通用版2020版高考数学大一轮复习第17讲 任意角和蝗制及任意角的三角函数 学案 含答案

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第17讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数


1.角的概念的推广
(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着　　　　从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.  
(2)分类:按旋转方向分为　　　　、　　　　和零角;按终边位置分为　　　　和轴线角. 
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S=　.  
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:把长度等于　　　　的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad.  
(2)公式:

角α的弧度数的绝对值
|α|=(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°= rad,②1 rad=°
弧长公式
弧长l=　　　 
扇形面积公式
S=lr=|α|r2

3.任意角的三角函数
(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=　　　,cos α=　　　,tan α=(x≠0). 
(2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图3-17-1中的有向线段OM,MP,AT分别称为角α的　　　　　、　　　　　和　　　　　. 

(Ⅰ)　　　　　　 (Ⅱ)

(Ⅲ)　　　　　　 (Ⅳ)
图3-17-1

常用结论
象限角与轴线角
(1)象限角

(2)轴线角



题组一　常识题
1.[教材改编] 终边落在第一象限角平分线上的角的集合是　　　　　　　　　. 
2.[教材改编] (1)67°30'=　　　　rad;(2)= 　　　　°. 
3.[教材改编] 半径为120 mm的圆上长为144 mm的弧所对圆心角α的弧度数是　　　　. 
4.[教材改编] 若角α的终边经过点P(-1,2),则sin α-cos α+tan α=　　　　. 
题组二　常错题
◆索引:对角的范围把握不准;不能据函数值的符号确定角所在的象限;不熟悉角在不同象限时对应的三角函数值的符号;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错.
5.在△ABC中,若sin A=,则A=　　　　. 
6.已知P(-,y)为角β的终边上的一点,且sin β=,则y=　　　　. 
7.当α为第二象限角时,-的值是　　　　. 
8.若一扇形的圆心角为72°,半径为20 cm,则扇形的面积为　　　　cm2. 

探究点一　角的集合表示及象限角的判定
例1 (1)[2018·长春一模] 若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-x上,则角α的所有取值的集合是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.αα=2kπ-,k∈Z
B.
C.
D.
(2)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是 (　　)

A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
图3-17-2
 
 
 
[总结反思] (1)角α(0≤αc B.b>a>c
C.a>c>b D.c>a>b

 
 
 
[总结反思] 利用三角函数线比较大小或解三角不等式,通常采用数形结合的方法,一般来说sin x≥b,cos x≥a,只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x的范围.
变式题 函数f(x)=+lnsin x-的定义域为　　　　　　　　　　　. 










第17讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数
考试说明 1.任意角、弧度制
(1)了解任意角的概念和弧度制的概念.
(2)能进行弧度与角度的互化.
2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

【课前双基巩固】
知识聚焦
1.(1)端点　(2)正角　负角　象限角　(3){β|β=α+k·360°,k∈Z}
2.(1)半径长　(2)|α|r
3.(1)y　x　(2)余弦线　正弦线　正切线
对点演练
1.{α|α=k·360°+45°,k∈Z}　[解析] 终边落在第一象限角平分线上的最小正角为45°,所以与其终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+45°,k∈Z}.
2.(1)π　(2)15　[解析] (1)67°30'=67.5×=(rad);(2)=×°=15°.
3.1.2　[解析] 根据圆心角弧度数的计算公式得,α==1.2.
4.　[解析] r==,所以sin α==,cos α=-=-,tan α==-2,所以sin α-cos α+tan α=.
5.或π　[解析] 因为0