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初中数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质优秀同步达标检测题
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这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质优秀同步达标检测题，文件包含第11课二次函数yax²+bx+ca≠0的图象与性质教师版docx、第11课二次函数yax²+bx+ca≠0的图象与性质学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
第11课 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
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课程标准
（1） 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
（2） 通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
（3）经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
知识精讲
知识点01 二次函数与之间的相互关系
1．顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2．一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
【注意】
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
知识点02 二次函数的图象的画法
1．一般方法
列表、描点、连线
2．简易画法：五点定形法
步骤：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
【注意】
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
知识点03 二次函数的图象与性质
1．二次函数图象与性质
函数
二次函数(a、b、c为常数，a≠0)
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
2．二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
知识点04 求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即当时，．
【注意】
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
能力拓展
考法01 二次函数的图象与性质
【典例1】如图所示是二次函数的图象，以下结论：①；②；③的两个根是，；④，其中正确的是（ ）
A．③④ B．①② C．②③ D．②③④
【答案】C
【详解】解：①由图象可知：，，
由对称轴可知：，
∴，
∴，故①错误；
②由对称轴可知：，
∴，
∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③由对称轴为直线，抛物线过点，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∴的两个根是，，故③正确；
④由图象可知，当时，，
∴，故④错误；
故选：C．
【即学即练】如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小
【答案】C
【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．
抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选C
【典例2】已知4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点可能在（ ）
A．第一或第四象限 B．第三或第四象限
C．第一或第二象限 D．第二或第三象限
【答案】A
【详解】解：∵4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，
∴此二次函数过点（-2，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=，
∴二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点可能在第一或第四象限．
故选：A．
【即学即练】关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．当时，对称轴是轴 B．当时，经过坐标原点
C．不论为何值，都过定点 D．时，对称轴在轴的左侧
【答案】D
【详解】解：A、抛物线，
当时，对称轴是直线，即轴，故选项A正确，不符合题意，
B、当时，过点，故选项B正确，不符合题意，
C、当时，，此时解析式中的正好可以消掉，故选项C正确，不符合题意，
D、抛物线的对称轴是直线，当时，对称轴在轴右侧，故选项D错误，符合题意，
故选：D．
考法02 二次函数的最值
【典例3】已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
【即学即练】已知二次函数＝﹣+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值﹣4
C．有最大值4，有最小值﹣4 D．有最大值5，有最小值﹣4
【答案】D
【详解】∵二次函数＝﹣+2x+4＝﹣+5，
∴该函数的对称轴是直线＝1，函数图象开口向下，
∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，
故选：D．
【典例4】已知二次函数y＝x2＋bx＋c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（ ）
A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3
【答案】C
【详解】解：二次函数y＝x2＋bx＋c的开口向上，当x＞0时，函数的最小值为－3，当x≤0时，函数的最小值为－2，
该函数图象的对称轴所在直线在y轴的右侧，
，，且时，y=c=－2，
，，解得 ，
．
故选C．
【即学即练】已知抛物线过（1，m），（-1，3m）两点，若，且当时，y的最小值为-6，则m的值是（ ）
A．4 B．2 C．–2 D．-4
【答案】C
【详解】解：将点（1，m），（-1，3m）代入抛物线，得
1+b+c=m，1-b+c=3m，
∴b=-m，c=2m-1
则，
对称轴为，
∵a=1＞0
∴最小值在x=-处，最小值为-6，
∴=-6，
=4c+24，
将b=-m，c=2m-1代入，得
-8m-20=0
解得m=-2或m=10
又
∴m=-2
故选：C.
考法03 二次函数性质的综合应用
【典例5】已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；
②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【答案】D
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，
∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ，
∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；
令y=0，则ax2+bx+c=0，
设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，
∴CD2=( x1-x2) 2=( x1+x2) 2-4x1x2，
根据顶点坐标公式，，
∴，即，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD=AB=1-（-3)=4，
∴=42=16，解得a=，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
【即学即练】如图，已知抛物线经过点，，与y轴交于点，P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的最大值为；③；④OP的最小值为．则正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④
【答案】D
【详解】解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
故①正确；
设抛物线关系式为：，
∵抛物线经过点，
∴-4a=2，解得：，
∴抛物线关系式为：，
∴当时，y有最大值，
故②错误；
∴点B坐标为（-1，0），点A坐标为（4，0），
∴AB=5．
当x=0时，y=2，
∴点C坐标为（0，2），
∴，
∵，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
故③正确；
当OP⊥AC时，OP取最小值，
此时根据三角形的面积可得，
∴，
解得OP=，
∴OP的最小值为．
故④正确；
故正确的有：①③④，
故选：D．
【典例6】已知抛物线的解析式为（m为常数），则下列说法正确的是____________．
①当时，点在抛物线上；
②对于任意的实数m，都是方程的一个根；
③若，当时，y随x的增大而增大；
④已知点，则当时，抛物线与线段有两个交点．
【答案】②
【详解】解：抛物线（为常数）中，
当时，抛物线，若，则，
点不在抛物线上，
即①说法错误，不符合题意，
方程即，
或，
解得，，
对于任意实数，都是方程的一个根，
即②说法正确，符合题意，
抛物线（为常熟）中，，开口向上，
对称轴是直线，当时，随的增大而增大，
即若，，当时，y随x的增大而增大，不一定正确，
即③说法错误，不符合题意，
抛物线（为常数）中，
当时，，
解得，，
抛物线与轴的交点坐标为、，
当时，，
“④已知点，则当时，抛物线与线段有两个交点”的说法错误，（因为当时只有一个交点），不符合题意，
综上所述，说法正确的是②，
故答案为：②．
【即学即练】如图，已知抛物线与x轴相交于于点，，与轴的交于点．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为．下列结论：①；②；③，其中，正确结论的序号是________．（所有正确的序号都填上）
【答案】①②③
【详解】∵抛物线与x轴相交于于点，，
∴令y=0得：，
解得：，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4
故①正确；
∵抛物线与y轴相交于于点C，
∴令x=0得：y=6，
∴C（0，6），
∴OC=6，
故②正确；
过点作轴，交于点，如图1所示．
设直线的解析式为，
将、代入，
得，解得，
直线的解析式为．
点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
当时，面积取最大值，最大值为．
故③正确，
故答案为：①②③．
分层提分
题组A 基础过关练
1．抛物线经过点（m，3），则代数式的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】解：将点（m，3）代入中得，
，
故代数式的值为3，
故选：D．
2．二次函数（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣4
﹣6
﹣6
﹣4
…
则该二次函数图象的对称轴为（ ）
A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝1 D．直线x＝
【答案】B
【详解】解：由图表可知：
x=0时，y=-6，
x=1时，y=-6，
∴二次函数的对称轴为：，
故选：B．
3．若二次函数y＝x2+2x+k的图象经过点（1，y1），（﹣2，y2），则y1，y2与的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
【答案】A
【详解】解：当x＝1时，y1＝x2+2x+k＝1+2+k＝k+3；
当x＝﹣2时，y2＝x2+2x+k＝4﹣4+k＝k，
所以y1＞y2．
故选：A．
4．已知(﹣4，y1)，(2.5，y2)，(5，y3)是抛物线y＝﹣3x2﹣6x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3
【答案】A
【详解】解：∵y＝﹣3x2﹣6x+m，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴与直线x＝﹣1距离越近的点的纵坐标越大，
∵﹣1﹣（﹣4）＜2.5﹣（﹣1）＜5﹣（﹣1），
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
5．已知函数y＝a﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 B．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
C．当a＝1时，函数图像过点（﹣1，1） D．当a＝﹣2时，函数图像与x轴没有交点
【答案】B
【详解】解：A、抛物线的对称轴为直线：，则若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，选项说法错误，不符合题意；
B、抛物线的对称轴为直线：，若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，选项说法正确，符合题意；
C、当，时，，则当a＝1时，函数图像不经过点（﹣1，1），选项说法错误，不符合题意；
D、当a＝﹣2时，，，则函数图像与x轴有两个交点，选项说法错误，不符合题意；
故选B．
6．已知二次函数的图象如图所示，有以下4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①抛物线开口向下，
，
∵，
∴，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
，
，故错误；
②观察函数图象，可知：
当时，，
，故错误．
③抛物线的对称轴为，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
当时，，
，故正确；
④抛物线与轴有2个交点，
△，故正确．
故选：B．
7．已知二次函数y=x2－4x－m的最小值是1，则m=_______．
【答案】-5
【详解】解：由知，
当x=2时，y有最小值为-4-m，
∵该函数的最小值为1，
∴-4-m=1，
解得：m=-5，
故答案为：-5．
8．二次函数的图象过点，，若当时．随着的增大而减小，则实数的取值范围是______．
【答案】且
【详解】解：将代入得①，
将代入得②，
由②①得，
，，
抛物线的对称轴为直线，
当时．随着的增大而减小，
时，，
解得，
时，，
解得，
故答案为：且．
9．已知抛物线y=ax2－2ax－3+2a2 （a<0）．
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的函数解析式；
【答案】(1)x=1
(2)y=－x2+2x－1
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线x=1；
（2）由（1）可得，
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴，
解得，=－1，
∵a<0，
∴a=－1，
∴抛物线的解析式为．
10．已知抛物线．
(1)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当为何值时，函数取得最大值，请求出这个最大值．
【答案】(1)抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是
(2)当时，函数取得最大值，最大值是3．
【详解】（1）解：∵－1＜0，
∴抛物线开口向下，
对称轴是直线，
∵，
∴顶点坐标是；
（2）∵抛物线的顶点坐标是，
∴当时，函数取得最大值，最大值是3．
题组B 能力提升练
1．将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则、的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】由题意可得新抛物线的顶点为，
∴原抛物线的顶点为，
设原抛物线的解析式为，
代入得：，
∴，．
故选：D．
2．如图是二次函数y＝ax2﹣x＋a2﹣9图象，图象过坐标原点，则a的值是（ ）
A．a＝3 B．a＝－3 C．a＝－9 D．a＝3或a＝﹣3
【答案】A
【详解】解：∵抛物线经过原点，
∴a2-9=0， 解得a=3或a=-3，
∵抛物线开口向上，
∴a=3，
故选：A．
3．已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵
∵开口向上，对称轴为x=1，
∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．
故选：B．
4．已知抛物线的最低点的纵坐标为，则抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵抛物线的最低点的纵坐标为，
∴，
即
∴，
当m=1时，抛物线为．
故选：B．
5．直线与抛物线在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意．
故选：B．
6．二次函数（）的部分图象如图所示，图象过点（，0），对称轴为直线，下列结论：（1）； （2）； （3）；（4）若点A（，），点B（，），点C（，）在该函数图象上，则；（5）m为任意实数，则．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【详解】解：∵对称轴为直线x=2，
∴-=2，
∴b=-4a，
∴b+4a=0，
∴（1）正确；
∵经过点（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴c=b-a=-4a-a=-5a，
∴4a+c-2b=4a-5a+8a=7a，
∵a＜0，
∴4a+c-2b＜0，
∴4a+c＜2b，
∴（2）不正确；
∵5a+3c=5a-15a=-10a＞0，
∴（3）正确；
∵|-2-2|=4，|-2|=，|-2|=，
∴y1＜y2＜y3，
∴（4）不正确；
当x=2时，函数有最大值4a+2b+c，
∴am2+bm+c≤4a+2b+c，
∴（5）不正确；
综上所述：（1）（3）正确，
故选：A．
7．已知二次函数，当时，自变量的取值范围是______．
【答案】x≤-2或x≥4
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
当时，则，
即，
解得，或，
∴当时，自变量x的取值范围是或，
故答案为：或．
8．如图，抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点A的坐标为，则点B的坐标为_____．
【答案】(6，5)
【详解】∵AB与x轴平行，
而点A，B均在抛物线上，
∴点A与点B关于直线x=1对称，
∵点A的坐标为，
∴B点坐标为，
故答案为．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．
(1)求此抛物线的解析式和对称轴．
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2；对称轴为x＝
(2)存在，P的坐标为（，﹣）
【详解】（1）解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵该抛物线过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入，得：
解得：
∴此抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
∵抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2＝﹣
∴抛物线的对称轴为x＝ ．
（2）解：存在，理由如下：
连接PB
由抛物线的对称性得：PA＝PB
∴△PAC的周长PA+PC+AC＝PB+PC+AC，
∴当B、P、C三点共线时，PB+PC最小，
即当B、P、C三点共线时，△PAC的周长最小，
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
将点B（4，0），点C（0，﹣2）代入，
得，解得：，
即直线BC的解析式为y＝x﹣2．
令x＝，则有y＝﹣2＝﹣，
即点P的坐标为（，﹣）．
∴在此抛物线的对称轴上存在点P，使△PAC的周长最小，此时点P的坐标为（，﹣）．
10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；
【答案】(1)，顶点坐标为（1，4）；
(2)0＜y≤4
【详解】（1）解：将A（−1，0）和B（3，0）代入y＝−x2＋bx＋c，得，解得：，∴抛物线的解析式为：，∵，∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；
（2）∵当x＝1时，y＝4；当x＝3时，y＝0，∴由函数图象可得：当0＜x＜3时，0＜y≤4．
题组C 培优拔尖练
1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线＞0，
∴b＞0，
∵与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴y=bx+c的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y=图象在第二四象限，
只有D选项图象符合．
故选：D．
2．若点A（﹣3，），B（1，），C（m，）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且＜＜，则m的取值范围是（ ）
A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1
C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1
【答案】D
【详解】解：抛物线y＝ax2+4ax+c的对称轴为x＝﹣＝﹣2，
∵点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，
∴当a＜0，则|m+2|＜1且|m+2|＞3，（不存在）；
当a＞0，则1＜|m+2|＜3，解得﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1．
故选：D．
3．二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象如图，下列结论错误的为（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．a+b+c＞0
C．ax2+bx+c≥﹣1 D．2a﹣b＝0
【答案】D
【详解】解：由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故选项A正确不符合题意；
由图象可知，当x=1时，y>0，所以a+b+c＞0，故选项B正确不符合题意；
由图象可知，抛物线的最低点为(-2,-1)，所以ax2+bx+c≥﹣1，故选项C正确不符合题意；
由图象可知，抛物线的对称轴为x=-2，，所以4a﹣b＝0，故选项D错误符合题意．
故选：D．
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．abc＜0 B．a＋b＞m（am＋b）（m≠1）
C．4a﹣2b＋c＜0 D．3a＋c＝1
【答案】D
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故A正确；
当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，
当x＝1时，y有最大值为a+b+c，
∴am2+bm+c＜a+b+c，
∴am2+bm＜a+b，
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），故B正确；
由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，
即4a﹣2b+c＜0，故C正确；
由图象知，抛物线与x轴的交点横坐标大于﹣1小于0，对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴另一交点的横坐标大于2小于3，
∴当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，故D错误；
故选：D．
5．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
0
1
2
…
…
t
m
n
…
且当时，其对应的函数值．有下列结论：
①；②和3是关于x的方程的两个根；③对称轴为；④；其中，正确结论的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】二次函数（a，b，c是常数，），
当时，，
当时，，
．
当时，其对应的函数值，
二次函数开口向下，．
，，，
．（①结论符合题意）
时，，
是关于x的方程的根．
对称轴，，（③结论不符合题意）
和3是关于x的方程的两个根．（②结论符合题意）
时，，
时，，
．
．（④结论不符合题意）
正确的结论有2个．
故选：C．
6．已知抛物线（c为常数）经过点，，，当时，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】∵过点(4,c)，
∴16+4b+c=c，解得b=-4，
∴，
∴则抛物线的对称轴为x=2，，
∵(p,m)和(q,m)的函数值相等，
∴(p,m)和(q,m)关于抛物线对称轴对称，
∴，即，
∵，
∴，解得：，
将点(q,m)代入，
有：，变形得：，
∵函数的自变量范围为，
∴当q=5时，m取最大值，m=c+5，
当q=时，m取最小值，，
∴m的取值范围为：，
故选：B．
7．已知二次函数，当时，函数的最大值为8，则的值是____．
【答案】无解
【详解】解：∵二次函数，
∴二次函数的对称轴为直线，
①当，即时，此时二次函数在上y随x的增大而减小，在取最大值，即，解得，与不符；
②当即时，此时离二次函数对称轴更远，
∴二次函数在取最大值，即，解得，与不符；
③当即时，此时离二次函数对称轴更远，
∴二次函数在取最大值，即，解得与不符；
④当即时，此时二次函数在上y随x的增大而增大，在取最大值，，解得与不符．
综上不存在符合题意的的值．
故答案：无解．
8．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．
【答案】
【详解】解：点到轴的距离小于2，
，
点在二次函数的图象上，
，
当时，有最小值为1．
当时，，
的取值范围为.
故答案为：
9．已知抛物线的顶点（0，1）．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，直线交x轴于A，交抛物线于B、C，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，试比较AE•AF与4的大小关系．
(3)如图2，D（0，2），M（1，3），抛物线上是否存在点N，使得取得最小值，若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)AE·AF＞4；
(3)N（1，）．
【详解】（1）解：将点（0，1）代入，得c＝1，
∵点（0，1）是顶点，
∴，
∴b＝0，
∴该抛物线的解析式为：；
（2）当y＝kx＋k＝k（x＋1）＝0（k≠0）时，
解得：x＝－1，
∴A（−1，0），
联立，得：，
整理得：，
∴，，
∵AE＝，AF＝，
∴AE·AF
＝
＝
＝
＝，
∴AE·AF＞4；
（3）存在点N，使得NM＋ND取得最小值，
设抛物线上任意一点H（x，y），
∴HD＝，H点到x轴的距离为y，
∵，
∴HD＝，
∴H点到D的距离与H点到x轴的距离相等，
∴N点到D的距离与N点到x轴的距离相等，
∴当MN⊥x轴时，MN＋ND的值最小，
∴点N的横坐标为1，
当x＝1时，，
∴N（1，）．
10．北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为米，以起跳点正下方跳台底端为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点的坐标为，着陆坡顶端与落地点的距离为米，若斜坡的坡度（即．求：
(1)点的坐标；
(2)该抛物线的函数表达式；
(3)起跳点与着陆坡顶端之间的水平距离的长．（精确到米）（参考数据：）
【答案】(1)
(2)
(3)的长约为米
【详解】（1）解：∵，且点在轴正半轴，
∴．
（2）∵抛物线最高点的坐标为，
∴设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：．
（3）在中，，，
设CE＝3x，DE＝4x，
∴，
即，
解得x＝0.5，
∴，．
点的纵坐标为，
令，
解得，或不合题意，舍去，
∴．
∴．
∴的长约为米．
第11课 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
目标导航
课程标准
（1） 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
（2） 通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
（3）经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
知识精讲
知识点01 二次函数与之间的相互关系
1．顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2．一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
【注意】
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
知识点02 二次函数的图象的画法
1．一般方法
列表、描点、连线
2．简易画法：五点定形法
步骤：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
【注意】
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
知识点03 二次函数的图象与性质
1．二次函数图象与性质
函数
二次函数(a、b、c为常数，a≠0)
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
2．二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
知识点04 求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即当时，．
【注意】
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
能力拓展
考法01 二次函数的图象与性质
【典例1】如图所示是二次函数的图象，以下结论：①；②；③的两个根是，；④，其中正确的是（ ）
A．③④ B．①② C．②③ D．②③④
【答案】C
【详解】解：①由图象可知：，，
由对称轴可知：，
∴，
∴，故①错误；
②由对称轴可知：，
∴，
∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③由对称轴为直线，抛物线过点，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∴的两个根是，，故③正确；
④由图象可知，当时，，
∴，故④错误；
故选：C．
【即学即练】如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小
【答案】C
【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．
抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选C
【典例2】已知4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点可能在（ ）
A．第一或第四象限 B．第三或第四象限
C．第一或第二象限 D．第二或第三象限
【答案】A
【详解】解：∵4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，
∴此二次函数过点（-2，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=，
∴二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点可能在第一或第四象限．
故选：A．
【即学即练】关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．当时，对称轴是轴 B．当时，经过坐标原点
C．不论为何值，都过定点 D．时，对称轴在轴的左侧
【答案】D
【详解】解：A、抛物线，
当时，对称轴是直线，即轴，故选项A正确，不符合题意，
B、当时，过点，故选项B正确，不符合题意，
C、当时，，此时解析式中的正好可以消掉，故选项C正确，不符合题意，
D、抛物线的对称轴是直线，当时，对称轴在轴右侧，故选项D错误，符合题意，
故选：D．
考法02 二次函数的最值
【典例3】已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
【即学即练】已知二次函数＝﹣+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值﹣4
C．有最大值4，有最小值﹣4 D．有最大值5，有最小值﹣4
【答案】D
【详解】∵二次函数＝﹣+2x+4＝﹣+5，
∴该函数的对称轴是直线＝1，函数图象开口向下，
∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，
故选：D．
【典例4】已知二次函数y＝x2＋bx＋c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（ ）
A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3
【答案】C
【详解】解：二次函数y＝x2＋bx＋c的开口向上，当x＞0时，函数的最小值为－3，当x≤0时，函数的最小值为－2，
该函数图象的对称轴所在直线在y轴的右侧，
，，且时，y=c=－2，
，，解得 ，
．
故选C．
【即学即练】已知抛物线过（1，m），（-1，3m）两点，若，且当时，y的最小值为-6，则m的值是（ ）
A．4 B．2 C．–2 D．-4
【答案】C
【详解】解：将点（1，m），（-1，3m）代入抛物线，得
1+b+c=m，1-b+c=3m，
∴b=-m，c=2m-1
则，
对称轴为，
∵a=1＞0
∴最小值在x=-处，最小值为-6，
∴=-6，
=4c+24，
将b=-m，c=2m-1代入，得
-8m-20=0
解得m=-2或m=10
又
∴m=-2
故选：C.
考法03 二次函数性质的综合应用
【典例5】已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；
②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【答案】D
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，
∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ，
∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；
令y=0，则ax2+bx+c=0，
设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，
∴CD2=( x1-x2) 2=( x1+x2) 2-4x1x2，
根据顶点坐标公式，，
∴，即，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD=AB=1-（-3)=4，
∴=42=16，解得a=，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
【即学即练】如图，已知抛物线经过点，，与y轴交于点，P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的最大值为；③；④OP的最小值为．则正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④
【答案】D
【详解】解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
故①正确；
设抛物线关系式为：，
∵抛物线经过点，
∴-4a=2，解得：，
∴抛物线关系式为：，
∴当时，y有最大值，
故②错误；
∴点B坐标为（-1，0），点A坐标为（4，0），
∴AB=5．
当x=0时，y=2，
∴点C坐标为（0，2），
∴，
∵，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
故③正确；
当OP⊥AC时，OP取最小值，
此时根据三角形的面积可得，
∴，
解得OP=，
∴OP的最小值为．
故④正确；
故正确的有：①③④，
故选：D．
【典例6】已知抛物线的解析式为（m为常数），则下列说法正确的是____________．
①当时，点在抛物线上；
②对于任意的实数m，都是方程的一个根；
③若，当时，y随x的增大而增大；
④已知点，则当时，抛物线与线段有两个交点．
【答案】②
【详解】解：抛物线（为常数）中，
当时，抛物线，若，则，
点不在抛物线上，
即①说法错误，不符合题意，
方程即，
或，
解得，，
对于任意实数，都是方程的一个根，
即②说法正确，符合题意，
抛物线（为常熟）中，，开口向上，
对称轴是直线，当时，随的增大而增大，
即若，，当时，y随x的增大而增大，不一定正确，
即③说法错误，不符合题意，
抛物线（为常数）中，
当时，，
解得，，
抛物线与轴的交点坐标为、，
当时，，
“④已知点，则当时，抛物线与线段有两个交点”的说法错误，（因为当时只有一个交点），不符合题意，
综上所述，说法正确的是②，
故答案为：②．
【即学即练】如图，已知抛物线与x轴相交于于点，，与轴的交于点．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为．下列结论：①；②；③，其中，正确结论的序号是________．（所有正确的序号都填上）
【答案】①②③
【详解】∵抛物线与x轴相交于于点，，
∴令y=0得：，
解得：，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4
故①正确；
∵抛物线与y轴相交于于点C，
∴令x=0得：y=6，
∴C（0，6），
∴OC=6，
故②正确；
过点作轴，交于点，如图1所示．
设直线的解析式为，
将、代入，
得，解得，
直线的解析式为．
点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
当时，面积取最大值，最大值为．
故③正确，
故答案为：①②③．
分层提分
题组A 基础过关练
1．抛物线经过点（m，3），则代数式的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】解：将点（m，3）代入中得，
，
故代数式的值为3，
故选：D．
2．二次函数（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣4
﹣6
﹣6
﹣4
…
则该二次函数图象的对称轴为（ ）
A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝1 D．直线x＝
【答案】B
【详解】解：由图表可知：
x=0时，y=-6，
x=1时，y=-6，
∴二次函数的对称轴为：，
故选：B．
3．若二次函数y＝x2+2x+k的图象经过点（1，y1），（﹣2，y2），则y1，y2与的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
【答案】A
【详解】解：当x＝1时，y1＝x2+2x+k＝1+2+k＝k+3；
当x＝﹣2时，y2＝x2+2x+k＝4﹣4+k＝k，
所以y1＞y2．
故选：A．
4．已知(﹣4，y1)，(2.5，y2)，(5，y3)是抛物线y＝﹣3x2﹣6x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3
【答案】A
【详解】解：∵y＝﹣3x2﹣6x+m，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴与直线x＝﹣1距离越近的点的纵坐标越大，
∵﹣1﹣（﹣4）＜2.5﹣（﹣1）＜5﹣（﹣1），
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
5．已知函数y＝a﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 B．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
C．当a＝1时，函数图像过点（﹣1，1） D．当a＝﹣2时，函数图像与x轴没有交点
【答案】B
【详解】解：A、抛物线的对称轴为直线：，则若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，选项说法错误，不符合题意；
B、抛物线的对称轴为直线：，若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，选项说法正确，符合题意；
C、当，时，，则当a＝1时，函数图像不经过点（﹣1，1），选项说法错误，不符合题意；
D、当a＝﹣2时，，，则函数图像与x轴有两个交点，选项说法错误，不符合题意；
故选B．
6．已知二次函数的图象如图所示，有以下4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①抛物线开口向下，
，
∵，
∴，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
，
，故错误；
②观察函数图象，可知：
当时，，
，故错误．
③抛物线的对称轴为，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
当时，，
，故正确；
④抛物线与轴有2个交点，
△，故正确．
故选：B．
7．已知二次函数y=x2－4x－m的最小值是1，则m=_______．
【答案】-5
【详解】解：由知，
当x=2时，y有最小值为-4-m，
∵该函数的最小值为1，
∴-4-m=1，
解得：m=-5，
故答案为：-5．
8．二次函数的图象过点，，若当时．随着的增大而减小，则实数的取值范围是______．
【答案】且
【详解】解：将代入得①，
将代入得②，
由②①得，
，，
抛物线的对称轴为直线，
当时．随着的增大而减小，
时，，
解得，
时，，
解得，
故答案为：且．
9．已知抛物线y=ax2－2ax－3+2a2 （a<0）．
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的函数解析式；
【答案】(1)x=1
(2)y=－x2+2x－1
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线x=1；
（2）由（1）可得，
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴，
解得，=－1，
∵a<0，
∴a=－1，
∴抛物线的解析式为．
10．已知抛物线．
(1)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当为何值时，函数取得最大值，请求出这个最大值．
【答案】(1)抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是
(2)当时，函数取得最大值，最大值是3．
【详解】（1）解：∵－1＜0，
∴抛物线开口向下，
对称轴是直线，
∵，
∴顶点坐标是；
（2）∵抛物线的顶点坐标是，
∴当时，函数取得最大值，最大值是3．
题组B 能力提升练
1．将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则、的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】由题意可得新抛物线的顶点为，
∴原抛物线的顶点为，
设原抛物线的解析式为，
代入得：，
∴，．
故选：D．
2．如图是二次函数y＝ax2﹣x＋a2﹣9图象，图象过坐标原点，则a的值是（ ）
A．a＝3 B．a＝－3 C．a＝－9 D．a＝3或a＝﹣3
【答案】A
【详解】解：∵抛物线经过原点，
∴a2-9=0， 解得a=3或a=-3，
∵抛物线开口向上，
∴a=3，
故选：A．
3．已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵
∵开口向上，对称轴为x=1，
∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．
故选：B．
4．已知抛物线的最低点的纵坐标为，则抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵抛物线的最低点的纵坐标为，
∴，
即
∴，
当m=1时，抛物线为．
故选：B．
5．直线与抛物线在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意．
故选：B．
6．二次函数（）的部分图象如图所示，图象过点（，0），对称轴为直线，下列结论：（1）； （2）； （3）；（4）若点A（，），点B（，），点C（，）在该函数图象上，则；（5）m为任意实数，则．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【详解】解：∵对称轴为直线x=2，
∴-=2，
∴b=-4a，
∴b+4a=0，
∴（1）正确；
∵经过点（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴c=b-a=-4a-a=-5a，
∴4a+c-2b=4a-5a+8a=7a，
∵a＜0，
∴4a+c-2b＜0，
∴4a+c＜2b，
∴（2）不正确；
∵5a+3c=5a-15a=-10a＞0，
∴（3）正确；
∵|-2-2|=4，|-2|=，|-2|=，
∴y1＜y2＜y3，
∴（4）不正确；
当x=2时，函数有最大值4a+2b+c，
∴am2+bm+c≤4a+2b+c，
∴（5）不正确；
综上所述：（1）（3）正确，
故选：A．
7．已知二次函数，当时，自变量的取值范围是______．
【答案】x≤-2或x≥4
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
当时，则，
即，
解得，或，
∴当时，自变量x的取值范围是或，
故答案为：或．
8．如图，抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点A的坐标为，则点B的坐标为_____．
【答案】(6，5)
【详解】∵AB与x轴平行，
而点A，B均在抛物线上，
∴点A与点B关于直线x=1对称，
∵点A的坐标为，
∴B点坐标为，
故答案为．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．
(1)求此抛物线的解析式和对称轴．
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2；对称轴为x＝
(2)存在，P的坐标为（，﹣）
【详解】（1）解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵该抛物线过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入，得：
解得：
∴此抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
∵抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2＝﹣
∴抛物线的对称轴为x＝ ．
（2）解：存在，理由如下：
连接PB
由抛物线的对称性得：PA＝PB
∴△PAC的周长PA+PC+AC＝PB+PC+AC，
∴当B、P、C三点共线时，PB+PC最小，
即当B、P、C三点共线时，△PAC的周长最小，
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
将点B（4，0），点C（0，﹣2）代入，
得，解得：，
即直线BC的解析式为y＝x﹣2．
令x＝，则有y＝﹣2＝﹣，
即点P的坐标为（，﹣）．
∴在此抛物线的对称轴上存在点P，使△PAC的周长最小，此时点P的坐标为（，﹣）．
10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；
【答案】(1)，顶点坐标为（1，4）；
(2)0＜y≤4
【详解】（1）解：将A（−1，0）和B（3，0）代入y＝−x2＋bx＋c，得，解得：，∴抛物线的解析式为：，∵，∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；
（2）∵当x＝1时，y＝4；当x＝3时，y＝0，∴由函数图象可得：当0＜x＜3时，0＜y≤4．
题组C 培优拔尖练
1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线＞0，
∴b＞0，
∵与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴y=bx+c的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y=图象在第二四象限，
只有D选项图象符合．
故选：D．
2．若点A（﹣3，），B（1，），C（m，）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且＜＜，则m的取值范围是（ ）
A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1
C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1
【答案】D
【详解】解：抛物线y＝ax2+4ax+c的对称轴为x＝﹣＝﹣2，
∵点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，
∴当a＜0，则|m+2|＜1且|m+2|＞3，（不存在）；
当a＞0，则1＜|m+2|＜3，解得﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1．
故选：D．
3．二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象如图，下列结论错误的为（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．a+b+c＞0
C．ax2+bx+c≥﹣1 D．2a﹣b＝0
【答案】D
【详解】解：由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故选项A正确不符合题意；
由图象可知，当x=1时，y>0，所以a+b+c＞0，故选项B正确不符合题意；
由图象可知，抛物线的最低点为(-2,-1)，所以ax2+bx+c≥﹣1，故选项C正确不符合题意；
由图象可知，抛物线的对称轴为x=-2，，所以4a﹣b＝0，故选项D错误符合题意．
故选：D．
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．abc＜0 B．a＋b＞m（am＋b）（m≠1）
C．4a﹣2b＋c＜0 D．3a＋c＝1
【答案】D
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故A正确；
当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，
当x＝1时，y有最大值为a+b+c，
∴am2+bm+c＜a+b+c，
∴am2+bm＜a+b，
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），故B正确；
由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，
即4a﹣2b+c＜0，故C正确；
由图象知，抛物线与x轴的交点横坐标大于﹣1小于0，对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴另一交点的横坐标大于2小于3，
∴当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，故D错误；
故选：D．
5．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
0
1
2
…
…
t
m
n
…
且当时，其对应的函数值．有下列结论：
①；②和3是关于x的方程的两个根；③对称轴为；④；其中，正确结论的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】二次函数（a，b，c是常数，），
当时，，
当时，，
．
当时，其对应的函数值，
二次函数开口向下，．
，，，
．（①结论符合题意）
时，，
是关于x的方程的根．
对称轴，，（③结论不符合题意）
和3是关于x的方程的两个根．（②结论符合题意）
时，，
时，，
．
．（④结论不符合题意）
正确的结论有2个．
故选：C．
6．已知抛物线（c为常数）经过点，，，当时，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】∵过点(4,c)，
∴16+4b+c=c，解得b=-4，
∴，
∴则抛物线的对称轴为x=2，，
∵(p,m)和(q,m)的函数值相等，
∴(p,m)和(q,m)关于抛物线对称轴对称，
∴，即，
∵，
∴，解得：，
将点(q,m)代入，
有：，变形得：，
∵函数的自变量范围为，
∴当q=5时，m取最大值，m=c+5，
当q=时，m取最小值，，
∴m的取值范围为：，
故选：B．
7．已知二次函数，当时，函数的最大值为8，则的值是____．
【答案】无解
【详解】解：∵二次函数，
∴二次函数的对称轴为直线，
①当，即时，此时二次函数在上y随x的增大而减小，在取最大值，即，解得，与不符；
②当即时，此时离二次函数对称轴更远，
∴二次函数在取最大值，即，解得，与不符；
③当即时，此时离二次函数对称轴更远，
∴二次函数在取最大值，即，解得与不符；
④当即时，此时二次函数在上y随x的增大而增大，在取最大值，，解得与不符．
综上不存在符合题意的的值．
故答案：无解．
8．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．
【答案】
【详解】解：点到轴的距离小于2，
，
点在二次函数的图象上，
，
当时，有最小值为1．
当时，，
的取值范围为.
故答案为：
9．已知抛物线的顶点（0，1）．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，直线交x轴于A，交抛物线于B、C，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，试比较AE•AF与4的大小关系．
(3)如图2，D（0，2），M（1，3），抛物线上是否存在点N，使得取得最小值，若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)AE·AF＞4；
(3)N（1，）．
【详解】（1）解：将点（0，1）代入，得c＝1，
∵点（0，1）是顶点，
∴，
∴b＝0，
∴该抛物线的解析式为：；
（2）当y＝kx＋k＝k（x＋1）＝0（k≠0）时，
解得：x＝－1，
∴A（−1，0），
联立，得：，
整理得：，
∴，，
∵AE＝，AF＝，
∴AE·AF
＝
＝
＝
＝，
∴AE·AF＞4；
（3）存在点N，使得NM＋ND取得最小值，
设抛物线上任意一点H（x，y），
∴HD＝，H点到x轴的距离为y，
∵，
∴HD＝，
∴H点到D的距离与H点到x轴的距离相等，
∴N点到D的距离与N点到x轴的距离相等，
∴当MN⊥x轴时，MN＋ND的值最小，
∴点N的横坐标为1，
当x＝1时，，
∴N（1，）．
10．北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为米，以起跳点正下方跳台底端为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点的坐标为，着陆坡顶端与落地点的距离为米，若斜坡的坡度（即．求：
(1)点的坐标；
(2)该抛物线的函数表达式；
(3)起跳点与着陆坡顶端之间的水平距离的长．（精确到米）（参考数据：）
【答案】(1)
(2)
(3)的长约为米
【详解】（1）解：∵，且点在轴正半轴，
∴．
（2）∵抛物线最高点的坐标为，
∴设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：．
（3）在中，，，
设CE＝3x，DE＝4x，
∴，
即，
解得x＝0.5，
∴，．
点的纵坐标为，
令，
解得，或不合题意，舍去，
∴．
∴．
∴的长约为米．
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