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2023年福建省福州市台江区华侨中学中考数学模拟试卷（含解析）
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这是一份2023年福建省福州市台江区华侨中学中考数学模拟试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年福建省福州市台江区华侨中学中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 与−2023相加，和为0的数是( )
A. −12023 B. −2023 C. 12023 D. 2023
2. 下列几何体中，其他视图一定是圆的有( )
A. 三棱锥 B. 球
C. 正方体 D. 圆柱
3. 若a≠0，则a，−a，a2，|a|这四个数中，正数的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 一副三角板如图放置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，图中∠α的度数为( )
A. 45° B. 60° C. 75° D. 85°
5. 等边三角形绕它的一个顶点旋转90°后与原来的等边三角形组成一个新的图形，那么这个新的图形( )
A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 是轴对称图形，但不是中心对称图形
C. 是中心对称图形，但不是轴对称图形 D. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
6. 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB=6，AD=ED=10，则BF的长为( )
A. 5 B. 2 5 C. 10 D. 2 10
7. 设m= 5−12，则( )
A. 0
1包口罩中的合格数(个)
6
8
9
10
包数(包)
2
3
10
15
则达30包口罩中每包口罩的合格数的中位数和众数分别是( )
A. 8和9 B. 8和10 C. 10和10 D. 9.5和10
9. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长度是( )
A. 12寸 B. 24寸 C. 13寸 D. 26寸
10. 已知抛物线y=ax2−2ax+c(a<0)过点A(x1,m)，B(x2,m)，C(x3,n)，D(x4,n)，其中x1n，则下列式子一定正确的是( )
A. 01 D. x2x4>1
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 式子 2−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12. 我国在2020年10月开展了第七次人口普查，普查数据显示，我国2020年总人口达到14.1亿，将14.1亿用科学记数法表示为______ ．
13. 已知圆锥的底面半径是20，母线长30，则圆锥的侧面积为______．
14. 小球从点A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球最终从点E落出的概率为______．
15. 如图，点A、D分别在函数y=−3x、y=6x的图象上，点B、C在x轴上.若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是______ ．
16. 如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，点M，N分别在AD，BC上，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使得点C落在AD上的一点E处，点D落在点F处，现给出以下结论：
①连接CM，四边形ENCM一定是菱形；
②F，M，C三点一定在同一直线上；
③当点E与A重合时，A，B，C，D，F五点在同一个圆上；
④点E到边MN，BN的距离可能相等．
其中正确的是______ .(写出所有正确结论的序号)
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17. 解不等式组：2x>−6x−12≤x+16．
四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD和BC上的点，∠DAF=∠BCE.求证：BF=DE．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1+1−xx+1)÷2x−2x2+2x+1，其中x= 2+1．
20. (本小题8.0分)
某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等.求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
21. (本小题8.0分)
如图，△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，∠CAB=∠BAD=90°，AC=AB，AD=AE，H为BC的中点，连接BD．
(1)尺规作图：求作点F，使得BD=BF，BD⊥BF，点F在BD下方；
(2)在(1)的条件下，求证：E，H，F三点共线．
22. (本小题10.0分)
某果园为了实现自动化管理，计划安装不少于2台大型白动喷水机，当降雨量少时喷水机可以对果树自动灌溉.统计了过去50年的年均降雨量资料，得到如下的频数分布直方图，假设各年的年均降雨量互不影响，以过去50年的年均降雨量为样本．
(1)估计未来1年中，年均降雨量低于1700的概率．
(2)每年自动喷水机需要运行台数受年均降雨量X限制.并有如下关系：
年均降雨量X
900≤X≤1300
1300≤X≤1700
1700≤X≤2100
喷水机需要运行台数
3
2
1
若一台喷水机运行，一年为果园带来80万元的利润；著某台喷水机未运行，一年也得要投入40万元的费用；如果由于缺水，少开一台喷水机将使果园损失50万元.欲使果园在喷水机项目上实现年利润的平均值达到最大，需安装几台喷水机？
23. (本小题10.0分)
如图，已知△ABC内接干⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接BE，过点E作EF//CB，交AB的延长线于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)已知tan∠BEF=12，⊙O的半径为5，求BF的长．
24. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M.E是线段CM上的点，连接BE.F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF．
(1)求证：△BEF是直角三角形；
(2)求证：△BEF∽△BCA；
(3)当AB=6，BC=m时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．
25. (本小题14.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中OA=2，b−c=−4．
(1)求B，C的坐标．
(2)如图2，点D是第一象限内抛物线上的动点，连接OD交BC于点E，当S△DBES△OBE的值最大时，求出此时点D的坐标并求出S△DBES△OBE的最大值．
(3)如图2，点D是第一象限内抛物线上的动点，将OD绕点D顺时针旋转90°得到线段DD′，若线段OD′与抛物线对称轴有公共点，求点D的横坐标xD的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵2023与−2023互为相反数，
∴2023+(−2023)=0，
则与−2023相加，和为0的数是2023，
故选：D．
互为相反数的两个数的和为0，据此即可求得答案．
本题考查相反数的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】B
【解析】解：由题意知，球的其它视图都为圆，
故选：B．
根据三视图的知识得出结论即可．
本题主要考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：当a<0时，a是负数，不符合题意；
当a>0时，−a是负数，不符合题意；
∵a≠0，
∴a2≥0，|a|≥0，符合题意，
综上，正数的个数为2个，
故选：B．
根据绝对值及偶次幂的非负性进行判断即可．
本题考查绝对值及偶次幂的非负性，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】C
【解析】解：如图，
∵EF//BC，
∴∠FDC=∠F=30°，
∴∠α=∠FDC+∠C=30°+45°=75°，
故选：C．
根据EF//BC得出∠FDC=∠F=30°，进而得出∠α=∠FDC+∠C即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据EF//BC得出∠FDC的度数和三角形外角性质分析．
5.【答案】B
【解析】解：等边三角形绕它的一个顶点旋转90°后与原来的等边三角形组成一个新的图形，
沿着一条直线对折后两部分完全重合，故是轴对称图形；
找不到一点把图形绕该点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，故不是中心对称图形．
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查中心对称图形、等边三角形的性质、轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，AD=BC=10，∠ABC=∠C=90°，
∵AD=ED=10，
在Rt△DCE中，CE= DE2−CD2= 102−62=8，
∴BE=BC−EC=10−8=2，
在Rt△ABE中，AE= AB2+BE2= 62+22=2 10，
∵点F是AE的中点，
∴BF=12AE= 10，
故选：C．
根据矩形的性质得出AD=BC=10，AB=CD=6，进而利用勾股定理得出EC，进而得出BE，利用勾股定理得出AE解答即可．
本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．先估算出 5的范围，再求 5−1的范围，最后求 5−12的范围，即可得出答案．
【解答】
解：∵4<5<9，
∴2< 5<3，
∴1< 5−1<2，
∴12< 5−12<1，
∴0
8.【答案】D
【解析】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第15、16个数，分别为9和10，
所以这30包口罩中每包口罩的合格数的中位数为：9+102=9.5；
这30包口罩中每包口罩的合格数中出现次数最多的是10，故众数是10．
故选：D．
根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
此题考查了中位数和众数．解题的关键是掌握求中位数和众数的方法，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
9.【答案】D
【解析】解：如图所示：连接OA，
∵AB⊥CD，且AB=10寸，
∴AE=BE=5寸，
设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x，
∵CE=1，
∴OE=x−1，
在Rt△AOE中，根据勾股定理得：
x2−(x−1)2=52，化简得：x2−x2+2x−1=25，
即2x=26，
∴CD=26(寸)．
答：直径CD的长为26寸，
故选：D．
连接OA构造直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB=10可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求解方程可得到答案．
本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵抛物线y=ax2−2ax+c(a<0)，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=−−2a2a=1，则当x>1时，y随x的增大而减小，当x<1时，y随x的增大而增大，
∵抛物线y=ax2−2ax+c(a<0)过点A(x1,m)，B(x2,m)，C(x3,n)，D(x4,n)，其中x1n，
∴x3
∴x1x3可能为负，
∵1
由题意可知抛物线开口向下，对称轴为直线x=−−2a2a=1，则x3
11.【答案】x≤2
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】
解：依题意，得2−x≥0，
解得，x≤2．
故答案是：x≤2．
12.【答案】1.41×109
【解析】解：14.1亿=1410000000=1.41×109．
故答案为：1.41×109．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
13.【答案】600π
【解析】解：∵圆锥的底面半径是20，
∴圆锥的底面周长为：2π×20=40π，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为40π，
∴圆锥的侧面积为：12×40π×30=600π，
故答案为：600π．
根据扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
14.【答案】14
【解析】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，
所以，最终从点E落出的概率为14．
故答案为：14．
根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解．
本题考查了列表法与树状图法，读懂题目信息，得出所给的图形的对称性以及可能性相等是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】(2,3)
【解析】
【分析】
根据题意设出A、D的纵坐标为n，即可得出A(−3n,n)，D(6n,n)，根据正方形的性质得出6n+3n=n，求得n=3，即可求得D的坐标为(2,3)．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出A、D的坐标是解题的关键．
【解答】
解：设点A的纵坐标为n，则点D的纵坐标为n，
∵点A、D分别在函数y=−3x、y=6x的图像上，
∴A(−3n,n)，D(6n,n)，
∵四边形ABCD为正方形，
∴6n+3n=n，
解得n=±3(负数舍去)，n=3，
∴D(2,3)，
故答案为(2,3)．
16.【答案】①②③④
【解析】解：连接CM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠EMN=∠CNM，
由折叠可知：CN=EN，∠ENM=∠CNM，
∴∠EMN=∠ENM，
∴EM=EN=CN，
∴四边形ENCM是平行四边形，
又∵CN=EN，
∴四边形ENCM一定是菱形，故①正确；
由折叠可知，FM//EN，
∴∠FME=∠MEN，
∵四边形ENCM是菱形，
∴∠EMC+∠MEN=180°，
∴∠EMC+∠FME=180°，
∴F，M，C三点一定在同一直线上，故②正确；
连接AC，可知A，B，C，D，在以AC为直径的圆上，
当点E与A重合时，
∵F，M，C三点一定在同一直线上，
∴∠AFC=90°，则点F在以AC为直径的圆上，
∴A，B，C，D，F五点在同一个圆上，故③正确；
当∠ENM=∠BNE时，即∠ENM=∠CNM=∠BNE=60°时，EN平分∠BNM，
由角平分线的性质可知，此时点E到边MN，BN的距离相等，
∴点E到边MN，BN的距离可能相等(当∠ENM=∠CNM=∠BNE=60°时)，故④正确；
故答案为：①②③④．
利用矩形及折叠的性质证明四边形ENCM一定是菱形，即可判断①，结合矩形的性质可知∠FME=∠MEN，进而可证明∠EMC+∠FME=180°，即可判断②，利用圆周角定理可判断③，由角平分线的性质可判断④．
本题考查矩形与折叠的性质，圆周角定理，菱形的判定及性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
17.【答案】解：由2x>−6，得：x>−3，
由x−12≤x+16，得：x≤2，
则不等式组的解集为−3
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，AB=CD，
又∵∠DAF=∠BCE，
∴∠BAF=∠DCE，
在△ABF和△CDE中，
∠B=∠D AB=CD ∠BAF=∠DCE ，
∴△ABF≌△CDE(ASA)，
∴BF=DE．
【解析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
由平行四边形的性质得出∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，AB=CD，证出∠ABF=∠DCE，证明△ABF≌△CDE(ASA)，即可得出BF=DE．
19.【答案】解：原式=(x+1x+1+1−xx+1)÷2x−2x2+2x+1
=2x+1÷2(x−1)(x+1)2
=2x+1⋅(x+1)22(x−1)
=x+1x−1，
当x= 2+1时，
原式= 2+1+1 2+1−1= 2+2 2= 2+1．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】解：设每台电冰箱的进价是x元，则每台空调的进价是(x−400)元，
根据题意得：80000x=64000x−400，
解得：x=2000，
经检验，x=2000是所列方程的解，且符合题意，
∴x−400=2000−400=1600．
答：每台电冰箱的进价是2000元，每台空调的进价是1600元．
【解析】设每台电冰箱的进价是x元，则每台空调的进价是(x−400)元，利用数量=总价÷单价，结合用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出每台电冰箱的进价，再将其代入(x−400)中，即可求出每台空调的进价．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21.【答案】(1)解：如图，点F为所作；
(2)证明：连接CE、EH、FH，如图，
∵∠CAB=∠BAD=90°，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，
∴△ACE绕A点逆时针旋转90°得到∠ABD，
∴CE与BD垂直，
∵BF⊥BD，
∴CE//BF，
∴∠ECH=∠FBH，
∵BF=BD，
∴CE=BF，
∵H点为BC的中点，
∴CH=BH，
在△CEH和△BFH中，
CE=BF∠ECH=∠FBHCH=BH，
∴△CEH≌△BFH(SAS)，
∴∠CHE=∠BHF，
∴∠CHE+∠EHB=∠EHB+∠BHF=180°，
即∠EHF=180°，
∴E，H，F三点共线．
【解析】(1)过B点作BD的垂线，再截取BF=BD即可；
(2)连接CE、EH、FH，如图，先证明△ACE≌△ABD得到CE=BD，∠ACE=∠ABD，则△ACE绕A点逆时针旋转90°得到∠ABD，所以CE与BD垂直，则可证明CE//BF，所以∠ECH=∠FBH，接着证明CE=BF，然后证明△CEH≌△BFH得到∠CHE=∠BHF，则∠EHF=180°，从而可判断E，H，F三点共线．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质．
22.【答案】解：(1)由题意可得，年均降雨量低于1700的概率为：10+3510+35+5=4550=910；
(2)由题意可知：年均降雨量900≤X≤1300的概率为：1010+35+5=0.2，
年均降雨量1300≤X≤1700的概率为：3510+35+5=0.7，
年均降雨量1700≤X≤2100的概率为：510+35+5=0.1，
又“计划安装不少于2台大型自动喷水机，并且最缺水时也只用3台喷水机，
∴只能安装2台或者3台喷水机，
设年利润为Y万元，
当安装2台喷水机时：900≤X≤1300时，Y=80×2−50=110，
1300≤X≤1700时，Y=80×2=160，
1700≤X≤2100时，Y=80−40=40，
则平均年利润为：110×0.2+160×0.7+40×0.1=138(万元)；
当安装3台喷水机时：900≤X≤1300时，Y=80×3=240，
1300≤X≤1700时，Y=80×2−40=120，
1700≤X≤2100时，Y=80−40×2=0，
则平均年利润为：240×0.2+120×0.7+0×0.1=132(万元)；
∵138>132，
∴安装2台喷水机年利润的平均值达到最大．
【解析】(1)根据过去50年的年均降雨量的统计情况，利用概率公式即可求解；
(2)由题意可知只能安装2台或者3台喷水机，计算出不同年均降雨量的概率，再分别计算两种方案下各年均降雨量概率下的平均获利，比较即可．
本题主要考查概率的应用，要能从统计表中找到我们需要的数据，并用统计数据处理，熟练掌握概率相关知识灵活运用是解题关键．
23.【答案】(1)证明：连接OE，
∵EF//CB，
∴∠BEF=∠CBE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°=∠AEO+∠BEO，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE，
∵OA=OE，
∴∠EAB=∠OEA，
∵∠CAE=∠EBC，
∴∠FEB=∠AEO，
∴∠FEB+∠OEB=90°，
∴OE⊥EF，
∵点E在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线；
(2)解：∵∠EAB=∠BEF，
∴tan∠EAB=12=BEAE，
设BE=x，则AE=2x，
AE=2x，
∵∠AEB=90°，⊙O的半径为5，
∴AB2=AE2+BE2，100=4x2+x2，x=2 5，
∴BE=2 5，AE=4 5，
同理tan∠EBD=12=DEBE，
∴DE= 5，AD=4 5− 5=3 5，
∵EF//CB，
∴ADDE=ABBF，
∴BF=10× 53 5=103．
【解析】(1)连接OE，只需证OE⊥EF即可证得结论；
(2)由tan∠EAB=12=BEAE设BE=x，则AE=2x，在Rt△ABE中，根据勾股定理求得BE=2 5，同理tan∠EBD=12=DEBE，求得DE，AD，最后根据平行线分线段成比例即可求解．
本题主要考查平行的判定，圆周角定理，勾股定理，切线的证明以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的证明，相似三角形的判定和性质是解决本题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵∠EFB=∠EDB，∠EBF=∠EDF，
∴∠EFB+∠EBF=∠EDB+∠EDF=∠ADB=90°，
∴∠BEF=90°，
∴△BEF是直角三角形．
(2)证明：∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD，
∵∠EFB=∠EDB，
∴∠EFB=∠BCD，
∵AC=AD，BC=BD，
∴AB⊥CD，
∴∠AMC=90°，
∵∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠BCD=∠CAB，
∴∠BFE=∠CAB，
∵∠ACB=∠FEB=90°，
∴△BEF∽△BCA．
(3)解：设EF交AB于J.连接AE．
∵EF与AB互相平分，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∴∠EFA=∠FEB=90°，即EF⊥AD，
∵BD⊥AD，
∴EF//BD，
∵AJ=JB，
∴AF=DF，
∴FJ=12BD=m2，
∴EF=m，
∵△ABC∽△CBM，
∴BC：MB=AB：BC，
∴BM=m26，
∵△BEJ∽△BME，
∴BE：BM=BJ：BE，
∴BE=m 2，
∵△BEF∽△BCA，
∴ACEF=BCBE，
即 36−m2m=mm 2，
解得m=2 3(负根已经舍弃)．
【解析】(1)想办法证明∠BEF=90°即可解决问题(也可以利用圆内接四边形的性质直接证明)．
(2)根据两角对应相等两三角形相似证明．
(3)证明四边形AFBE是平行四边形，推出FJ=12BD=m2，EF=m，由△ABC∽△CBM，可得BM=m26，由△BEJ∽△BME，可得BE=m 2，由△BEF∽△BCA，推出ACEF=BCBE，由此构建方程求解即可．
本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
25.【答案】解：(1)∵OA=2，
∴A(−2,0)．
∵抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A，b−c=−4，
∴−2−2b+c=0b−c=−4，
∴b=2c=6，
∴y=−12x2+2x+6，
当y=0时，−12x2+2x+6=0，
解得x=6或x=−2；
当x=0时，y=6，
∴B(6,0)，C(0,6)；
(2)过D作DF⊥x轴交BC于F，如图，
∴DF//OC，
∴△DEF∽△OEC，
∴DEOE=DFOC，
∵S△DEBS△OBE=DEOE，
∴S△DEBS△OBE=DFOC，
由B(6,0)，C(0,6)得直线BC的解析式为y=−x+6．
设D(m,−12m2+2m+6)，则F(m,−m+6)，
∴DF=−12m2+2m+6−(−m+6)=−12m2+3m，
∴S△DEBS△OBE=DFOC=−12m2+3m6=−112m2+12m，
∵a=−112<0，
∴当x=−122×(−112)=3时，S△DEBS△OBE有最大值34，
此时D(3,152)；
(3)当D′在抛物线对称轴上时，过D作KH//y轴交x轴于H，过D′作D′K⊥KT于K，如图：
∵点D是第一象限内抛物线上的动点，
∴xD<6，
设D(n,−12n2+2n+6)，则DH=−12n2+2n+6，OH=n，
∵将OD绕点D顺时针旋转90°得到线段DD′，
∴OD=OD′，∠ODD′=90°，
∴∠D′DK=90°−∠ODH=∠DOH，
∵∠K=∠OHD=90°，
∴△D′DK≌△DOH(AAS)，
∴DK=OH=n，D′K=DH=−12n2+2n+6，
由(2)知抛物线对称轴为直线x=3，
∴OH−D′K=3，即n−(−12n2+2n+6)=3，
解得n= 19+1或n=− 19+1(此时D不在第一象限，舍去)；
由图可知，当xD≥ 19+1时，线段OD′与抛物线对称轴有公共点，
综上所述，点D的横坐标xD的取值范围是 19+1≤xD<6．
【解析】(1)用待定系数法求出y=−12x2+2x+6，即可得B(6,0)，C(0,6)；
(2)过D作DF⊥x轴交BC于F，由△DEF∽△OEC，得DEOE=DFOC，故S△DEBS△OBE=DFOC，由B(6,0)，C(0,6)得直线BC的解析式为y=−x+6.设D(m,−12m2+2m+6)，可得DF=−12m2+2m+6−(−m+6)=−12m2+3m，即得S△DEBS△OBE=DFOC=−12m2+3m6=−112m2+12m，根据二次函数性质可得答案；
(3)当D′在抛物线对称轴上时，过D作KH//y轴交x轴于H，过D′作D′K⊥KT于K，设D(n,−12n2+2n+6)，证明△D′DK≌△DOH(AAS)，有DK=OH=n，D′K=DH=−12n2+2n+6，而抛物线对称轴为直线x=3，得n−(−12n2+2n+6)=3，解得n= 19+1或n=− 19+1(此时D不在第一象限，舍去)；即可得点D的横坐标xD的取值范围是 19+1≤xD<6．
本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数的性质，用待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识解决问题．
2023年福建省福州市台江区华侨中学中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 与−2023相加，和为0的数是( )
A. −12023 B. −2023 C. 12023 D. 2023
2. 下列几何体中，其他视图一定是圆的有( )
A. 三棱锥 B. 球
C. 正方体 D. 圆柱
3. 若a≠0，则a，−a，a2，|a|这四个数中，正数的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 一副三角板如图放置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，图中∠α的度数为( )
A. 45° B. 60° C. 75° D. 85°
5. 等边三角形绕它的一个顶点旋转90°后与原来的等边三角形组成一个新的图形，那么这个新的图形( )
A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 是轴对称图形，但不是中心对称图形
C. 是中心对称图形，但不是轴对称图形 D. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
6. 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB=6，AD=ED=10，则BF的长为( )
A. 5 B. 2 5 C. 10 D. 2 10
7. 设m= 5−12，则( )
A. 0
1包口罩中的合格数(个)
6
8
9
10
包数(包)
2
3
10
15
则达30包口罩中每包口罩的合格数的中位数和众数分别是( )
A. 8和9 B. 8和10 C. 10和10 D. 9.5和10
9. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长度是( )
A. 12寸 B. 24寸 C. 13寸 D. 26寸
10. 已知抛物线y=ax2−2ax+c(a<0)过点A(x1,m)，B(x2,m)，C(x3,n)，D(x4,n)，其中x1
A. 0
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 式子 2−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12. 我国在2020年10月开展了第七次人口普查，普查数据显示，我国2020年总人口达到14.1亿，将14.1亿用科学记数法表示为______ ．
13. 已知圆锥的底面半径是20，母线长30，则圆锥的侧面积为______．
14. 小球从点A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球最终从点E落出的概率为______．
15. 如图，点A、D分别在函数y=−3x、y=6x的图象上，点B、C在x轴上.若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是______ ．
16. 如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，点M，N分别在AD，BC上，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使得点C落在AD上的一点E处，点D落在点F处，现给出以下结论：
①连接CM，四边形ENCM一定是菱形；
②F，M，C三点一定在同一直线上；
③当点E与A重合时，A，B，C，D，F五点在同一个圆上；
④点E到边MN，BN的距离可能相等．
其中正确的是______ .(写出所有正确结论的序号)
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17. 解不等式组：2x>−6x−12≤x+16．
四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD和BC上的点，∠DAF=∠BCE.求证：BF=DE．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1+1−xx+1)÷2x−2x2+2x+1，其中x= 2+1．
20. (本小题8.0分)
某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等.求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
21. (本小题8.0分)
如图，△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，∠CAB=∠BAD=90°，AC=AB，AD=AE，H为BC的中点，连接BD．
(1)尺规作图：求作点F，使得BD=BF，BD⊥BF，点F在BD下方；
(2)在(1)的条件下，求证：E，H，F三点共线．
22. (本小题10.0分)
某果园为了实现自动化管理，计划安装不少于2台大型白动喷水机，当降雨量少时喷水机可以对果树自动灌溉.统计了过去50年的年均降雨量资料，得到如下的频数分布直方图，假设各年的年均降雨量互不影响，以过去50年的年均降雨量为样本．
(1)估计未来1年中，年均降雨量低于1700的概率．
(2)每年自动喷水机需要运行台数受年均降雨量X限制.并有如下关系：
年均降雨量X
900≤X≤1300
1300≤X≤1700
1700≤X≤2100
喷水机需要运行台数
3
2
1
若一台喷水机运行，一年为果园带来80万元的利润；著某台喷水机未运行，一年也得要投入40万元的费用；如果由于缺水，少开一台喷水机将使果园损失50万元.欲使果园在喷水机项目上实现年利润的平均值达到最大，需安装几台喷水机？
23. (本小题10.0分)
如图，已知△ABC内接干⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接BE，过点E作EF//CB，交AB的延长线于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)已知tan∠BEF=12，⊙O的半径为5，求BF的长．
24. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M.E是线段CM上的点，连接BE.F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF．
(1)求证：△BEF是直角三角形；
(2)求证：△BEF∽△BCA；
(3)当AB=6，BC=m时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．
25. (本小题14.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中OA=2，b−c=−4．
(1)求B，C的坐标．
(2)如图2，点D是第一象限内抛物线上的动点，连接OD交BC于点E，当S△DBES△OBE的值最大时，求出此时点D的坐标并求出S△DBES△OBE的最大值．
(3)如图2，点D是第一象限内抛物线上的动点，将OD绕点D顺时针旋转90°得到线段DD′，若线段OD′与抛物线对称轴有公共点，求点D的横坐标xD的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵2023与−2023互为相反数，
∴2023+(−2023)=0，
则与−2023相加，和为0的数是2023，
故选：D．
互为相反数的两个数的和为0，据此即可求得答案．
本题考查相反数的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】B
【解析】解：由题意知，球的其它视图都为圆，
故选：B．
根据三视图的知识得出结论即可．
本题主要考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：当a<0时，a是负数，不符合题意；
当a>0时，−a是负数，不符合题意；
∵a≠0，
∴a2≥0，|a|≥0，符合题意，
综上，正数的个数为2个，
故选：B．
根据绝对值及偶次幂的非负性进行判断即可．
本题考查绝对值及偶次幂的非负性，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】C
【解析】解：如图，
∵EF//BC，
∴∠FDC=∠F=30°，
∴∠α=∠FDC+∠C=30°+45°=75°，
故选：C．
根据EF//BC得出∠FDC=∠F=30°，进而得出∠α=∠FDC+∠C即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据EF//BC得出∠FDC的度数和三角形外角性质分析．
5.【答案】B
【解析】解：等边三角形绕它的一个顶点旋转90°后与原来的等边三角形组成一个新的图形，
沿着一条直线对折后两部分完全重合，故是轴对称图形；
找不到一点把图形绕该点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，故不是中心对称图形．
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查中心对称图形、等边三角形的性质、轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，AD=BC=10，∠ABC=∠C=90°，
∵AD=ED=10，
在Rt△DCE中，CE= DE2−CD2= 102−62=8，
∴BE=BC−EC=10−8=2，
在Rt△ABE中，AE= AB2+BE2= 62+22=2 10，
∵点F是AE的中点，
∴BF=12AE= 10，
故选：C．
根据矩形的性质得出AD=BC=10，AB=CD=6，进而利用勾股定理得出EC，进而得出BE，利用勾股定理得出AE解答即可．
本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．先估算出 5的范围，再求 5−1的范围，最后求 5−12的范围，即可得出答案．
【解答】
解：∵4<5<9，
∴2< 5<3，
∴1< 5−1<2，
∴12< 5−12<1，
∴0
8.【答案】D
【解析】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第15、16个数，分别为9和10，
所以这30包口罩中每包口罩的合格数的中位数为：9+102=9.5；
这30包口罩中每包口罩的合格数中出现次数最多的是10，故众数是10．
故选：D．
根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
此题考查了中位数和众数．解题的关键是掌握求中位数和众数的方法，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
9.【答案】D
【解析】解：如图所示：连接OA，
∵AB⊥CD，且AB=10寸，
∴AE=BE=5寸，
设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x，
∵CE=1，
∴OE=x−1，
在Rt△AOE中，根据勾股定理得：
x2−(x−1)2=52，化简得：x2−x2+2x−1=25，
即2x=26，
∴CD=26(寸)．
答：直径CD的长为26寸，
故选：D．
连接OA构造直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB=10可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求解方程可得到答案．
本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵抛物线y=ax2−2ax+c(a<0)，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=−−2a2a=1，则当x>1时，y随x的增大而减小，当x<1时，y随x的增大而增大，
∵抛物线y=ax2−2ax+c(a<0)过点A(x1,m)，B(x2,m)，C(x3,n)，D(x4,n)，其中x1
∴x3
∴x1x3可能为负，
∵1
由题意可知抛物线开口向下，对称轴为直线x=−−2a2a=1，则x3
11.【答案】x≤2
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】
解：依题意，得2−x≥0，
解得，x≤2．
故答案是：x≤2．
12.【答案】1.41×109
【解析】解：14.1亿=1410000000=1.41×109．
故答案为：1.41×109．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
13.【答案】600π
【解析】解：∵圆锥的底面半径是20，
∴圆锥的底面周长为：2π×20=40π，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为40π，
∴圆锥的侧面积为：12×40π×30=600π，
故答案为：600π．
根据扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
14.【答案】14
【解析】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，
所以，最终从点E落出的概率为14．
故答案为：14．
根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解．
本题考查了列表法与树状图法，读懂题目信息，得出所给的图形的对称性以及可能性相等是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】(2,3)
【解析】
【分析】
根据题意设出A、D的纵坐标为n，即可得出A(−3n,n)，D(6n,n)，根据正方形的性质得出6n+3n=n，求得n=3，即可求得D的坐标为(2,3)．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出A、D的坐标是解题的关键．
【解答】
解：设点A的纵坐标为n，则点D的纵坐标为n，
∵点A、D分别在函数y=−3x、y=6x的图像上，
∴A(−3n,n)，D(6n,n)，
∵四边形ABCD为正方形，
∴6n+3n=n，
解得n=±3(负数舍去)，n=3，
∴D(2,3)，
故答案为(2,3)．
16.【答案】①②③④
【解析】解：连接CM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠EMN=∠CNM，
由折叠可知：CN=EN，∠ENM=∠CNM，
∴∠EMN=∠ENM，
∴EM=EN=CN，
∴四边形ENCM是平行四边形，
又∵CN=EN，
∴四边形ENCM一定是菱形，故①正确；
由折叠可知，FM//EN，
∴∠FME=∠MEN，
∵四边形ENCM是菱形，
∴∠EMC+∠MEN=180°，
∴∠EMC+∠FME=180°，
∴F，M，C三点一定在同一直线上，故②正确；
连接AC，可知A，B，C，D，在以AC为直径的圆上，
当点E与A重合时，
∵F，M，C三点一定在同一直线上，
∴∠AFC=90°，则点F在以AC为直径的圆上，
∴A，B，C，D，F五点在同一个圆上，故③正确；
当∠ENM=∠BNE时，即∠ENM=∠CNM=∠BNE=60°时，EN平分∠BNM，
由角平分线的性质可知，此时点E到边MN，BN的距离相等，
∴点E到边MN，BN的距离可能相等(当∠ENM=∠CNM=∠BNE=60°时)，故④正确；
故答案为：①②③④．
利用矩形及折叠的性质证明四边形ENCM一定是菱形，即可判断①，结合矩形的性质可知∠FME=∠MEN，进而可证明∠EMC+∠FME=180°，即可判断②，利用圆周角定理可判断③，由角平分线的性质可判断④．
本题考查矩形与折叠的性质，圆周角定理，菱形的判定及性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
17.【答案】解：由2x>−6，得：x>−3，
由x−12≤x+16，得：x≤2，
则不等式组的解集为−3
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，AB=CD，
又∵∠DAF=∠BCE，
∴∠BAF=∠DCE，
在△ABF和△CDE中，
∠B=∠D AB=CD ∠BAF=∠DCE ，
∴△ABF≌△CDE(ASA)，
∴BF=DE．
【解析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
由平行四边形的性质得出∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，AB=CD，证出∠ABF=∠DCE，证明△ABF≌△CDE(ASA)，即可得出BF=DE．
19.【答案】解：原式=(x+1x+1+1−xx+1)÷2x−2x2+2x+1
=2x+1÷2(x−1)(x+1)2
=2x+1⋅(x+1)22(x−1)
=x+1x−1，
当x= 2+1时，
原式= 2+1+1 2+1−1= 2+2 2= 2+1．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】解：设每台电冰箱的进价是x元，则每台空调的进价是(x−400)元，
根据题意得：80000x=64000x−400，
解得：x=2000，
经检验，x=2000是所列方程的解，且符合题意，
∴x−400=2000−400=1600．
答：每台电冰箱的进价是2000元，每台空调的进价是1600元．
【解析】设每台电冰箱的进价是x元，则每台空调的进价是(x−400)元，利用数量=总价÷单价，结合用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出每台电冰箱的进价，再将其代入(x−400)中，即可求出每台空调的进价．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21.【答案】(1)解：如图，点F为所作；
(2)证明：连接CE、EH、FH，如图，
∵∠CAB=∠BAD=90°，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，
∴△ACE绕A点逆时针旋转90°得到∠ABD，
∴CE与BD垂直，
∵BF⊥BD，
∴CE//BF，
∴∠ECH=∠FBH，
∵BF=BD，
∴CE=BF，
∵H点为BC的中点，
∴CH=BH，
在△CEH和△BFH中，
CE=BF∠ECH=∠FBHCH=BH，
∴△CEH≌△BFH(SAS)，
∴∠CHE=∠BHF，
∴∠CHE+∠EHB=∠EHB+∠BHF=180°，
即∠EHF=180°，
∴E，H，F三点共线．
【解析】(1)过B点作BD的垂线，再截取BF=BD即可；
(2)连接CE、EH、FH，如图，先证明△ACE≌△ABD得到CE=BD，∠ACE=∠ABD，则△ACE绕A点逆时针旋转90°得到∠ABD，所以CE与BD垂直，则可证明CE//BF，所以∠ECH=∠FBH，接着证明CE=BF，然后证明△CEH≌△BFH得到∠CHE=∠BHF，则∠EHF=180°，从而可判断E，H，F三点共线．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质．
22.【答案】解：(1)由题意可得，年均降雨量低于1700的概率为：10+3510+35+5=4550=910；
(2)由题意可知：年均降雨量900≤X≤1300的概率为：1010+35+5=0.2，
年均降雨量1300≤X≤1700的概率为：3510+35+5=0.7，
年均降雨量1700≤X≤2100的概率为：510+35+5=0.1，
又“计划安装不少于2台大型自动喷水机，并且最缺水时也只用3台喷水机，
∴只能安装2台或者3台喷水机，
设年利润为Y万元，
当安装2台喷水机时：900≤X≤1300时，Y=80×2−50=110，
1300≤X≤1700时，Y=80×2=160，
1700≤X≤2100时，Y=80−40=40，
则平均年利润为：110×0.2+160×0.7+40×0.1=138(万元)；
当安装3台喷水机时：900≤X≤1300时，Y=80×3=240，
1300≤X≤1700时，Y=80×2−40=120，
1700≤X≤2100时，Y=80−40×2=0，
则平均年利润为：240×0.2+120×0.7+0×0.1=132(万元)；
∵138>132，
∴安装2台喷水机年利润的平均值达到最大．
【解析】(1)根据过去50年的年均降雨量的统计情况，利用概率公式即可求解；
(2)由题意可知只能安装2台或者3台喷水机，计算出不同年均降雨量的概率，再分别计算两种方案下各年均降雨量概率下的平均获利，比较即可．
本题主要考查概率的应用，要能从统计表中找到我们需要的数据，并用统计数据处理，熟练掌握概率相关知识灵活运用是解题关键．
23.【答案】(1)证明：连接OE，
∵EF//CB，
∴∠BEF=∠CBE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°=∠AEO+∠BEO，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE，
∵OA=OE，
∴∠EAB=∠OEA，
∵∠CAE=∠EBC，
∴∠FEB=∠AEO，
∴∠FEB+∠OEB=90°，
∴OE⊥EF，
∵点E在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线；
(2)解：∵∠EAB=∠BEF，
∴tan∠EAB=12=BEAE，
设BE=x，则AE=2x，
AE=2x，
∵∠AEB=90°，⊙O的半径为5，
∴AB2=AE2+BE2，100=4x2+x2，x=2 5，
∴BE=2 5，AE=4 5，
同理tan∠EBD=12=DEBE，
∴DE= 5，AD=4 5− 5=3 5，
∵EF//CB，
∴ADDE=ABBF，
∴BF=10× 53 5=103．
【解析】(1)连接OE，只需证OE⊥EF即可证得结论；
(2)由tan∠EAB=12=BEAE设BE=x，则AE=2x，在Rt△ABE中，根据勾股定理求得BE=2 5，同理tan∠EBD=12=DEBE，求得DE，AD，最后根据平行线分线段成比例即可求解．
本题主要考查平行的判定，圆周角定理，勾股定理，切线的证明以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的证明，相似三角形的判定和性质是解决本题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵∠EFB=∠EDB，∠EBF=∠EDF，
∴∠EFB+∠EBF=∠EDB+∠EDF=∠ADB=90°，
∴∠BEF=90°，
∴△BEF是直角三角形．
(2)证明：∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD，
∵∠EFB=∠EDB，
∴∠EFB=∠BCD，
∵AC=AD，BC=BD，
∴AB⊥CD，
∴∠AMC=90°，
∵∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠BCD=∠CAB，
∴∠BFE=∠CAB，
∵∠ACB=∠FEB=90°，
∴△BEF∽△BCA．
(3)解：设EF交AB于J.连接AE．
∵EF与AB互相平分，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∴∠EFA=∠FEB=90°，即EF⊥AD，
∵BD⊥AD，
∴EF//BD，
∵AJ=JB，
∴AF=DF，
∴FJ=12BD=m2，
∴EF=m，
∵△ABC∽△CBM，
∴BC：MB=AB：BC，
∴BM=m26，
∵△BEJ∽△BME，
∴BE：BM=BJ：BE，
∴BE=m 2，
∵△BEF∽△BCA，
∴ACEF=BCBE，
即 36−m2m=mm 2，
解得m=2 3(负根已经舍弃)．
【解析】(1)想办法证明∠BEF=90°即可解决问题(也可以利用圆内接四边形的性质直接证明)．
(2)根据两角对应相等两三角形相似证明．
(3)证明四边形AFBE是平行四边形，推出FJ=12BD=m2，EF=m，由△ABC∽△CBM，可得BM=m26，由△BEJ∽△BME，可得BE=m 2，由△BEF∽△BCA，推出ACEF=BCBE，由此构建方程求解即可．
本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
25.【答案】解：(1)∵OA=2，
∴A(−2,0)．
∵抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A，b−c=−4，
∴−2−2b+c=0b−c=−4，
∴b=2c=6，
∴y=−12x2+2x+6，
当y=0时，−12x2+2x+6=0，
解得x=6或x=−2；
当x=0时，y=6，
∴B(6,0)，C(0,6)；
(2)过D作DF⊥x轴交BC于F，如图，
∴DF//OC，
∴△DEF∽△OEC，
∴DEOE=DFOC，
∵S△DEBS△OBE=DEOE，
∴S△DEBS△OBE=DFOC，
由B(6,0)，C(0,6)得直线BC的解析式为y=−x+6．
设D(m,−12m2+2m+6)，则F(m,−m+6)，
∴DF=−12m2+2m+6−(−m+6)=−12m2+3m，
∴S△DEBS△OBE=DFOC=−12m2+3m6=−112m2+12m，
∵a=−112<0，
∴当x=−122×(−112)=3时，S△DEBS△OBE有最大值34，
此时D(3,152)；
(3)当D′在抛物线对称轴上时，过D作KH//y轴交x轴于H，过D′作D′K⊥KT于K，如图：
∵点D是第一象限内抛物线上的动点，
∴xD<6，
设D(n,−12n2+2n+6)，则DH=−12n2+2n+6，OH=n，
∵将OD绕点D顺时针旋转90°得到线段DD′，
∴OD=OD′，∠ODD′=90°，
∴∠D′DK=90°−∠ODH=∠DOH，
∵∠K=∠OHD=90°，
∴△D′DK≌△DOH(AAS)，
∴DK=OH=n，D′K=DH=−12n2+2n+6，
由(2)知抛物线对称轴为直线x=3，
∴OH−D′K=3，即n−(−12n2+2n+6)=3，
解得n= 19+1或n=− 19+1(此时D不在第一象限，舍去)；
由图可知，当xD≥ 19+1时，线段OD′与抛物线对称轴有公共点，
综上所述，点D的横坐标xD的取值范围是 19+1≤xD<6．
【解析】(1)用待定系数法求出y=−12x2+2x+6，即可得B(6,0)，C(0,6)；
(2)过D作DF⊥x轴交BC于F，由△DEF∽△OEC，得DEOE=DFOC，故S△DEBS△OBE=DFOC，由B(6,0)，C(0,6)得直线BC的解析式为y=−x+6.设D(m,−12m2+2m+6)，可得DF=−12m2+2m+6−(−m+6)=−12m2+3m，即得S△DEBS△OBE=DFOC=−12m2+3m6=−112m2+12m，根据二次函数性质可得答案；
(3)当D′在抛物线对称轴上时，过D作KH//y轴交x轴于H，过D′作D′K⊥KT于K，设D(n,−12n2+2n+6)，证明△D′DK≌△DOH(AAS)，有DK=OH=n，D′K=DH=−12n2+2n+6，而抛物线对称轴为直线x=3，得n−(−12n2+2n+6)=3，解得n= 19+1或n=− 19+1(此时D不在第一象限，舍去)；即可得点D的横坐标xD的取值范围是 19+1≤xD<6．
本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数的性质，用待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识解决问题．
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