通用版2020版高考数学大一轮复习第21讲 两角和与差的正弦 学案 含答案

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第21讲　两角和与差的正弦、余弦和正切


两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S(α±β):sin(α±β)=　　　　　　　　　　　. 
(2)公式C(α±β):cos(α±β)= 　　　　　　　　　　　. 
(3)公式T(α±β):tan(α±β)=　　　　　　　　　. 

常用结论
1.两角和与差的正切公式的变形:
tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.二倍角余弦公式的变形:
sin2α=,cos2α=.
3.一般地,函数f(α)=asin α+bcos α(a,b为常数)可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=cos(α-φ).


题组一　常识题
1.[教材改编] sin 75°的值为　　　　. 

2.[教材改编] 已知cos α=-,α∈,则sinα+的值是　　　　. 
3.[教材改编] cos 65°cos 115°-cos 25°sin 115°=　　　　. 
4.[教材改编] 已知tan α=,tan β=-2,则tan(α-β)的值为　　　　. 
题组二　常错题
◆索引:忽略角的取值范围;公式的结构套用错误;混淆两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号;方法选择不当致误.
5.已知tan+α=,α∈,π,则cos α的值是　　　　. 
6.化简:sin x-cos x=　　　　. 
7.计算:=　　　　. 
8.若α+β=,则[1+tan(π-α)](1-tan β)的值为　　　　. 

探究点一　两角和与差的三角函数公式
例1 (1)[2018·湘潭模拟] 若sin(2α-β)=,sin(2α+β)=,则sin 2αcos β= (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.

(2)[2018·晋城一模] 已知cos=cos α,tan β=,则tan(α+β)=　　　　. 
 
 
 
 
[总结反思] 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.
变式题 (1)[2018·佛山质检] 已知cos α=,α∈,则cos= (　　)
A.- B.
C. D.
(2)[2018·唐山三模] 已知tanα+=1,则tanα-= (　　)
A.2-
B.2+
C.-2-
D.-2+
探究点二　两角和与差公式的逆用与变形
例2 (1)[2018·烟台一模] 已知cos=,则cos x+cos= (　　)
A.-1 B.1
C. D.
(2)已知sin α+cos β=,sin β-cos α=,则sin(α-β)=　　　　. 
 
 
 
 
[总结反思] 常见的公式变形:(1)两角正切的和差公式的变形,即tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β);(2) asin α+bcos α=sin(α+φ)tan φ=.

变式题 (1)[2018·河南中原名校联考] cos 375°+sin 375°的值为 (　　)
A. B. C.- D.-
(2)(1+tan 20°)(1+tan 21°)(1+tan 24°)(1+tan 25°)=　　　　. 
探究点三　角的变换问题
例3 (1)已知α∈,cos-sin α=,则sinα+的值是 (　　)
A.- B.-
C. D.-
(2)[2018·莆田二模] 已知sin α=,sin(β-α)=-,α,β均为锐角,则β= (　　)
A. B. C. D.
 
 
 
[总结反思] 常见的角变换:±2α=2±α,2α=(α+β)+(α-β),α=+,+α=--α等.
变式题 (1)[2018·榆林模拟] 若0