人教版九年级数学上册同步精品讲义及试卷 第二十二章 二次函数单元检测（一）

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第17课 二次函数单元检测（一）
一、单选题
1．下列关系式中y是x的二次函数的是（　　）
A．y=x2 B．y= C．y= D．y=ax2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义[一般地，把形如  （a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项,x为自变量，y为因变量,等号右边自变量的最高次数是2]判定即可．
【详解】
A、y=x2，是二次函数，正确；
B、y=，被开方数含自变量，不是二次函数，错误；
C、y=，分母中含自变量，不是二次函数，错误；
D、a=0时，不是二次函数，错误．
故选:A．
【点睛】
考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2．将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【答案】A
【解析】原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（1，2）．可设新抛物线的解析式为y=（x-h）2+k，代入得y=（x-1）2+2．
故选A．
3．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A.由图象可知开口向下，故a<0，此选项错误；
B.抛物线过点(−1，0)，(2，0)，根据抛物线的对称性，顶点的横坐标是，而的顶点横坐标是，故此选项错误；
C. 的顶点横坐标是− ，故此选项错误；
D. y=−x2+x+2的顶点横坐标是，并且抛物线过点(−1，0)，(2，0)，故此选项正确.
故选：D.
4．对二次函数的性质描述正确的是（ ）．
A．函数图象开口朝下 B．当时，随的增大而减小
C．该函数图象的对称轴在轴左侧 D．该函数图象与轴的交点位于轴负半轴
【答案】C
【分析】
根据二次函数一般式系数的意义判断D，将一般式化为顶点式后即可判断A、B、C选项．
【详解】

所以，该函数的图像开口朝上，对称轴为直线，在y轴左侧，故A选项错误，C选项正确；
∵函数对称轴为直线
∴当时，随的增大而减小，故B选项错误；
当时，y=3，故D选项错误；
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数一般式和顶点式的性质，熟练掌握一般式化为顶点式的方法是本题的关键．
5．已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个
D．2个
【答案】B
【分析】
根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线的对称轴、顶点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解．
【详解】
①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误；
②令y=0，则-x2+1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0），故本小题正确；
③抛物线的对称轴=0，是y轴，故本小题正确；
④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；
综上所述，正确的有②③④⑤共4个．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，理解二次函数图象与系数关系是关键.
6．抛物线y = ax2 + 2ax + a2 + 2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（　）

A．（0，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（3，0）
【答案】B
【分析】
根据抛物线对称轴公式线x＝－，求出对称轴，根据抛物线的对称性即可求解．
【详解】
∵y＝ax2＋2ax＋a2＋2的对称轴为直线x＝－＝－1，
∴点(－3，0)关于直线x＝－1的对称点的坐标为(1，0)．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的对称轴公式，x＝－，熟记公式，并代入相应的项是本题的关键．
7．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的图象大致为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据a的符号分类, 时,在A、B中判断一次函数的图象是否相符, 时,在C、D中进行判断.利用二次函数的图象和一次函数的图象的特点求解.
【详解】
①当时,二次函数y＝ax2的开口向上,一次函数y＝ax＋a 的图象经过第一、二、三象限,排除A、B;
②当时,二次函数y＝ax2的开口向下,一次函数y＝ax＋a的图象经过第二、三、四象限,排除D.
所以C选项是正确的.
【点睛】
本题主要考查二次函数和一次函数图像的知识，要掌握函数图像与系数的关系，并要学会通过函数图像判断其系数的取值范围是关键.
8．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为(　　)
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
【答案】C
【分析】
根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．
【详解】
∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1，
∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数，
∴k≠0，
则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0.
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4ac﹣b2＜8a；④3a+c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b），其中正确的结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
①根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点即可得结论；
②根据抛物线的对称轴即可得结论；
③根据抛物线与轴的交点个数即可得结论；
④根据抛物线的对称轴和等于1时小于0即可得结论；
⑤根据抛物线的顶点坐标及其它任何坐标的纵坐标进行比较即可得结论．
【详解】
解：①根据抛物线可知：
，，，，
所以①错误；
②因为对称轴，即，
，．
所以②正确；
③因为抛物线与轴有两个交点，
所以，
所以．
所以③正确；
④当时，，
即，
所以，
所以．
所以④正确；
⑤当时，有最大值，
所以当时，的值最大，
当时，，
所以，
即．
所以⑤错误．
所以有②③④正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握抛物线的相关性质．

二、填空题
10．函数y=2x2-8x+1的最小值是___________________.
【答案】-7
【分析】
直接利用配方法求出二次函数最值进而得出答案．
【详解】
解：y=2x2-8x+1 
=2（x-2）2-7， 
则二次函数y=2x2-8x+1的最小值是：-7． 
故答案为-7.
【点睛】
此题主要考查了二次函数的最值，正确进行配方是解题关键．
11．如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是________．

【答案】-1
【分析】
由图象可知，抛物线经过原点（0，0），二次函数y=ax2-3x+a2-1与y轴交点纵坐标为a2-1，所以a2-1=0，解得a的值．再图象开口向下，a＜0确定a的值．
【详解】
由图象可知，抛物线经过原点（0，0），
所以a2-1=0，解得a=±1，
∵图象开口向下，a＜0，
∴a=-1．
【点睛】
主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a＜0；经过原点a2-1=0，利用这两个条件即可求出a的值．
12．若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A（－1，y1）、B（2，y2）、C（3＋ ，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系是________．
【答案】y1＞y3＞y2．
【详解】
根据函数解析式的特点，其对称轴为x=3，图象开口向上；
利用y随x的增大而减小，可判断y2＜y1，
根据二次函数图象的对称性可判断y3＞y2；
于是y1＞y3＞y2．
故答案为：y1＞y3＞y2．
考点：二次函数的图象与性质
13．烟花厂为春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间是____________．
【答案】4s
【分析】
将二次函数化为顶点式，顶点横坐标即为所求．
【详解】
解：∵h==，
∴当t=4时，h取得最大值，
∴从点火升空到引爆需要的时间为4s．
故答案为：4s．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用问题，判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标是关键．
14．已知二次函数 的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______.

【答案】
【解析】
【分析】
首先把（3，0）代入二次函数y=-x2+2x+m可得m的值，然后再解可得解.
【详解】
解：根据图象可知，二次函数y=-x2+2x+m的部分图象经过点（3，0），所以该点适合方程y=-x2+2x+m，代入，得
-32+2×3+m=0，
解得m=3，
把m=-3代入一元二次方程，得
，
解得x1=3，x2=-1；
【点睛】
本题考查关于二次函数与一元二次方程，利用二次函数图象，根据图象提取有用条件来解答．
15．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(－2,7)，B(6,7)，C(3,－8)，则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是__________．
【答案】(1，-8)
【解析】
由A(−2，7)，B(6，7)得抛物线的对称轴x==2，
所以抛物线上纵坐标为−8的另一点，就是(3，−8)关于x=2的对称点(1，−8)，
所以另一点的坐标是(1，−8).
故答案为(1，−8).
点睛：此题考查了二次函数的对称性，解题时要认真观察.首先要理解题意，A(−2，7)，B(6，7)两点纵坐标相同，对称轴是两点横坐标的平均数，再利用对称轴，根据对称性即可求得.
16．抛物线的顶点为，已知一次函数的图象经过点，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为__________．
【答案】1
【分析】
易得顶点（2，-6），根据待定系数法，求出一次函数解析式，进而求出直线与坐标轴的交点，根据三角形的面积公式，即可求解.
【详解】
∵抛物线，
∴顶点（2，-6），
∵一次函数的图象经过点，
∴，解得：k=，
∴一次函数解析式为：，
∴直线与坐标轴的交点坐标分别是：（0，3），（，0），
∴一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积=.
故答案是：1.
【点睛】
本题主要考查二次函数和一次函数图象与平面几何的综合，掌握一次函数图象与坐标轴的交点坐标的求法，是解题的关键.

三、解答题
17．附加题：如图，四边形中，，设的长为，四边形的面积为.求与之间的关系式.

【答案】
【分析】
过D作DE⊥AC与E点，设BC=a，则AC=4a，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，易证得△ABC≌△DAE，所以AE=BC=a，DE=AC=4a，得到EC=AC-AE=4a-a=3a，在Rt△DEC中，根据勾股定理得到DC=5a，所以有x=5a，即；根据四边形ABCD的面积y=三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，即可得到
【详解】
解：过作于点，如图

设，则，


而，
，
，
在中，
，即
又四边形的面积三角形的面积三角形的面积，

即与之间的关系式是
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，根据实际问题列二次函数关系式，解题关键在于作辅助线和证明△ABC≌△DAE.
18．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？

【答案】水管长为2.25m．
【分析】
以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a值，则x＝0时得的y值即为水管的长．
【详解】
以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：
y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
代入（3，0）求得：a＝．
将a值代入得到抛物线的解析式为：
y＝（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
令x＝0，则y＝＝2.25．
故水管长为2.25m．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
19．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，
（1）AP＝　 　，BP＝　 　，BQ＝　 　；
（2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？
（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？

【答案】（1）2tcm，（12﹣2t）cm，4tcm；（2）当t＝2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；（3）当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2
【分析】
（1）根据路程=速度×时间以及题中给出的数量关系，即可得出结论；
（2）根据三角形的面积公式，列出方程即可求出结论；
（3）先列出△PBQ面积的函数解析式，再化成顶点式，找到最大值即可得出结论．
【详解】
解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
所以BP＝（12﹣2t）cm，
故答案为：2tcm，（12﹣2t）cm，4tcm；
（2）△PBQ的面积S＝
＝（12﹣2t）×4t
＝﹣4t2+24t＝32，
解得：t＝2或4，
即当t＝2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；
（3）S＝﹣4t2+24t
＝﹣4（t﹣3）2+36，
所以当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．
【点睛】
本题考查三角形的面积，二次函数最值等知识点，能根据题意列出函数关系式是解题的关键．
20．某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低0.5元，就可多售出10件．
（1）当销售单价为58元时，每天销售量是 件．
（2）求销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）若商场规定该品牌童装的销售单价不低于57元且不高于60元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
【答案】（1）240；（2）y＝－20x2＋2200x－56000；（3）4420元
【分析】
（1）根据题意求出销售单价降的钱数，再除以0.5，求出有几个0.5就多卖多少个10件，再加上原来的销售数量，即可得到答案；
（2）根据销售利润=一件的利润×销售量，即可列出函数解析式，化成一般形式即可；
（3）把（2）中的解析式化成顶点式，再根据自变量的取值范围确定取值范围内函数的增减性，根据减函数的特点找到x取值范围内的最小值，此时的y值即为函数最大值；
【详解】
（1）∵销售单价每降低0.5元，就可多售出10件，
∴每天的销售量为200+10×=240（件）
故答案为：240；
（2）设该品牌童装获得的利润为y（元）
根据题意，
y＝（x-40）（200+)
=（x－40）（－20x＋1400）
＝－20x2＋2200x－56000，
∴销售该品牌童装获得的利润y元与销售单价x元之间的函数关系式为：y＝－20x2＋2200x－56000；
（3）根据题意得57≤x≤60
y＝－20（x－55）2＋4500
∵a＝－20＜0
∴抛物线开口向下，当57≤x≤60时，y随x的增大而减小，
∴当x＝57时，y有最大值为4420元
∴商场销售该品牌童装获得的最大利润是4420元．
【点睛】
本题考查二次函数应用利润问题，找到自变量的取值范围，在取值范围内找到正确的最大值是正确解题的关键．
21．某商店销售一种商品，每件进价为40元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是（件）与销售单价（元）之间的函数关系如图中的线段．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出件数）

（1）求出与之间的函数表达式．
（2）该商品每月的总利润（元），求关于的函数表达式，并指出销售单价为多少元时利润最大，该月进货数量应定为多少？
（3）若该商店进货350件，如果销售不完，就以亏本36元/件计入总利润，则销售单价定为多少，当月月利润最大？
【答案】（1）；（2）当销售单价为70元时，总利润w最大，进货数量为300件；（3）此时销售单价定为68元时，当月月利润最大．
【分析】
（1）利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式；
（2）根据“总利润=单件利润×销售件数”列出函数关系式，配成顶点式，根据二次函数性质即可求解；
（3）设当月月利润为m，根据“总利润=总盈利-总亏损”得到m与x函数关系式，根据二次函数性质即可求解．
【详解】
解：（1）设y与x之间函数关系式为，
将点A（50,500），B（90,100）代入函数关系式得，
解得，
∴求出与之间的函数表达式为；
（2）由题意得

，
∴当销售单价为70元时，总利润w最大，此时该月进货数量应为-10×70+1000=300件；
（3）设当月月利润为m，
，
∵-10＜0，
∴当时，m最大，
答：此时销售单价定为68元时，当月月利润最大．
【点睛】
本题为一次函数、二次函数综合题，综合性较强，熟练掌握待定系数法和求总利润的数量关系，二次函数性质是解题关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，已知点坐标，点是直线上方的抛物线上一动点（不与点重合）过作轴的平行线交直线于点，连接．

（1）求直线的解析式及点的坐标；
（2）当面积最大时，求点的坐标以及最大面积．
【答案】（1），B的坐标为；（2）点的坐标为，面积的最大值为．
【分析】
（1）先求出抛物线与x轴交点A的坐标，再将A点坐标代入 ，利用待定系数法求出直线的解析式为，与抛物线的解析式联立，解方程组，即可求得B点的坐标；
（2）设P（x，），则C（x， ），则PC=-x2-4x+5，利用三角形面积公式得到S△APB=PC•|xA-xB|=（-x2-4x+5）×（1+5），然后利用二次函数的性质解决问题．
【详解】
解：点的坐标为，将代入，
得，
解得，
直线的解析式为
由
解得，
的坐标为
设，则，
，

当时，面积最大，最大值为，
此时点的坐标为．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法求直线的解析式，函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，三角形的面积，难度适中．