初中数学第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数优秀同步达标检测题

第09课  二次函数的定义

知识点01  二次函数的概念

1、有关概念

形如(a ,b,c是常数,a≠0)的函数为二次函数.其中，x是自变量,a ,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

2、二次函数的解析式必须满足的三个条件

（1）等号右边是整式;

（2）自变量的最高次数必须是2;

（3）二次项系数不为0.

3、二次函数的结构特征

等号左边是y ,等号右边是关于x的二次多项式或二次单项式.

(1)当b=0时,二次函数为 ;

(2)当c=0时,二次函数为 ;

(3)当b=0,c=0时,二次函数为.

【注意】

(1)注意二次函数与一元二次方程的异同.

(2)在二次函数的概念中，是二次函数概念的一部分,若a 为0，则函数就是,这不符合二次函数的概念.

(3)二次函数的出客教项系数、一次项系数和常数项包括它们前面的符号,不要漏掉.

知识点02  列二次函数解析式的一般步骤

【注意】

实际问题中自变量的取值范围的确定

(1)二次函数自变量的取值范围一般是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.

(2)确定自变量的取值范围时,需正确列出不等式或不等式组.

考法01   二次函数的判断

【例题1】下列函数中,哪些是二次函数?

(1)y=3x—l;

(2) ;

(3)  ;

(4) ;

(5) ;

(6)

【解析】

解:(l)不是二次函数,因为自变量的最高次数是1.

(2)是二次函数,因为符合二次函数的概念.

(3)不是二次函数,因为自变量的最高次数是3.

(4)是二次函数,因为符合二次函数的概念.

(5)不是二次函数,因为原式整理后为y=－x.

(6)不是二次函数,因为x－2为分式,不是整式.

故(2)(4)是二次函数.

考法02  根据二次函数的概念求字母的值

【例题2】已知函数 是关于x的二次函数,求满足条件的m的值.

【分析】

根据二次函数的概念求字母的值时，一般根据自变量的最高次数等于2列出方程,并要保证二次项系数不能等于0.

由二次函数的概念﹐得 ，且,即可解可得m的值.

【详解】

解:根据题意可得, ,且,解得m=5,即满足条件的m的值为5.

【方法总结】

要确定二次函数中待定字母的值， 需根据二次函数自变量的最高次数是2,二次项系数不为0,列出关于所求字母的方程或不等式(组),解方程或不等式(组),即可确定字母的值.

考法03  列二次函数的解析式

【例题3】某商场购进一种单价为40元的商品,如果以单价60元出售,那么每天可卖出300个,根据销售经验,每降价1元,每天可多卖出20个,假设每个降价x元,每天销售y个,每天获得利润W元.

(1)写出y 与x之间的函数解析式;

(2)求出W与x之间的函数解析式(不必写出x的取值范围).

【分析】

商品销售问题的解题关键是掌握销售利润﹑销售量与单位商品的利润之间的关系.

 (1)利用每天可卖出300个,每降价1元,每天可多卖出20个,得出y与x之间的函数解析式;

(2)利用销量×每个商品的利润=总利润,得出答案.

【解析】

解:(1)已知每个降价x元,每天销售y个，

所以y与x之间的函数解析式为y=300+20x .

(2)由题意可得,W与x之间的函数解析式为W=(300+20x ) (60－40－x)=－20x2＋100x+6000.

考法04  实际问题中根据几何知识列二次函数的解析式

【例题4】某校为绿化校园,在一块长为15 m、宽为10 m的矩形空地上建造一个矩形花圃，如图,设计这个花圃的一边靠墙(墙长大于15 m),并在不靠墙的三边留出一条宽相等的小路,设小路的宽为xm,花圃面积为y m2,求y关于x 的函数解析式,并写出函数自变量的取值范围.

【分析】

解与实际问题有关的几何问题时，一般要通过分析几何图形,借助几何图形的面积或周长公式建立等量关系.

【详解】

由小路的宽为xm,知矩形花圃的长为(15－2x )m,宽为(10－x)m,根据矩形面积公式即可得到解析式,由实际问题求出函数自变量的取值范围.

【解析】

解:由小路的宽为x m,知矩形花圃的长为(15－2x )m,宽为(10－x)m,

根据题意,得

.

由

,

解得 .

故所求的函数解析式为，其中

【方法总结】

解决此类问题时,一般利用“数形结合”的思想,在具体解题时，常用的建立等量关系的方法有“面积法”“周长法”“勾股法”。

【例题5】如图,某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上修建一个矩形花园ABCD,花园的一边靠墙,另三边用总长为40 m的栅栏围成,设花园的边BC长为x m,花园的面积为y m2.

(1)求y与x的函数解析式;

(2)满足条件的花园的面积能达到200 m2吗?若能,求出此时x的值;若不能,说明理由.

【解析】

解:(1)因为边BC为x m,栅栏总长为40 m,所以花园的边 ，

所以 .

(2)不能.理由如下:

当y=200时, ,解得x=20.

因为根据实际意义,边 BC不能大于墙长15 m,所以0<x≤15,且花园的边AB需大于0，

即

得0<x≤15.

因为x=20不在此范围内,所以花园的面积不能达到200 m2.

题组A  基础过关练

1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（       ）

A． y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+

【答案】C

【解析】

解：A、y=3x-1是一次函数，不是二次函数，不符合题意；

B、y=ax2+bx+c，当时，不是二次函数，不符合题意；

C、s=2t2-2t+1是二次函数，符合题意；

D、y=x2+ 中不是整式，故y=x2+ 不是二次函数，不符合题意．

故选：C．

2．二次函数y=3x2﹣2x﹣4的二次项系数与常数项的和是（　　）

A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣6

【答案】B

【解析】

二次函数y=3x2﹣2x﹣4的二次项系数为3，常数项为﹣4，两个数的和为3﹣4=﹣1，故选B．

3．若y=（a﹣1）x2﹣ax+6是关于x的二次函数，则a的取值范围是（　　）

A．a≠1 B．a≠0 C．无法确定 D．a≠1且a≠0

【答案】A

【解析】

∵y=（a﹣1）x2﹣ax+6是关于x的二次函数，

∴a-1≠0，

∴a≠1，

故选A.

4．下列具有二次函数关系的是( )

A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t

C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x

【答案】D

【解析】

A、y=4x，是一次函数，错误；

B、s=vt，v一定，是一次函数，错误；

C、y=hx，h一定，是一次函数，错误

D、y=x2，是二次函数，正确．

故选D．

5．已知函数．

（1）若这个函数是一次函数，求的值

（2）若这个函数是二次函数，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】

解：（1）由题意得，解得；

（2）由题意得，，解得且．

题组B  能力提升练

6．如果函数 是二次函数，那么k的值一定是________．

【答案】-3

【解析】

∵函数是二次函数，

∴k2-7＝2，k-3≠0

解得k=-3．

故答案为：-3．

7．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此贺卡的日销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系：

则y与x之间的函数关系式为　________ 　．

【答案】y=

【解析】

因为x与y的乘积是相同的，所以可知y与x成反比例，设y，将（3，20）代入可得：20，解得：k=60．

则y与x之间的函数关系式为y．

故答案为y．

8．如图所示，是等腰直角三角形，，直角边与正方形的边长均为2，且与在同一直线上，开始时点与点重合，让沿这条直线向右平移，直到点A与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数关系是______．

【答案】

【解析】

解：由题意可知：当点C到点E时，x=2；当点A到点E时，x=4；

当0＜x≤2时，如下图所示，此时阴影部分为梯形，设AB与DG交于点H

∵AC=DE=BC=2，=x，是等腰直角三角形，

∴∠A=45°，AD=AC－CD=2－x

∴△ADH为等腰直角三角形

∴DH=AD=2－x

∴y=；

当2＜x≤4，如下图所示，此时阴影部分为三角形，设AB与EF交于点H

∵AC=DE= 2，=x，是等腰直角三角形，

∴∠HAE=45°，AE=DE＋AC－CD=4－x

∴△AEH为等腰直角三角形

∴HE= AE=4－x

∴y=．

综上所述：

故答案为：．

题组C  培优拔尖练

9．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．

(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；

(2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？

【答案】(1)；(2) 450cm2

【解析】

（1）解：∵其中一条对角线的长x，则另一对角线=60-x．

∴S=x(60-x)，

整理得．

（2）所以时，菱形风筝面积S最大，

最大面积是．

10．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，设每件衣服降价x元．

（1）现在每天卖出 　        　件，每件盈利 　        　元（用含x的代数式表示）；

（2）求当x为何值时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；

（3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．

【答案】（1）（20+2x），（40﹣x）；（2）20；（3）不可能，见解析

【解析】

解：（1）由题意得：每天卖出衣服的数量为：（20+2x）件，

每件的盈利为：（90﹣x）﹣50＝（40﹣x）元，

故答案为：（20+2x），（40﹣x）；

（2）由题意得：

（90﹣x﹣50）（20+2x）＝1200，

解得：x1＝20，x2＝10，

为使顾客得到较多的实惠，应取x＝20；

（3）不可能，理由如下：

依题意得：

（90﹣x﹣50）（20+2x）＝2000，

整理得：x2﹣30x+600＝0，

Δ＝（﹣30）2﹣4×600＝900﹣2400＝﹣1500＜0，

则原方程无实数解．

则不可能每天盈利2000元．

11．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形的苗圃圆．其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边为，若苗圃园的面积为，求的长度．

【答案】的长度为12米．

【解析】

解：根据题意知，．

∵．

∴的取值范围为：．

设这个苗圃园垂直于墙的一边为，

根据题意得：，

整理，得．

解得：，．

∵．

当时，

∴不合题意，舍去．

∴，即的长度为12米．

答：若苗圃园的面积为192平方米，则的长度为12米．

12．如图所示，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：

（1）在第n个图形中，每一横行有         块瓷砖，每一竖列有         块瓷砖（均用含n的代数式表示）；

（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出与（1）中的的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；

（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；

（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？

（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖的块数相等的情形？请通过计算说明为什么．

【答案】（1）n+3，n+2；（2）y＝n2+5n+6；（3）20；（4）1604元；（5）不存在黑白瓷砖块数相等的情况，见解析

【解析】

解：（1）观察图形可知，每一横行有 （n+3）块瓷砖，每一竖列有（n+2）块瓷砖．

故答案为：n+3，n+2．

（2）第1个图形有4×3块瓷砖，第2个图形有5×4块瓷砖，第3个图形有6×5块瓷砖，所以可以推出瓷砖的总块数为y=（n+3）（n+2）；

∴y＝（n+2）（n+3）＝n2+5n+6．

（3）当y＝506时，n2+5n+6＝506，即n2+5n﹣500＝0．

解得：n1＝20，n2＝﹣25（舍去）．

∴此时的n值为20．

（4）白瓷砖的块数：n（n+1）＝20×21＝420．

黑瓷砖的块数：506﹣420＝86．

∴共需：86×4+420×3＝1604（元）．

（5）不存在黑白瓷砖块数相等的情况，理由如下：

当黑白瓷砖块数相等时，有：

n（n+1）＝n2+5n+6﹣n（n+1）．

∴n2﹣3n﹣6＝0．

解得：或

∵n是整数．

∴不合题意，故不存在黑白瓷砖块数相等的情形．