陕西省榆林市横山中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）

这是一份陕西省榆林市横山中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省榆林市横山中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量平行坐标表示方法，列式求解.
【详解】根据题意，向量，，
若，则有，解得．
故选：A
2. 下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由旋转体结构特征逐一分析四个选项得答案．
【详解】由图可知，A选项中的直角梯形绕给出的轴旋转一周，能形成圆台，
B选项中的半圆绕给出的轴旋转一周，能形成球体，
C选项中的矩形绕给出的轴旋转一周，能形成圆柱，
D选项中的直角三角形绕给出的轴旋转一周，能形成圆锥．
故选：A
3. 已知复数满足（i是虚数单位），则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数乘方运算法则和除法法则计算得到，得到虚部.
【详解】，则，
则其虚部为．
故选：D
4. 若平面四边形满足：，，则该四边形一定是（ ）
A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
【答案】B
【解析】
【分析】根据得到，，所以四边形为平行四边形，由得到，故四边形为菱形.
【详解】因为，所以，
即，，
所以四边形为平行四边形，
因为，
所以，即平行四边形的对角线互相垂直，
所以四边形为菱形．
故选：B
5. 设，下列向量中，可与向量组成基底的向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据构成基地向量的条件不共线的两个非零向量解决.
【详解】对于AB项，若时，，不满足构成基向量的条件，所以AB都错误；
对于D项，若时，不满足构成基向量的条件，所以D错误；
对于C项，因为，又因为恒成立，说明与不共线，复合构成基向量的条件，所以C正确.
故选：C
6. 体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重约为（参考数据：取重力加速度大小为，）（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设两只胳膊的拉力分别为，结合，即可求解.
【详解】设两只胳膊的拉力分别为，且，
则，
所以学生体重.
故选：A.
7. 已知△ABC中，sinA=3sinCcosB，且AB=2，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A. 3 B. C. 9 D.
【答案】A
【解析】
【分析】法一：根据正弦定理，将角化边，从而利用三角形面积公式，半角公式及三角函数有界性求出面积的最大值；
法二：根据正弦定理，将边化角，得到，画出图形，作出辅助线，设，得到，利用基本不等式求出三角形面积的最大值.
【详解】法一：由正弦定理得：，

法二：由正弦定理得：，
所以
故，如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，
设，则，
由勾股定理得：，
所以

当且仅当时，等号成立，
故选：A.
8. 若正三棱锥的高为，，其各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意画出图形，求出外接圆的半径，再由勾股定理列式求解多面体外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．
【详解】已知正三棱锥的底面边长为，高为，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，
如图所示：

，
设点为的中心，为外接球的球心，可能在三棱锥内部，也可能在外部，
，即，解得．
该球的表面积为．
故选：C
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用平行向量和相等向量的定义求解．
【详解】由正六边形的结构特征可知，
与方向相同，长度相等，，故选项A正确，
与方向相反，，故选项B正确，
由正六边形的性质可知，，故选项C正确，
与不共线，所以不会相等，故选项D错误，
故选：ABC．
10. 如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，则关于平面四边形OABC有（ ）

A. 图形为矩形 B. 周长为8 C. 边OC的长度为2 D. 面积为
【答案】BD
【解析】
【分析】还原出原图，根据直观图与原图的长度关系，即可求得，的值，代入公式，即可得答案.
【详解】把直观图还原为原图形，如图所示，所以原图形为平行四边形，故A错；

根据题意，，，，平面四边形OABC的周长为：，故B正确，C错误；
所以平行四边形的面积，故D正确.
故选：BD.
11. 对任意向量、，下列关系式中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算和数量积的定义与运算逐项分析判断.
【详解】对A：根据数量积的运算律可得：恒成立，A正确；
对B：根据，可得恒成立，B正确；
对C：，其中为的夹角，
∵，可得，
∴恒成立，C正确；
对D：根据向量减法可得：，当且仅当同向或中有零向量时等号成立，
故不恒成立，D错误；
故选：ABC.
12. 已知为虚数单位，则（ ）
A. 若复数的共轭复数为，则
B. 若，则的充要条件是
C. 若复数，则，
D. 若复数，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由共轭复数的定义，复数模公式判断；由题意可知，，不一定是的实部和虚部，结合充分必要条件的对于判断B；由实数的运算性质判断C；由复数的四则运算及复数模公式判断D.
【详解】设，则，，故A正确；
由，知，不一定是的实部和虚部，不一定得到，故B错误；
复数，只有实数可以比较大小，虚数不能比较大小，则，，故C正确；
，则，故D正确.
故选：ACD．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. ______ ．
【答案】##
【解析】
【分析】利用复数乘法法则求解即可
【详解】，
故答案为：
14. 已知向量为单位向量，且，则向量在向量方向上的投影向量是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的公式计算即可．
【详解】向量在向量方向上的投影向量是．
故答案为：
15. 若复数满足，则 ______ ．
【答案】
【解析】
【分析】配方解方程，将表示出来即可．
【详解】由，得，
则，则，故．
故答案为：
16. 米斗是我国古代官仓、粮栈、米行必备的用具，是称量粮食的量器如图是一种米斗，可盛米升升，已知米斗的形状为正四棱台，且上口宽为，下口宽为，则高约为______ 结果保留一位小数

【答案】
【解析】
【分析】根据题意，设该棱台的高为，由棱台的体积公式可得，变形可得答案．
【详解】根据题意，设该棱台的高为，
该正四棱台上底面边长为，下底面边长为，其体积升，
则有
变形有
故答案为：．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知复数，．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由实部为且虚部不为列式求解；
（2）由实部与虚部均小于得到不等式组，求出的取值范围．
【小问1详解】
是纯虚数，
故，解得
【小问2详解】
因为在复平面内对应的点在第三象限，
所以，解得，
故的取值范围为．
18. 已知向量，满足，．
（1）若，的夹角为，求；
（2）若，求与的夹角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先算出 ，再按照数量积的公式计算即可
（1）根据得到，计算出，再根据 即可
【小问1详解】
，所以，
所以
【小问2详解】
因为，所以，
所以，所以 ，
令
所以，
因为，所以
故与的夹角为．
19. 如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，

（1）求圆锥的表面积和体积.
（2）求圆柱的表面积.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出圆锥的高可得体积，由表面积公式计算出表面积；
（2）求出圆柱的底面半径后可得表面积．
【详解】（1）由题意圆锥的高为，
所以圆锥的表面积为，
体积为．
（2）设圆柱半径为，则，，
所以圆柱的表面积为．
【点睛】本题考查圆柱与圆锥的表面积和体积，属于基础题．
20. 如图，在平行四边形ABCD中，，．设，．

（1）用，表示，；
（2）用向量的方法证明：A，F，C三点共线．
【答案】（1），；
（2）答案见详解.
【解析】
【分析】（1）根据向量加法平行四边形法则，可得，由结合已知可得；
（2）根据可推出，即.再根据有公共点，可证得三点共线.
【小问1详解】
解：根据向量加法的平行四边形法则，可得.
.
【小问2详解】
证明：由（1）知，，所以，
所以，
所以，，共线.
又直线，直线有公共点，
所以，，，三点共线
21. 如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB = 6，BC = 4，AA1 =5，过的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
（ Ⅰ ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．

【答案】（1）见解析（2）1：3
【解析】
【分析】取中点,连则为所画正方形，
（II）两部分均为底面为梯形的直棱柱，代入棱柱的体积公式求出两部分的体积即可得出体积比．
【详解】解取中点,连则为所画正方形，


由 为正方形，又

平面把该长方体分成的两部分体积的比值为30：90=1：3
【点睛】本题考查了棱柱的截面的画法及体积计算，属于基础题．
22. 如图，A、B、C三地在以O为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，D是圆形区域外一景点，，.

（1）O、A相距多少公里？（精确到小数点后两位）
（2）若一汽车从A处出发，以每小时50公里的速度沿公路AD行驶到D处.需要多少小时？（精确到小数点后两位）
【答案】（1）15.28公里
（2）1.25小时
【解析】
【分析】（1）由余弦定理求出，由正弦定理得到的外接圆半径，即可求出O、A相距多少公里；
（2）求出，由正弦定理求出，由余弦定理计算出公路AD的长，根据汽车的速度，即可求出所需的时间.
【小问1详解】
由题意，设圆的半径为R，
在中，，，，
由余弦定理，

由正弦定理，
，
解得：,
由几何知识得，O、A间的距离即为半径，
∴，
∴O、A相距15.28公里
【小问2详解】
由题意及（1）得
在中，，，，
∴，
在中，，，，
由正弦定理，
，
∴在中，
，
由余弦定理，
，
∵一汽车从A处出发，以每小时50公里的速度沿公路AD行驶到D处，
∴所需时间：，
∴需要1.25小时.