云南省昆明市官渡区尚品书院学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（解析版）

这是一份云南省昆明市官渡区尚品书院学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 试题满分：150分
命题教师：刘玉刚 审题教师：刘起岑
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 向量，的夹角为D. 在方向上的投影是
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积、模、夹角、投影等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对选项A，，因为，
所以，故A错误；
对选项B，，
所以，故B错误；
对选项C，，
所以向量，的夹角为，故C正确；
对选项D，在方向上的投影是，故D错误.
故选：C
2. 设向量，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 与垂直
【答案】D
【解析】
【分析】根据，逐项判断.
【详解】因为，
所以，，
，
显然不平行，
故选：D.
3. 设，，，若，则与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据题意求出,再代入公式即可.
【详解】因为，，
所以,
又因为
所以解得.
所以
所以.
故选：B.
4. 设向量，，，则（ ）
A. B. C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据模长计算公式列出方程，求出答案.
【详解】，故，
又，，
故，解得.
故选：C
5. 已知在中，，是的垂心，且满足，则的面积（ ）
A. B. 8C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理化简已知等式，变形后利用余弦定理可求出，从而可求出角的度数，利用平面向量的数量积运算法则以及已知条件可求出的值，根据三角形面积公式表示出，将各自的值代入计算即可求出三角形的面积.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，
所以由余弦定理得，
因为，所以，
因为是垂心，所以，
因为，
所以，所以，
所以，
故选：C

6. i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. z的虚部为－D. z在复平面内对应的点在第三象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的运算法则求得，计算其模，共轭复数，由复数的定义和几何意义判断各选项．
【详解】由已知，所以，
，A错；
，C错；
的虚部是，C错；
对应点坐标为，在第三象限，D正确．
故选：D．
7. 已知为虚数单位，且复数满足，则下面关于复数的三个命题：
①复数的虚部为；
②
③复数的共轭复数对应的点在第一象限．
其中正确命题的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由复数的四则运算化简复数，再逐项判断即可．
【详解】，
，即，
故．
对于①，复数的虚部为，故①错误；
对于②， ，故②错误；
对于③，，复数的共轭复数对应的点为，
则复数的共轭复数对应的点在第一象限，故③正确；
因此，三个命题中正确命题的个数为1．
故选：D．
8. 在给出的下列命题中，错误的是（ ）
A. 设是同一平面上的四个点，若，则点必共线
B. 若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的
C. 已知平面向量满足，则为等腰三角形
D. 已知平面向量满足，且，则是等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】对A，化简得出，根据向量共线定理可判断；对B，根据平面向量基本定理可判断；对C，根据可得，根据可得为的角平分线即可判断；对D，由平方可求得的夹角，即可判断.
【详解】对A，若，则，即，则，且有公共点，故共线，故A正确；
对B，根据平面向量基本定理可得若共线，则不满足题意，故B错误；
对C，，，即，所以，
又，所以为的角平分线，所以为等腰三角形，故C正确.
对D，若，且，则，
则，即，
则，则的夹角为，同理的夹角为，的夹角为，所以是等边三角形，故D正确.
综上，错误的选项为B.
故选：B.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列命题中正确的是：（ ）
A. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
B. 已知，且，则
C. 若，，，为锐角，则实数的取值范围是
D. 若非零，满足，则与的夹角是
【答案】AD
【解析】
【分析】利用平面向量的数量积知识对各选项逐一运算并判断作答.
【详解】对于A，因，是非零向量，由两边平方得，则与共线且反向，A正确；
对于B，，由得，则与可能垂直，B不正确；
对于C，依题意得，为锐角，则，即，
当时，，即，显然与不共线，则，于是得为锐角时，且，C不正确；
对于D，，是非零向量，由得，则，
，，而，于是得，
即与的夹角是，D正确.
故选：AD
10. 已知向量，则（ ）
A. B. 向量在向量上的投影向量是
C. D. 与向量方向相同的单位向量是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量数量积的坐标运算可判断A；利用向量数量积的几何意义可判断B；利用向量模的坐标表示可判断C；根据向量方向相同的单位向量可判断D.
【详解】由向量
A，，所以，所以，故A正确；
B，向量在向量上的投影向量为，故B错误；
C，，所以，故C正确；
D，与向量方向相同的单位向量，故D正确.
故选：ACD
11. 下列关于复数的四个命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则的共轭复数的虚部为1
C. 若，则的最大值为3
D. 若复数，满足，，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据复数模、共轭复数的积运算即可判断A，由复数除法的运算及共轭复数、虚部的概念判断B，根据复数模的几何意义及圆的性质判断C，利用复数的加减运算、模的运算求解可判断D.
【详解】设，
对A，，，故正确；
对B，，所以，
，其虚部为，故错误；
对C，由的几何意义，知复数对应的动点 到定点的距离为1，
即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，表示动点到定点的距离，由圆的性质知，，故正确；
对D，设，因为，，
所以，又，所以，
所以，所以
，故正确.
故选：ACD
12. 下列说法中错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若．且，则
C. 已知，则在上的投影向量是
D. 三个不共线向量满足，则O是的外心
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，举反例判断即可；
对B，根据数量积的运算分析即可；
对C，根据条件可得，进而根据投影向量的公式求解即可；
对D，根据，结合数量积的公式可得，再同理判断即可
【详解】对A，若，则，但不一定成立，故A错误；
对B，若．且，则，即，并不能推出，故B错误；
对C，因为，故，所以在上的投影向量是，故C正确；
对D，，则，故，故，所以，即在的角平分线上，同理在的角平分线上，故为的内心，故D错误；
故选：ABD
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设x，，向量，，，且，，则向量与的夹角大小为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量垂直和平行关系求出，进而求出，从而利用向量夹角余弦公式进行计算.
【详解】由题意得，解得，
故，，
则，
因为，所以.
故答案为：
14. 已知在Rt△ABC中，AC⊥BC，，若B、C、D三点共线，则m+n＝_____.
【答案】0或3
【解析】
【分析】由得到坐标，再由AC⊥BC，B、C、D三点共线的向量表示，得到等量关系，即得解.
【详解】
由于AC⊥BC，故
或
若B、C、D三点共线，则
或4
故：m+n＝0或3
【点睛】本题考查了向量垂直，共线的坐标表示，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
15. 若复数满足，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，，依题意可得，
即，再根据复数相等，得到方程组，解得即可；
【详解】解：设，，
因为
所以
即
所以解得，即
故答案为：
【点睛】本题考查复数的运算及复数相等的充要条件的应用，属于基础题.
16. 已知△的内角A，，所对的边分别为，，，且，若△的面积为，则△的周长的最小值为____________________.
【答案】12
【解析】
【分析】利用正弦定理将题中的边角关系转化为角的关系，结合余弦定理得到角C的余弦值，进而得到角C的正弦值，根据三角形的面积得到ab，从而利用基本不等式和函数的单调性求解三角形周长的最小值.
【详解】，
由正弦定理可得，化简得，
由余弦定理可得，则，
∵△的面积为，解得，
由得，
由余弦定理可得，即，当且仅当时等号成立，
∴△的周长为，
易得函数在上单调递增，
则，当且仅当时等号成立，
即△的周长的最小值为．
故答案为：12.
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知两个不共线的向量，满足，，．
（1）若，求角的值；
（2）若与垂直，求的值；
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量平行得到，求出，；
（2）根据向量垂直得到，结合求出，从而得到，求出答案.
【小问1详解】
因为，所以，故，
因为，所以，；
【小问2详解】
因为与垂直，
所以，即，
因为，
即，解得，
故，故.
18. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，，，

（1）求的值；
（2）若，，，求值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量基本定理得到，求出，求出答案；
（2）先得到，根据向量数量积公式计算即可.
【小问1详解】
因为，，
所以，
故，；
【小问2详解】
因为，
故
.
19. 已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）.
（1）设复数，求；
（2）设复数，且复数所对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
【答案】（I）；（Ⅱ）.
【解析】
【详解】分析：根据复数的概念及其分类，求解．
（1）求得，再根据复数的模的计算公式，即可求解；
（2）由（1）可求得，根据复数对应的点位于第一象限，列出方程组，即可求解实数的取值范围．
详解：∵z=1+mi，∴．
∴
又∵为纯虚数，
∴，解得m=﹣3．
∴z=1﹣3i．
（Ⅰ），
∴；
（Ⅱ）∵z=1﹣3i，
∴．
又∵复数z2所对应的点在第1象限，
∴，．
∴．
点睛：复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为．
20. 在①；②；③这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中.
问题：在中，内角的对边分别为，_________，，点是线段上一点.
（1）若，求的值；
（2）若，且，求的面积.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）若选①，则可得，然后利用余弦定理可求出角，然后在和分别利用正弦定理，两式相比可求得结果，若选②，则由已知条件结合正弦定理可求得，再求出，再利用三角函数恒等变换公式可求出，角，然后在和分别利用正弦定理，两式相比可求得结果，若选③，可得，结合余弦定理化简得，由已知条件可得，然后利用余弦定理可求出角，然后在和分别利用正弦定理，两式相比可求得结果，
（2）由已知可得，两边平方化简可得，再结合，可求出的值，从而可求出三角形的面积
【小问1详解】
若选①，，
，
∵，，
∵，所以，
在中，由正弦定理得，，即①
在中，由正弦定理得，，即②，
因为，所以，
所以.
若选②
由，而
，
∵，，
∵，所以，
在中，由正弦定理得，，即①
在中，由正弦定理得，，即②，
因为，所以，
所以.
若选③，
由，
∴，化简得，
∵，∴
，
∵，，
∵，所以，
在中，由正弦定理得，，即①
在中，由正弦定理得，，即②，
因为，所以，
所以.
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
，而
.
21. 已知锐角的内角所对的边分别，且. 若，，且．
（1）求角和边．
（2）若点满足，求的面积．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）由向量垂直得数量积为0，再由正弦定理化边为角，可求得角，然后由余弦定理求得，注意取舍．
（2）由向量线性运算求得在上位置，利用的面积得出结论．
【详解】（1）由，即，由正弦定理，
，又，
又．
由，代入得，1或2，
又时，，不合题意，舍；
时，，符合题意，所以．
（2），
，
在上，且为靠近的三等分点，
，
．
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，平面向量垂直的数量积表示，解题关键是由正弦定理化边为角．在解三角形中已知两边和一边对角求第三边时也可以应用余弦定理列式求解，同样需要判断三角形解的情况．
22. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，点满足，求的面积；
（3）若，且外接圆半径为2，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围.
【答案】（1），（2），（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理，进行边角互化得，再利用余弦定理可求得，从而可求出角，
（2）由余弦定理求出，再根据向量的线性运算可得,根据三角形的面积公式可求得答案，
（3）由已知和余弦定理可得三角形为等边三角形，再运用向量数量积运算可求得的范围
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理和余弦定理得，
化简得，
所以由余弦定理得，，
因为，所以，
（2）由余弦定理得，，
所以，即，
所以，因为，所以，
因为，
所以，
所以的面积为，
（3）由，利用余弦定理得，得，
所以三角形为等边三角形，
所以，，,
所以,
所以,
所以
因为，所以，
所以的取值范围为