初中数学人教版九年级上册21.2.2 公式法获奖教学设计

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

教学目标

1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；

2.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程；

3.经历探索求根公式的过程，培养学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，并养成良好的运算习惯；

4.通过运用公式法解简单系数的一元二次方程，提高学生运算能力，并能在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心.

熟悉教学目标.

通过学习目标让学生熟悉本节课要讲解的内容.

环节一

创设情境

【回顾】

问题：上节课学习了用什么方法解一元二次方程？它的具体步骤是什么？

请用配方法解下列方程：

(1)

(2)

解（1）：

，

解(2)

因为方程右边是一个负数，所以此方程无实数解.

师订正，巩固配方法解方程步骤的同时，对错题学生做记录，并课下练习巩固.

预设生答：配方法，步骤是：①常数项移到方程右边，含未知数的移到左边

；②将方程二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④方程左边配成完全平方式；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.

通过回顾之前学习的知识，并借助学生利用配方法解题，唤醒记忆，为讲解公式法的推导作铺垫，助于对新知的引入和学习.

环节二 探究新知

【探究】

问题：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式，那么能否用配方法得出上式的解呢？

（推导过程对学生有难度，师适度鼓励并板书演示推导细节等）

根据配方法解一元二次方程的经验来解决这个问题：

对一元二次方程一般式的常数项移项，得，因为，所以方程两边同时除以a，得.然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，也就是，式子化为，左边是完全平方，右边通分，式子化为.

学生观察、思考并动笔尝试逐步求解，由于过程要求比较高，对于探究不完善的学生在看完师板演后，需完善探究过程.

让学生自己动手通过对配方法并求解，在加深认识求根公式的同时，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养能力，并通过板书演示引导学生养成良好的运算习惯.

【分类探究】

因为，所以，式子的值有三种情况.

问题1：当，和 时，的值分别与零有怎样的关系？这里.

师表扬并总结：当时，因为，所以，从而；当时，因为，所以，从而，也就是说是否大于0决定了式子右侧整体的值是否大于0.

问题2：能得出什么结论？

师表扬并总结：一般地，式子叫做方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即.

通过上面的研究，我们知道，当时，方程的实数根可以写为的形式，这个式子也叫一元二次方程的求根公式.通过这个公式，也可以看出方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们根据一元二次方程中的系数便可以直接求得方程的解，这种解法叫做公式法.

学生小组合作交流，然后回答.

生1：当时，；

生2：当时，；

生3：当时，.

生1：从上述过程中，当时，＜0，小于零时，方程无实数解.

生2：当时，一般形式的一元二次方程的根为，即，方程有两个不相等的实数根；

生3：当时，一般形式的一元二次方程的根为，即，方程只有1个实数根.

通过交流讨论之后回答，让学生理解分类讨论的数学思想，并理解和根的关系.

环节三 应用新知

【典型例题】

用公式法解下列方程

(1)   

(2)   

(3)   

(4)   

解（1）＞0.方程有两个不等的实数根

即，.

（2）

方程有两个相等的实数根：

（3）方程化为一般式

方程有两个不等的实数根：

即

（4）方程化为一般式

方程无实数根.

教师可以找4名学生板演，对于易错点和难点加以强调和纠正，有助于学生运算正确及推导公式，并且适当鼓励学生养成良好的运算习惯和建立学好数学的自信心.

【总结】

提问：公式法解一元二次方程的步骤？

（师表扬并总结）：

1.把方程整理成一般形式，从而确定a、b、c；
2.带入判别式并与0比较. 当时，方程没有实数根；当时，方程有两个相等的实数根，；当时，方程有两个不相等的实数根，.
3.在的情况下，把a、b、c的值带入公式计算，最后写出方程的根.

提问：公式法的优点是什么？

（师总结操作简单、直接计算，它利用了配方法解一元二次方程一般形式的记过，省去了配方的中间过程.公式法运用了抽象的一般形式具有广泛的应用价值.）

学生按步骤独立作答后，组内讨论交流.

生1：1.把方程整理成一般形式，从而确定a、b、c；2.带入公式判断判别式与0的关系；3.当时，方程没有实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；在的情况下，把a、b、c的值带入公式计算，求出方程的解.

生1：比较好操作，直接带入即可.

生2：好像所有的都行，应用比较广泛.

生3：…

通过例1巩固公式法解题步骤，并让学生感受抽象的一般形式具有广泛的应用价值，一元二次方程的一般形式代表了所有的一元二次方程，因此它的求根公式适用于所有的一元二次方程.

通过总结让学生初步理解公式法解题步骤，为下一步例题讲解做铺垫.

环节四 巩固新知

巩固练习：

1. 一元二次方程的求根公式是_______________，条件是____________.

答案：，

2. 利用判别式判断下列方程的根的情况：

(1)

(2)

答案：（1）

方程有两个不相等的实数根.

（2）方程化为一般式

方程无实数根.

3. 解方程.

(1)

(2)

(3)

(4)

解（1）

方程有两个相等的实数根：

(2)

方程无实数根.

(3)

方程有两个不等的实数根：

即

（4）方程化为一般式

方程有两个不等的实数根：

即

教师可以找学生板演，对于易错点和难点加以强调和纠正，有助于学生运算正确及推导公式，并且适当鼓励学生养成良好的运算习惯和建立学好数学的自信心.

学生自主练习

进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.

环节五 课堂小结

提问：本节课你学到了解一元二次方程的哪些知识？

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

生1；学习了公式法求一元二次方程.

生2：学习了公式法的求解步骤.

生3：……

通过提问让学生回顾、总结公式法解一元二次方程的知识，并帮助学生梳理本节课所学内容.

环节六

布置作业

教科书第12页练习第1-2题；第17页习题21.2第4-5题.