高考数学二轮复习题海集训23 平面向量的数量积（30题含答案）

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2020高考数学(理数)题海集训23 平面向量的数量积

一 、选择题
若m·n≤0，则m与n的夹角θ的取值范围是(　　)
A.[0，) B.[，π) C.[，π] D.[0，]

已知a=(cos α，sin α)，b=(cos(－α)，sin(－α))，那么a·b=0是α=kπ＋(k∈Z)的(　　)
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是(　　)
A.若a·b=0，则a=0或b=0 B.若λa=0，则λ=0或a=0
C.若a2=b2，则a=b或a=－b D.若a·b=a·c，则b=c

设向量a,b满足|a|=1,|a-b|=,a·(a-b)=0,则|2a+b|=(　　)
A.2 B.2 C.4 D.4
已知平面向量a，b的夹角为，且|a|=1，|b|=0.5，则|a－2b|=(　　)
A. B．1 C．2 D．1.5


已知平面向量，且，则（    ）
A.     B.    C.    D.
已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（　　）
A.    B.    C.   D.
已知非零向量与满足·=0，且·=，则△ABC为(　　)
A．三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形

的外接圆圆心为O，半径为2，为零向量，且，则在方向上的投影为（    ）
  A.      B.     C.     D.
已知向量，，，若实数满足，则（  ）
A.5       B.6         C.7          D.8
已知向量，，，若与的夹角为60°，且，则实数的值为（    ）
A.      B.         C.6        D.4
在空间直角坐标系中，A(1，1，-2)，B(1，2，-3)，C(-1，3，0)，D(x，y，z) ，(x，y，z∈R)，若四点A，B，C，D共面，则（      ）   
A.2x+y+z=1       B.x+y+z=0       C.x-y+z=-4      D.x+y-z=0
已知平面向量，满足||=||=1，·=－.若||=1，则||的最大值为(　　)
A.－1 B.－1 C.＋1 D．＋1

对于菱形ABCD，给出下列各式：①；②；③ ④2 .其中正确的个数为（ 　　 ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
在△ABC中，D，E分别为BC，AB的中点，F为AD的中点，若，AB=2AC=2，则的值为（　　）
A.   B.   C.    D.
如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点， =， =，则=（　　）
A.﹣  B. ﹣     C. +  D. +
在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值为（ ）

A.3        B.           C.            D.2
若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a-b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
如图，正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，若=x+y，则xy=（　　）
A.2     B.    C.    D.
A.(-13，4) B.(13，-4)   C(-13，-4) D.(13，4)

二 、填空题
已知向量的夹角为，则 .

.若等腰△ABC的底边BC长为4，则·=________.
已知|a|=4，|b|=5，则a在b上的射影的数量与b在a上的射影的数量的比值λ=________.

如图，在直角梯形中，,若分别是线段和上的动点，则的取值范围为            .

设，， ，且，则在上的投影的取值范围是      ．
已知向量夹角为45°，且，则=　    　．
若单位向量满足，则向量的夹角的余弦值为　　．
已知向量，的夹角为，，，则________．
已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______.
若向量a,b满足:a=(-,1),(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,则|b|=　　　　　. 
答案解析
答案为：C；
解析：∵m·n≤0，∴|m|·|n|cos θ≤0，∴cos θ≤0，∴≤θ≤π.
答案为：B；
解析：a·b=cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)=cos2α－sin2α=cos 2α，
若a·b=0，则cos 2α=0，∴2α=2kπ±(k∈Z)，解得α=kπ±(k∈Z)．
∴a·b=0是α=kπ＋(k∈Z)的必要不充分条件．故选B.


答案为：B；
解析：A中，若a·b=0，则a=0或b=0或a⊥b，故A错；C中，若a2=b2，则|a|=|b|，C错；D中，若a·b=a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有选项B正确.
答案为：B；
解析：由a·(a-b)=0,可得a·b=a2=1,由|a-b|=,可得(a-b)2=3,即a2-2a·b+b2=3,解得b2=4.
故(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=12,所以|2a+b|=2.
答案为：B.
解析：∵|a－2b|2=|a|2＋4|b|2－4a·b=1＋1－1=1，∴|a－2b|=1.故选B.


C
D解：根据题意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），则==，令t=，则=t，
而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：≤t≤2，又由=t，故≤≤2；故选：D.

答案为：D；
解析：由·=0，得BC垂直于角A的平分线，则△ABC为等腰三角形，
AB，AC为腰．由·=，得A=60°.所以△ABC为等边三角形，故选D.


B
B
A
A
答案为：D；
解析：因为||=||=1，·=－，所以cos ∠APB=－，即∠APB=，
由余弦定理可得AB==.如图，建立平面直角坐标系，则A，B，
由题设点C(x，y)在以B为圆心，半径为1的圆上运动，
结合图形可知，点C(x，y)运动到点D时，有|AC|max=|AD|=|AB|＋1=＋1.故选D.



C
B解：如图所示，△ABC中，D，E分别为BC，AB的中点，F为AD的中点，，且AB=2AC=2，∴=（+）•=（﹣+）•（+）=﹣﹣•+=﹣×12﹣×（﹣1）+×22=.故选：B.

D解：如图：连结CD，OD，∵已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，∴AODC是平行四边形，∴=.
故选：D.
A
【解析】由题意，画出右图.设与切于点，连接.以为原点，为轴正半轴，
为轴正半轴建立直角坐标系，则点坐标为.
∵，.∴.∵切于点.∴⊥.
∴是中斜边上的高.即的半径为.∵在上.∴点的轨迹方程为.
设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：
而，，.
∵∴，.
两式相加得：(其中，)
当且仅当，时，取得最大值3.
答案为:D；
解析：由|a+b|=|a-b|可知a⊥b,设=b,=a,如图,作矩形ABCD,连接AC,BD,
可知=a+b,=a-b,设AC与BD的交点为O,结合题意可知OA=OD=AD,∴∠AOD=,
∴∠DOC=,又向量a+b与a-b的夹角为与的夹角,故所求夹角为,选D.

D解：∵ y（=x（）+y（）=（x﹣）+（）=.可得x﹣=1， =1，解得x=，y=，∴xy=故选：D
D

一 、填空题
答案为：-10;
答案为：8；
解析：如图，取BC的中点D，连接AD，∵AB=AC，
∵AD⊥BC.∴ABcosB=BD=2.∴·=||·||cosB=2×4=8.

答案为：0.8；

答案为：[-4,6]
答案为：  
答案为： 3; 
答案为：　．解：∵，∴，
∵为单位向量，即，∴4﹣4cosθ+1=2，∴．故答案为：．
答案为：
【解析】
∴
答案为：4，
【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有：，
，则：
，
令，则，
据此可得：，
即的最小值是4，最大值是.
解析 ∵a=(-,1),∴|a|=2.由(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,
得(a+2b)·a=0,(a+b)·b=0,即|a|2+2a·b=0,  ①|b|2+a·b=0, ②
①-②×2得|a|2=2|b|2,