初中数学人教版八年级上册11.2.2 三角形的外角精品课件ppt

第十一章 三角形

11.2.与三角形有关的角

11.2.2  三角形的外角
第1课时 三角形的外角

一、教学目标

【知识与技能】

了解三角形的外角的两条性质,能利用三角形的外角性质解决问题.

【过程与方法】

经历观察、探索、交流等过程,增强表达能力和推理能力.

【情感、态度与价值观】

通过观察和动手操作,体会探索过程,学会推理的数学思想方法,培养主动探索、勇于发现,敢于实践及合作交流的习惯.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时

四、教学重难点

【教学重点】 

1.了解三角形外角的概念及性质.

2.能利用三角形外角的性质解决简单问题.

【教学难点】

1.能够证明“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”.

2.了解“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的应用范围，并能解决简单问题.             

五、课前准备 

教师：课件、三角尺、直尺等。

学生：三角尺、直尺。

六、教学过程

（一）导入新课

在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？（出示课件3）

（二）探索新知

1.创设情境，倒入三角形的外交的概念

问题引入：发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？（出示课件5）

教师问1：题目中“灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？”就是求那个角的度数？

学生回答：从图上看出就是求∠BCD的度数.

教师问2：我们知道三角形的内角和是180°，利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？

学生回答：由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
教师问3：像∠BCD这样的角有什么特征吗？（出示课件6）

学生回答：一条边是三角形的边，另一条边不是三角形的变.

教师问4：在问题中，像∠BCD这样的角被称为三角形的外角，根据∠BCD的构成，你能说明什么叫三角形的外角吗？

学生讨论回答：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

教师总结如下：（出示课件7）

如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

∠ACD是△ABC的一个外角.

教师问5：如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？

学生回答：∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.

教师问6：如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
    学生回答：∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；在三角形每个顶点处都有两个外角.
（出示课件8）

教师问7：根据定义，画出三角形的外角.你能画出多少个？

学生回答：如图，可以画出6个外角.

教师问8：这几个角有什么关系？(位置关系和数量关系)

学生回答，教师补充说明如下：（出示课件9）

每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
教师总结如下：（出示课件10）

三角形的外角应具备的条件：

①的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.

2.手脑并用探索三角形外角的性质及外角和

教师问9：如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠ACB＝40°，

求∠BAC的度数及三角形的外角∠1，∠2，∠3的度数.

学生回答：∠BAC＝75°，∠1＝105°，∠2＝115°，∠3＝140°.

教师问10：如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？

学生回答：∠BCD与∠ACB互补.
（出示课件12）

教师问11：如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
    学生回答：∠A+∠B=∠BCD.
    教师问12：你是怎么得出结论的呢？

学生回答如下：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.
    教师问13：观察你的结论，你能发现三角形的三个内角与它的外角有什么关系吗？

学生讨论回答，教师总结：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

教师问14：试证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

学生回答：

已知：在△ABC中，∠1是三角形的一个外角.

求证：∠1＝∠A＋∠B.

证明：∵∠ACB＋∠A＋∠B＝180°(三角形的内角和等于180°)，

∴∠ACB＝180°－∠A－∠B.

∵∠1与∠ACB是邻补角，

∴∠1＋∠ACB＝180°.

∴∠1＝180°－∠ACB＝180°－(180°－∠A－∠B)＝∠A＋∠B.

教师问15：你能用作平行线的方法证明此结论吗？

学生讨论并回答：（出示课件14）

已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
证明：过C作CE平行于AB，∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）∠2= ∠A ，
          （两直线平行，内错角相等）

∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.

教师总结如下：（出示课件15）

三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角.
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.

教师问16：如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠ACB＝40°，∠BAC=75°

则三角形的外角∠1，∠2，∠3的度数之和是多少呢？

学生计算并回答：∵∠BAC=75°，∴∠1=105°，

同理可得：∠2=115°，∠3=140°.

∴∠1+∠2+∠3=105°+115°+140°=360°

教师问17：如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？（出示课件27）

学生回答：

解法一：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3，
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
（出示课件28）解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ，
∠CBF +∠2=180 ° ②，
∠ACD +∠3=180 ° ③，
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+ ②+ ③得
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °– 180°=360°.
（出示课件29）

解法三：过A作AM平行于BC，∠3＝ ∠4，∠2＝ ∠BAM，∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM，
所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360°

教师总结：三角形的外角和等于360°.
例1：如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数.
（出示课件17）

师生共同解答如下：

解：∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，∴ ∠BEC=60°.

∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，

∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，

∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°，

∴ ∠BFC=88°.

例2  如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．（出示课件19）

师生共同解答如下：

分析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．

（出示课件20）解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
        ＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.

总结点拨：求角的度数，常连接并延长或延长三角形的边长，通过构造三角形的外角，利用外角的性质解决.
（三）课堂练习（出示课件33-38）

1. 判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.      （     ）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍.          （     ）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.            （     ）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（     ）
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.            （     ）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（     ）

2.如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（　　）
    A．24° B．59° C．60° D．69°    

3.  如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.

4.

（1）如图，∠BDC是________的外角，也是________的外角；
    （2）若∠B=45 °，∠BAE=36 °，∠BCE=20 °，试求∠AEC的度数.

5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

6. 如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.

参考答案：

1.（1）×（2）√（3）×（4）√（5）×（6）√

2.B

3.360°

4.（1）△ADC    △ADE

（2）解：根据三角形外角的性质有
       ∠ADC= ∠B+ ∠BCE，
       ∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.
所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE
          =45 °+20 °+36 °=101 °.

5. 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°．
    ∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°；
   （2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
    ∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
    ∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．
    6. 解：∵∠1是△FBE的外角，∴∠1=∠B+ ∠E，同理∠2=∠A+∠D.

在△CFG中，
∠C+∠1+∠2=180º，

∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E
    = 180º.
    （四）课堂小结

今天我们学了哪些内容:

(1)三角形的外角性质反映的是外角与它不相邻的内角之间的关系,在应用三角形外角的性质及内角和定理时,一定要注意外角与和它相邻的内角是互补关系.

(2)三角形的外角性质的应用:可以用来计算角的大小,也可以用来判断相关角的不等关系.

(3)三角形的外角和是360°.

（五）课前预习

预习下节课（11.3.1）的相关内容。

知道多边形、多边形的对角线、正多边形的定义

七、课后作业

1、教材15页练习和教材17页第11题

2、已知某零件的形状如图所示,按规定∠BAC=90°,∠B=18°,∠C

=25°,检测工人测得∠BDC=135°,就断定此零件不合格.你能说明理由吗?

八、板书设计：

九、教学反思：

本节主要介绍三角形的外角及其性质，是一节探究课.

本节的知识是要让学生了解三角形的外角及其性质，所以在教学过程中，教师放手让学生探索，利用多种方法进行研究.同时关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力.

在教学设计上，利用变式训练让学生体会数学知识应用的灵活性，感受数学基础的重要，在获得数学活动经验的同时，提高学生探究、发现和创新的能力.