初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数优质第2课时教案

第二十二章   二次函数

22.3 实际问题与二次函数

第 2 课时

一、教学目标

1．学会将利润问题转化为利润问题．

2．掌握用二次函数的知识解决有关的利润问题．

二、教学重点及难点

重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题．

难点：从现实问题中建立二次函数模型．

三、教学用具

多媒体课件。

四、相关资源

《市场调查》动画。

五、教学过程

【创设情景，揭示课题】

问题  某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

【合作探究，形成新知】

（1）题目中有几种调整价格的方法？

师生活动：教师提出问题，学生回答．

小结：调整价格包括涨价和降价两种情况．

（2）题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪一个量随自变量的变化而变化？哪个量是函数？

师生活动：小组合作交流，教师引导学生根据题意设未知数，找出各个量的关系．

小结：题目涉及涨价（或降价）与利润两个变量，其中涨价（或降价）是自变量；设每件涨价（或降价）x元，则每星期售出商品的利润y随之变化而变化；y是x的函数．

（3）当每件涨价1元时，售价是多少？每星期的销售量是多少？成本是多少？设每件涨价x元，销售额是多少？利润呢？最多能涨多少钱呢？

师生活动：一学生回答，全班订正．教师边聆听边板演，不足地方补充总结．

小结：当每件涨价1元时，售价是60＋1=61元；每星期销售量是300－10=290件，成本是40元；设涨价x元，销售额是(60＋x)(300－10x)元，利润是y=（60＋x）(300－10x)－40(300－10x)元，即y=－10x2＋100x＋6 000，其中，0≤x≤30，最多能涨30元．

（4）当每件降 x 元时，售价是多少？每星期的销售量是多少？成本是多少？销售额是多少？利润y 呢？

师生活动：师生一起完成解答．

设每件降价x元时，利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300＋18x)件，销售额为(60－x)(300＋18x)元，买进商品需付40(300＋18x)元．因此，所得利润

y=(60－x)(300＋18x)－40(300＋18x)．

（5）由以上四个问题，你能解决问题了吗？请试试看．

解：设每件涨价x元，则每星期少卖10x件，实际卖出(300－10x)件，销售额为(60＋x)(300－10x)元，买进商品需付40(300－10x)元．因此，所得利润为

y=(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，即y=－10x2＋100x＋6000，其中，0≤x≤30．

当定价为60＋5=65元时，y有最大值6 250元．

设每件降价x元时，利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300＋18x)件，销售额为(60－x)(300＋18x)元，买进商品需付40(300＋18x)元，因此，所得利润

y=(60－x)(300＋18x)－40(300＋18x)，

即y=－18x2＋60x＋6 000，其中0≤x≤20．

当定价为x=元时，y有最大值6 050元．

故要使利润最大，应每件定价为65元．

设计意图：通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值． 

【例题分析，深化提高】

例  一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．市场调查发现：一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件．要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(　　　 )．

A．5元         B．10元          C．0元          D．36元

【解析】设每件降价的钱数为x元，每天获利y元，

则y=(135－x－100)(100＋4x)，

即y=－4(x－5)2＋3600．

∵－4＜0，∴当x=5时，每天获得的利润最大．故选A．

【练习巩固，综合应用】

1．出售某种手工艺品，若每个手工艺品获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x=　　　　元时，一天的利润最大．

2．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(100-x)件，应如何定价才能使利润最大？

3．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，每天可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元时，每天未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4 800元．设公司每日租出x辆车时，日收益为y元．(日收益=日租金收入－平均每日各项支出)

（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为　　　　元(用含x的代数式表示)；

（2）当每日租出多少辆车时，租赁公司的日收益最大？最大是多少元？

（3）当每日租出多少辆车时，租赁公司的日收益不盈也不亏？

参考答案

    1．4       2．每件65元

3．（1）400＋50(20－x)=1 400－50x(0＜x≤20)．

答案：1 400－50x(0＜x≤20)．

（2）根据题意，得

y=x(－50x＋1 400)－4 800

=－50x2＋1 400x－4 800

=－50(x－14)2＋5 000．

当x=14时，y有最大值5 000．

∴当每日租出14辆车时，租赁公司的日收益最大，最大值为5 000元．

（3）要使租赁公司的日收益不盈也不亏，即y=0．

也就是－50(x－14)2＋5 000=0．

解得x1=24，x2=4．

∵x=24不合题意，应舍去．

∴当每日租出4辆车时，租赁公司的日收益不盈也不亏．

设计意图：通过练习，及时反馈学生的学习情况，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力，并使学生从中获得成功的体验．

六、课堂小结

1．一般地，当a＞0时，抛物线y=ax 2＋bx＋c的顶点是最低点，也就是说，当时，二次函数y=ax2＋bx＋c有最小值．

当a＜0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点是最高点，也就是说，当时，二次函数y=ax 2＋bx＋c有最大值．

2．解决二次函数最值问题的一般步骤：

（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；

（2）在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值．

设计意图：总结、归纳学习内容，帮助学生加深对数形结合思想的理解，培养学生的数学应用意识．

七、板书设计

22.3 实际问题与二次函数（2）

1．用二次函数的知识解决利润问题