人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程优质教案

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

教学目标

【学习目标】

1.了解掌握一元二次方程的定义，能准确判断一个式子是否为一元二次方程；

2.能熟练把一个一元二次方程化为一般式；

3.通过建立方程、观察方程、归纳总结出一元二次方程的特点，培养学生观察发现问题的能力和归纳总结的能力 ；

4. 经历发现一元二次方程的过程，体会数学与生活的关系，加深学生对数的认识，发展培养学生观察发现问题的能力和习惯.

熟悉学习目标

通过学习目标让学生熟悉本节课要讲解的内容.

环节一

创设情景

【合作探究】

设计一座2m高的人体雕像，雕像上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感，那么雕像的下部应设计为多高？

分析：

雕像上部的高度AC，下部的高度BC的关系：AC:BC=BC:2

即BC2=2AC

设雕像下部高 x m，于是得方程：

x2=2(2 – x)

整理得：x2＋2x – 4=0.

提问：跟我们学过的一次方程一样吗？

教师活动：引导学生回顾之前学过的一元一次方程，察觉它们之间的区别.

环节二探究新知

【想一想】

问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm ．在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

分析：

设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为(100 – 2 x ) cm ，宽为(50 – 2 x ) cm ，根据方盒的底面积为3600 cm2得：(100 – 2x)(50 – 2x)=3600

整理得：4x2 – 300x+1400=0

化简得 ：x2 – 75x+350=0

提问:方程中未知数的个数？最高次数？

问题2: 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

全部比赛的场数为4×7＝28.

设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x – 1)个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场.

列方程：

整理，得：

化简，得：

提问：方程中未知数的个数？最高次数？

【思考】

x2＋2x－4=0，x2－75x+350=0，x2－x=56中

       方程含有几个未知数？

       按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

       是整式方程吗？

解答：

（1）方程中只含有一个未知数；

（2）未知数的最高次数是2；

（3）方程的等号两边都是整式.

【归纳总结】

       等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.

       一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)

其中ax2是二次项，a是二次项系数；

bx是一次项，b是一次项系数；

c是常数项.

教师活动：提醒a≠0的原因

思考：b，c可以为0吗?

答案：可以

       使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.

集体回答问题

集体回答

经历发现一元二次方程的过程，体会数学与生活的关系，加深学生对数的认识，发展培养学生观察发现问题的能力和习惯.

通过建立方程、观察方程、归纳总结出一元二次方程的特点，培养学生观察发现问题的能力和归纳总结的能力.

环节三应用新知

【典例探究】

 例   将方程化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．

 提示：一元二次方程一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)

解答：

解：去括号，得

    3x2–3x=5x+10

移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2–8x–10=0.

二次项系数为 3，一次项系数为 –8，常数项为 –10．

通过例题演示一元二次方程化成一般形式的过程，提醒注意事项，从而确定各项的系数.

环节四

巩固新知

【随堂练习】

练习1

下列方程中，哪些是一元二次方程？

（1）3x=0；

（2）x2+2x – 4=0；

（3）x2–=2

（4）3y2 – 4x=7；

（5）4x2=9；

（6）(x+2)2=(x – 1)2.

答案：×√××√×

练习2

将方程(8 – 2x)(5 – 2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.

解答：

解： (8 – 2x)(5 – 2x)=18

去括号得40 – 16x – 10x+4x2=18

移项得：4x2 – 26x+22=0

其中，二次项系数为4，一次项系数为– 26，常数项为22.

练习3

当m为何值时，下列方程为一元二次方程？

(1)(m – 1)x2+3x=5；

(2)4xm+3 – x – 1=0；

解答：

解:(1)由题意得m – 1≠0，∴m ≠1.

(2)由题意得m +3=2，∴m = – 1.

练习4

下列哪些数是一元二次方程x2+x– 12=0的根？

– 4，– 3，– 2，– 1，0，1，2，3，4.

解答：

解：把 – 4代入方程，(– 4)2 – 4 – 12=0；

把 – 3代入方程，(– 3)2 – 3 – 12≠0；

把 – 2代入方程，(– 2)2 – 2 – 12 ≠ 0；

把 – 1代入方程，(– 1)2 – 1 – 12 ≠ 0；

把 0代入方程，02 + 0 – 12 ≠ 0；

把 1代入方程，12 + 1 – 12 ≠ 0；

把 2代入方程，22 + 2 – 12 ≠ 0；

把 3代入方程，32 + 3 – 12=0；

把 4代入方程，42 + 4 – 12 ≠ 0.

综上所述：– 4，3为方程的根.

抢答

进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.

环节五

课堂小结

以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.

回顾本节课所讲的内容

通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

环节六

布置作业

教科书

4页习题2.2第1、2、7题

课后完成练习

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.