人教版九年级数学上册同步精品讲义及试卷 第二十一章 一元二次方程单元检测（二）

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第09课 一元二次方程单元检测（二）
一、单选题
1．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（ ）
A．2 B．-2 C． D．3
【答案】B
【分析】
本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】
由是关于x的一元二次方程，得
，且．
解得：，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义．要特别注意二次项系数这一条件．
2．用“配方法”解一元二次方程x2﹣16x+24＝0，下列变形结果，正确的是（　　）
A．（x﹣4）2＝8 B．（x﹣4）2＝40 C．（x﹣8）2＝8 D．（x﹣8）2＝40
【答案】D
【分析】
根据配方法解一元二次方程的步骤即可求解．
【详解】
x2﹣16x+24=0
x2﹣16x+64=﹣24+64
（x﹣8）2=40
故选D．
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，解决本题的关键是方程两边同时加上一次项系数绝对值的一半的平方．
3．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的定义，再将代入原式，即可得到答案.
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有一个根为，
∴，，
则a的值为：．
故选D．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义.
4．国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
等量关系为：2016年贫困人口年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【详解】
解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为，根据题意得：
，
故选B．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
5．若一次函数的图象不经过第二象限，则关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】
利用一次函数性质得出k＞0，b≤0，再判断出△=k2-4b＞0，即可求解.
【详解】
解：一次函数的图象不经过第二象限，
，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键.
6．一元二次方程的两个根为，则的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】D
【分析】
利用方程根的定义可求得，再利用根与系数的关系即可求解．
【详解】
为一元二次方程的根，
，
．
根据题意得，，
．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
7．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（　　）
A．8 B．9 C．8或9 D．12
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．
【详解】
解：①当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2−6x＋k＝0的有两个相等实数根，
∴△＝36−4k＝0，
∴k＝9，
此时两腰长为3，
∵2＋3＞3，
∴k＝9满足题意，
②当等腰三角形的腰长为2时，
此时x＝2是方程x2−6x＋k＝0的其中一根，
代入得4−12＋k＝0，
∴k＝8，
∴x2−6x＋8＝0
求出另外一根为：x＝4，
∵2＋2＝4，
∴不能组成三角形，
综上所述，k＝9，
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质．
8．方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根为 D．没有实数根
【答案】B
【分析】
利用根的判别式可求得答案．
【详解】
∵，，，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
9．向阳村2016年的人均收入为12000元，2018年的人均收入为14520元，则人均收入的年平均增长为（）
A．10%或－210% B．12.1% C．11% D．10%
【答案】D
【分析】
设人均收入的年平均增长率为x，根据向阳村2016年、2018年的人均收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
设人均收入的年平均增长率为x，根据题意得：12000(1+x)2=14520，
解得：x=0.1=10%或x=－2.1(不合题意，舍去).
∴人均收入的年平均增长率为10%.
故选D.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握解决增长率问题的做题方法.
10．设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则m2+4m+n＝（　　）
A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．5
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】
解：∵m+n＝﹣3，mn＝﹣7，m2+3m＝7，
∴原式＝m2+3m+m+n
＝7﹣3
＝4，
故选B．
【点睛】
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，属于基础题型．
11．目前，支付宝平台入驻了不少的理财公司，推出了一些理财产品.李阿姨用10000元本金购买了一款理财产品，到期后自动续期，两期结束后共收回本息10926元设此款理财产品每期的平均收益率为x，则根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，找出等量关系列出方程，即可得到答案.
【详解】
解：根据题意，设此款理财产品每期的平均收益率为x，则
；
故选择：B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，解题的关键是找到等量关系，列出方程.
12．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）

A．6 B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【详解】
x2+6x+m=0，
x2+6x=-m，
∵阴影部分的面积为36，
∴x2+6x=36，
4x=6，
x=，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4=36+9=45，则该方程的正数解为．
故选：B．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
二、填空题
13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值是__________．
【答案】0
【分析】
根据题意可知，代入数据求解即可．
【详解】
解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根
∴
解得：
∴的最大整数值是0
故答案为：0．
【点睛】
本题考查的知识点是根的判别式以及一元二次方程的定义，需注意二次项系数不为0．
14．对于实数，定义运算“◎”如下：◎．若◎，则_____．
【答案】-3或4
【分析】
利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．
【详解】
根据题意得，，
，
，
或，
所以．
故答案为或．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
15．已知关于的方程，，均为常数，且的两个解是和，则方程的解是____．
【答案】，
【分析】
先根据题意得出或，再将变形为：，进而根据或计算即得．
【详解】
∵关于的方程，，均为常数，且的两个解是和
∴或
∵
∴
∴或
∴或
故答案为：，
【点睛】
本题是求解含参一元二次方程，主要考查换元法，解题关键是发现已知方程和未知方程的共同特点．
16．设方程的两根为，则______．
【答案】
【分析】
把原方程整理成一般式，根据一元二次方程根与系数的关系求得，的值，代入即可求解．
【详解】
，
，
．
∵，，，
，
．
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键．
17．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．
①方程是“倍根方程”；
②若是“倍根方程”，则；
③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”；
④若方程是“倍根方程”，则必有．
【答案】②③④
【分析】
①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；
②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；
③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；
④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【详解】
①解方程，得，
，
方程不是“倍根方程”．故①不正确；
②是“倍根方程”，且，
因此或．
当时，，
当时，，
，故②正确；
③，
，
，
，
因此是“倍根方程”，故③正确；
④方程的根为，
若，则，
即，
，
，
，
，
，
若，则，
，
，
，
，
．故④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
三、解答题
18．解方程：（1）；
（2）．
【答案】（1），；（2），
【分析】
（1）移项后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）求出的值，再代入公式求出即可．
【详解】
（1）移项，得，
化简，得，
开平方，得，
，;
（2），
，
．
，．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，主要考查学生的计算能力．
19．已知关于的方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设方程的两根分别是、，且，试求k的值．
【答案】(1)；(2).
【分析】
(1)根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出的取值范围即可；
(2)根据根与系数的关系得出方程解答即可．
【详解】
(1)解：∵原方程有实数根，
∴，∴，
∴.
(2)∵，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解之，得：，．
经检验，都符合原分式方程的根，
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大．
20．安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

（1）求与之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
【答案】（1）；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
【分析】
（1）根据图象可得：当，，当，；再用待定系数法求解即可；
（2）根据这种干果每千克的利润×销售量=2090列出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）设一次函数解析式为：，根据图象可知：当，；当，；
∴，解得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）由题意得：，
整理得：，解得：．，
∵让顾客得到更大的实惠，∴.
答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握待定系数法、正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．已知关于x的一元二次方程，
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若该方程只有一个小于4的根，求m的取值范围；
（3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12+x22﹣4，判断动点所形成的数图象是否经过点，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）m≥2；（3）经过，理由见解析.
【分析】
（1）由△=[-（m+4）]2-4（2m+4）=m2≥0知方程有两个实数根；
（2）由一元二次方程的求根公式得出方程的两个根，由于其中一个等于2，已经小于4，故令另外一个含有m的根大于等于4，即可求出m的值；
（3）先由一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=m+4，x1x2=2m+4，代入n=x12+x22-4，从而将动点P（m，n）仅用含m的代数式表示，再将点A（-5，9）代入验证即可．
【详解】
（1）证明：∵b2﹣4ac＝[﹣（m+4）]2﹣4（2m+4）＝m2≥0，
∴该一元二次方程总有两个实数根；
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0
∴a＝1，b＝﹣（m+4），c＝2m+4
∴由一元二次方程的求根公式得：x＝＝
∴x1＝m+2，x2＝2
∵该方程只有一个小于4的根
∴m+2≥4
∴m≥2；
（3）∵x1+x2＝m+4，x1x2＝2m+4
∴n＝x12+x22﹣4
＝﹣2x1x2﹣4
＝（m+4）2﹣2（2m+4）﹣4
＝m2+4m+4
∴动点P（m，n）可表示为（m，m2+4m+4）
∴当m＝﹣5时，m2+4m+4＝25﹣20+4＝9
∴动点P（m，n）所形成的数图象经过点A（﹣5，9）．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；同时本题还考查了公式法求解方程及根与系数的关系的应用，以及点的坐标与函数的对应关系．
22．某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡镇全体贫困初、高中学生进行资助，初中学生每月资助200元，高中学生每月资助300元．已知该乡受资助的初中学生人数是受资助的高中学生人数的2倍，且该企业在2018年下半年7﹣12月这6个月资助学生共支出10.5万元．
（1）问该乡镇分别有多少名初中学生和高中学生获得了资助？
（2）2018年7﹣12月期间，受资助的初、高中学生中，分别有30%和40%的学生被评为优秀学生，从而获得了该乡镇政府的公开表扬．同时，提供资助的企业为了激发更多受资助学生的进取心和学习热情，决定对2019年上半年1﹣6月被评为优秀学生的初中学生每人每月增加a%的资助，对被评为优秀学生的高中学生每人每月增加2a%的资助．在此奖励政策的鼓励下，2019年1﹣6月被评为优秀学生的初、高中学生分别比2018年7﹣12月的人数增加了3a%、a%．这样，2019年上半年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元，求a的值．
【答案】（1）50，25；（2）20
【分析】
（1）先将10.5万元化为105000元，设该乡镇有名高中学生获得了资助，则该乡镇有2x名初中学生受到资助，由题意得一元一次方程，求解即可；
（2）以“2019年上半年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元”为等量关系，列出方程，然后设a%＝t，化为关于t的一元二次方程，求解出t，再根据a%＝t，求得a即可．
【详解】
（1）10.5万元＝105000元
设该乡镇有名高中学生获得了资助，则该乡镇有名初中学生受到资助，由题意得：

解得：
∴
∴该乡镇分别有50名初中学生和25名高中学生获得了资助．
（2）由题意得：

∴
设，则方程化为：
∴
解得（舍）或
∴．
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程和一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23．如图，在长方形中，，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动的时间为，问：

(1)当秒时，四边形面积是多少？
(2)当为何值时，点和点距离是？
(3)当_________时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形.(直接写出答案)
【答案】（1）5厘米2；（2）秒或秒；（3）秒或秒或秒或秒.
【分析】
（1）求出BP，CQ的长，即可求得四边形BCQP面积.
（2）过Q点作QH⊥AB于点H，应用勾股定理列方程求解即可.
（3）分PD=DQ，PD=PQ，DQ=PQ三种情况讨论即可.
【详解】
（1）当t=1秒时，BP=6-2t=4，CQ=t=1，
∴四边形BCQP面积=厘米2.
（2）如图，过Q点作QH⊥AB于点H，则PH=BP-CQ=6-3t，HQ=2，
根据勾股定理，得， 解得.
∴当秒或秒时，点P和点Q距离是3cm.

（3）∵，
当PD=DQ时，，解得或（舍去）；
当PD=PQ时，，解得或（舍去）；
当DQ=PQ时，，解得或.
综上所述，当秒或秒或秒或秒时， 以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形.