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    云南省曲靖市富源县第八中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题(解析版)

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    云南省曲靖市富源县第八中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题(解析版)

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    这是一份云南省曲靖市富源县第八中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题(解析版),共17页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分,本卷命题范围, 的最小值为, 若条件p等内容,欢迎下载使用。
    考生注意:
    1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.
    2.考生作答时,请将答案答在答题卡上.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.
    3.本卷命题范围:人教A版必修第一册,必修第二册,选择性必修第一册,选择性必修第二册.
    第Ⅰ卷(选择题 共60分)
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 已知集合,则( )
    A B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】利用并集运算计算出,再求其补集即可.
    【详解】解:因为,则,
    故.
    故选:D.
    2. 若,其中,则( )
    A. 3B. 2C. -2D. -3
    【答案】D
    【解析】
    【分析】等式左侧展开,应用两个复数相等(实部等于实部且虚部等于虚部)列方程组求解即可.
    【详解】∵
    ∴ 解得
    故选:D.
    3. 有一机器人的运动方程为,是时间,是位移,则该机器人在时刻时的瞬时速度为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】利用瞬时速度定义即可求得该机器人在时刻时的瞬时速度.
    【详解】该机器人在时刻时的瞬时速度为
    故选:A
    4. 抛物线上一点的纵坐标为2,则点与抛物线焦点的距离为( )
    A. B. 2C. D. 3
    【答案】C
    【解析】
    【分析】先求出准线方程,再根据抛物线的定义求解.
    【详解】对于抛物线 , , 准线方程为,
    点A到焦点的距离为;
    故选:C.
    5. 的最小值为( )
    A. 1B. 2C. 3D. 4
    【答案】C
    【解析】
    【分析】利用基本不等式计算可得.
    【详解】解:因为,所以,
    当且仅当,即时取等号;
    故选:C
    6. 已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则( )
    A B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上,然后求出过点的圆的切线方程,最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.
    【详解】由题知,圆的圆心,半径.
    因为,所以点在圆上,
    所以过点的圆的切线与直线垂直,
    设切线的斜率,则有,
    即,解得.
    因为直线与切线垂直,
    所以,解得.
    故选:B.
    7. 已知椭圆的半焦距为,原点到经过两点的直线的距离为.则椭圆的离心率为( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】先求得经过两点的直线的方程,再运用点到直线的距离公式整理求得,由椭圆的离心率公式计算可得选项.
    【详解】解:因为经过两点的直线的方程为,又原点到直线的距离为,
    所以,整理得,所以,
    所以.又,所以,
    故选:D.
    8. 已知为上的奇函数,且,当时,,则的值为( )
    A. B. 12C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据题意,结合对数的运算法则,得到,代入即可求解.
    【详解】由题意,函数为上的奇函数,且,即,
    且当时,,
    又由.
    故选:D.
    二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.
    9. 若条件p:,且是q的充分不必要条件,则q可以是( )
    A. B. C. D.
    【答案】AD
    【解析】
    【分析】由题意可得可推出表示的条件,而表示的条件推不出即可
    【详解】因为条件p:,所以,
    对于A,因为,可推出,而推不出,所以是的充分不必要条件,所以A正确,
    对于B,因为不能推出,所以不是的充分不必要条件,所以B错误,
    对于C,因为不能推出,所以不是的充分不必要条件,所以C错误,
    对于D,因为,可推出,而推不出,所以是的充分不必要条件,所以D正确,
    故选:AD
    10. 已知正项等比数列满足,,若设其公比为q,前n项和为,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】AD
    【解析】
    【分析】由已知条件列方程可求出公比,然后逐个分析判断即可
    【详解】依题意,公比,
    因为,,
    所以,得,解得或(舍去),
    所以,所以A正确,
    对于B,因为,,所以,所以B错误,
    对于C,因为,,所以,所以C错误,
    对于D,因为,所以,
    所以,所以D正确,
    故选:AD
    11. 已知函数,则下列结论正确的是( )
    A.
    B. 是图象的一条对称轴
    C. 的最小正周期为
    D. 将的图象向左平移个单位后,得到的图象关于轴对称
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】对选项A,根据两角和公式得到,即可判断A正确,对选项B,根据,即可判断B错误,对选项C,根据周期公式即可判断C正确,对选项D,根据三角函数平移公式和函数的奇偶性即可判断D正确.
    【详解】对选项A,

    故A正确;
    ,故B错误;
    对选项C,,C正确;
    将的图象向左平移个单位后得,
    定义域为,,
    所以为偶函数,图象关于轴对称,D正确.
    故选:ACD
    12. 已知函数 ,曲线上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直,则实数a的值可能是( )
    A. B. C. D.
    【答案】BC
    【解析】
    【分析】理解题意就是函数 的导函数存在两个不同的零点,讨论导函数的图像即可.
    【详解】∵曲线上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直,
    ∴ 有两个不同的解,
    即得 有两个不同的解,
    即的图象与 的图象有两个不同的交点,

    ∴当时, , 单调递减;
    时, , 单调递增,
    ∴时,y取得最小值 ,
    又当时,,
    函数图象如下:
    ∴当 时,的图象与 的图象有两个不同的交点,
    结合选项可得实数a的值可能是 , ;
    故选:BC.
    第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
    三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
    13. 已知向量,,若与共线,则实数的值为_________.
    【答案】2
    【解析】
    【分析】根据空间向量共线,设,得到方程组,求出.
    【详解】因为与共线,所以存在,使得,
    即,故,解得.
    故答案为:2
    14. 已知,则_________.
    【答案】-2
    【解析】
    【分析】先求导,再代入即可.
    【详解】因为,故.
    故答案为:-2
    15. 已知,,,则a,b,c的大小关系为__________.(用“”连接)
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据函数单调性及中间值得到,比较出大小.
    【详解】因为在上单调递减,故,
    因为在R上单调递减,故,
    因为在上单调递减,,
    故,
    所以.
    故答案为:
    16. 六氟化硫,化学式为,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体,有良好的绝缘性,在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体),如图所示.若此正八面体的棱长为2,则它的内切球的表面积为__________.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】根据正八面体的特征可知内切球的球心为,进而根据等体积法即可求解半径.
    【详解】设正八面体内切球半径R,给正八面体标出字母如图所示,
    连接AC和BD交于点O,
    因为,,所以,,
    又AC和BD交于点O,平面ABCD,所以平面ABCD,
    所以O为正八面体的中心,所以O到八个面的距离相等,
    距离即为内切球半径,设内切球与平面EBC切于点H,
    所以平面EBC,所以OH即为正八面体内切球半径,所以,
    因为正八面体的棱长为2,
    所以,,,
    所以,,
    因为,,所以,
    即,所以正八面体内切球的表面积为:.
    故答案:
    四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
    17. 在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,并且.
    (1)求角A;
    (2)若,,求的面积.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)利用余弦定理可得答案;
    (2)利用正弦定理、余弦定理及面积公式计算可得答案..
    【小问1详解】
    由余弦定理可得,
    因,所以;
    【小问2详解】
    因为,由正弦定理得,,
    由余弦定理得,
    解得舍去,,,
    所以的面积;
    18. 已知等差数列的公差不为0,且满足.
    (1)求的通项公式;
    (2)求证:.
    【答案】(1);
    (2)证明见解析
    【解析】
    【分析】(1)由题可得,再利用等差数列的通项公式即得;
    (2)利用裂项相消法可得,即证.
    【小问1详解】
    设数列的公差为,由题可知
    ,解得,
    ∴,
    故的通项公式为.
    【小问2详解】
    ∵,
    ∴,
    记,


    ∴.
    19. 某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩,并分成五组:第一组,第二组,第三组,第四组,第五组,绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7,第一组和第五组的频率相同.

    (1)求a,b的值;
    (2)估计这100名候选者面试成绩的60%分位数(分位数精确到0.1);
    (3)在第四,第五两组志愿者中,采用分层抽样的方法从中抽取5人,然后再从这5人中选出2人,以确定组长人选,求选出的两人来自不同组的概率.
    【答案】(1),
    (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)由每个小矩形面积代表频率,根据所有频率之和为1可得,;
    (2)直接第60百分位数即可;
    (3)先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数,再利用列举法求出古典概型的概率即可.
    【小问1详解】
    因为第三、四、五组的频率之和为0.7,
    所以,解得,
    所以前两组的频率之和为,即,
    所以;
    【小问2详解】
    前两个分组频率之和为0.3,前三个分组频率之和为0.75,
    所以第60百分位数在第三组,且为;
    【小问3详解】
    第四、第五两组志愿者分别有20人,5人,
    故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4,分别设为,,,,第五组志愿者人数为1,设为,
    这5人中选出2人,所有情况有,
    共有10种情况,
    其中选出的两人来自不同组的有共4种情况,
    故选出的两人来自不同组的概率为.
    20. 如图,四棱柱的底面是正方形,为和的交点,
    若.
    (1)求证:平面;
    (2)求二面角的余弦值.
    【答案】(1)见解析;(2)
    【解析】
    【详解】分析:第一问把握题中的条件,挖掘有用的信息,找到垂直的条件,应用线面垂直的判定定理证得结果,第二问利用空间向量求二面角,先根据垂直关系,建立相应的空间直角坐标系,求出面的法向量,利用数量积与模求得余弦值,最后结合法向量的方向确定最后的结果.
    详解:(1)证明:连接,
    由题意知均是边长为2的等边三角形,
    所以 ,所以.
    因为底面是正方形,所以与垂直平分于点,
    所以,且,
    因为,所以,
    因为平面,所以平面.
    (2)由(1)可知平面,所以,
    所以为二面角的平面角,
    以为原点,建立空间直角坐标系,如图,
    则,
    所以,
    所以二面角的余弦值为.
    点睛:在解决立体几何问题时,第一问空间关系大都利用常规法证明,但是也可以应用空间向量来证明,尤其垂直的,借着向量的数量积等于零来确定垂直关系,第二问利用空间向量所成角来衡量二面角的时候,要注意结合法向量的方向,来确定是其补角还是其本事.
    21. 已知函数.
    (1)若是函数的一个极值点,求的单调区间;
    (2)若函数在区间上是增函数,求实数a的取值范围.
    【答案】(1)的单调减区间为,单调增区间为(2)
    【解析】
    【分析】(1)根据是函数的一个极值点,得可求得a,再分析的正负,得的单调性;
    (2)要使在上是增函数,则需对成立,分类讨论在的单调性,并且满足在的最小值大于或等于0,可求得范围.
    【详解】(1)的定义域为,.
    是的一个极值点,
    ,,

    时,,,.
    时,,,.
    的单调减区间为,单调增区间为.
    (2)在上是增函数,对成立,
    令,
    则,.
    ,时,在上是增函数,只要,.
    当时,在上是减函数,在上是增函数,只要.
    即,,.
    综上a的取值范围是.
    【点睛】本题考查函数的极值点就是导函数为零的点,利用导函数的正负研究原函数的单调性,和知原函数的单调性求参数的值的问题,解题时紧抓住导函数的正负反应了原函数的单调性的这一特点,属于难度题.
    22. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知等轴双曲线的左顶点A,过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B,C两点,若的面积为.
    (1)求双曲线E的方程;
    (2)若直线与双曲线E的左,右两支分别交于M,N两点,与双曲线E的两条渐近线分别交于P,Q两点,求的取值范围.
    【答案】(1);(2).
    【解析】
    【分析】
    (1)依题意可得,所以得到,根据的面积,计算可得;
    (2)联立直线方程与曲线方程,消元、列出韦达定理,依题意得到,从而求出参数的取值范围,利用弦长公式表示出,,即可得到的取值范围;
    【详解】解:(1)因为双曲线为等轴双曲线,
    所以,设双曲线的焦距为2c,,
    故,即.
    因为BC过右焦点F,且垂直于x轴,
    将代入,可得,故.
    将的面积为,
    所以,即,
    所以,,故双曲线E的方程为.
    (2)依题意,直线与双曲线E的左,右两支分别交于M,N两点,
    联立方程组消去y可得,,
    所以解得,且
    所以

    联立方程组得,同理,
    所以.
    所以,其中,
    所以.
    【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用,弦长公式的应用,属于中档题.

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