AC的中点D，点E是矩形OACB与双曲线y=kx的另一个交点．
(1)点D的坐标为______，点E的坐标为______；
(2)动点P在第一象限内，且满足S△POB=12S△ODE
①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
②若点Q是平面内一点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转180°，与自身完全重合，逐一进行判断即可．
本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，熟练掌握轴相关定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，原说法错误，不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，原说法错误，不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，原说法错误，不符合题意；
D、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，正确，符合题意．
故选：D．
根据事件的分类，逐一进行判断即可．
本题考查的是随机事件及三角形内角和定理，熟练掌握事件分为确定事件和随机事件，确定事件是一定条件下一定发生或一定不发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、此次调查属于抽样调查，故此选项不合题意；
B、样本容量是150，故此选项符合题意；
C、2800名学生的视力情况是总体，故此选项不合题意；
D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体，故此选项不合题意．
故选：B．
根据全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量的意义逐项判断即可解答．
本题主要考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量等知识点，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A． 15= 55，故A不符合题意；
B. 0.5= 12= 22，故B不符合题意；
C. 15是最简二次根式，故C符合题意；
D. 50=5 2，故D不符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：设每头牛的价格为x两，则设每头羊的价格为(x−1)两，
由题意得，20x=15x−1，
故选：B．
设每头牛的价格为x两，则设每头羊的价格为(x−1)两，然后根据20两买牛，15两买羊，买得牛羊的数量相等列出方程即可．
本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：分式x+yx2中的x，y的值同时扩大为原来的2倍得：
2x+2y(2x)2=2(x+y)4x2=x+yx2×12，
故选：D．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
7.【答案】D
【解析】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：100−2010=8min，
故A选项不合题意；
由题可得，(8,100)在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y=kx，
代入点(8,100)可得，k=800，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=800x，
故B选项不合题意；
令y=20，则800x=20，
∴x=40，
即饮水机每经过40分钟，要重新从20℃开始加热一次，
从8点9点30分钟，所用时间为90分钟，
而水温加热到100分钟，仅需要8分钟，
故当时间是9点30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10分钟，
令x=10，则y=80010=80℃>40℃，
故C选项不符合题意；
水温从20℃加热到30℃所需要时间为：30−2010=1min，
令y=30，则800 x=30，
∴x=803，
∴水温不低于30℃的时间为803−1=773min，
故选：D．
因为开机加热时，饮水机每分钟上升10℃，所以开机加热到100℃，所用时间为100−2010=8min，故A不合题意，利用点(8,100)，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意，令y=20，则x=40，求出每40分钟，饮水机重新加热，故时间为9点30时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了10分钟，令x=10，代入到反比例函数中，求出y，即可得到C不符合题意，先求出加热时间段时，水温达到30℃所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为30℃时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于30℃时的时间．
本题考查了反比例函数的应用，数形结合，是解决本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，作DH⊥x轴于H，
在y=−3x+3中，令x=0，解得：y=3，即B的坐标是(0,3)．
令y=0，解得：x=1，即A的坐标是(1,0)．
则OB=3，OA=1．
∵∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAH=90°，
又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠DAH=∠OBA．
又∠BOA=∠AHD=90°，BA=AD，
∴△BOA≌△AHD(AAS)．
∴BO=AH=3，AO=DH=1．
∴D(4,1)．
把D(4,1)代入y=kx，
∴k=4．
∴反比例函数解析式为y=4x．
∵B为(0,3)，
∵正方形向右平移a个单位，
∴平移后B为(a,3)．
由平移后B(a,3)在双曲线y=4x上，
∴3a=4．
∴a=43．
故选：D．
依据题意，作DH⊥x轴于H，可证△DAH≌△ABO，从而求得D的坐标，代入反比例函数解析式求出k，由正方形向右平移B落在双曲线上，利用B的纵坐标不变代入反比例函数解析式进而求出此时横坐标，平移前后的横坐标的差可以得出a的值．
本题主要考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得平移后B的坐标是关键．
9.【答案】9ab2c2
【解析】解：分式2a3b2c与2b9ac2的分母分别是3b2c、9ac2，故最简公分母是9ab2c2．
故答案为9ab2c2．
确定最简公分母的方法是：
(1)取各分母系数的最小公倍数；
(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
(3)同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母(或含字母的整式)为底数的幂的因式都要取最高次幂．
10.【答案】−3
【解析】解：将点A(a,b)代入双曲线解析式得：ab=5，
∴ab−8=5−8=−3，
∴代数式ab−8的值为−3，
故答案为：−3．
将点A(a,b)代入双曲线解析式求得ab的值即可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确在反比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标的积等于比例系数是解题的关键．
11.【答案】17
【解析】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球，
∵假设有x个红球，
∴xx+3=0.85，
解得：x=17，
经检验x=17是分式方程的解，
∴口袋中有红球约有17个．
故答案为：17．
根据口袋中有3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．
12.【答案】x≥1
【解析】解：由题意得：(x−1)(x+2)≥0，(x−1)≥0，(x+2)≥0，
解得：x≥1．
故填x≥1．
根据二次根式有意义的条件可得(x−1)(x−2)≥0，(x−1)≥0，(x+2)≥0，由此可得出x满足的条件．
本题考查二次根式有意义的条件，注意一定要保证被开方数为非负数．
13.【答案】3
【解析】解：∵1a−1b=13，
∴b−aab=13，
∴abb−a=3；
故答案为：3．
将已知等式的左边通分得，b−aab=13，取倒数可得结论．
本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的通分是关键．
14.【答案】−1
【解析】解：根据题意，得|x|−1=0且x−1≠0，
整理，得|x|=1且x≠1．
所以x=1或−1且x≠1，
所以x=−1．
故答案为：−1．
根据分式的值为0的条件即可得出答案．
本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
15.【答案】y2
∴反比例函数y=k2+1x的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
又∵x1
∴y2
本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
16.【答案】m>−7且m≠−3
【解析】解：原方程左右两边同时乘以(x−2)，得：2x+m−(x−1)=3(x−2)，
解得：x=m+72，
∵原方程的解为正数且x≠2，
∴m+72>0m+72≠2，
解得：m>−7且m≠−3，
故答案为：m>−7且m≠−3．
先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m的取值范围．
本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，熟知解分式方程的方法是解题的关键．
17.【答案】2023
【解析】解：∵|2022−a|+ a−2023=a有意义，
∴a−2023≥0，即a≥2023，
∴a−2022+ a−2023=a，
∴ a−2023=2022，
∴a−2023=20222，
∴a−20222=2023，
故答案为：2023．
先根据二次根式有意义的条件得到a≥2023，则a−2022+ a−2023=a，由此求出a−2023=20222，据此即可得到答案．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确得到a≥2023是解题的关键．
18.【答案】15
【解析】解：设正方形的边长为a，A(t,t)，则OB=AB=t，AC=CD=a，
∴C(t,t−a)，D(t+a,t−a)，
∴OA= 2t，AD= 2a，
∵OA2−AD2=20，
∴( 2t)2−( 2a)2=30，
∴t2−a2=15，
∵点D在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=(t+a)(t−a)=t2−a2=15．
故答案为：15．
设正方形的边长为a，A(t,t)，则OB=AB=t，AC=CD=a，于是可表示出C(t,t−a)，D(t+a,t−a)，利用等腰直角三角形的性质得OA= 2t，AD= 2a，则由OA2−AD2=30可得t2−a2=15，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得k=(t+a)(t−a)=t2−a2=15．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了正方形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征．
19.【答案】解：当a= 2+1时，
原式=a2+2a+1a+2⋅a+2a2−1
=a+1a−1
= 2+2 2
=1+ 2
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20.【答案】解：(1)把A(1,a)，B(b,2)分别代入y=−2x+8得a=−2+8=6，
−2b+8=2，解得b=3，
∴A(1,6)，B(3,2)；
把A(1,6)代入y=kx得k=1×6=6，
∴反比例函数解析式为y=6x；
(2)不等式kx<−2x+8的解集为x<0或1
∵PA+PB=PA′+PB=A′B，
∴此时PA+PB的值最小，△ABP周长最小，
设直线A′B的解析式为y=mx+n，
把A′(−1,6)，B(3,2)代入得−m+n=63m+n=2，解得m=−1n=5，
∴直线A′B的解析式为y=−x+5，
∴点P的坐标为(0,5)．
【解析】(1)先把A(1,a)，B(b,2)分别代入y=−2x+8中求出a、b的值得到A(1,6)，B(3,2)，然后把A点坐标代入y=kx中得到k的值，从而得到反比例函数解析式；
(2)写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可；
(3)作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P，如图，则A′(−1,6)，根据两点之间线段最短判断此时PA+PB的值最小，△ABP周长最小，然后利用待定系数法求出直线A′B的解析式，从而得到点P的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
21.【答案】解：(1)原式=3 2− 2
=2 2；
(2)原式=4−5−3+4 3−4
=−8+4 3．
【解析】(1)原式先计算除法，再计算减法运算即可求出值；
(2)利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算加减即可求出值．
此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)去分母得：2x=5(x+3)，
解得：x=−5，
检验：把x=−5代入得：x(x+3)≠0，
∴原方程的解为x=−5；
(2)去分母得：(x+1)2−4=x2−1，
解得：x=1，
检验：把x=1代入得：(x+1)(x−1)=0，
∴x=1是增根，分式方程无解．
【解析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
23.【答案】(1)证明：连接BD，交EF于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
又∵AE=CF，
∴AE+OA=CF+OC，
即OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)30°．
【解析】(1)证明：连接BD，交EF于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
又∵AE=CF，
∴AE+OA=CF+OC，
即OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)解：当∠DEA=30°时，四边形BEDF是菱形．
∵∠EDC=90°，EA=AC，
∴DA=AC，
∵∠DEA=30°，
∴∠DCE=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AD=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，OE⊥BD，
∴ED=EB，
由(1)可知，四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．
本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
(1)连接BD，交EF于点O，由平行四边形的性质得出OB=OD，OA=OC，证出OE=OF，由平行四边形的判定可得出结论；
(2)证明△ADC是等边三角形，由等边三角形的性质得出AD=CD，则四边形ABCD是菱形，由菱形的性质证出OB=OD，OE⊥BD，得出DE=EB，由菱形的判定可得出结论．
24.【答案】解：(1)12÷30%=40(人)，
答：学校抽取的七年级同学的人数为40人；
(2)D组人数为40−(4+12+16)=8(人)，
A组人数所占百分比为440×100%=10%，D组人数所占百分比为840×100%=20%，
补全扇形图如下：
(3)400×840=80(人)，
答：估计七年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数为80人．
【解析】(1)由B组人数及其所占百分比可得答案；
(2)四组人数之和等于总人数可求得D组人数，从而补全图形；
(3)总人数乘以样本中D组人数所占比例即可．
本题考查频数分布直方图和利用统计图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
25.【答案】(1)20
(2)证明：∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴DE//AC，EF//AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠DAF，
∵AH是△ABC的高
∴△ABH、△ACH是直角三角形，
∵点D、点F是斜边AB、AC中点，
∴DH=DA，HF=AF，
∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，
∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA，
即∠DAF=∠DHF，
∴∠DEF=∠DHF．
【解析】
【分析】
此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解决题目的关键是证明∠DHF=∠DAF与∠DAF=∠DEF．
(1)由三角形面积公式可知：△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的四分之一，进而可求出四边形ADEF的面积．
(2)首先证明四边形ADEF是平行四边形，进而可得∠DEF=∠DAF，再利用三角形的中位线定理证明四边形ADEF是平行四边形，可得到∠DAF=∠DEF，即可证出∠DHF=∠DEF．
【解答】(1)解：∵BC=10，AH=8，
∴S△ABC=12×8×10=40，
∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的14，
∴四边形ADEF的面积=40−20=20，
故答案为：20；
(2)见答案．
26.【答案】解：小明和小丽不能买到相同数量的口罩，理由如下：
设A型口罩每个x元，则B型口罩每个(x+1.2)元，
根据题意得：12x=21x+1.2．
解得：x=1.6
经检验，x=1.6是分式方程的解，
但按此价格，他们都买了7.5个口罩，不符合实际意义；
答：小明和小丽不能买到相同数量的口罩．
【解析】设A型口罩每个x元，则B型口罩每个(x+1.2)元，根据题意列出分式方程．解之并检验．
本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
27.【答案】m2+3n2 2mn
【解析】解：(1)仿照小明的方法，将(m+n 3)2展开，得：
m2+3n2+2mn 3，
将m2+3n2+2mn 3与a+b 3的系数进行对比，可得：
a=m2+3n2、b=2mn．
故答案为：m2+3n2，2mn．
(2)观察a+4 3=(m+n 3)2可知，
b=4，
由(1)中的规律可知，
2mn=4，
则mn=2，
由于m、n均为正整数，则有：
m=1n=2或m=2n=1
将m=1、n=2代入a=m2+3n2，得：
a=13，
将m=2、n=1代入a=m2+3n2，得：
a=7，
综上可知，a的值为13或7．
(3) 6+2 5= 1+( 5)2+2 5= (1+ 5)2=1+ 5．
(1)根据小明的方法，将(m+n 3)2按完全平方公式展开，和a+b 3的系数进行对比，即可求出a和b的值；
(2)欲求出a，m，n的值，需要先求出m，n的值，根据题意可知b=2mn=4，进而得到mn=2，结合m，n均为正整数即可求出m，n的值；再根据a=m2+3n2即可求出a的值．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，并对相应的运算法则的掌握．
28.【答案】(8,3) (4,6)
【解析】解：(1)∵四边形OACB是矩形，
∴AC=OB=6，
∴C(8,6)，
∵点D是AC的中点，
∴D(8,3)，
∴k=8×3=24，
∴y=24x，
当y=6时，x=4，
∴E(4,6)，
故答案为：(8,3)，(4,6)；
(2)①由题意知，S△ODE=S梯形OACE−S△OAD−S△ECD
=12×(4+8)×6−12×4×3−12×8×3
=18，
∵S△PBO=12S△ODE．
∴12×6×xP=12×18，
∴xP=3，
∴y=8，
∴P的坐标为(3,8)；
②由①知，点P在直线x=3上，设直线x=3交x轴于H，
当AC=AP=6时，若点P在第一象限，
∴PH= 62−52= 11，
∴Q(3, 11+6)，
当点P在第四象限舍去，
当CA=CP时，
同理得，Q(3,− 11)，Q′(3, 11)，
当PC=PA时，点P(3,3)，
则点Q与P关于AC对称，
∴Q(13,3)，
综上，点Q(3, 11+6)或(3,− 11)或(3, 11)或(13,3)．
(1)根据矩形的性质得点C的坐标，再利用中点坐标公式得点D的坐标，从而得出k的值，再将y=6代入即可；
(2)①首先根据S△ODE=S梯形OACE−S△OAD−S△ECD，求出△ODE的面积，再根据S△PBO=12S△ODE.得出点P的横坐标，从而得出答案；
②由①知，点P在直线x=3上，设直线x=3交x轴于H，分AP=AC，CA=C，PA=PC三种情形，分别利用菱形的性质可得答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，三角形的面积等知识，明确点P在直线x=5上运动是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
2022-2023学年江苏省宿迁市沭阳县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列说法正确的是( )
A. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是必然事件
B. 任意画一个三角形，其内角和是360°是随机事件
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是不可能事件
D. 射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件
3. 某校调查学生的视力情况，在全校的2800名学生中随机抽取了150名学生，下列说法正确的是( )
A. 此次调查属于全面调查 B. 样本容量是150
C. 2800名学生是总体 D. 被抽取的每一名学生称为个体
4. 下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 15 B. 0.5 C. 15 D. 50
5. 《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：每头牛比每只羊贵1两，20两买牛，15两买羊，买得牛羊的数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为( )
A. 20x=15x+1 B. 20x=15x−1 C. 20x+1=15x D. 20x−1=15x
6. 把分式x+yx2中的x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值( )
A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小为原来的12
7. 学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系．当水温将至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是( )
A. 水温从20℃加热到100℃，需要7min
B. 水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=400x
C. 上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D. 水温不低于30℃的时间为773min
8. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=−3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线y=kx上，现将正方形ABCD沿x轴向右平移a个单位，可以使得顶点B落在双曲线上，则a的值为( )
A. 32 B. 73 C. 2 D. 43
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 分式2a3b2c与2b9ac2的最简公分母是______ ．
10. 若点A(a,b)在双曲线y=5x上，则代数式ab−8的值为______ ．
11. 在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入3个黑球(每个球除颜色外其余都与红球相同)，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球约有______个．
12. 若等式 (x−1)(x+2)= x−1⋅ x+2成立，则字母x应满足条件______
13. 已知1a−1b=13，则abb−a的值等于______．
14. 若分式|x|−1x−1的值等于0，那么x等于______ ．
15. 若点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)都在反比例函数y=k2+1x的图象上，若x1
17. 已知|2022−a|+ a−2023=a，则a−20222= ．
18. 如图，点A在直线y=x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边作正方形ACDE，点D恰好在反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)第一象限的图象上，连接AD.若OA2−AD2=30，则k的值为______ ．
三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）
19. 化简并求值：(a+1a+2)÷a2−1a+2，其中a= 2+1
20. 如图，函数y=kx的图象与函数y=−2x+8的图象交于点A(1,a)，B(b,2)．
(1)求函数y=kx的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式kx<−2x+8的解集；
(3)若点P是y轴上的动点，当△ABP周长最小时，求点P的坐标．
四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题8.0分)
化简与求值：
(1) 18− 6÷ 3；
(2)(2+ 5)(2− 5)−( 3−2)2．
22. (本小题8.0分)
解方程：
(1)2x+3=5x；
(2)x+1x−1−4x2−1=1．
23. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC所在直线上有两点E、F，满足AE=AC=CF，连接BE、BF、DE、DF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若∠EDC=90°，则当∠DEA=______°时，四边形BEDF是菱形．
24. (本小题10.0分)
为了弘扬航天精神，郑州市某中学开展了主题为“理想高于天，青春梦启航”的航天知识竞答活动，学校随机抽取了七年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理(满分为100分，将抽取的成绩在60～70分之间的记为A组，70～80分之间的记为B组，80～90分之间的记为C组，90～100分之间的记为D组，每个组都含最大值不含最小值，例如A组包括70分不包括60分)，得到如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图：
(1)请求出学校抽取的七年级同学的人数；
(2)请求出D组的人数并把扇形统计图补充完整；
(3)学校将此次竞答活动的D组成绩记为优秀，已知该校七年级共有400名学生，请估计七年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数．
25. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高．
(1)若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为 ．
(2)求证：∠DHF=∠DEF．
26. (本小题10.0分)
市面上有A、B两种类型的口罩，小明用12元买A型口罩，小丽用21元买B型口罩．已知每个B型口罩比A型口罩贵1.2元，小明和小丽能买到相同数量的口罩吗？
27. (本小题12.0分)
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写出另一个式子的平方，如3+2 2=(1+ 2)2.善于思考的小明进行了以下探索：设a+b 2=(m+n 2)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+b 2=m2+2n2+2mn 2，∴a=m2+2n2，b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b 2的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数，若a+b 3=(m+n 3)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a= ______ ，b= ______ ；
(2)若a+4 3=(m+n 3)2，且a、m、n均为正整数，求a的值．
(3)化简 6+2 5．
28. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，A(8,0)、B(0,6)是矩形OACB的两个顶点，双曲线y=kx(k≠0,x>0)经过AC的中点D，点E是矩形OACB与双曲线y=kx的另一个交点．
(1)点D的坐标为______，点E的坐标为______；
(2)动点P在第一象限内，且满足S△POB=12S△ODE
①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
②若点Q是平面内一点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转180°，与自身完全重合，逐一进行判断即可．
本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，熟练掌握轴相关定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，原说法错误，不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，原说法错误，不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，原说法错误，不符合题意；
D、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，正确，符合题意．
故选：D．
根据事件的分类，逐一进行判断即可．
本题考查的是随机事件及三角形内角和定理，熟练掌握事件分为确定事件和随机事件，确定事件是一定条件下一定发生或一定不发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、此次调查属于抽样调查，故此选项不合题意；
B、样本容量是150，故此选项符合题意；
C、2800名学生的视力情况是总体，故此选项不合题意；
D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体，故此选项不合题意．
故选：B．
根据全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量的意义逐项判断即可解答．
本题主要考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量等知识点，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A． 15= 55，故A不符合题意；
B. 0.5= 12= 22，故B不符合题意；
C. 15是最简二次根式，故C符合题意；
D. 50=5 2，故D不符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：设每头牛的价格为x两，则设每头羊的价格为(x−1)两，
由题意得，20x=15x−1，
故选：B．
设每头牛的价格为x两，则设每头羊的价格为(x−1)两，然后根据20两买牛，15两买羊，买得牛羊的数量相等列出方程即可．
本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：分式x+yx2中的x，y的值同时扩大为原来的2倍得：
2x+2y(2x)2=2(x+y)4x2=x+yx2×12，
故选：D．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
7.【答案】D
【解析】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：100−2010=8min，
故A选项不合题意；
由题可得，(8,100)在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y=kx，
代入点(8,100)可得，k=800，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=800x，
故B选项不合题意；
令y=20，则800x=20，
∴x=40，
即饮水机每经过40分钟，要重新从20℃开始加热一次，
从8点9点30分钟，所用时间为90分钟，
而水温加热到100分钟，仅需要8分钟，
故当时间是9点30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10分钟，
令x=10，则y=80010=80℃>40℃，
故C选项不符合题意；
水温从20℃加热到30℃所需要时间为：30−2010=1min，
令y=30，则800 x=30，
∴x=803，
∴水温不低于30℃的时间为803−1=773min，
故选：D．
因为开机加热时，饮水机每分钟上升10℃，所以开机加热到100℃，所用时间为100−2010=8min，故A不合题意，利用点(8,100)，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意，令y=20，则x=40，求出每40分钟，饮水机重新加热，故时间为9点30时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了10分钟，令x=10，代入到反比例函数中，求出y，即可得到C不符合题意，先求出加热时间段时，水温达到30℃所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为30℃时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于30℃时的时间．
本题考查了反比例函数的应用，数形结合，是解决本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，作DH⊥x轴于H，
在y=−3x+3中，令x=0，解得：y=3，即B的坐标是(0,3)．
令y=0，解得：x=1，即A的坐标是(1,0)．
则OB=3，OA=1．
∵∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAH=90°，
又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠DAH=∠OBA．
又∠BOA=∠AHD=90°，BA=AD，
∴△BOA≌△AHD(AAS)．
∴BO=AH=3，AO=DH=1．
∴D(4,1)．
把D(4,1)代入y=kx，
∴k=4．
∴反比例函数解析式为y=4x．
∵B为(0,3)，
∵正方形向右平移a个单位，
∴平移后B为(a,3)．
由平移后B(a,3)在双曲线y=4x上，
∴3a=4．
∴a=43．
故选：D．
依据题意，作DH⊥x轴于H，可证△DAH≌△ABO，从而求得D的坐标，代入反比例函数解析式求出k，由正方形向右平移B落在双曲线上，利用B的纵坐标不变代入反比例函数解析式进而求出此时横坐标，平移前后的横坐标的差可以得出a的值．
本题主要考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得平移后B的坐标是关键．
9.【答案】9ab2c2
【解析】解：分式2a3b2c与2b9ac2的分母分别是3b2c、9ac2，故最简公分母是9ab2c2．
故答案为9ab2c2．
确定最简公分母的方法是：
(1)取各分母系数的最小公倍数；
(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
(3)同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母(或含字母的整式)为底数的幂的因式都要取最高次幂．
10.【答案】−3
【解析】解：将点A(a,b)代入双曲线解析式得：ab=5，
∴ab−8=5−8=−3，
∴代数式ab−8的值为−3，
故答案为：−3．
将点A(a,b)代入双曲线解析式求得ab的值即可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确在反比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标的积等于比例系数是解题的关键．
11.【答案】17
【解析】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球，
∵假设有x个红球，
∴xx+3=0.85，
解得：x=17，
经检验x=17是分式方程的解，
∴口袋中有红球约有17个．
故答案为：17．
根据口袋中有3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．
12.【答案】x≥1
【解析】解：由题意得：(x−1)(x+2)≥0，(x−1)≥0，(x+2)≥0，
解得：x≥1．
故填x≥1．
根据二次根式有意义的条件可得(x−1)(x−2)≥0，(x−1)≥0，(x+2)≥0，由此可得出x满足的条件．
本题考查二次根式有意义的条件，注意一定要保证被开方数为非负数．
13.【答案】3
【解析】解：∵1a−1b=13，
∴b−aab=13，
∴abb−a=3；
故答案为：3．
将已知等式的左边通分得，b−aab=13，取倒数可得结论．
本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的通分是关键．
14.【答案】−1
【解析】解：根据题意，得|x|−1=0且x−1≠0，
整理，得|x|=1且x≠1．
所以x=1或−1且x≠1，
所以x=−1．
故答案为：−1．
根据分式的值为0的条件即可得出答案．
本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
15.【答案】y2
∴反比例函数y=k2+1x的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
又∵x1
∴y2
本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
16.【答案】m>−7且m≠−3
【解析】解：原方程左右两边同时乘以(x−2)，得：2x+m−(x−1)=3(x−2)，
解得：x=m+72，
∵原方程的解为正数且x≠2，
∴m+72>0m+72≠2，
解得：m>−7且m≠−3，
故答案为：m>−7且m≠−3．
先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m的取值范围．
本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，熟知解分式方程的方法是解题的关键．
17.【答案】2023
【解析】解：∵|2022−a|+ a−2023=a有意义，
∴a−2023≥0，即a≥2023，
∴a−2022+ a−2023=a，
∴ a−2023=2022，
∴a−2023=20222，
∴a−20222=2023，
故答案为：2023．
先根据二次根式有意义的条件得到a≥2023，则a−2022+ a−2023=a，由此求出a−2023=20222，据此即可得到答案．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确得到a≥2023是解题的关键．
18.【答案】15
【解析】解：设正方形的边长为a，A(t,t)，则OB=AB=t，AC=CD=a，
∴C(t,t−a)，D(t+a,t−a)，
∴OA= 2t，AD= 2a，
∵OA2−AD2=20，
∴( 2t)2−( 2a)2=30，
∴t2−a2=15，
∵点D在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=(t+a)(t−a)=t2−a2=15．
故答案为：15．
设正方形的边长为a，A(t,t)，则OB=AB=t，AC=CD=a，于是可表示出C(t,t−a)，D(t+a,t−a)，利用等腰直角三角形的性质得OA= 2t，AD= 2a，则由OA2−AD2=30可得t2−a2=15，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得k=(t+a)(t−a)=t2−a2=15．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了正方形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征．
19.【答案】解：当a= 2+1时，
原式=a2+2a+1a+2⋅a+2a2−1
=a+1a−1
= 2+2 2
=1+ 2
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20.【答案】解：(1)把A(1,a)，B(b,2)分别代入y=−2x+8得a=−2+8=6，
−2b+8=2，解得b=3，
∴A(1,6)，B(3,2)；
把A(1,6)代入y=kx得k=1×6=6，
∴反比例函数解析式为y=6x；
(2)不等式kx<−2x+8的解集为x<0或1
∵PA+PB=PA′+PB=A′B，
∴此时PA+PB的值最小，△ABP周长最小，
设直线A′B的解析式为y=mx+n，
把A′(−1,6)，B(3,2)代入得−m+n=63m+n=2，解得m=−1n=5，
∴直线A′B的解析式为y=−x+5，
∴点P的坐标为(0,5)．
【解析】(1)先把A(1,a)，B(b,2)分别代入y=−2x+8中求出a、b的值得到A(1,6)，B(3,2)，然后把A点坐标代入y=kx中得到k的值，从而得到反比例函数解析式；
(2)写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可；
(3)作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P，如图，则A′(−1,6)，根据两点之间线段最短判断此时PA+PB的值最小，△ABP周长最小，然后利用待定系数法求出直线A′B的解析式，从而得到点P的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
21.【答案】解：(1)原式=3 2− 2
=2 2；
(2)原式=4−5−3+4 3−4
=−8+4 3．
【解析】(1)原式先计算除法，再计算减法运算即可求出值；
(2)利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算加减即可求出值．
此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)去分母得：2x=5(x+3)，
解得：x=−5，
检验：把x=−5代入得：x(x+3)≠0，
∴原方程的解为x=−5；
(2)去分母得：(x+1)2−4=x2−1，
解得：x=1，
检验：把x=1代入得：(x+1)(x−1)=0，
∴x=1是增根，分式方程无解．
【解析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
23.【答案】(1)证明：连接BD，交EF于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
又∵AE=CF，
∴AE+OA=CF+OC，
即OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)30°．
【解析】(1)证明：连接BD，交EF于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
又∵AE=CF，
∴AE+OA=CF+OC，
即OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)解：当∠DEA=30°时，四边形BEDF是菱形．
∵∠EDC=90°，EA=AC，
∴DA=AC，
∵∠DEA=30°，
∴∠DCE=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AD=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，OE⊥BD，
∴ED=EB，
由(1)可知，四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．
本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
(1)连接BD，交EF于点O，由平行四边形的性质得出OB=OD，OA=OC，证出OE=OF，由平行四边形的判定可得出结论；
(2)证明△ADC是等边三角形，由等边三角形的性质得出AD=CD，则四边形ABCD是菱形，由菱形的性质证出OB=OD，OE⊥BD，得出DE=EB，由菱形的判定可得出结论．
24.【答案】解：(1)12÷30%=40(人)，
答：学校抽取的七年级同学的人数为40人；
(2)D组人数为40−(4+12+16)=8(人)，
A组人数所占百分比为440×100%=10%，D组人数所占百分比为840×100%=20%，
补全扇形图如下：
(3)400×840=80(人)，
答：估计七年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数为80人．
【解析】(1)由B组人数及其所占百分比可得答案；
(2)四组人数之和等于总人数可求得D组人数，从而补全图形；
(3)总人数乘以样本中D组人数所占比例即可．
本题考查频数分布直方图和利用统计图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
25.【答案】(1)20
(2)证明：∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴DE//AC，EF//AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠DAF，
∵AH是△ABC的高
∴△ABH、△ACH是直角三角形，
∵点D、点F是斜边AB、AC中点，
∴DH=DA，HF=AF，
∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，
∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA，
即∠DAF=∠DHF，
∴∠DEF=∠DHF．
【解析】
【分析】
此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解决题目的关键是证明∠DHF=∠DAF与∠DAF=∠DEF．
(1)由三角形面积公式可知：△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的四分之一，进而可求出四边形ADEF的面积．
(2)首先证明四边形ADEF是平行四边形，进而可得∠DEF=∠DAF，再利用三角形的中位线定理证明四边形ADEF是平行四边形，可得到∠DAF=∠DEF，即可证出∠DHF=∠DEF．
【解答】(1)解：∵BC=10，AH=8，
∴S△ABC=12×8×10=40，
∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的14，
∴四边形ADEF的面积=40−20=20，
故答案为：20；
(2)见答案．
26.【答案】解：小明和小丽不能买到相同数量的口罩，理由如下：
设A型口罩每个x元，则B型口罩每个(x+1.2)元，
根据题意得：12x=21x+1.2．
解得：x=1.6
经检验，x=1.6是分式方程的解，
但按此价格，他们都买了7.5个口罩，不符合实际意义；
答：小明和小丽不能买到相同数量的口罩．
【解析】设A型口罩每个x元，则B型口罩每个(x+1.2)元，根据题意列出分式方程．解之并检验．
本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
27.【答案】m2+3n2 2mn
【解析】解：(1)仿照小明的方法，将(m+n 3)2展开，得：
m2+3n2+2mn 3，
将m2+3n2+2mn 3与a+b 3的系数进行对比，可得：
a=m2+3n2、b=2mn．
故答案为：m2+3n2，2mn．
(2)观察a+4 3=(m+n 3)2可知，
b=4，
由(1)中的规律可知，
2mn=4，
则mn=2，
由于m、n均为正整数，则有：
m=1n=2或m=2n=1
将m=1、n=2代入a=m2+3n2，得：
a=13，
将m=2、n=1代入a=m2+3n2，得：
a=7，
综上可知，a的值为13或7．
(3) 6+2 5= 1+( 5)2+2 5= (1+ 5)2=1+ 5．
(1)根据小明的方法，将(m+n 3)2按完全平方公式展开，和a+b 3的系数进行对比，即可求出a和b的值；
(2)欲求出a，m，n的值，需要先求出m，n的值，根据题意可知b=2mn=4，进而得到mn=2，结合m，n均为正整数即可求出m，n的值；再根据a=m2+3n2即可求出a的值．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，并对相应的运算法则的掌握．
28.【答案】(8,3) (4,6)
【解析】解：(1)∵四边形OACB是矩形，
∴AC=OB=6，
∴C(8,6)，
∵点D是AC的中点，
∴D(8,3)，
∴k=8×3=24，
∴y=24x，
当y=6时，x=4，
∴E(4,6)，
故答案为：(8,3)，(4,6)；
(2)①由题意知，S△ODE=S梯形OACE−S△OAD−S△ECD
=12×(4+8)×6−12×4×3−12×8×3
=18，
∵S△PBO=12S△ODE．
∴12×6×xP=12×18，
∴xP=3，
∴y=8，
∴P的坐标为(3,8)；
②由①知，点P在直线x=3上，设直线x=3交x轴于H，
当AC=AP=6时，若点P在第一象限，
∴PH= 62−52= 11，
∴Q(3, 11+6)，
当点P在第四象限舍去，
当CA=CP时，
同理得，Q(3,− 11)，Q′(3, 11)，
当PC=PA时，点P(3,3)，
则点Q与P关于AC对称，
∴Q(13,3)，
综上，点Q(3, 11+6)或(3,− 11)或(3, 11)或(13,3)．
(1)根据矩形的性质得点C的坐标，再利用中点坐标公式得点D的坐标，从而得出k的值，再将y=6代入即可；
(2)①首先根据S△ODE=S梯形OACE−S△OAD−S△ECD，求出△ODE的面积，再根据S△PBO=12S△ODE.得出点P的横坐标，从而得出答案；
②由①知，点P在直线x=3上，设直线x=3交x轴于H，分AP=AC，CA=C，PA=PC三种情形，分别利用菱形的性质可得答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，三角形的面积等知识，明确点P在直线x=5上运动是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
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