人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试当堂检测题

这是一份人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试当堂检测题，共25页。
专题22.15 待定系数法求二次函数的解析式（分层练习）
【知识要点】二次函数的解析式
(1) 三类解析式
一般式：（a、b、c是常数，）；
顶点式：（），二次函数的顶点坐标是（h，k）；
交点式：（），其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ．
(2) 待定系数法求解析式
① 巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）；
② 根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；
③ 解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
一、 单选题

1．已知抛物线过原点，你认为c的值应为（    ）
A． B．0 C． D．
2．若二次函数图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
3．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（    ）
A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5
4．若抛物线与x轴两个交点间的距离为4.对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（    ）
A．（2，4） B．（-2，4） C．（2，-4） D．（4，2）
5．已知二次函数的图象经过点，且当时，随的增大而减小，则点的坐标可以是（  ）
A． B． C． D．

6．如图，函数的解析式为（    ）

A． B． C． D．
7．已知抛物线经过点，那么的值是（  ）
A． B． C． D．
8．先将抛物线关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
9．一条抛物线和抛物线的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是，则该抛物线的解析式为（    ）
A． B．
C． D．
10．“人一定要有梦想，万一实现了呢？”巩立姣的这句赛后感言在网络上广为流传，激励了许多正在拼搏的人．如图是她在铅球练习中的一次掷球，铅球出手以后的轨迹可近似看作是抛物线的一部分，已知铅球出手时离地面1.6米，铅球离抛掷点水平距离3米时达到最高，此时铅球离地面2.5米．如图，以水平面为轴，她所站位置的铅垂线为轴建立平面直角坐标系，则她掷铅球的运动路线的函数表达式为（    ）

A． B．
C． D．

11．函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（    ）
x
1
2
4
y
4
2
1
A． B．
C． D．
12．已知抛物线过，，且它与x轴只有一个公共点，则c的值是（　　）
A．4 B． C．6 D．9
13．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（　　）

A． B．
C． D．
14．如图，若抛物线经过原点，则抛物线的解析式为（　　）

A． B．
C． D．或
15．在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标与纵坐标相等，则称点M为和谐点，比如：点…，都是和谐点，若二次函数的图象上有且只有一个和谐点，则这个二次函数的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
二、 填空题

16．对于函数（a为常数），当时，，则当时， ．
17．若某二次函数图象的形状和开口方向与抛物线相同，且顶点坐标为，则它的表达式为 ．
18．下面是三位同学对某个二次函数的描述．
甲：图象的形状、开口方向与的相同；
乙：顶点在轴上；
丙：对称轴是
请写出这个二次函数解析式的一般式： ．
19．二次函数的图象经过点，则代数式的值为 ．
20．抛物线与x轴交于点（2，0），（﹣1，0），利用两点式抛物线解析式可设为： ．

21．将抛物线沿轴翻折，得到的新的抛物线的解析式是 ．
22．已知二次函数的图像过和两点，则这个二次函数的表达式为 ．
23．已知二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如表．








当时，函数值为 ．
24．已知抛物线的顶点坐标是，且与y轴的交点坐标为，则该抛物线的解析式为 ．
25．给出一个二次函数，它的部分性质如下：①当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；②函数的最大值为；③函数图象过点．根据以上信息，可知该二次函数的解析式为 ．

26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，则此二次函数顶点坐标为 ．
  
27．如图，中，，以为轴，轴经过点，建立平面直角坐标系，已知，，将沿着轴翻折，的对应点为，若抛物线 ，恰好过、、，则
    
28．顶点坐标为且开口方向、形状与函数相同的抛物线是 ．
29．已知：二次函数的图象经过点、和，当时，y的值为 ．
30．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为 ．
三、 解答题

31．已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．






32．已知二次函数的图象顶点为．且过点为，求该抛物线的解析式．








33．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的面积．





34．一抛物线以为顶点，且经过点，求该抛物线的解析式及抛物线与y轴的交点坐标．









35．如图，已知抛物线经过、两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当时，求的取值范围；
（3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．





36．抛物线交x轴于点，交y轴于点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴和另一个与x轴交点C的坐标；
（2）直接写出当时，x的取值范围．
（3）如图，点P是线段上方抛物线上一动点，当P点的坐标为_______时，的面积最大．









参考答案
1．B
【分析】抛物线过原点，所以抛物线经过点（0，0）．
解：∵抛物线经过点（0，0） ，
∴c=0，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，比较简单，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
2．C
【分析】设抛物线的解析式为利用待定系数法求出a即可解决问题．
解：设抛物线的解析式为
把点代入抛物线的解析式得到
抛物线的解析式为：
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解题的关键学会利用抛物线的顶点式解决问题，属于中考常考题型．
3．A
【分析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．
解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，
∴c＝﹣5①，
a﹣b+c＝﹣4②，
4a﹣2b+c＝5③，
解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，
所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．
故选：A．
【点拨】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．
4．A
【分析】根据抛物线与x轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线x＝2，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标．
解：设抛物线与x轴两个交点坐标为，，
∵抛物线与x轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线x＝2，
∴＝16，﹣＝2，
∴﹣4×＝16，b＝﹣4，
解得c＝0，
∴抛物线的解析式为，
∴顶点P的坐标为（2，﹣4），
∴点P关于x轴的对称点的坐标是（2，4），
故选：A．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、关于x轴对称的点的坐标特点，解答本题的关键是求出点P的坐标，利用二次函数的性质解答．
5．B
【分析】先根据二次函数的增减性判断出的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
解：∵二次函数，当时，随的增大而减小，，
∴，
A．当时，，解得：，此选项不符合题意；
B．当时，，解得：，此选项符合题意；
C．当时，，解得：，此选项不符合题意；
D．当时，，解得，此选项不符合题意，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质、待定系数法，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
6．C
【分析】由图象可知函数与坐标轴的交点坐标，设，代入整理即可．
解：由图象可得函数与x轴的交点坐标为和，
可设，
∵函数与y轴的交点坐标为，
∴，
解得：，
∴，整理可得，
故选：C．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
7．A
【分析】把点代入抛物线，解三元一次方程组即可求解．
解：∵抛物线经过点，
∴，解得，，
∴，
故选：．
【点拨】本题主要考查二次函数与三元一次方程组的综合，掌握二次函数的代入法，解三元一次方程组的方法是解题的关键．
8．C
【分析】若抛物线关于轴作轴对称变换，则图象上所有的点横坐标不变纵坐标互为相反数，据此即可解答．
解：抛物线关于轴作轴对称变换，
则所得抛物线为，即．
故选：C．
【点拨】此题考查了抛物线的轴对称变换，解题的关键是找到对称轴，并熟知关于轴、轴的对称点的坐标特征．
9．B
【分析】直接利用顶点式写出抛物线的解析式，即可选出答案．
解：抛物线解析式为．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的表达式，解题的关键是能够根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式来求解．
10．A
【分析】根据题意设出抛物线解析式为，再把点的坐标代入解析式求出的值即可．
解：根据题意得：，，
设抛物线解析式为，
将点的坐标代入解析式得：，
解得：，
巩立姣掷铅球的运动路线的函数表达式为，
故选：A．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，设出抛物线的解析式为．
11．C
【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
解：A、若直线过点，
则，解得，
所以，
当时，，故不在直线上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得
，解得，符合题意；
D、由C可知，不合题意．
故选：C．
【点拨】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
12．D
【分析】由抛物线过，，可得抛物线的对称轴是直线，结合它与x轴只有一个公共点，可得，即可求解.
解：∵抛物线过，，
∴抛物线的对称轴是直线，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴，解得；
故选：D.
【点拨】本题考查了二次函数的相关知识，正确理解题意、明确解答的方法是关键.
13．D
【分析】利用待定系数法求解即可．
解：设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线解析式为，
即，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式的知识点，准确分析是解题的关键．在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，一般的，当已知抛物线上三点时，选用一般式，用待定系数法列三元一次方程组进行求解，已知抛物线顶点或对称轴时，设成顶点式，已知与轴交点时，可设交点式，通过图象设解析式求解即可．
14．A
【分析】把代入可得，然后根据二次函数图像开方向向下确定a的值即可解答．
解：把代入得，，
∴，
∵抛物线开口向下，
∴抛物线的解析式为．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数图像的性质等知识点，掌握二次函数图像的性质是解答本题的关键．
15．D
【分析】由题意可得和谐点所在直线为，由抛物线经过可得a与c的数量关系，联立直线与抛物线方程，根据求解．
解：由题意可得和谐点所在直线为，
把代入得，
∴，
∴．
令，整理得，
∵抛物线与直线只有1个公共点，
∴，
解得，
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握函数与方程的关系．
16．2
【分析】直接把，代入求出a值，再令即可．
解：将，代入中，得：，
解得：，
∴，
令，则，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
17．
【分析】利用顶点式求解即可．
解：图象顶点坐标为，
可以设函数解析式为，
又∵二次函数图象的形状和开口方向与抛物线相同，
∴，
∴这个函数解析式为：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，如果已知三点坐标可以利用一般式求解，若已知对称轴或顶点坐标利用顶点式求解比较简单．
18．
【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式为，且，，据此可得；
解：设函数解析式为，根据题意得，，
二次函数解析式是：，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及其解析式的形式．
19．5
【分析】代入点的坐标以后即可得出结论．
解：代入点得，解得：
故答案为：5．
【点拨】本题考查图像与点的关联，能够熟练把点代入解析式是解题关键．
20．
【分析】根据两点式解析式的特点设．
解：∵抛物线与x轴交于点（2，0），（﹣1，0），
∴抛物线解析式可设为，
故答案为：．
【点拨】此题考查了两点式解析式的公式，正确掌握公式及字母表示的意义是解题的关键．
21．
【分析】根据点关于y轴对称时“纵坐标相等，横坐标互为相反数”，可得新抛物线的解析式．
解：∵点关于y轴对称时“纵坐标相等，横坐标互为相反数”，
∴沿轴翻折，得到的新的抛物线的解析式是即．
故答案为：．
【点拨】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
22．
【分析】把和的坐标代入得到关于a、b的方程组求解即可．
解：把和的坐标代入
解得：
所以二次函数的表达式为．
【点拨】本题主要考查考了用待定系数法求解抛物线解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23．
【分析】待定系数法求解析式，进而令，即可求解．
解：由表格数据可得

解得：
∴二次函数解析式为：，
当时，，
故答案为：．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
24．
【分析】根据已知信息直接设该抛物线的顶点式，然后代入，求解即可．
解：由题意，设该抛物线解析式为，，
将代入得：，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查求二次函数解析式，一般包括三类：①一般式；②顶点式，其中顶点坐标为；③顶点式，其中为抛物线与轴交点的横坐标，灵活结合题意选择适当的二次函数表达式进行求解是解题关键．
25．
【分析】根据①当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；②函数的最大值为；可得抛物线的顶点坐标以及开口方向，可得抛物线的解析式为：，再根据③函数图象过点，再利用待定系数法可得函数解析式．
解：由①当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
可得抛物线的对称轴为直线，且抛物线的开口向下，
结合②函数的最大值为；可得顶点坐标为：，
可得抛物线的解析式为：，
∵③函数图象过点，
∴，
解得：，
∴抛物线为，
故答案为：．
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练的利用二次函数的性质得到二次函数的解析式是解本题的关键．
26．
【分析】将代入 可得，进而将解析式化为顶点式即可求解．
解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
即：，
∴此二次函数顶点坐标为，
故答案为：．
【点拨】本题考查求二次函数的顶点坐标，求得函数解析式并转化为顶点坐标是解决问题的关键．
27．
【分析】根据题意得出，进而根据正切的定义，得出的坐标，进而求得点的坐标，根据轴对称的性质求得的坐标，待定系数法求得解析式，进而化为顶点式，即可求解．
解：∵中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，设，则，
则，
∵，
∴，
即，，
∵，
∴，即，
∵将沿着轴翻折，的对应点为，
∴，
设抛物线解析式为，将点代入得，
解得：
∴抛物线解析式为
故答案为：．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正切的定义，折叠的性质，求得的坐标是解题的关键．
28．
【分析】设抛物线解析式为，根据已知条件易得，即可获得答案．
解：根据题意，抛物线顶点坐标为，
则设抛物线解析式为，
∵该抛物线与的开口方向、形状相同，
∴，
∴该抛物线的解析式为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，结合题意确定的值是解题关键．
29．3
【分析】根据题意可得交点式，然后把代入求出a值，即可求出二次函数表达式．
解：∵二次函数的图象经过点、
∴抛物线的解析式为，
把代入得：，解得：，
∴函数的解析式为，
即，
∴当时，，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
30．
【分析】由抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标与点的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线顶点坐标，即可得抛物线解析式．
解：由抛物线知，抛物线顶点坐标是．
由抛物线知，．
∴该抛物线关于点成中心对称的抛物线的顶点坐标是．
∴该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为：．
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，表示出新抛物线的顶点坐标是解题的关键．
31．
【分析】待定系数法求解析式即可．
解：抛物线过点和，
，
解得：，
抛物线的解析式为：．
【点拨】本题考查求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
32．
【分析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出即可．
解：设抛物线的解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线的解析式为∶．
【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
33．（1）；（2）
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出C点坐标，再根据，即可求解．
解：（1）∵抛物线与x轴交于点和点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，，
∴点C的坐标为，
∴，
∵点B的坐标为，
∴，
∵，
∴的面积是．
【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，面积问题，掌握待定系数法求解析式，以及二次函数的性质是解题的关键．
34．抛物线的解析式为，抛物线与轴的交点坐标为
【分析】设顶点式再代入计算即可．
解：∵抛物线以为顶点，
∴设抛物线的解析式为，
将代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
令，则，
∴抛物线与轴的交点坐标为．
【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
35．（1），顶点坐标为；（2）；（3）点坐标为或
【分析】（1）把、分别代入中，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线的顶点坐标；
（2）结合图象、两点及顶点坐标即可得出答案；
（3）设，则，计算出的值，再代入抛物线解析式即可得出点的坐标．
（1）解：把、分别代入中，
得： ，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
，
∴顶点坐标为；
（2）解：由图可得：
当时，；
（3）解：∵、，
，
设，则，
∴，
，
①当时，，
解得：，
此时点坐标为或；
②当时，，方程无解；
综上所述，点坐标为或．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，把二次函数化为顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数综合—面积问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．
36．（1）；；对称轴直线；（2）或；（3）
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据函数图象即可得出结论；
（3）过点作轴交于点，设，则，则，再由此求解即可．
解：（1）将点，代入，
，
解得，
；
令，得
解得：
∴，
对称轴直线
（2）由（1）得：，
∴当或时，
（3）设直线的解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于点，
  
设，则，
，
，
当时，的面积有最大值，
此时，．
故答案为：．
【点拨】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，胡不归求最短距离的方法是解题的关键．