专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类-2023-2024学年度高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版必修第一册）

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专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类

目录
【题型一】保和函数：f（a+b）=f（a）+f（b）单调性与奇偶性 2
【题型二】类对数积函数：形如f（axb）=f（a）+f（b）单调性与奇偶性 3
【题型三】类指数函数：形如f（a+b）=f（a）f（b）单调性 4
【题型四】类对数商函数：形如f（a/b）=f（a）-f（b）单调性 5
【题型五】类线性函数：f（a-b）=f（a）-f（b）单调性与奇偶性 6
【题型六】保积函数：f（a*b）=f（a）*f（b）单调性与奇偶性 6
【题型七】恒“截距”线性函数：f（a+b）=f（a）+f（b）-1单调性 7
【题型八】形如f（a*b）=f（a）+f（b）+t单调性与奇偶性 8
【题型九】形如f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）奇偶性 8
【题型十】形如f（a）+f（a）=f（）单调性与奇偶性 9
【题型十一】形如f（a）+f（a）=单调性与奇偶性 9
【题型十二】形如f（a-b）=单调性与奇偶性 10
【题型十三】其他形式的抽象函数汇总 11


综述
一、 赋值思维：
抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。有如下规律技巧：
（1）.第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等
（2）.第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取。.
（3）.第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）。

二、抽象函数判断或者证明奇偶性的思维和技巧
证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。
1.可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f（1）等，
2.尝试适当的换元字母，构造出x和-x，如f（x+y），可令y= -x，f（xy），可令y= -1等等
3.通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。

三、抽象函数判断或者证明单调性的思维和技巧
证明单调性，实质就是构造定义法，在时，构造证明出正负。常见的构造规律如下：
（1）构造“和”
（2）.构造“积”
（3）. 利用构造,
（4）.利用奇偶性（主要是奇函数）构造，
这类题，变化较大，给学生讲透彻构造的目标和构造的思维以及借助构造来推导处定义的过程，可以借助不同的抽象函数式子来灵活推导。

四、抽象函数判断或者恒成立求参或者解不等式的思维和技巧
恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或 恒成立（即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值或恒成立.
如果涉及到多元：
①按照题意分清主次元，确定降元次序；
②考察指定元所对应的函数关系；
③由特定元的范围，建立不等式（组）.




【题型一】保和函数：f（a+b）=f（a）+f（b）单调性与奇偶性
【典例分析】
若函数对任意，恒有．
（1）指出的奇偶性，并给予证明；
（2）如果时，，判断的单调性；
（3）在（2）的条件下，若对任意实数x，恒有．成立，求k的取值范围．


【提分秘籍】
基本规律
形如f（a+b）=f（a）+f（b）
奇偶性：
（1）赋值求特殊值：令，得，解得：
（2）赋值构造奇偶性定义：令，则，
单调性：
（1）以单调性定义法证明为目标赋值：任意取，且，则，
（2）赋值构造单调性定义结构：，即



【变式训练】
1.设函数对任意的实数，，都有，且时，，.
（1）求证：是奇函数；
（2）试判断函数单调性；
（3）试问当时，是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果没有，请说出理由.

2.已知函数定义域为，若对任意的，都有，且时，.
（1）判断的奇偶性；
（2）讨论的区间上的单调性；
（3）设，若，对所有，恒成立，求实数的取值范围.

3.定义在R上的函数f(x)满足：x，y∈R，f(x-y)=f(x)+f(-y)，且当x0，f(-2)=4.
（1）判断函数f(x)的奇偶性并证明；
（2）若x∈[-2，2]，a∈[-3，4]，f(x)≤-3at+5恒成立，求实数t的取值范围.


【题型二】类对数积函数：形如f（axb）=f（a）+f（b）单调性与奇偶性
【典例分析】
已知定义域为的函数满足对任意，都有．
（1）求证：是偶函数；
（2）设时，
①求证：在上是减函数；
②求不等式的解集．



【提分秘籍】
基本规律
形如f（axb）=f（a）+f（b）
奇偶性：
（1） 赋值求特殊值：令a=b=1，得f（1x1）=f（1）+f（1），解得：f（1）=0.。令a=b=-1，
得f（-1x（-1））=f（-1）+f（-1），解得：f（-1）=0
（2）赋值构造奇偶性定义：令a=x，b=-1，则f（-1x）=f（x）+f（-1）=f（x），
单调性：
结合所给附加条件，如典型例题：则设，则，由时，得，则
【变式训练】
1.已知函数对于任意实数x，恒有，且当时，，又．
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)求在区间的最大值；
(3)解关于x的不等式：.


2.已知函数对于任意非零实数满足且当时，.
（1）求与的值；
（2）判断并证明的奇偶性和单调性；
（3）求不等式的解集.

3.定义在非零实数集上的函数对任意非零实数满足:,且当时.
(1)求及的值；
(2)求证:是偶函数；
(3)解不等式：.


【题型三】类指数函数：形如f（a+b）=f（a）f（b）单调性
【典例分析】
已知函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，．求证：在上是单调减函数．



【提分秘籍】
基本规律
形如f（a+b）=f（a）*（b）
单调性：
由f（a+b）=f（a）*（b）,令a=b=0得f（0）=1，（f（0）=0，一般舍去，因为令b=0，容易推出是常数函数0）
再令，，结合所给条件，可得 ，
再根据条件，结合单调性定义，有两个方向思维：
（1）设，将变形成即可求证
（2），则有，再由条件，得到结论.

【变式训练】
1.已知定义在上的函数对任意实数都满足，且．当时，．
（1）求的值；
（2）证明：在上是增函数；
（3）解不等式．

2.已知函数f（x）定义域为R，f（1）=2，f（x）≠0，对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y），当x＞0时，f（x）＞1；
（1）判断f（x）在R上的单调性，并证明；
（2）解不等式f（x）f（x-2）＞16．

3.定义在上的函数满足:①对一切恒有；②对一切恒有；③当时，，且；④若对一切(其中)，不等式恒成立.
(1)求的值；
(2)证明:函数是上的递增函数；
(3)求实数的取值范围.


【题型四】类对数商函数：形如f（a/b）=f（a）-f（b）单调性
【典例分析】
已知函数是定义在上的增函数，.
（1）求；（2）求证：；
（3）若，解不等式：.


【变式训练】
1.已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f＝f（x1）－f（x2），且当x>1时f（x）>0，若f（3）＝1．
（1）判断f（x）的单调性；
（2）解关于的不等式；
（3）若对所有恒成立,求实数．


【题型五】类线性函数：f（a-b）=f（a）-f（b）单调性与奇偶性
【典例分析】
设函数的定义域为R，并且满足，且，当时，．
（1）求的值，并判断函数的奇偶性；
（2）解不等式


【变式训练】
1.设函数的定义域为R，并且满足，且当时，
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性，并给出证明；
(3)如果，求的取值范围；

2.定义在上的函数，满足对任意，有，且．
(1)求，的值；
(2)判断的奇偶性，并证明你的结论；
(3)当时，，解不等式．

【题型六】保积函数：f（a*b）=f（a）*f（b）单调性与奇偶性
【典例分析】
若函数对任意实数x，y都有，则称其为“保积函数”．
(1)若“保积函数”满足，判断其奇偶性并证明；
(2)对于（1）中的“保积函数”，若时，，且，试求不等式的解集．


【变式训练】
1.已知函数是定义在上的非常值函数，对任意，满足.
（1）求，的值；
（2）求证：对任意恒成立；
（3）若当时，，求证：函数在上是增函数.

2..已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且.
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在上的单调性，并证明；
(3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围.

3.已知函数对任意实数x，y都有，且，当时，
（1）判断的奇偶性并证明.
（2）判断在上的单调性，并证明.


【题型七】恒“截距”线性函数：f（a+b）=f（a）+f（b）-1单调性
【典例分析】
已知定义域为，对任意都有，当时，，．
(1)试判断在上的单调性，并证明
(2)解不等式：

【变式训练】
1.已知定义在R上的函数对任意都有，且当时，．
(1)求证：在R上是增函数；
(2)若，关于x的不等式有解，求实数t的取值范围．

2.已知函数的定义域为，对任意的实数均有，且当时， .
（1）用定义证明的单调性.
（2）求满足不等式的的取值范围.

3.若定义在R上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数，
(1)求的值，并证明为奇函数；
(2)解不等式
(3)若，，恒成立，求实数的取值范围.
【题型八】形如f（a*b）=f（a）+f（b）+t单调性与奇偶性
【典例分析】
定义在上的函数，对任意，都有，且当时，．
（1）求与的值；
（2）证明为偶函数:
（3）判断在上的单调性，并求解不等式．


【变式训练】
1.定义在上的函数，对任意x，y∈I，都有；且当时，.
（1）求的值；
（2）证明为偶函数；
（3）求解不等式.

2.设定义在（0，+∞）上的函数 f（x），对于任意正实数 a、b，都有 f（a•b）＝f（a）+f（b）﹣1，f（2）＝0，且当 x＞1 时，f（x）＜1．
（1）求 f（1）及的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．

3.已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．


【题型九】形如f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）奇偶性
【典例分析】
设的定义域是，在区间上是严格减函数；且对任意，，若，则．
(1)求证：函数是一个偶函数；
(2)求证：对于任意的，．
(3)若，解不等式．



【变式训练】
1.是定义在上的函数，对一切都有且
（1）求；
（2）判断函数的奇偶性

2.已知函数满足，，，且在区间上，恒成立.(1)证明：是偶函数；(2)求；
(3)证明：是周期函数.

3.已知函数，，若对于任意实数，，都有，求证：为偶函数．

【题型十】形如f（a）+f（a）=f（）单调性与奇偶性
【典例分析】
定义在上的函数满足：对任意的，，都有：.
（1）求证：函数是奇函数；
（2）若当时，有，求证：在上是减函数；
（3）若，对所有，恒成立，求实数的取值范围.

【变式训练】
1.定义在上的函数满足：对任意的，都有：
（1）求证：函数是奇函数；
（2）若当时，有，求证：在上是减函数；
（3）在（2）的条件下解不等式：;
（4）在（2）的条件下求证：.
2.已知函数在上有意义，且对任意满足.
（1）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若时，，则能否确定在的单调性？若能，请确定，并证明你的结论，若不能说明理由.

3.已知函数在上有意义，且对任意满足．
(1)求的值，判断的奇偶性并证明你的结论；
(2)若时，，判断在的单调性，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总分）
①若，请问是否存在实数，使得恒成立，若存在，给出实数的一个取值；若不存在，请说明理由．
②记表示两数中的较大值，若对于任意，，求实数的取值范围？
【题型十一】形如f（a）+f（a）=单调性与奇偶性
【典例分析】
函数对定义域上任意满足：.
（1）求的值；
（2）设关于原点对称，判断并证明的奇偶性；
（3）当时，，证明在上是增函数.


【变式训练】
1.定义在上的函数满足：对任意的都有，且当时，．
（1）判断在上的单调性并证明；
（2）求实数t的取值集合，使得关于x的不等式在上恒成立．


2.定义在R上的函数满足：①值域为，且当时，，②对定义域内任意的，满足，试回答下列问题：
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)判断并证明函数的单调性；
(3)对，使得不等式恒成立，求t的取值范围．

【题型十二】形如f（a-b）=单调性与奇偶性
【典例分析】
已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当是定义域中的数时，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0.试问：
（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由；
（2）在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.


【变式训练】
1.设函数的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的，有f()= . 求证：是奇函数.

2.．已知函数的定义域关于原点对称，且满足（1）（2）存在正常数，使得
求证：（1）是奇函数；
（2）是周期函数，并且有一个周期为


【题型十三】其他形式的抽象函数汇总
【例题1】
设函数满足：对任意实数都有，且当时，.
（1）证明：在为减函数；又若在上总有成立，试求的最小值；
（2）设函数， 当时，解关于的不等式：.

【例题2】
定义在上的函数，对任意，满足下列条件：①   ②
（1）是否存在一次函数满足条件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，说明理由.
（2）证明：为奇函数；


【例题3】
已知函数对于一切、，都有．
（1）求证：在上是偶函数；
（2）若在区间上是减函数，且有，求实数的取值范围．

【例题4】
函数的定义域为，并满足以下条件：①对任意，有；②对任意，有；③.
（1）求的值；
（2）求证：在上是单调增函数；
（3）若，且，求证：.

【例题5】
已知定义域为的函数满足对任意，都有
（1）求证:是奇函数；
（2）设，且当时，，求不等式的解集.

【例题6】
已知定义在上的函数满足以下三个条件：
①对任意实数，都有；
②；
③在区间上为增函数．
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）求证：；
（3）解不等式．


【例题7】
已知y=f(x)满足对一切x，yR都有f(x+2y)=f(x)+2f(y).
(1)判断y=f(x)的奇偶性并证明;
(2)若f(1)=2，求f(-13)+f(-3)+f(22)+f(53)的值.


【例题8】
．已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有.
(1)求的值；
(2)证明：是定义域上的减函数；
(3)若，解不等式.


【例题9】
定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(－1，1)，都有f(x)+f(y)=f()；②当x∈(－1，0)时，有f(x)>0．求证：．