内蒙古自治区阿拉善盟阿拉善盟第一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）

这是一份内蒙古自治区阿拉善盟阿拉善盟第一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年内蒙古阿拉善盟一中高一（下）期中数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，且，
所以，解得．
故选：A．
2. 命题“，”的否定形式是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.
【详解】特称命题的否定是全称命题，
命题“，”的否定形式是，.
故选：A.
3. 设全集，集合，集合，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用集合的运算法则求解即可./
【详解】全集，集合，集合，
所以，，，
故选C.
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.
4. 已知单位向量满足，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量夹角公式、数量积的运算律得，根据已知得，进而求出，最后求夹角余弦值.
【详解】由，
又，则，
所以，则，
综上，.
故选：B
5. 在，，，中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦定理、三角形的面积公式求得正确答案.
【详解】因为若，，
所以，所以，
所以，，
所以的面积．
故选：C
6. 在中，D为的中点，E为边上的点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算结合图形即可得解.
【详解】由E为边上的点，且，
得.

故选：C
7. 设，，，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简，利用同角三角函数关系和二倍角公式化简，利用二倍角公式化简，再根据正弦函数的单调性比较大小.
【详解】因为，
，
．
又因为，
所以，
即有.
故选：D.
8. 已知函数的图象过点，且在上单调，把的图象向右平移个单位之后与原来的图象重合，当且时，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
代入点求出，根据平移关系和在上单调，确定，从而得到；找到区间内的对称轴，由对称性可得的值，进而代入求得结果.
【详解】过点 ，即
又
又的图象向右平移个单位后与原图象重合

上单调

令，，解得，
当时，为的一条对称轴
又
当，且时，

本题正确选项：
【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够通过三角函数的图象平移、周期、特殊点等求解出函数解析式，再利用三角函数的对称性将问题转化为特定角的三角函数值求解.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9. (多选)为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍
B. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的
C. 横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度
D. 横坐标变为原来的，再向左平移个单位长
【答案】BC
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换规律分析判断即可.
【详解】要得到函数的图象，
可将的图象上所有点向左平移个单位长度，
然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到；
也可将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，
然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得.
故选：BC.
10. 已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A. 若，则是等腰三角形
B. 若，则
C. 若是锐角三角形，则
D. 若，，，则的面积为或
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用诱导公式判断A，利用正弦定理及大角对大边判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用余弦定理求出，再由面积公式计算即可判断D；
【详解】解：对于A：若，则，整理得：或，
即或，故为直角三角形或等腰三角形，故A错误；
对于B：若，即，利用正弦定理得：，故，故B正确；
对于C：是锐角三角形，所以，整理得，故，
整理得：，故C正确；
对于D：由余弦定理，即，解得或，
所以或，故D正确；
故选：BCD
11. 已知向量，， 则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若在上的投影向量的模为，则向量与的夹角为
C. 存在，使得
D. 的最大值为
【答案】CD
【解析】
【分析】利用向量的数量积为0，求出正切函数值判断A；利用向量的数量积求解向量的投影以及向量的夹角判断B；通过向量的模的求法求解判断C；利用向量的数量积结合两角和与差的三角函数，求解最大值判断D．
【详解】对于A，若，则，则，故A错误；
对于B，由已知可得，且在上的投影向量的模为，所以，
所以，又，所以或，故B错误；
对于C，若，则，则，即，此时与同向，所以，解得，故C正确；
对于D，，其中，因为，，则当时，的最大值为，故D正确，
故选：CD．
12. 已知：函数，若直线与函数的图象有三个交点，，，且，则下列命题中正确的是（ ）
A. 函数有两个零点0和2 B.
C. 方程有6个不同根 D. 当时，方程有两个不相等的实根
【答案】ABD
【解析】
【分析】令，求出函数的零点可判断A；作出函数的大致图象，由图结合题意可得，即有，结合对数运算化简即可判断B；方程根的问题转化为图象交点的问题，结合图形可判断C，D.
【详解】由题意，令，
当时，，解得；当时，，解得，
则函数有两个零点0和2，故A正确；
作出函数的大致图象，如图，

由图结合题意可知，，
由，可得，即，故B正确；
由可得或，
由图可知，函数的图象与直线及共有4个交点，则方程有4个不同的根，故C错误；
当时，
当时，令，解得，
且由图象可得当时，与只有一个交点。
综上，直线与函数的图象有两个交点，则方程有两个不相等的实根，故D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________
【答案】##
【解析】
【分析】运用正弦定理及余弦定理可得解.
【详解】根据余弦定理：
，
得，
由正弦定理△ABC的外接圆半径为.
故答案为:.
14. 已知为锐角，角的终边经过点，，则________.
【答案】3
【解析】
【分析】
由角的终边经过点，不妨设为锐角，可得，，结三角函数值可得，则由可得，再由两角差的正切公式可求出的值
【详解】因为角的终边过点，不妨设为锐角，
则，.
因为，又因为为锐角，
所以，所以.
所以.
故答案为：3
15. 已知，若存在，满足，则称是的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是_____：（请写出符合要求的条件的序号）
①，，；②，，；③，，．
【答案】②
【解析】
【分析】满足,根据诱导公式，则有,,.逐一验证选项即可．
【详解】满足,
则有,,．
对于①,,显然不成立．
对于②，可取,,满足题意．
对于③，由,，则,可取的角为
或,若有一个角为,另一个角,此时
大于,不合题意,故==,
或,不合题意.所以③不满足．
故答案为②．
【点睛】本题考查新定义,考查诱导公式以及推理能力,根据条件逐一验证,属于中档题.
16. 已知，函数在上单调递增，则的取值范围是____
【答案】
【解析】
【分析】因为函数为奇函数，在上单调递增，所以函数在上单调递增，故再结合周期表达式即可得出的取值范围.
【详解】因为函数为奇函数，在上单调递增，所以函数在上单调递增，故，T，即 又所以.
故答案为
【点睛】本题考查了正弦型函数的性质，结合奇偶性，单调性可得出函数周期的情况，熟练掌握三角函数图象及性质是关键.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知向量，，．
（1）若与向量垂直，求实数的值；
（2）若向量，且与向量平行，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直列方程，化简求得的值.
（2）根据向量平行列方程，化简求得的值.
【小问1详解】
向量，，．
，，
与向量垂直，
，
解得．
【小问2详解】
向量，，
与向量平行，
，
解得．
18. 在中，，，且，求：
（1）求值；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)由正弦定理化简已知等式可得，由已知条件利用余弦定理得，解方程得到a的值，进而可求b得值.
(2)由已知条件，利用同角三角函数的基本关系可求得值，进而根据三角形的面积公示可计算得解.
【小问1详解】
因为，由正弦定理得，，所以，
由余弦定理得，因为，，
所以，化简得，解得 或，
当时，，与题意不符合;
当时，，符合题意.
所以.
【小问2详解】
因为，，
所以，所以的面积
19. 在中，角所对的边分别是，设的面积为.已知.
（1）求角的值；
（2）若，点在边上，为的平分线，的面积为，求边长的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形的面积公式结合余弦定理求出，即可得解；
（2）根据的面积求出，再利用等面积法即可得出答案.
【小问1详解】
因为，
即，
所以，
所以，
又，所以；
【小问2详解】
因为为的平分线，所以，
又，所以，
由，得，
解得或，
所以

20. 已知函数f（x）＝x2－ax＋2．
（1）若f（x）≤－4的解集为[2，b]，求实数a，b的值；
（2）当时，若关于x的不等式f（x）≥1－x2恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系得出实数a，b的值；
（2）不等式f（x）≥1－x2等价于，结合基本不等式得出实数a的取值范围．
【小问1详解】
若f（x）≤－4解集为[2，b]，则的解集为[2，b]
所以，解得
【小问2详解】
由f（x）≥1－x2得对恒成立
即在区间恒成立，所以
又，当且仅当时，取等号
所以，即，故实数的取值范围为
21. 已知向量，，函数，的最小正周期为．
（1）求的解析式；
（2）方程在上有且只有一个解，求实数n的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用向量的数量积运算得到，再根据周期求出即可；
（2）将问题转化为函数与在的图象只有1个交点求解.
【小问1详解】
解：，
，
∵的最小正周期为，
∴，
∴，
则.
【小问2详解】
因为方程与在上有且仅有1个解，
所以函数与在的图象只有1个交点，
∵，
∴，
当时，单调递增，当时，单调递减，
∵，，，
若要使与只有1个交点，
则或，
解得或．
22. 已知函数的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图象得出周期，即可根据三角函数周期计算得出，将点代入新解析式，得，根据已知得出范围，结合三角函数的零点得出，将点代入新解析式，即可得出，即可得出答案；
（2）设，根据已知结合诱导公式与辅助角公式化简，结合已知与函数单调性的定义得出在区间上单调递减，由三角函数的单调区间解出的单调递减区间，即可根据范围结合集合包含关系列出不等式组，即可解出答案.
【小问1详解】
由图象可知，周期，
，
因为点在函数图象上，
所以，即，
又，
，
则，即，
因为点在函数图象上，所以，即，
故函数的解析式为.
【小问2详解】
由题意可得，
设

，当时，恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
在区间上单调递减，
令，解得，
因为，所以，则，
故，解得，
所以最大值为.