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2023年山东省泰安市宁阳县中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2023年山东省泰安市宁阳县中考数学一模试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省泰安市宁阳县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数−1，2，−3，0，π中，负数的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 下列计算正确的是( )
A. (x−y)2=x2−y2 B. (3m2)2=6m4
C. 3m2−2m2=m2 D. a3⋅a3=a5
3. 如图是从上面看由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的图形，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则从左面看这个几何体的图形是( )
A. B. C. D.
4. 为了提升学生的人文素养，某校开展了朗诵经典文学作品活动，来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的中位数和众数分别是( )
A. 92分，96分 B. 94分，96分 C. 96分，96分 D. 96分，100分
5. 实外教职工篮球赛于11月3日开赛，某年级代表队16名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别是( )
年龄(单位：岁)
35
36
38
40
44
人数
3
3
5
3
2
A. 38，38 B. 38，39 C. 38，37 D. 5，38
6. 已知如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是边BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转(点E不与A，B重合)时，给出以下5个结论：①AE=PF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=12S△ABC；④EF=AP；⑤∠ABP=∠APF.上述结论始终正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
7. 用配方法解一元二次方程x2−2x−7=0，则方程变形为( )
A. (x−2) 2=11 B. (x+2) 2=11 C. (x−1) 2=8 D. (x+1) 2=8
8. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为( )
A. x+y=510x+3y=30 B. x+y=53x+10y=30
C. x+y=30x10+y3=5 D. x+y=30x3+y10=5
9. 若抛物线y=x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得到的新抛物线的解析式时( )
A. y=(x+2)2+3 B. y=(x+2)2−3 C. y=(x−2)2+3 D. y=(x−2)2−3
10. 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E.若⊙O的半径为2，∠BAC=60°，则线段EF的长为( )
A. 1
B. 3
C. 256
D. 258
11. 如图，Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，过D作DC⊥BE交BE的延长线于点C，连接BH并延长交DC于点F，连接DE交BF于点O.下列结论：
①DE平分∠HDC；②DO=OE；③H是BF的中点；④BC−CF=2CE；
⑤CD=HF，其中正确的有( )
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
12. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值是( )
A. 1.2 B. 1.5 C. 2 D. 2.4
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 计算：( 3+2)2− 48+2−2= ______ ．
14. 已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北方向的距离BM的长为10 2km.一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4 7km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为______ km．
15. 如图，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，则阴影部分的面积为______ ．
16. 若关于x的一元二次方程x2+3x−k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
17. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E、G分别在BC、AB上，将△DCE、△BEG分别沿DE、EG翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合.当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段GP长为______ ．
18. 根据图中数字的规律，在最后一个空格中填上适当的数字______．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)先化简，再求值：−x2−4x2−4x+4÷x+2x+1+xx−2，其中x=2− 2．
(2)解不等式组：3x
某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动.以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别
A
B
C
D
E
F
类型
足球
羽毛球
乒乓球
篮球
排球
其他
人数
10
4
6
2
根据以上信息，解答下列问题：
(1)被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有______ 人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为______ %.
(2)被调查学生的总数为______ 人，其中，最喜欢篮球的有______ 人，最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为______ %.
(3)该校共有450名学生，根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生人数．
(4)一个不透明的袋子中有三个完全相同的小乒乓球，把它们分别标号为1，2，3，小明从中随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，求两次摸出的小球标号的和是偶数的概率．
21. (本小题10.0分)
如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A(1,2)，B(−2,n)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)根据图象，直接写出满足k1x+b
22. (本小题12.0分)
已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CH⊥AB于点H，点D为CH上的一点，且DH=AH，连结BD并延长BD交AC于点E，连结EH．
(1)求证：HC=HB；
(2)判断BD与AC的数量关系和位置关系，并给出证明；
(3)求证：∠BEH=45°．
23. (本小题12.0分)
在边长为1的正方形ABCD中，点E是射线BC上一动点，AE与BD相交于点M，AE或其延长线与DC或其延长线相交于点F，G是EF的中点，连结CG．
(1)如图1，当点E在BC边上时．求证：①△ABM≌△CBM；②CG⊥CM．
(2)如图2，当点E在BC的延长线上时，(1)中的结论②是否成立？请写出结论，不用证明．
(3)试问当点E运动到什么位置时，△MCE是等腰三角形？请说明理由．
24. (本小题13.0分)
综合与实践
如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为E，GF⊥CD，垂足为F．
【证明与推断】
(1)①四边形CEGF的形状是______；
②AGBE的值为______；
【探究与证明】
(2)在图1的基础上，将正方形CEGF绕点C按顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
【拓展与运用】
(3)如图3，在(2)的条件下，正方形CEGF在旋转过程中，当B、E、F三点共线时，探究AG和GE的位置关系，并说明理由．
25. (本小题13.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx−3a与x轴负半轴交于点A(−1,0)，与x轴的另一交点为B，与y轴正半轴交于点C(0,3)，其顶点为E，抛物线的对称轴与BC相交于点M，与x轴相交于点G．
(1)求抛物线的解析式及对称轴．
(2)抛物线的对称轴上存在一点P，使得∠APB=∠ABC，求点P的坐标．
(3)连接EB，在抛物线上是否存在一点Q(不与点E重合)，使得S△QMB=S△EMB，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−1，−3是负数，共有2个，故B正确．
故答案为：B．
根据负数的定义进行解答即可．
本题考查了负数的定义，掌握负数的定义是关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、(x−y)2=x2−2xy+y2，故A不符合题意；
B、(3m2)2=9m4，故B不符合题意；
C、3m2−2m2=m2，故C符合题意；
D、a3⋅a3=a6，故D不符合题意；
故选：C．
利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】B
【解析】解：由题意知，从左边看从左到右第一列是2个小正方形，第二列是4个小正方形，第三列是3个小正方形，
这个几何体的左视图为：
故选：B．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看到的图形是左视图，重点是对空间观念的考查．
4.【答案】C
【解析】解：由统计图得，96出现了10次，出现次数最多，
所以数据的众数为96分；
共有30个数，最中间的两个数分别为96，96，
所以数据的中位数为96+962=96(分)．
故选：C．
利用众数和中位数的定义求解．
本题考查中位数、众数的意义，众数就是一组数据中出现次数最多的数，中位数则是将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数．
5.【答案】A
【解析】解：由表格可得，
众数是38，
年龄按照从小到大，第8个数据是38，第9个数据是38，则中位数为(38+38)÷2=38，
故选：A．
根据表格中的数据，可以直接写出众数，然后再找出第8个数据和第9个数据，计算出这两个数据的平均数，即可得到中位数．
本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的含义，会找一组数据的中位数和众数．
6.【答案】A
【解析】解：①∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点P为BC的中点，
∴∠BAP=∠C=45°，AP=CP，
∵∠EPF是直角，
∴∠APE+∠APF=∠CPF+∠APF=90°，
∴∠APE=∠CPF，
在△AEP和△CPF中，
∠EAP=∠CAP=CP∠APE=∠CPF，
∴△AEP≌△CPF(ASA)，
∴PE=PF，
当点E不是AB的中点时，PE≠AE，
此时AE≠PF，
故①错误；
②∵PE=PF，∠EPF=90°，
∴△PEF为等腰直角三角形，
故②正确；
③∵△AEP≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF，
∴S四边形AEPF=S△APC，
∴S四边形AEPF=12S△ABC，
故③正确；
④根据等腰直角三角形的性质，EF= 2PE，
所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF= 2PE=AP，
故④错误；
⑤∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=45°，
当PF不是∠APC的平分线时，∠APF≠45°，
此时∠ABP≠∠APF，
故∠⑤错误；
故②③正确，
故选：A．
①证明△AEP≌△CPF得PE=PF，当点E不是AB的中点时，PE≠AE，由此判断①；
②由全等三角形性质得，PE=PF，∠EPF=90°，则△PEF为等腰直角三角形，判断②；
③由△AEP≌△CPF，得S△APE=S△CPF，进而得S四边形AEPF=S△APC，可判断③；
④根据等腰直角三角形的性质，EF= 2PE，根据EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF= 2PE=AP，从而判断④；
⑤当PF不是∠APC的平分线时，∠APF≠45°，此时∠ABP≠∠APF，由此判断⑤．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：方程x2−2x−7=0，
移项得：x2−2x=7，
配方得：x2−2x+1=8，即(x−1)2=8．
故选：C．
方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵共换了5斗酒，
∴x+y=5；
∵一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，拿30斗谷子换了5斗酒，
∴10x+3y=30．
∴所列方程组为x+y=510x+3y=30．
故选：A．
根据“一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，拿30斗谷子换清酒、醑酒共5斗”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便．
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【解答】
解：∵抛物线y=x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴新抛物线顶点坐标为(−2,−3)，
∴所得到的新的抛物线的解析式为y=(x+2)2−3．
故选B．
10.【答案】A
【解析】解：连接OD，过O作OG⊥AF于G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD//AC，
∴AF=2AG，
∵∠BAC=60°，OA=2，
∴AG=12OA=1，
∴AF=2，
∴AF=OD，
∵AF//OD，
∴四边形AODF是平行四边形，
∵AF=AO，
∴四边形AODF是菱形，
∴DF//OA，DF=OA=2，
∴∠EFD=∠BAC=60°，
∴EF=12DF=1，
故选：A．
连接OD，过O作OG⊥AF于G，得到AF=2AG，根据直角三角形的性质得到AG=12OA=1，得到AF=2，推出四边形AODF是菱形，得到DF//OA，DF=OA=2，于是得到结论．
此题考查了菱形的判定与性质，熟记菱形的判定与性质定理及作出合适的辅助线是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵∠ABE=90°，AB=BE，
∴∠AEB=∠BAE=45°，AE= 2BE，
∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°，
∴∠DAE=∠AEB=45°，AD=AE= 2BE，DH=BE，AH=AB，∠ABE=∠AHD=90°，
∴∠DAB=∠ABE=90°，AH=DH=AB=BE，
又∵DC⊥BE，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=DH，AD=BC= 2BE，∠BCD=∠DHE=∠ADC=90°，
由旋转可得∠ADH=∠AEB=45°，
∴∠CDH=45°，
∵DH=DC，DE=DE，
∴Rt△DEC≌Rt△DEH(HL)，
∴HE=EC，∠AED=∠DEC=67.5°，∠CDE=∠HDE=22.5°，
∴DE平分∠HDC，故①正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴∠ABH=∠AHB=67.5°，
∴∠OHE=∠OEH=67.5°，
∴OH=OE，∠DHO=22.5°=∠HDO，
∴DO=HO，
∴OE=OD，故②正确；
如图，连接CH，
∵∠ABH=67.5°，
∴∠CBH=22.5°，
∴∠BFC=67.5°，
∵HE=EC，∠AEB=45°，
∴∠ECH=∠EHC=22.5°，
∴∠HBC=∠HCE，∠FCH=67.5°，
∴BH=CH，∠FCH=∠BFC，
∴HC=HF，
∴BH=HF，
∴点H是BF的中点，故③正确，
如图，过点H作HN⊥BC于N，
∴HN//CD，
∴△BHN∽△BFC，
∴BHBF=HNFC=12，
∴FC=2HN，
∵AE= 2BE，AH=BE，
∴HE=( 2−1)BE=CE，
∵HN⊥BC，∠AEB=45°，
∴HN= 22HE= 22( 2−1)BE，
∴CF=2HN=(2− 2)BE，
∵BC−CF=BE+CE−CF=BE+( 2−1)BE−(2− 2)BE=2( 2−1)BE，
∴BC−CF=2CE，故④正确；
∵∠HFD=180°−67.5=112.5°，∠HDF=45°，
∴∠HFD≠∠HDF，
∴HF≠DH，
∴HF≠CD，故⑤不合题意，
故选：B．
由旋转的性质可得∠DAE=∠AEB=45°，AD=AE= 2BE，DH=BE，AH=AB，∠ABE=∠AHD=90°，通过证明四边形ABCD是矩形，可得AB=CD=DH，AD=BC= 2BE，∠BCD=∠DHE=90°，由“HL”可证Rt△DEC≌Rt△DEH，可得HE=EC，∠AED=∠DEC=67.5°，∠CDE=∠HDE=22.5°，可判断①；由角的数量关系和等腰三角形的判定和性质，可判断②③；由相似三角形的判定和性质可得CF=2HN=(2− 2)BE，由线段的和差关系可判断④；由∠HFD≠∠HDF，可得HF≠DH，可判断⑤，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：连接AP，如图：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=90°，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
当AP⊥BC时，AP最短，
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC= AB2+AC2= 32+42=5，
∵△ABC的面积=12×4×3=12×5×AP，
∴AP=2.4，
即EF=2.4，
故选：D．
先证四边形AEPF是矩形，得EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，再根据垂线段最短和三角形面积求出AP即可．
本题考查了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键．
13.【答案】294
【解析】解：( 3+2)2− 48+2−2
=7+4 3−4 3+14
=294．
故答案为：294．
先计算二次根式的乘法和负整数指数幂，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14.【答案】8 3
【解析】解：如图，过点B作BE垂直于AC延长线于点E，
在Rt△ABD中，
∵∠BAD=45°，BM=10 2km，
∴AM=10 2km，
∴AB= AM2+BM2=20(km)，
∵∠BAE=∠CAM−∠BAM=30°，
∴AE=ABcos∠BAE=20× 32=10 3(km)，BE=ABsin∠BAE=10(km)，
∴CE= BC2−BE2=2 3(km)，
则AC=AE−CE=10 3−2 3=8 3(km)，
故答案为：8 3．
过点B作BE垂直于AC延长线于点E，在Rt△ABD中求得AB=20km，在Rt△BAE中求得AE=ABcos∠BAE=10 3km、BE=ABsin∠BAE=10，利用勾股定理求得CE=2 3，根据AC=AE−CE可得答案．
本题主要考查解直角三角形的应用，根据已知构造直角三角形得出BE的长是解题的关键．
15.【答案】1
【解析】解：连接AD；如图所示：
∵CA是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵∠C=45°，
∴∠B=90°−45°=45°，
∴AC=AB=2，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∴CD=BD，
∴AD=12BC=BD=CD，
∴AD=BD，
∴S阴影=S△ADC=12S△ABC=12×12×2×2=1．
故答案为：1．
连接AD，先证AC=AB，再证明AD=BD，得出AD=BD，阴影部分的面积等于△ADC的面积，即可得出结果．
本题考查了切线的性质和扇形面积的计算方法；证出阴影部分的面积=△ADC的面积是解题的关键．
16.【答案】k>−94
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是根据根的个数结合根的判别式得出关于k的一元一次不等式．
由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ>0，代入数据即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程x2+3x−k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=32−4×1×(−k)=9+4k>0，
解得：k>−94．
故答案为：k>−94．
17.【答案】83
【解析】解：在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，
∴CD=AB=6，AD=BC=10，∠B=∠C=90°，
∵将△DCE沿DE翻折，翻折后点C与点F重合，
∴DF=CD=6，EF=CE，∠DFE=∠C=∠DFA=90°，
∴AF= AD2−DF2= 102−62=8，
设EF=CE=x，
∴BE=10−x，AE=8+x，
∵AB2+BE2=AE2，
∴62+(10−x)2=(8+x)2，
解得：x=2，
∴AE=10，BE=8，
∵将△BEG沿EG翻折，翻折后点B与点P重合，
∴PG=BG，∠APG=∠EPG=∠B=90°，PE=BE=8，
∴AP=AE−PE=2，
设PG=BG=y，
则AG=6−y，
∵AG2=AP2+PG2，
∴(6−y)2=22+y2，
∴y=83，
∴线段GP长为83，
故答案为：83．
根据矩形的性质得到CD=AB=6，AD=BC=10，∠B=∠C=90°，根据折叠的性质得到DF=CD=6，EF=CE，∠DFE=∠C=∠DFA=90°，根据勾股定理得到AF= AD2−DF2= 102−62=8，设EF=CE=x，由勾股定理列方程得到AE=10，BE=8，由折叠的性质得到PG=BG，∠APG=∠EPG=∠B=90°PE=BE=8，求得AP=AE−PE=2，设PG=BG=y，则AG=6−y，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键．
18.【答案】738
【解析】解：观察图中的数字得出框中右下角的数字计算分别为：
2=1×1+1，
30=3×9+3，
130=5×25+5，
350=7×49+7，
所以在最后一个空格中填上适当的数字为：
9×81+9=738，
故答案为：738．
通过观察得出：1，3，5，7，9为等差为2的等差数列，则表格中2=1×1+1，30=3×9+3，130=5×25+5，350=7×49+7，根据此规律求解．
此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，此类型题应该仔细观察分析给出的数据，从而发现规律根据规律解题．
19.【答案】解：(1)−x2−4x2−4x+4÷x+2x+1+xx−2
=−(x+2)(x−2)(x−2)2⋅x+1x+2+xx−2
=−x+1x−2+xx−2
=−x−1+xx−2
=12−x，
当x=2− 2时，原式=12−2+ 2= 22；
(2)3x
解不等式②，得：x≥−3，
∴该不等式组的解集是−3≤x<1．
【解析】(1)先把除法转化为乘法，同时将分式的分子和分母分解因式，然后约分，再算加法，最后将x的值代入化简后的式子计算即可；
(2)先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．
20.【答案】4 32 50 16 24
【解析】解：(1)被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有4人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为32%，
故答案为：4、32；
(2)被调查学生的总数为10÷20%=50(人)，
最喜欢篮球的有50×32%=16(人)，
最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为(50−10−4−16−6−2)÷50×100%=24%，
故答案为：50、16、24；
(3)根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生人数为450×650=54(人)，
(4)列表得，
标号
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
所有等可能的结果数有9种，其中两次摸出的小球标号的和是偶数的有5种结果，
∴两次摸出的小球标号的和是偶数的概率为59．
(1)根据表格和扇形图可直接得出答案；
(2)由羽毛球人数及所占百分比可得总人数，总人数乘以D对应百分比可得篮球人数，用足球人数除以总人数可得其所占百分比；
(3)总人数乘以样本中排球人数所占比例即可；
(4)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及统计表和扇形统计图．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)∵反比例函数y=k2x经过A(1,2)，
∴k2=1×2=2，
∴反比例函数解析式为y=2x，
∵B(−2,n)在反比例函数y=2x的图象上，
∴n=2−2=−1，
∴B(−2,−1)，
∵直线y=k1x+b经过A(1,2)，B(−2,−1)，
∴k1+b=2−2k1+b=−1，解得k1=1b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
(2)观察图象，k1x+b
∵S△AOP：S△BOP=1：3，
∴AP：PB=1：3，
即PB=3PA，
∴(x+2)2+(x+1+1)2=9[(x−1)2+(x+1−2)2]，
解得x1=54(舍去)，x2=14，
∴P点坐标为(14,54).
【解析】(1)用A(1,2)坐标代入y=k2x可得解析式，继而求出n，用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)根据图象直接写出k1x+b
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
22.【答案】(1)证明：∵CH⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠BCH=180°−(∠CHB+∠HBC)=45°，
∴∠BCH=∠HBC，
∴HC=HB；
(2)解：BD=AC；BD⊥AC；证明如下：
如图，
在△AHC和△DHB中，
AH=DH,∠AHC=∠DHB=90°,HC=HB,
∴△AHC≌△DHB(SAS)，
∴BD=AC，∠1=∠2，
∵∠CDE=∠BDH，
∴∠AEB=∠BHC=90°，
∴BD⊥AC；
(3)证明：过点H作HF⊥HE交BE于点F，
∴∠FHE=90°，
即∠4+∠5=90°．
又∵∠3+∠4=∠BHC=90°，
∴∠5=∠3，
在△CHE和△BHF中，
∠1=∠2,CH=BH,∠5=∠3,
∴△CHE≌△BHF(ASA)，
∴EH=FH，
又∵∠FHE=90°，
∴∠BEH=180°−∠EHF2=45°．
【解析】(1)根据∠BCH=∠HBC=45°可得HC=HB；
(2)利用SAS证明△AHC≌△DHB，得BD=AC，∠1=∠2，从而说明BD与AC垂直且相等；
(3)过点H作HF⊥HE交BE于点F，利用ASA证明△CHE≌△BHF，得EH=FH，即可证明结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABM=∠CBM，
在△ABM和△CBM中，AB=CB ∠ABM=∠CBM BM=BM ，
∴△ABM≌△CBM(SAS)．
②∵△ABM≌△CBM，
∴∠BAM=∠BCM，
又∵∠ECF=90°，G是EF的中点，∴GC=12EF=GF，
∴∠GCF=∠GFC，
又∵AB//DF，
∴∠BAM=∠GFC，
∴∠BCM=∠GCF，
∴∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90°，
∴GC⊥CM；
(2)解：成立；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABM=∠CBM，
在△ABM和△CBM中，AB=CB ∠ABM=∠CBM BM=BM ，
∴△ABM≌△CBM(SAS)
∴∠BAM=∠BCM，
又∵∠ECF=90°，G是EF的中点，
∴GC=GF，
∴∠GCF=∠GFC，
又∵AB//DF，
∴∠BAM=∠GFC，
∴∠BCM=∠GCF，
∴∠GCF+∠MCF=∠BCM+∠MCF=90°，
∴GC⊥CM；
(3)解：分两种情况：①当点E在BC边上时，
∵∠MEC>90°，要使△MCE是等腰三角形，必须EM=EC，
∴∠EMC=∠ECM，
∴∠AEB=2∠BCM=2∠BAE，
∴2∠BAE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=30°，
∴BE= 33AB= 33；
②当点E在BC的延长线上时，同①知BE= 3．
综上①②，当BE= 33戓BE= 3时，△MCE是等腰三角形．
【解析】(1)①由正方形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠CBM，由SAS证明△ABM≌△CBM即可．
②由全等三角形的性质得出∠BAM=∠BCM，由直角三角形斜边上的中线性质得出GC=GF，证出∠GCF=∠F，由平行线的性质得出∠BAM=∠F，因此∠BCM=∠GCF，得出∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90°，即可得出结论；
(2)同(1)，即可得出结论；
(3)①当点E在BC边上时，由∠MEC>90°，要使△MCE是等腰三角形，必须EM=EC，得出∠EMC=∠ECM，由三角形的外角性质得出∠AEB=2∠BCM=2∠BAE，由直角三角形的性质得出∠BAE=30°，得出BE= 33AB= 33；
②当点E在BC的延长线上时，同①知BE= 3；即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
24.【答案】正方形 2
【解析】解：(1)①正方形 ② 2．
理由：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，
∴EG=EC，
∴四边形CEGF是正方形，
∵AC= 2BC，CG= 2EC，
∴AG=AC−CG= 2(BC−EC)= 2BE，
∴AGBE= 2．
故答案为：正方形， 2．
(2)结论：AG= 2BE，
理由：如图2中，连接CC.由旋转可得∠BCE=∠AGG=α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴ACBC= 2，
由①得四边形GECF是正方形，
∴∠GEC=∠ECF=90°，GE=EC，
∴△EGC为等腰直角三角形．
∴CGCE= 2，
∴ACBC=CGEC= 2，
∴△ACG∽△BCE，
∴AGBE=CGEC= 2，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG= 2BE；
(3)结论：AG⊥GE，
理由：如图3中，连接CG，
∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC=135°．
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC=∠BEC=135°．
∴∠AGF=∠AGC+∠CGF=135°+45°=180°，
∴点A，G，F三点共线，
∴∠AGE=∠AGF−∠EGF=180°−90°=90°，
∴AG⊥GE．
(1)根据正方形的判定和性质解决问题即可；
(2)结论：AG= 2BE.证明△ACG∽△BCE，可得AGBE=CGEC= 2；
(3)结论：AG⊥GE，证明∠AGE=∠AGF−∠EGF=180°−90°=90°，可得结论．
本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、正确寻找相似三角形解决问题．
25.【答案】解：(1)把A(−1,0)、C(0,3)分别代入y=ax2+bx−3a得：
a−b−3a=0−3a=3，
解得：a=−1b=2，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3，
∴对称轴为x=−b2a=1，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3，对称轴为x=1；
(2)令y=0得：−x2+2x+3=0，
解得：x1=−1，x2=3，
∴OB=OC=3，
∴∠ABC=45°，
当点P在x轴上方时，
∵∠APB=∠ABC=45°，且PA=PB，
∴∠PBA=12(180°−45°)=67.5°，∠MPB=12∠APB=22.5°，
∴∠MBP=67.5°−45°=22.5°，
∴∠MPB=∠MBP，
∴MP=MB，
在Rt△BMG中，BG=MG=3−1=2，
由勾股定理可得：BM=2 2，
∴MP=2 2，
∴PG=MG+MP=2+2 2，
∴P(1,2+2 2)；
当点P在x轴下方时，由对称性可得P点坐标为(1,−2−2 2)；
∴P点坐标为(1,2+2 2)或(1,−2−2 2)；
(3)存在．
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，E为抛物线的顶点，
∴E(1,4)，G(1,0)，
∵S△EMB=12EM⋅BG，
由(2)得，M(1,2)，
∴EM=4−2=2，BG=2．
设直线BC的表达式为y=kx+b，将B(3,0)，C(0,3)代入得，
3k+b=0b=3，
解得：k=−1b=3，
∴直线BC的表达式为y=−x+3，
设过点E与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，如图，当EQ//BC时，S△QMB=S△EMB，
则设直线EQ的表达式为y=−x+m，将E(1,4)代入得，4=−1+m，
解得m=5，
∴直线EQ的表达式为y=−x+5，
∵直线y=−x+5与抛物线y=−x2+2x+3交于点Q，
∴y=−x+5y=−x2+2x+3，
解得：x1=1y1=4(舍去)，x2=2y2=3，
∴点Q的坐标为(2,3)，
∵EG=4，EM=2，
∴GM=EM=2，
设过点G与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，如图，当GQ//BC时，S△QMB=S△EMB，
则设直线GQ的表达式为y=−x+n，将G(1,0)代入得，0=−1+n，
解得n=1，
直线GQ的表达式为y=−x+1．
∵直线y=−x+1与抛物线y=−x2+2x+3交于点Q，
则y=−x+1y=−x2+2x+3，
解得：x1=3+ 172y1=−1− 172，x2=3− 172y2=−1+ 172，
∴点Q的坐标为(3+ 172,−1− 172)或(3− 172,−1+ 172)，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为：(2,3)或(3+ 172,−1− 172)或(3− 172,−1+ 172).
【解析】(1)将A(−1,0)，C(0,3)代入y=ax2+bx−3a，利用待定系数法即可求出抛物线解析式，并求出对称轴；
(2)先由抛物线解析式求得OB=OC=3，并求出∠ABC=45°，再根据二次函数的对称性质及等腰三角形的性质推出∠MPB=∠MBP，则由等腰三形判定得MP=MB，最后由勾股定理及线段的和差关系可求出点P的坐标；
(3)先由三角形面积公式确定S△EMB=12EM⋅BG，求出相应的点坐标及直线的表达式，利用平面直角坐标系内点的坐标特点，则可分别从当EQ//BC和GQ//BC时求出点Q的坐标．
本题属于二次函数综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的对称性质，三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
2023年山东省泰安市宁阳县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数−1，2，−3，0，π中，负数的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 下列计算正确的是( )
A. (x−y)2=x2−y2 B. (3m2)2=6m4
C. 3m2−2m2=m2 D. a3⋅a3=a5
3. 如图是从上面看由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的图形，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则从左面看这个几何体的图形是( )
A. B. C. D.
4. 为了提升学生的人文素养，某校开展了朗诵经典文学作品活动，来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的中位数和众数分别是( )
A. 92分，96分 B. 94分，96分 C. 96分，96分 D. 96分，100分
5. 实外教职工篮球赛于11月3日开赛，某年级代表队16名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别是( )
年龄(单位：岁)
35
36
38
40
44
人数
3
3
5
3
2
A. 38，38 B. 38，39 C. 38，37 D. 5，38
6. 已知如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是边BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转(点E不与A，B重合)时，给出以下5个结论：①AE=PF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=12S△ABC；④EF=AP；⑤∠ABP=∠APF.上述结论始终正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
7. 用配方法解一元二次方程x2−2x−7=0，则方程变形为( )
A. (x−2) 2=11 B. (x+2) 2=11 C. (x−1) 2=8 D. (x+1) 2=8
8. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为( )
A. x+y=510x+3y=30 B. x+y=53x+10y=30
C. x+y=30x10+y3=5 D. x+y=30x3+y10=5
9. 若抛物线y=x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得到的新抛物线的解析式时( )
A. y=(x+2)2+3 B. y=(x+2)2−3 C. y=(x−2)2+3 D. y=(x−2)2−3
10. 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E.若⊙O的半径为2，∠BAC=60°，则线段EF的长为( )
A. 1
B. 3
C. 256
D. 258
11. 如图，Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，过D作DC⊥BE交BE的延长线于点C，连接BH并延长交DC于点F，连接DE交BF于点O.下列结论：
①DE平分∠HDC；②DO=OE；③H是BF的中点；④BC−CF=2CE；
⑤CD=HF，其中正确的有( )
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
12. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值是( )
A. 1.2 B. 1.5 C. 2 D. 2.4
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 计算：( 3+2)2− 48+2−2= ______ ．
14. 已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北方向的距离BM的长为10 2km.一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4 7km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为______ km．
15. 如图，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，则阴影部分的面积为______ ．
16. 若关于x的一元二次方程x2+3x−k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
17. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E、G分别在BC、AB上，将△DCE、△BEG分别沿DE、EG翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合.当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段GP长为______ ．
18. 根据图中数字的规律，在最后一个空格中填上适当的数字______．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)先化简，再求值：−x2−4x2−4x+4÷x+2x+1+xx−2，其中x=2− 2．
(2)解不等式组：3x
某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动.以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别
A
B
C
D
E
F
类型
足球
羽毛球
乒乓球
篮球
排球
其他
人数
10
4
6
2
根据以上信息，解答下列问题：
(1)被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有______ 人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为______ %.
(2)被调查学生的总数为______ 人，其中，最喜欢篮球的有______ 人，最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为______ %.
(3)该校共有450名学生，根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生人数．
(4)一个不透明的袋子中有三个完全相同的小乒乓球，把它们分别标号为1，2，3，小明从中随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，求两次摸出的小球标号的和是偶数的概率．
21. (本小题10.0分)
如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A(1,2)，B(−2,n)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)根据图象，直接写出满足k1x+b
22. (本小题12.0分)
已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CH⊥AB于点H，点D为CH上的一点，且DH=AH，连结BD并延长BD交AC于点E，连结EH．
(1)求证：HC=HB；
(2)判断BD与AC的数量关系和位置关系，并给出证明；
(3)求证：∠BEH=45°．
23. (本小题12.0分)
在边长为1的正方形ABCD中，点E是射线BC上一动点，AE与BD相交于点M，AE或其延长线与DC或其延长线相交于点F，G是EF的中点，连结CG．
(1)如图1，当点E在BC边上时．求证：①△ABM≌△CBM；②CG⊥CM．
(2)如图2，当点E在BC的延长线上时，(1)中的结论②是否成立？请写出结论，不用证明．
(3)试问当点E运动到什么位置时，△MCE是等腰三角形？请说明理由．
24. (本小题13.0分)
综合与实践
如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为E，GF⊥CD，垂足为F．
【证明与推断】
(1)①四边形CEGF的形状是______；
②AGBE的值为______；
【探究与证明】
(2)在图1的基础上，将正方形CEGF绕点C按顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
【拓展与运用】
(3)如图3，在(2)的条件下，正方形CEGF在旋转过程中，当B、E、F三点共线时，探究AG和GE的位置关系，并说明理由．
25. (本小题13.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx−3a与x轴负半轴交于点A(−1,0)，与x轴的另一交点为B，与y轴正半轴交于点C(0,3)，其顶点为E，抛物线的对称轴与BC相交于点M，与x轴相交于点G．
(1)求抛物线的解析式及对称轴．
(2)抛物线的对称轴上存在一点P，使得∠APB=∠ABC，求点P的坐标．
(3)连接EB，在抛物线上是否存在一点Q(不与点E重合)，使得S△QMB=S△EMB，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−1，−3是负数，共有2个，故B正确．
故答案为：B．
根据负数的定义进行解答即可．
本题考查了负数的定义，掌握负数的定义是关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、(x−y)2=x2−2xy+y2，故A不符合题意；
B、(3m2)2=9m4，故B不符合题意；
C、3m2−2m2=m2，故C符合题意；
D、a3⋅a3=a6，故D不符合题意；
故选：C．
利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】B
【解析】解：由题意知，从左边看从左到右第一列是2个小正方形，第二列是4个小正方形，第三列是3个小正方形，
这个几何体的左视图为：
故选：B．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看到的图形是左视图，重点是对空间观念的考查．
4.【答案】C
【解析】解：由统计图得，96出现了10次，出现次数最多，
所以数据的众数为96分；
共有30个数，最中间的两个数分别为96，96，
所以数据的中位数为96+962=96(分)．
故选：C．
利用众数和中位数的定义求解．
本题考查中位数、众数的意义，众数就是一组数据中出现次数最多的数，中位数则是将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数．
5.【答案】A
【解析】解：由表格可得，
众数是38，
年龄按照从小到大，第8个数据是38，第9个数据是38，则中位数为(38+38)÷2=38，
故选：A．
根据表格中的数据，可以直接写出众数，然后再找出第8个数据和第9个数据，计算出这两个数据的平均数，即可得到中位数．
本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的含义，会找一组数据的中位数和众数．
6.【答案】A
【解析】解：①∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点P为BC的中点，
∴∠BAP=∠C=45°，AP=CP，
∵∠EPF是直角，
∴∠APE+∠APF=∠CPF+∠APF=90°，
∴∠APE=∠CPF，
在△AEP和△CPF中，
∠EAP=∠CAP=CP∠APE=∠CPF，
∴△AEP≌△CPF(ASA)，
∴PE=PF，
当点E不是AB的中点时，PE≠AE，
此时AE≠PF，
故①错误；
②∵PE=PF，∠EPF=90°，
∴△PEF为等腰直角三角形，
故②正确；
③∵△AEP≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF，
∴S四边形AEPF=S△APC，
∴S四边形AEPF=12S△ABC，
故③正确；
④根据等腰直角三角形的性质，EF= 2PE，
所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF= 2PE=AP，
故④错误；
⑤∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=45°，
当PF不是∠APC的平分线时，∠APF≠45°，
此时∠ABP≠∠APF，
故∠⑤错误；
故②③正确，
故选：A．
①证明△AEP≌△CPF得PE=PF，当点E不是AB的中点时，PE≠AE，由此判断①；
②由全等三角形性质得，PE=PF，∠EPF=90°，则△PEF为等腰直角三角形，判断②；
③由△AEP≌△CPF，得S△APE=S△CPF，进而得S四边形AEPF=S△APC，可判断③；
④根据等腰直角三角形的性质，EF= 2PE，根据EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF= 2PE=AP，从而判断④；
⑤当PF不是∠APC的平分线时，∠APF≠45°，此时∠ABP≠∠APF，由此判断⑤．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：方程x2−2x−7=0，
移项得：x2−2x=7，
配方得：x2−2x+1=8，即(x−1)2=8．
故选：C．
方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵共换了5斗酒，
∴x+y=5；
∵一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，拿30斗谷子换了5斗酒，
∴10x+3y=30．
∴所列方程组为x+y=510x+3y=30．
故选：A．
根据“一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，拿30斗谷子换清酒、醑酒共5斗”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便．
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【解答】
解：∵抛物线y=x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴新抛物线顶点坐标为(−2,−3)，
∴所得到的新的抛物线的解析式为y=(x+2)2−3．
故选B．
10.【答案】A
【解析】解：连接OD，过O作OG⊥AF于G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD//AC，
∴AF=2AG，
∵∠BAC=60°，OA=2，
∴AG=12OA=1，
∴AF=2，
∴AF=OD，
∵AF//OD，
∴四边形AODF是平行四边形，
∵AF=AO，
∴四边形AODF是菱形，
∴DF//OA，DF=OA=2，
∴∠EFD=∠BAC=60°，
∴EF=12DF=1，
故选：A．
连接OD，过O作OG⊥AF于G，得到AF=2AG，根据直角三角形的性质得到AG=12OA=1，得到AF=2，推出四边形AODF是菱形，得到DF//OA，DF=OA=2，于是得到结论．
此题考查了菱形的判定与性质，熟记菱形的判定与性质定理及作出合适的辅助线是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵∠ABE=90°，AB=BE，
∴∠AEB=∠BAE=45°，AE= 2BE，
∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°，
∴∠DAE=∠AEB=45°，AD=AE= 2BE，DH=BE，AH=AB，∠ABE=∠AHD=90°，
∴∠DAB=∠ABE=90°，AH=DH=AB=BE，
又∵DC⊥BE，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=DH，AD=BC= 2BE，∠BCD=∠DHE=∠ADC=90°，
由旋转可得∠ADH=∠AEB=45°，
∴∠CDH=45°，
∵DH=DC，DE=DE，
∴Rt△DEC≌Rt△DEH(HL)，
∴HE=EC，∠AED=∠DEC=67.5°，∠CDE=∠HDE=22.5°，
∴DE平分∠HDC，故①正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴∠ABH=∠AHB=67.5°，
∴∠OHE=∠OEH=67.5°，
∴OH=OE，∠DHO=22.5°=∠HDO，
∴DO=HO，
∴OE=OD，故②正确；
如图，连接CH，
∵∠ABH=67.5°，
∴∠CBH=22.5°，
∴∠BFC=67.5°，
∵HE=EC，∠AEB=45°，
∴∠ECH=∠EHC=22.5°，
∴∠HBC=∠HCE，∠FCH=67.5°，
∴BH=CH，∠FCH=∠BFC，
∴HC=HF，
∴BH=HF，
∴点H是BF的中点，故③正确，
如图，过点H作HN⊥BC于N，
∴HN//CD，
∴△BHN∽△BFC，
∴BHBF=HNFC=12，
∴FC=2HN，
∵AE= 2BE，AH=BE，
∴HE=( 2−1)BE=CE，
∵HN⊥BC，∠AEB=45°，
∴HN= 22HE= 22( 2−1)BE，
∴CF=2HN=(2− 2)BE，
∵BC−CF=BE+CE−CF=BE+( 2−1)BE−(2− 2)BE=2( 2−1)BE，
∴BC−CF=2CE，故④正确；
∵∠HFD=180°−67.5=112.5°，∠HDF=45°，
∴∠HFD≠∠HDF，
∴HF≠DH，
∴HF≠CD，故⑤不合题意，
故选：B．
由旋转的性质可得∠DAE=∠AEB=45°，AD=AE= 2BE，DH=BE，AH=AB，∠ABE=∠AHD=90°，通过证明四边形ABCD是矩形，可得AB=CD=DH，AD=BC= 2BE，∠BCD=∠DHE=90°，由“HL”可证Rt△DEC≌Rt△DEH，可得HE=EC，∠AED=∠DEC=67.5°，∠CDE=∠HDE=22.5°，可判断①；由角的数量关系和等腰三角形的判定和性质，可判断②③；由相似三角形的判定和性质可得CF=2HN=(2− 2)BE，由线段的和差关系可判断④；由∠HFD≠∠HDF，可得HF≠DH，可判断⑤，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：连接AP，如图：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=90°，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
当AP⊥BC时，AP最短，
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC= AB2+AC2= 32+42=5，
∵△ABC的面积=12×4×3=12×5×AP，
∴AP=2.4，
即EF=2.4，
故选：D．
先证四边形AEPF是矩形，得EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，再根据垂线段最短和三角形面积求出AP即可．
本题考查了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键．
13.【答案】294
【解析】解：( 3+2)2− 48+2−2
=7+4 3−4 3+14
=294．
故答案为：294．
先计算二次根式的乘法和负整数指数幂，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14.【答案】8 3
【解析】解：如图，过点B作BE垂直于AC延长线于点E，
在Rt△ABD中，
∵∠BAD=45°，BM=10 2km，
∴AM=10 2km，
∴AB= AM2+BM2=20(km)，
∵∠BAE=∠CAM−∠BAM=30°，
∴AE=ABcos∠BAE=20× 32=10 3(km)，BE=ABsin∠BAE=10(km)，
∴CE= BC2−BE2=2 3(km)，
则AC=AE−CE=10 3−2 3=8 3(km)，
故答案为：8 3．
过点B作BE垂直于AC延长线于点E，在Rt△ABD中求得AB=20km，在Rt△BAE中求得AE=ABcos∠BAE=10 3km、BE=ABsin∠BAE=10，利用勾股定理求得CE=2 3，根据AC=AE−CE可得答案．
本题主要考查解直角三角形的应用，根据已知构造直角三角形得出BE的长是解题的关键．
15.【答案】1
【解析】解：连接AD；如图所示：
∵CA是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵∠C=45°，
∴∠B=90°−45°=45°，
∴AC=AB=2，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∴CD=BD，
∴AD=12BC=BD=CD，
∴AD=BD，
∴S阴影=S△ADC=12S△ABC=12×12×2×2=1．
故答案为：1．
连接AD，先证AC=AB，再证明AD=BD，得出AD=BD，阴影部分的面积等于△ADC的面积，即可得出结果．
本题考查了切线的性质和扇形面积的计算方法；证出阴影部分的面积=△ADC的面积是解题的关键．
16.【答案】k>−94
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是根据根的个数结合根的判别式得出关于k的一元一次不等式．
由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ>0，代入数据即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程x2+3x−k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=32−4×1×(−k)=9+4k>0，
解得：k>−94．
故答案为：k>−94．
17.【答案】83
【解析】解：在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，
∴CD=AB=6，AD=BC=10，∠B=∠C=90°，
∵将△DCE沿DE翻折，翻折后点C与点F重合，
∴DF=CD=6，EF=CE，∠DFE=∠C=∠DFA=90°，
∴AF= AD2−DF2= 102−62=8，
设EF=CE=x，
∴BE=10−x，AE=8+x，
∵AB2+BE2=AE2，
∴62+(10−x)2=(8+x)2，
解得：x=2，
∴AE=10，BE=8，
∵将△BEG沿EG翻折，翻折后点B与点P重合，
∴PG=BG，∠APG=∠EPG=∠B=90°，PE=BE=8，
∴AP=AE−PE=2，
设PG=BG=y，
则AG=6−y，
∵AG2=AP2+PG2，
∴(6−y)2=22+y2，
∴y=83，
∴线段GP长为83，
故答案为：83．
根据矩形的性质得到CD=AB=6，AD=BC=10，∠B=∠C=90°，根据折叠的性质得到DF=CD=6，EF=CE，∠DFE=∠C=∠DFA=90°，根据勾股定理得到AF= AD2−DF2= 102−62=8，设EF=CE=x，由勾股定理列方程得到AE=10，BE=8，由折叠的性质得到PG=BG，∠APG=∠EPG=∠B=90°PE=BE=8，求得AP=AE−PE=2，设PG=BG=y，则AG=6−y，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键．
18.【答案】738
【解析】解：观察图中的数字得出框中右下角的数字计算分别为：
2=1×1+1，
30=3×9+3，
130=5×25+5，
350=7×49+7，
所以在最后一个空格中填上适当的数字为：
9×81+9=738，
故答案为：738．
通过观察得出：1，3，5，7，9为等差为2的等差数列，则表格中2=1×1+1，30=3×9+3，130=5×25+5，350=7×49+7，根据此规律求解．
此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，此类型题应该仔细观察分析给出的数据，从而发现规律根据规律解题．
19.【答案】解：(1)−x2−4x2−4x+4÷x+2x+1+xx−2
=−(x+2)(x−2)(x−2)2⋅x+1x+2+xx−2
=−x+1x−2+xx−2
=−x−1+xx−2
=12−x，
当x=2− 2时，原式=12−2+ 2= 22；
(2)3x
解不等式②，得：x≥−3，
∴该不等式组的解集是−3≤x<1．
【解析】(1)先把除法转化为乘法，同时将分式的分子和分母分解因式，然后约分，再算加法，最后将x的值代入化简后的式子计算即可；
(2)先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．
20.【答案】4 32 50 16 24
【解析】解：(1)被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有4人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为32%，
故答案为：4、32；
(2)被调查学生的总数为10÷20%=50(人)，
最喜欢篮球的有50×32%=16(人)，
最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为(50−10−4−16−6−2)÷50×100%=24%，
故答案为：50、16、24；
(3)根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生人数为450×650=54(人)，
(4)列表得，
标号
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
所有等可能的结果数有9种，其中两次摸出的小球标号的和是偶数的有5种结果，
∴两次摸出的小球标号的和是偶数的概率为59．
(1)根据表格和扇形图可直接得出答案；
(2)由羽毛球人数及所占百分比可得总人数，总人数乘以D对应百分比可得篮球人数，用足球人数除以总人数可得其所占百分比；
(3)总人数乘以样本中排球人数所占比例即可；
(4)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及统计表和扇形统计图．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)∵反比例函数y=k2x经过A(1,2)，
∴k2=1×2=2，
∴反比例函数解析式为y=2x，
∵B(−2,n)在反比例函数y=2x的图象上，
∴n=2−2=−1，
∴B(−2,−1)，
∵直线y=k1x+b经过A(1,2)，B(−2,−1)，
∴k1+b=2−2k1+b=−1，解得k1=1b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
(2)观察图象，k1x+b
∵S△AOP：S△BOP=1：3，
∴AP：PB=1：3，
即PB=3PA，
∴(x+2)2+(x+1+1)2=9[(x−1)2+(x+1−2)2]，
解得x1=54(舍去)，x2=14，
∴P点坐标为(14,54).
【解析】(1)用A(1,2)坐标代入y=k2x可得解析式，继而求出n，用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)根据图象直接写出k1x+b
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
22.【答案】(1)证明：∵CH⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠BCH=180°−(∠CHB+∠HBC)=45°，
∴∠BCH=∠HBC，
∴HC=HB；
(2)解：BD=AC；BD⊥AC；证明如下：
如图，
在△AHC和△DHB中，
AH=DH,∠AHC=∠DHB=90°,HC=HB,
∴△AHC≌△DHB(SAS)，
∴BD=AC，∠1=∠2，
∵∠CDE=∠BDH，
∴∠AEB=∠BHC=90°，
∴BD⊥AC；
(3)证明：过点H作HF⊥HE交BE于点F，
∴∠FHE=90°，
即∠4+∠5=90°．
又∵∠3+∠4=∠BHC=90°，
∴∠5=∠3，
在△CHE和△BHF中，
∠1=∠2,CH=BH,∠5=∠3,
∴△CHE≌△BHF(ASA)，
∴EH=FH，
又∵∠FHE=90°，
∴∠BEH=180°−∠EHF2=45°．
【解析】(1)根据∠BCH=∠HBC=45°可得HC=HB；
(2)利用SAS证明△AHC≌△DHB，得BD=AC，∠1=∠2，从而说明BD与AC垂直且相等；
(3)过点H作HF⊥HE交BE于点F，利用ASA证明△CHE≌△BHF，得EH=FH，即可证明结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABM=∠CBM，
在△ABM和△CBM中，AB=CB ∠ABM=∠CBM BM=BM ，
∴△ABM≌△CBM(SAS)．
②∵△ABM≌△CBM，
∴∠BAM=∠BCM，
又∵∠ECF=90°，G是EF的中点，∴GC=12EF=GF，
∴∠GCF=∠GFC，
又∵AB//DF，
∴∠BAM=∠GFC，
∴∠BCM=∠GCF，
∴∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90°，
∴GC⊥CM；
(2)解：成立；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABM=∠CBM，
在△ABM和△CBM中，AB=CB ∠ABM=∠CBM BM=BM ，
∴△ABM≌△CBM(SAS)
∴∠BAM=∠BCM，
又∵∠ECF=90°，G是EF的中点，
∴GC=GF，
∴∠GCF=∠GFC，
又∵AB//DF，
∴∠BAM=∠GFC，
∴∠BCM=∠GCF，
∴∠GCF+∠MCF=∠BCM+∠MCF=90°，
∴GC⊥CM；
(3)解：分两种情况：①当点E在BC边上时，
∵∠MEC>90°，要使△MCE是等腰三角形，必须EM=EC，
∴∠EMC=∠ECM，
∴∠AEB=2∠BCM=2∠BAE，
∴2∠BAE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=30°，
∴BE= 33AB= 33；
②当点E在BC的延长线上时，同①知BE= 3．
综上①②，当BE= 33戓BE= 3时，△MCE是等腰三角形．
【解析】(1)①由正方形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠CBM，由SAS证明△ABM≌△CBM即可．
②由全等三角形的性质得出∠BAM=∠BCM，由直角三角形斜边上的中线性质得出GC=GF，证出∠GCF=∠F，由平行线的性质得出∠BAM=∠F，因此∠BCM=∠GCF，得出∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90°，即可得出结论；
(2)同(1)，即可得出结论；
(3)①当点E在BC边上时，由∠MEC>90°，要使△MCE是等腰三角形，必须EM=EC，得出∠EMC=∠ECM，由三角形的外角性质得出∠AEB=2∠BCM=2∠BAE，由直角三角形的性质得出∠BAE=30°，得出BE= 33AB= 33；
②当点E在BC的延长线上时，同①知BE= 3；即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
24.【答案】正方形 2
【解析】解：(1)①正方形 ② 2．
理由：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，
∴EG=EC，
∴四边形CEGF是正方形，
∵AC= 2BC，CG= 2EC，
∴AG=AC−CG= 2(BC−EC)= 2BE，
∴AGBE= 2．
故答案为：正方形， 2．
(2)结论：AG= 2BE，
理由：如图2中，连接CC.由旋转可得∠BCE=∠AGG=α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴ACBC= 2，
由①得四边形GECF是正方形，
∴∠GEC=∠ECF=90°，GE=EC，
∴△EGC为等腰直角三角形．
∴CGCE= 2，
∴ACBC=CGEC= 2，
∴△ACG∽△BCE，
∴AGBE=CGEC= 2，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG= 2BE；
(3)结论：AG⊥GE，
理由：如图3中，连接CG，
∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC=135°．
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC=∠BEC=135°．
∴∠AGF=∠AGC+∠CGF=135°+45°=180°，
∴点A，G，F三点共线，
∴∠AGE=∠AGF−∠EGF=180°−90°=90°，
∴AG⊥GE．
(1)根据正方形的判定和性质解决问题即可；
(2)结论：AG= 2BE.证明△ACG∽△BCE，可得AGBE=CGEC= 2；
(3)结论：AG⊥GE，证明∠AGE=∠AGF−∠EGF=180°−90°=90°，可得结论．
本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、正确寻找相似三角形解决问题．
25.【答案】解：(1)把A(−1,0)、C(0,3)分别代入y=ax2+bx−3a得：
a−b−3a=0−3a=3，
解得：a=−1b=2，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3，
∴对称轴为x=−b2a=1，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3，对称轴为x=1；
(2)令y=0得：−x2+2x+3=0，
解得：x1=−1，x2=3，
∴OB=OC=3，
∴∠ABC=45°，
当点P在x轴上方时，
∵∠APB=∠ABC=45°，且PA=PB，
∴∠PBA=12(180°−45°)=67.5°，∠MPB=12∠APB=22.5°，
∴∠MBP=67.5°−45°=22.5°，
∴∠MPB=∠MBP，
∴MP=MB，
在Rt△BMG中，BG=MG=3−1=2，
由勾股定理可得：BM=2 2，
∴MP=2 2，
∴PG=MG+MP=2+2 2，
∴P(1,2+2 2)；
当点P在x轴下方时，由对称性可得P点坐标为(1,−2−2 2)；
∴P点坐标为(1,2+2 2)或(1,−2−2 2)；
(3)存在．
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，E为抛物线的顶点，
∴E(1,4)，G(1,0)，
∵S△EMB=12EM⋅BG，
由(2)得，M(1,2)，
∴EM=4−2=2，BG=2．
设直线BC的表达式为y=kx+b，将B(3,0)，C(0,3)代入得，
3k+b=0b=3，
解得：k=−1b=3，
∴直线BC的表达式为y=−x+3，
设过点E与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，如图，当EQ//BC时，S△QMB=S△EMB，
则设直线EQ的表达式为y=−x+m，将E(1,4)代入得，4=−1+m，
解得m=5，
∴直线EQ的表达式为y=−x+5，
∵直线y=−x+5与抛物线y=−x2+2x+3交于点Q，
∴y=−x+5y=−x2+2x+3，
解得：x1=1y1=4(舍去)，x2=2y2=3，
∴点Q的坐标为(2,3)，
∵EG=4，EM=2，
∴GM=EM=2，
设过点G与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，如图，当GQ//BC时，S△QMB=S△EMB，
则设直线GQ的表达式为y=−x+n，将G(1,0)代入得，0=−1+n，
解得n=1，
直线GQ的表达式为y=−x+1．
∵直线y=−x+1与抛物线y=−x2+2x+3交于点Q，
则y=−x+1y=−x2+2x+3，
解得：x1=3+ 172y1=−1− 172，x2=3− 172y2=−1+ 172，
∴点Q的坐标为(3+ 172,−1− 172)或(3− 172,−1+ 172)，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为：(2,3)或(3+ 172,−1− 172)或(3− 172,−1+ 172).
【解析】(1)将A(−1,0)，C(0,3)代入y=ax2+bx−3a，利用待定系数法即可求出抛物线解析式，并求出对称轴；
(2)先由抛物线解析式求得OB=OC=3，并求出∠ABC=45°，再根据二次函数的对称性质及等腰三角形的性质推出∠MPB=∠MBP，则由等腰三形判定得MP=MB，最后由勾股定理及线段的和差关系可求出点P的坐标；
(3)先由三角形面积公式确定S△EMB=12EM⋅BG，求出相应的点坐标及直线的表达式，利用平面直角坐标系内点的坐标特点，则可分别从当EQ//BC和GQ//BC时求出点Q的坐标．
本题属于二次函数综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的对称性质，三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
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