北师大数学九上 第二章 一元二次方程 复习教案及反思

本章复习

【知识与技能】

1.一元二次方程的相关概念；

2.灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；

3.能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；

4.能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；

5.构造一元二次方程解决简单的实际问题；

【过程与方法】

通过灵活运用解方程的方法，体会几种解法之间的联系与区别，进一步熟练地根据方程特征找出最优解法.

【情感态度】

通过实际问题的解决，进一步熟练地运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用.

【教学重点】

运用知识、技能解决问题.

【教学难点】

解题分析能力的提高.

一、知识结构

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，使学生系统地了解本章知识以及之间的关系

二、释疑解惑，加深理解

1.一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个求知数（一元），并且求知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项.

3.一元二次方程的解法：①直接开方法；②配方法；③公式法；④因式分解法.

4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是Δ=b2-4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根；当Δ≥0时，方程有实数根.

5.一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）

当Δ=b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为x=；若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1+x2=，x1·x2=.

若一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1、x2，则x1+x2=-p， x1x2=q.

6.一元二次方程的应用.

【教学说明】学生独立完成，通过对重点知识的回顾为本节课的学习内容做好铺垫.

三、典例精析，复习新知

1.（1）方程（m+1）xm2-2m-1+7x-m=0是一元二次方程，则m是多少？

分析：首先根据一元二次方程的定义得，m2-2m-1=2；再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定义中a≠0这一条件得m+1≠0来求m的值.

解：m=3.

（2）若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0，则m等于（   ）

A.1           B.2          C.1或2          D.0

解析：首先得出m2-3m+2=0；再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定义中a≠0这一条件得m-1≠0来求m的值.

解答：B

【教学说明】此时要注意二次项系数不为0，在讨论含字母系数的一元二次方程问题时，命题者常利用a≠0设计陷阱.

2.用适当的方法解一元二次方程：

（1）x2=3x；

（2）（x-1）2=3；

（3）x2-2x-99=0；

（4）2x2+5x-3=0.

分析：方程（1）选用因式分解法；方程（2）选用直接开平方法；方程（3）选用配方法；方程（4）选用公式法.

3.若（x2+y2）2-4（x2+y2）-5=0，

则x2+y2=______.

解析：用换元法设x2+y2=m得m2-4m-5=0，解得m1=5，m2=-1.

对所求结果，还要结合“x2+y2”进行取舍，从而得到最后结果.

解答：5

【教学说明】一元二次方程的解法要根据方程的特点，灵活选用具体方法.对于特殊的方程要通过适当的变换，使之转化为常规的一元二次方程，如用换元法.

4.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ）

A.k＞-1             B.k＞-1且k≠0

C.k＜0              D.k＜0且≠0

解析：b2-4ac=（-2）2-4×（-1）k=4k+4＞0得k＞-1，再由一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的定义中a≠0这一条件得k≠0.

解答：B

【教学说明】一元二次方程的判别式可以用来：（1）不解方程，判断根的情况；（2）利用方程有无实数根，确定取值范围，解题时，务必分清“有实数根”、“有两个实数根”、“有两个相等的实数根”、“有两个不相等的实数根”等关键性字眼.

5.某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个.市场调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个.若销售利润率不得高于100%，那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？

分析：如果这种台灯售价上涨x元，那么每个月台灯获利（40+x-30）元，每月平均销售数量为（600-10x）个，销售利润为（40+x-30）和（600-10x）的积.用一元二次方程解决实际问题时，所求得的结果往往有两个，而实际问题的答案常常是一个，这就需要我们仔细审题，看清题目的要求，进而作出正确的选择.

解：设这种台灯的售价上涨x元，根据题意，得

（40+x-30）（600-10x）=10000

即x2-50x+400=0

解得x1=10，x2=40.

所以每个台灯的售价应定为50元或80元.

当台灯售价定为80元，售价利润率为166.7%，高于100%，不符合要求；当台灯售价定为50元时，售价利润率为66.7%，低于100%，符合要求.

答：每个台灯售价应定为50元.

【教学说明】列方程解应用题注重考查能力问题，表面文字比较复杂，但认真阅读，抓住实质，问题就迎刃而解了.

四、复习训练，巩固提高

1.一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为（   ）

A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

解析：b2-4ac=（-2）2-4×（-1）=8＞0

解答：B

2.关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+｜a｜-1=0的一个根为0，则实数a的值为（   ）

A.-1         B.0            C.1            D.-1或1

解析：把x=0代入方程得：｜a｜-1=0，∴a=±1，

∵a-1≠0，∴a=-1.

解答：A

3.已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为__________.

解析：设方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两根为x1，x2，得

∵Δ=（2k+1）2-4×（k2-2）=4k+9＞0，

∴k＞

∵x1+x2=-（2k+1），x1·x2=k2-2，

又∵x12+x22=11，

即（x1+x2）2-2x1x2=11

∴（2k+1）2-2（k2-2）=11，

解得k=1或-3

∵k＞，∴k=1

解答：1

4.若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，则a的取值范围是_____.

解析：∵关于x的一元二次方程有实根，

∴Δ=22-4a≥0，解得a≤1

解答：a≤1

5.若关于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的两个实数根为x1、x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值.

分析：根据根与系数的关系列出等式，再由已知条件x1=3x2联立组成方程组，解方程组即可.

解：由根与系数的关系得：x1+x2=4 ①，x1·x2=k-3 ②

又∵x1=3x2  ③，联立①、③，解方程组得

∴k=x1x2+3=3×1+3=6

故：方程组两根为x1=3，x2=1，k=6.

6.某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当每月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万.

（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为_______万元；

（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）

分析：用销售数量表示出每辆的进价、返利等，再表示出盈利，列出方程，求解.

解：（1）27-（3-1）×0.1=26.8.

（2）设销售汽车x辆，则汽车的进价为27-（x-1）×0.1=（27.1-0.1x）万元，

若x≤10，则（28-27.1+0.1x）x+0.5x=12

解得x1=6，x2=-20（不符合题意，舍去）

若x＞10，则（28-27.1+0.1x）x+x=12

解得x3=5（与x＞10不符，舍去），x4=-24（不符合题意，舍去）

答：公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车.

五、师生互动，课堂小结

1.回顾整理今日收获.

2.你还有哪些困惑和疑问？

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，可让学生相互交流.对学生存在的疑惑进行解答.

布置作业：教材“复习题”中第2、4、8题.

通过画知识结构图，完成一元二次方程的知识点的梳理，构建

知识体系；让学生对典型例题、自身错题进行整理，从而使学生抓住本章的重点、突破学习的难点.