人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程优秀同步测试题

第07课  一元二次方程应用题（2）

知识点01  动点问题

在Rt△ABC中，AB=m，BC=n，动点P从A以a单位/秒向B运动，

点Q从B以b单位/秒向C运动，设运动时间为x秒，则

知识点02  销售问题

总利润=                       

【举例如下】：

当降价x元后：

①单件利润为：       元

②销售数量为：       件；

销售量的表达式求解过程：

考法01   动点问题

【例题1】如图，中，，，．点从点出发沿折线以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，点从点出发沿以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，点，同时出发，当其中一点到达点时停止运动，另一点也随之停止．设点，运动的时间是秒（）．

发现：

（1）__________；

（2）当点，相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时的长．

探究：

（1）当时，的面积为_________；

（2）点，分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出的值；若不能，请说明理由．

拓展：当时，直接写出此时的值．

【即学即练1】如图所示，中，，，．

点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．

若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？

考法02  销售问题

【例题2】某地农产品专卖店收购了一种非常受欢迎的土特产，该店以元/千克收购了这种土特产千克，若立即销往外地，每千克可以获利元．根据市场调查发现，该种土特产的销售单价每天上涨元/千克，为了获得更大利润，该店决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批土特产的贮藏时间不宜超过天，在贮藏过程中平均每天损耗千克．

（1）若商家将这批土特产贮藏天后一次性出售，请完成下列表格：

（2）将这批土特产贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润元？

【即学即练1】某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为（        ）

A． B．

C． D．

【即学即练2】宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x元，则有（       ）

A． B．

C． D．

【即学即练3】我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：

（1）每千克茶叶应降价多少元？

（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的   几折出售？

考法03  数字问题

【例题3】如果两个数的差为3，并且它们的积为88，那么其中较大的一个数为_____．

【即学即练1】一个两位数，它的十位数字比个位数字大，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小，则这个两位数是________．

【即学即练2】一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位数字比个位数字大2．若设个位数字为x，列出求该两位数的方程式为__________．

题组A  基础过关练

1．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　）

A．（3+x）（4-0．5x）=15 B．（x+3）（4+0．5x）=15

C．（x+4）（3-0．5x）=15 D．（x+1）（4-0．5x）=15

2．某商务酒店客房有间供客户居住．当每间房 每天定价为元时，酒店会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有客户居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用．当房价定为多少元时，酒店当天的利润为元?设房价定为元，根据题意，所列方程是(        )

A． B．

C． D．

3．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（       ）

A． B．

C． D．

4．已知两个数的差为3，它们的平方和等于65，设较小的数为x，则可列出方程________．

5．有一个两位数，个位数字比十位数字大，且个位数字与十位数字的平方和等于，这个两位数是________．

6．如图，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始向B运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒．它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求的长：

（2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟，能形成等腰三角形？

（3）当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．

7．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．

(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？

(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？

(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？

8．如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．

（1）当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？

（2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？

（3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．

（4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？

题组B  能力提升练

1．尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．

（1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件（直接填写结果）；

（2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？

（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．

2．新冠疫情期间，邻居小王在淘宝上销售某类型口罩，每袋进价为20元，经市场调研，销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋，已知平台要求该类型口罩每天销售量不得少于120袋．

（1）直接写出：

①每天的销售量（袋）与销售单价（元）之间的函数关系式；

②每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；

（2）小王希望每天获利元，则销售单价应定为多少元?

（3）若每袋口罩的利润不低于元，则小王每天能否获得元的总利润，若能，求出销售定价；否则，说明理由．

3．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．

（1）若售价上涨x元（x＞0），每月能售出　   　个台灯．

（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．

（3）在库存为1000个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8000元，直接写出每个台灯的售价．

4．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．

（1）求日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系；

（2）若该经营部希望日均获利1350元，请你根据以上信息，就该桶装水的销售单价或销售数量，提出一个用一元二次方程解决的问题，并写出解答过程．

题组C  培优拔尖练

1．2019年，中央全面落实“稳房价”的长效管控机制，重庆房市较上一年大幅降温，11月，LH地产共推出了大平层和小三居两种房型共80套，其中大平层每套面积180平方米，单价1．8万元/平方米，小三居每套面积120平方米，单价1．5万元/平方米．

（1）LH地产11月的销售总额为18720万元，问11月要推出多少套大平层房型？

（2）2019年12月，中央经济会议上重申“房子是拿来住的，不是拿来炒的”，重庆房市成功稳定并略有回落．为年底清盘促销，LH地产调整营销方案，12月推出两种房型的总数量仍为80套，并将大平层的单价在原有基础上每平方米下调万元(m>0)，将小三居的单价在原有基础上每平方米下调万元，这样大平层的销量较(1)中11月的销量上涨了7m套，且推出的房屋全部售罄，结果12月的销售总额恰好与(1)中I1月的销售总额相等．求出m的值．

2．俗语有言“冬腊风腌，蓄以御冬”，没有腊味，如何能算得土是过冬？腊肉一直享有“一家煮肉百家香”的赞语，腌制好的腊肉，吃起来味道醇香，肥而不腻口，瘦而不塞牙，不论是煎，蒸，炒，炸，皆成美味．三口村店为迎接新年的到来，12月份购进了一批腊肉和香肠，已知用4000元购进腊肉的数量与用5000元购进香肠的数量一样多，其中每袋香肠的进价比每袋腊肉的进价多10元．

（1）每袋腊肉和香肠的进价分别是多少元？

（2）12月份上半月，该店每袋腊肉和香肠的售价分别为60元和80元，销售量之比为4：3，销售利润为3400元．12月份下半月，该店调整了销售价格，在上半月的基础上，每袋腊肉的售价增加了，每袋香肠的售价减少了元，结果腊肉的销售量比上半月腊肉的销售量增加了，香肠的销售量比上半月香肠的销售量增加了，下半月的销售利润比上半月的销售利润多864元．求a的值．