初中数学北师大版九年级上册6 应用一元二次方程精品第2课时教案设计

第2课时 利用一元二次方程解决经济问题

【知识与技能】

理解一元二次方程在销售利润、增长率等问题的实际应用.

【过程与方法】

经历分析具体问题的数量关系、建立方程并解决问题的过程，进一步体会方程在刻画现实世界中数量关系的有效性.

【情感态度】

根据问题的实际意义检验结果是否合理，增强数学的实际应用意识，体会数学与现实生活的紧密联系.

【教学重点】

利用一元二次方程解决相关经济问题，根据实际意义检验结果的合理性.

【教学难点】

根据具体问题的数量关系建立方程模型.

一、情境导入，初步认识

我们经常从电视新闻中听到或看到有关增长率的问题，例如今年我市人均收入Q元，比去年同期增长x%；环境污染比去年降低y%；某厂预计两年后使生产总值翻一番……由此我们可以看出，增长率问题无处不在，无时不有，这节课我们就一起来探索增长率问题.

【教学说明】说明：举出以实际问题为背景的题目，能够培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，突出体现了数学在现实生活中的应用价值.

建议：创设问题情境，激发学生学习的兴趣和欲望，体现了数学应用于实际的思想.

二、思考探究，获取新知

两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本为6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本为3000元，生产1t乙种药品的成本为3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？

思考（1）甲种药品成本的年平均下降额与乙种药品的年平均下降额分别是多少？它与年平均下降率是否是一回事？

（2）若设甲种药品的年平均下降率为x，则第一年后的成本为 5000（1-x）元，第二年后的成本为 5000（1-x）2元，你能列出相应的方程并求出问题的解吗？对于乙种药品呢？

【教学说明】思考（1）旨在让学生感受成本下降问题中，成本下降额和成本下降率这两个接近而不同的概念，前者表示绝对变化量，单位是元，后者表示相对变化量，是表示比率的数字，从而全面比较对象的变化状况；思考（2）则进一步让学生感受到两个时间段的平均变化率，如经济增长率、人口增长率等，设平均变化率为x，则有变化前数量×(1+x)2=两年后的数量，由此可得到一元二次方程的数学模型，并确定方程和问题的解，教学过程中，教师应引导学生积极思考，寻求出实际问题中所蕴含的等量关系，让学生体会到寻找等量关系是解决问题的关键，最后师生共同完成解答过程.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P54例2.

2.为落实“两免一补”政策，某市2013年投入教育经费2500万元，预计2015年要投入教育经费3600万元.已知2013年至2015年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2014年该市要投入的教育经费为 3000 万元.

分析：设增长率为x，根据题意，得2014年为2500（1+x）万元，2015年为2500（1+x）（1+x）万元.则2500（1+x）（1+x）=3600，解得x=0.2或x=-2.2（不合题意，舍去）.故这两年投入教育经费的平均增长率为20%，2014年该市要投入的教育经费为2500（1+20%）=3000（万元）.

3.某小区2012年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方米.如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？

分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案.

解：设这个增长率是x，根据题意得：

2000×（1+x）2=2880

解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）

答：这个增长率是20%.

4.某种服装进价每件60元，据市场调查，这种服装按80元销售时，每月可卖出400件，若销售价每涨价1元，就要少卖出5件，如果服装店预计在销售这种服装时每月获利12000元，那么这种服装的销售价定为多少时，可使顾客更实惠？

解：设销售价提高了x个1元，则每月应少卖出5x件.依题意可列方程为

（80+x-60）×(400-5x)=12000.

解这个方程，得x1=20，x2=40.

显然，当x=40时，销售价为120元，当x=20时，销售价为100元，要使顾客得到实惠，则销售价越低越好，故这种服装的销售价应定为100元合适.

【教学说明】让学生学以致用，巩固新知.

5.某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视眼人数逐年减少.据统计，2013年和2012年的近视眼人数只占2011年人数的75%，这两年平均每年近视眼人数下降的百分率是多少？

解：设平均每年的近视眼人数下降的百分率为x，2011年的近视眼人数为a人，

由题意有（1-x）a+(1-x)2·a=75%a，

解得x1=0.5，x2=2.5，

显然x=2.5不合题意，应舍去，即平均每年近视眼人数下降的百分率为50%.

6.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元.经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个.因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？

分析：利用销售利润=售价-进价，根据题中条件可以列出利润与定价的关系式，求解即可.

解：设每个商品的定价是x元，由题意，

得（x-40）［180-10（x-52）］=2000，

整理，得x2-110x+3000=0，

解得x1=50，x2=60.

当x=50时，进货180-10×（50-52）=200（个）＞180个，不符合题意，舍去；

当x=60时，进货180-10×（60-52）=100（个）＜180个，符合题意.

答：当该商品每个定价为60元，进货为100个时，商店获利2000元.

【教学说明】此题主要考查了一元二次方程的应用.找到关键描述语，建立等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.

四、师生互动、课堂小结

列一元二次方程解应用题，步骤与以前列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件.方程的解必须进行实际意义的检验.

1.布置作业：教材“习题2.10”中第2、4题.

2.完成练习册中相应练习.

这节课是“列一元二次方程解应用题”，这类注重联系实际考查学生数学应用能力的问题，体现时代性，并且结合社会热点、焦点问题，引导学生关注国家、人类和世界的命运.既有强烈的德育功能，又可以让学生从数学的角度分析社会现象，体会数学在现实生活中的作用.在课堂中始终贯彻数学源于生活又用于生活的数学观念，同时用方程来解决问题，使学生树立一种数学建模的思想.