人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径精品教学设计

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【观察思考】

    赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶. 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

教师PPT展示赵州桥的图片，并提出问题，引导学生思考.注意：这里只提出问题，学生暂时还不能解答.

观察所给图片，根据老师的提问，思考.

从学生熟悉的历史事物中提出问题、设置悬疑、激发学生的学习兴趣.让学生体会生活中数学随处可见，体验数学如何用来解决生活中的实际问题.

环节二 探究新知

【合作探究】

剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？

预设答案：①圆是轴对称图形，②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

教师提出提问，并让学生拿出事先准备好的圆形纸片，动手操作，观察，学生充分交流后，教师汇总补充，最后PPT动态展示.

在此基础上追问：你能证明上面的结论吗？

动手操作，折纸、观察、归纳，重新认识圆，从折纸的角度认识圆的对称性

让学生通过动手实践来感受圆的轴对称性.通过回忆轴对称图形的性质，引导学生来证明圆是轴对称图.

【证明】

教师引导学生发现，要证明圆是轴对称图形，只需要证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上即可.

如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在⊙O上.

证明：过点A作AA'CD，交⊙O于点A'，垂足为M，连接OA，OA'

在△OAA'中，∵OAOA'

  ∴△OAA'是等腰三角形

  又∵AA'CD

  ∴AM=MA'，即CD是AA'的垂直平分线.

教师可在圆上任取若干个点进行说明，进一步验证前面得到的结论.

先让学生独立思考，然后小组内交流探讨证明过程.

通过证明引导学生思考，使学生充分经历操作、观察、猜想、验证等合情推理的过程，初步培养学生分析问题、解决问题的能力.

【探究】

在刚刚的证明过程中，你能发现图中有哪些相等的线段、弧吗？

预设答案：AM=A'M，，

教师再次动态展示折纸的过程，让学生观察，并在此基础上得出结论.并尝试让学生用语言描述所得到的结论，教师引导并补充完善.

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

教师带领学生分析垂径定理的题设，结论.并试着结合图形把文字语言转化为数学语言.

学生观察，思考并回答.然后尝试用语言总结所得结论,组内交流探讨，形成一致结论后，选代表发言

再次观察折叠圆的过程，让学生在理解圆的对称性的基础上进一步发现相等的线段、弧，尝试总结出垂径定理.

巩固垂径定理的内容，并锻炼学生把文字语言转化为数学语言的能力.

【想一想】

下列图形是否具备垂径定理的条件？

预设答案：（1）（3）满足；（2）（4）不满足.

教师提出问题，学生抢答.对于不具备垂径定理条件的图形，引导学生说出原因，并追问：

怎样修改图（2）、（4）能够满足垂径定理的条件？

预设答案：

教师带领学生观察修改后的图片，引导学生总结：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.其中，直径并不是必要条件，只要满足过圆心即可.

学生思考并抢答.

进一步加深对垂径定理的理解，巩固所学知识，并提升对知识的运用.

【探究】

当直径CD平分一条弦AB(不是直径)时，能否得出CDAB?

教师提出问题，引导学生仿照前面的证明方法证明.并用文字语言描述所得结论，得出垂径定理的推论：

垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

教师追问：为什么强调“不是直径”呢？

预设答案：圆的任意两条直径都互相平分，但它们不一定互相垂直.

学生结合图形，观察理解并回答.

引导学生思考、证明和总结，得出垂径定理的推论.培养学生的逻辑思维能力及运用所学知识解决问题的能力.

【想一想】

判断下列说法是否正确：

1.垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

2.平分弦的直径垂直于弦.

3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径.

预设答案：1.；2. ；3. .

教师提出问题，随机选人回答.

学生思考

巩固所学知识，加深对知识的理解.

【延伸】

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

教师带领学生归纳出垂径定理及推论中，蕴含的五个条件：

①过圆心，②垂直于弦，③平分弦, ④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧.

并引导学生发现，垂径定理是①②→③④⑤；垂径定理的推论是①③→②④⑤.

追问：还有别的结论吗？

预设答案：

学生思考并回答.

   在已有知识的基础上适当延伸拓展，使学生能够理解这5个条件可以知二推三，锻炼学生的思维能力及灵活运用所学知识的能力.

环节三 应用新知

【典型例题】

通过这节课的学习，现在你能解决课程一开始的问题了吗？

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例1：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).

解：如图表示主桥拱，设所在的圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA，

根据垂径定理，D是AB的中点，C是      的中点，CD就是拱高.

由题设可知：AB37，CD7.23，

∴ADAB3718.5，

 ODOCCDR7.23，

在Rt△OAD中，由勾股定理得：

OA2AD2OD2，即：R218.52(R7.23)2

解得：R27.3.

因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.

学生观察、思考并回答.

通过例题讲解，巩固本节课所学知识. 培养学生解决问题的能力，发展应用意识，锻炼实践能力.

环节四 巩固新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.在⊙O中，若CDAB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是(     )

A. 

B. 

C. AMOM 

D. CMDM

答：C

    2. 已知⊙O的直径AB10，弦CDAB于M，OM3，则CD              .

答：8.

3. 在⊙O中，弦CDAB于M，AB为直径，若CD10， AM1，则⊙O的半径为             .

答：13.

4.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.

解：过点O向AB，CD作垂线，垂足分别为M，N，连接OB，OD.

由垂径定理可得：

BMAB12cm，DNCD5cm

又∵OBOD13cm

在Rt△OBM， Rt△ODN中，

由勾股定理得：OM5cm，ON12cm

∴AB和CD之间的距离MNOMON7cm

或MNOMON17cm

学生自主练习

进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.

环节五 课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

学生回顾本节课所学知识，谈收获，体会，师评价.

通过提问让学生回顾、总结、梳理本节课所学内容. 使零散的知识系统化，同时培养学生的语言表达能力.

环节六

布置作业

教科书第83页练习第1、2题.

学生课后自主完成.

通过作业，反馈对所学知识的掌握程度.